BAB II TINJAUAN PUSTAKA

(1)

5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur aljabar grup dan ring serta mengenai grup fuzzy.

A. Himpunan Fuzzy

Sebuah himpunan klasik didefinisikan sebagai kumpulan dari elemen atau objek 𝑥 ∈ 𝑋 yang dapat terbatas, berhingga ataupun tak terbatas atau tak berhingga.

Menurut Klir (1995: 6) terdapat beberapa metode dasar untuk menentukan himpunan tersebut yang dapat didefinisikan secara umum dalam himpunan 𝑋:

1. Sebuah himpunan yang didefinisikan oleh penamaan semua anggotanya (metode pendataan). Metode ini dapat digunakan hanya untuk himpunan berhingga. Himpunan 𝐴 dengan anggota 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, … , 𝑎_𝑛 sering ditulis sebagai

𝐴 = {𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, … , 𝑎_𝑛}.

2. Sebuah himpunan yang didefinisikan oleh sifat yang memenuhi dari tiap anggotanya (metode aturan). Notasi umum yang menggambarkan metode ini adalah

𝐴 = {𝑥 | 𝑃(𝑥)}.

Dengan simbol “|” dinotasikan sebagai “yang seperti”, dan 𝑃(𝑥) menunjuk proposisi dari bentuk “𝑥 memiliki sifat 𝑃”.

(2)

6

3. Sebuah himpunan yang didefinisikan oleh fungsi biasa disebut sebagai fungsi karakteristik yang menyatakan elemen dari 𝑋 merupakan anggota dari himpunan tersebut atau tidak. Himpunan 𝐴 didefinisikan oleh sebuah fungsi karakteristik 𝜇_𝐴 sebagai berikut:

𝜇_𝐴 = {1, untuk 𝑥 ∈ 𝐴 0, untuk 𝑥 ∉ 𝐴.

Fungsi karakteristik di atas memetakan elemen-elemen 𝐴 ke anggota-anggota himpunan {0, 1}, secara formal dinyatakan sebagai,

𝜇_𝐴: 𝑋 → [0,1].

Untuk ∀𝑥 ∈ 𝑋, 𝜇_𝐴(𝑥) = 1, 𝑥 anggota 𝐴; saat 𝜇_𝐴(𝑥) = 0, 𝑥 bukan anggota 𝐴.

Fungsi keanggotaan 𝜇 yang memetakan himpunan universal 𝑋 yang merupakan himpunan klasik, ke interval bilangan riil [0,1] disebut himpunan fuzzy 𝜇 menurut Klir (1995: 11).

Definisi 2.1.1. Klir (1995: 11) Misal 𝑋 adalah himpunan dari objek tertentu, himpunan fuzzy 𝜇 dari himpunan 𝑋 adalah pemetaan anggota-anggota 𝑋 ke interval riil [0,1] dan dinotasikan sebagai berikut.

𝜇 ∶ 𝑋 → [0,1].

Untuk lebih jelas memahami definisi di atas, diberikan contoh himpunan fuzzy sebagai berikut:

(3)

7

Contoh 2.1.1. Suatu himpunan 𝐴 didefinisikan sebagai bilangan riil ℝ yang mendekati 10. Dari definisi himpunan fuzzy, 𝐴 merupakan pemetaan dari bilangan- bilangan riil ℝ ke interval tertutup [0, 1], atau dapat ditulis sebagai

𝐴: ℝ → [0,1].

Selanjutnya himpunan 𝐴 dapat digambarkan pada Gambar 2.1. berikut:

Gambar 2.1. Bilangan riil ℝ yang mendekati 10. □

B. Grup

Grup merupakan salah satu struktur aljabar yang memuat suatu operasi biner beserta aksioma-aksiomanya. Berikut diberikan definisi dari grup.

Definisi 2.2.1. Gallian (2010: 41) Misalkan 𝐺 merupakan sebuah himpunan bersama dengan sebuah operasi biner (biasanya disebut perkalian) yang memasangkan pasangan berurutan (𝑎, 𝑏) dari anggota-anggota 𝐺 dengan setiap anggota dalam 𝐺 dapat dinotasikan sebagai 𝑎𝑏. 𝐺 dikatakan sebagai grup atas operasi ini jika memenuhi tiga sifat berikut.

i. Asosiatif. Operator ini bersifat asosiatif; memenuhi (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 dalam 𝐺.

𝐴(𝑥)

(4)

8

ii. Identitas. Terdapat elemen identitas 𝑒 di dalam 𝐺 sedemikian sehingga 𝑎𝑒 = 𝑒𝑎 = 𝑎 untuk setiap 𝑎 dalam 𝐺.

iii. Invers. Untuk setiap elemen 𝑎 dalam 𝐺, terdapat suatu elemen 𝑏 dalam 𝐺 (𝑏 disebut sebagai invers dari 𝑏) sedemikian sehingga 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 𝑒.

Dari definisi di atas diberikan contoh grup berikut.

Contoh 2.2.1. Himpunan bilangan bulat ℤ, himpunan bilangan rasional ℚ, dan himpunan bilangan rill ℝ merupakan grup dengan penjumlahan biasa, yang mempunyai elemen identitas 0 dan invers dari elemennya adalah negatif dari

elemen tersebut. □

Contoh 2.2.2. Himpunan bilangan rasional positif ℚ⁺ merupakan suatu grup dengan perkalian biasa. Invers dari elemannya yakni 1/a = a^-1. □

Jika suatu grup memiliki sifat 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, maka grup tersebut disebut sebagai grup komutatif atau grup abelian (Gallian, 2010: 41).

Berikut contoh grup abelian.

Contoh 2.2.3. (ℤ, +), (ℚ, +), (ℝ, +), dan (ℂ, +) masing-masing merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0 dan invers dari setiap elemennya adalah negatif

dari elemen tersebut. □

Contoh 2.2.4. Jika 𝑛 suatu bilangan bulat positif dan 𝑛ℤ adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan n, maka (𝑛ℤ, +) merupakan suatu grup abelian. Hal ini ditunjukkan untuk 𝑛ℤ = { 𝑘𝑛|𝑘 bilangan bulat}, dengan 𝑛 suatu bilangan bulat positif.

(5)

9

a. Terdapat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑛ℤ, maka 𝑥 = 𝑎𝑛, 𝑦 = 𝑏𝑛, dengan 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, sehingga 𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = (𝑎 + 𝑏)𝑛.

Karena 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, maka (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ, sehingga (𝑎 + 𝑏)𝑛 ∈ 𝑛ℤ, yaitu (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑛ℤ. Jadi operasi + pada 𝑛ℤ merupakan operasi biner.

b. Karena 𝑛ℤ ⊂ ℤ dan operasi + pada ℤ bersifat asosiatif dan komutatif, maka operasi + pada 𝑛ℤ juga bersifat asosiatif dan komutatif.

c. Elemen identitasnya adalah 0, sebab jika 𝑥 ∈ 𝑛ℤ, maka 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥.

d. Invers dari setiap elemennya adalah negatif dari elemen tersebut yakni jika 𝑥 ∈ 𝑛ℤ maka inversnya adalah −𝑥 ∈ 𝑛ℤ, sehingga

𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0.

1. Subgrup

Subgrup yang terdapat di dalam struktur grup didefinisikan oleh Gallian (2010: 58) sebagai berikut,

Definisi 2.2.2. Gallian (2010: 58) Jika 𝐻 subhimpunan dari suatu grup 𝐺 sehingga 𝐻 merupakan suatu grup dengan operasi yang bersesuaian dengan 𝐺, maka 𝐻 disebut sebagai subgrup dari 𝐺.

Untuk lebih jelas, diberikan contoh subgrup sebagai berikut.

Contoh 2.2.5. Subgrup yaitu (ℤ, +) merupakan grup bilangan bulat dengan penjumlahan. Jika 5ℤ = {5𝑛 |𝑛 ∈ ℤ}, yaitu himpunan semua bilangan bulat

□

(6)

10

kelipatan 5, maka (5ℤ, +) adalah suatu grup. Kerana 5ℤ ⊂ ℤ, maka 5ℤ subgrup

dari ℤ. □

2. Sifat-Sifat Grup

Merujuk pada tulisan Gallian (2010: 48-50), sifat-sifat dari struktur aljabar grup sebagai berikut. Pada Teorema 2.2.1. dinyatakan bahwa grup hanya memiliki satu elemen identitas.

Teorema 2.2.1. Gallian (2010: 48) Dalam suatu grup 𝐺 hanya ada satu elemen identitas.

Diberikan teorema berikut yang menyatakan hukum kanselasi oleh Gallian (2010: 48).

Teorema 2.2.2. Gallian (2010: 48) Dalam suatu grup 𝐺 berlaku hukum kanselasi kiri dan kanan; yakni jika 𝑏𝑎 = 𝑐𝑎 maka 𝑏 = 𝑐, jika 𝑎𝑏 = 𝑎𝑐, maka 𝑏 = 𝑐.

Mengenai ketunggalan invers dari elemen-elemen dalam grup diberikan teorema berikut oleh Gallian (2010: 49).

Teorema 2.2.3. Gallian (2010: 49) Untuk sebarang elemen 𝑎 dalam grup 𝐺, terdapat elemen tunggal 𝑏 dalam 𝐺 sedemikian sehingga 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 𝑒.

3. Subgrup Normal

Subgrup Normal didefinisikan menurut Gallian (2010: 178) sebagai berikut.

(7)

11

Definisi 2.2.3. Gallian (2010: 178) Subgrup 𝐻 dari grup 𝐺 disebut sebagai subgrup normal dari 𝐺 jika 𝑎𝐻 = 𝐻𝑎, untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐺, yang dinotasikan oleh 𝐻 ⊲ 𝐺.

Berdasarkan definisi diberikan contoh subgrup normal sebagai berikut.

Contoh 2.2.6. Misalkan 𝑆₃ = { (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}

merupakan grup simetri tingkat 3. 𝑁 = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} adalah subgrup dari 𝑆₃. Untuk menunjukkan bahwa 𝑁 merupakan subgrup normal dari 𝑆₃ maka harus memenuhi 𝑎𝑁 = 𝑁𝑎, untuk setiap 𝑎 anggota 𝑆₃.

(1)𝑁 = {(1 2), (1 3), (2 3)}

(1 2)𝑁 = {(1 2), (2 3), (1 3)}

(1 3)𝑁 = {(1 2), (2 3), (1 3)}

(2 3)𝑁 = {(1 2), (2 3), (1 3)}

(1 2 3)𝑁 = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}

(1 3 2)𝑁 = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}

𝑁(1) = {(1 2), (1 3), (2 3)}

𝑁(1 2) = {(1 2), (2 3), (1 3)}

𝑁(1 3) = {(1 2), (2 3), (1 3)}

𝑁(2 3) = {(1 2), (2 3), (1 3)}

𝑁(1 2 3) = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}

𝑁(1 3 2) = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}

Jadi 𝑁 merupakan subgrup normal dari 𝑆₃. □

(8)

12 4. Grup Faktor

Menurut Gallian (2010: 180) grup faktor didefinisikan berikut.

Definisi 2.2.4. Gallian (2010: 180) Misalkan 𝐺 grup dan 𝐻 subgrup normal dari 𝐺. Himpunan 𝐺 𝐻⁄ = { 𝑎𝐻 | 𝑎 ∈ 𝐺} adalah grup atas operasi (𝑎𝐻)(𝑏𝐻) = 𝑎𝑏𝐻.

Berdasarkan Definisi 2.2.4. di atas, berikut diberikan contoh subgrup normal.

Contoh 2.2.7. Misalkan 𝑈(11) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan × modulo 11 adalah suatu grup abelian. 𝑁 = {1, 10} suatu subgrup normal dari 𝑈(11).

1𝑁 = {1, 10} = 𝑁 = 10𝑁 2𝑁 = {2, 9} = 9𝑁 3𝑁 = {3, 8} = 8𝑁 4𝑁 = {4, 7} = 7𝑁 5𝑁 = {5, 6} = 6𝑁, Jadi grup faktor 𝑈(11) oleh 𝑁 adalah 𝑈(11)

⁄ = { 𝑁1, 𝑁2, 𝑁3, 𝑁4, 𝑁5}. □ 𝑁

5. Homomorfisme Grup

Selain subgrup, terdapat pula homomorfisme pada struktur grup. Menurut Gallian (2010: 200) homomorfisme grup didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.2.5. Gallian (2010: 200) Suatu homomorfisme 𝜙 dari suatu grup 𝐺 ke grup 𝐺̅ merupakan pemetaan dari 𝐺 ke 𝐺̅ yang melanggengkan operasi grup. Hal tersebut menunjukkan bahwa 𝜙(𝑎𝑏) = 𝜙(𝑎)𝜙(𝑏), ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺.

(9)

13

Misalkan (𝐺,∗) dan (𝐺₁,∗₁) merupakan grup dan 𝑓 merupakan fungsi yang memetakan 𝐺 ke 𝐺₁. 𝑓 disebut sebagai sebuah homomorfisme dari 𝐺 ke 𝐺₁ jika untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺,

𝑓(𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑓(𝑎) ∗₁𝑓(𝑏).

Galian (2010: 200) mendefinisikan mengenai kernel dari suatu homomorfisme sebagai berikut.

Definisi 2.2.6. Gallian (2010: 200) Kernel dari suatu homomorfisme 𝜙 dari grup 𝐺 ke grup dengan elemen identitas 𝑒 adalah himpunan {𝑥 ∈ 𝐺|𝜙(𝑥) = 𝑒}. Kernel dari 𝜙 dinotasikan sebagai Ker 𝜙.

Sifat-sifat dari homomorfisme suatu grup yang berkaitan dengan kernel ditunjukkan oleh (Gallian, 2010: 202) pada teorema berikut.

Teorema 2.2.5. Gallian (2010: 202), Misalkan 𝜙 suatu homomorfisme dari grup 𝐺 ke 𝐺̅ dan terdapat 𝑔 anggota dari 𝐺. Maka,

1. 𝜙 membawa identitas dari 𝐺 ke 𝐺.̅

2. 𝜙(𝑔^𝑛) = (𝜙(𝑔))^𝑛 untuk setiap bilangan bulat 𝑛.

3. Jika |𝑔| terbatas, maka |𝜙(𝑔)| membagi habis |𝑔|.

4. 𝐾𝑒𝑟 𝜙 adalah subgrup dari 𝐺.

5. 𝜙(𝑎) = 𝜙(𝑏), jika dan hanya jika 𝑎 𝐾𝑒𝑟 𝜙 = 𝑏 𝐾𝑒𝑟 𝜙.

6. Jika 𝜙(𝑔) = 𝑔^′, maka 𝜙⁻¹(𝑔^′) = {𝑥 ∈ 𝐺|𝜙(𝑥) = 𝑔^′} = 𝑔 𝐾𝑒𝑟 𝜙.

Untuk lebih jelas mengenai homomorfisme grup, diberikan contoh mengenai homomorfisme berikut.

(10)

14

Contoh 2.2.8. Misalkan (ℤ, +) adalah grup bilangan bulat dengan penjumlahan aritmetik dan ℤ_𝑛 = {[0], [1], [2], … , [𝑛 − 1]} dengan penjumlahan (+) modulo 𝑛.

Pemetaan 𝜙: ℤ → ℤ_𝑛 didefinisikan oleh 𝜙(𝑚) = [𝑚], ∀𝑚 ∈ ℤ. Apabila 𝑚, 𝑟 ∈ ℤ, maka 𝜙(𝑚) = [𝑚], 𝜙(𝑟) = [𝑟] dan (𝑚 + 𝑟) ∈ ℤ, sehingga

𝜙(𝑚 + 𝑟) = [𝑚 + 𝑟] = [𝑚] + [𝑟] = 𝜙(𝑚) + 𝜙(𝑟).

Jadi, 𝜙 merupakan suatu homomorfisme dari ℤ ke ℤ_𝑛. □

Teorema pertama isomorfisme grup menurut Gallian (2010: 207).

Teorema 2.2.6. Gallian (2010: 207) Misalkan 𝜙 merupakan homomorfisme dari grup 𝐺 ke 𝐺̅. Maka pemetaan dari 𝐺/𝐾𝑒𝑟 𝜙 ke 𝜙(𝐺), diberikan oleh 𝑔𝐾𝑒𝑟 𝜙 → 𝜙(𝑔), adalah suatu isomorfisme yang ditulis sebagai,

𝐺⁄𝐾𝑒𝑟 𝜙≈ 𝜙(𝐺).

C. Ring

Ring merupakan salah satu struktur aljabar yang menyertakan dua operasi biner. Merujuk dari tulisan Gallian ring didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.3.1. Gallian (2010: 237) Suatu himpunan 𝑅 tak kosong dengan dua operasi biner (penjumlahan + dan perkalian ×), sedemikian sehingga untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 dalam 𝑅 berlaku:

1. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.

2. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐).

(11)

15

3. Terdapat identitas penjumlahan yang disebut 0. Sehingga memenuhi 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 untuk setiap 𝑎 dalam 𝑅.

4. Terdapat elemen – 𝑎 dalam 𝑅 sedemikian sehingga 𝑎 + (−𝑎) = 0.

5. 𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑏)𝑐.

6. 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 dan (𝑏 + 𝑐)𝑎 = 𝑏𝑎 + 𝑐𝑎.

Dari Definisi 2.3.1. di atas, diberikan beberapa contoh ring berikut.

Contoh 2.3.1. Himpunan bilangan bulat (ℤ), himpunan bilangan rasional (ℚ), himpunan bilangan riil (ℝ), dan himpunan bilangan komplek (ℂ), dengan penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring. □

Contoh lain mengenai ring sebagai berikut.

Contoh 2.3.2. Jika 𝑛 ∈ ℤ, subhimpunan 𝑛ℤ = {𝑎 ∈ ℤ: 𝑛 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑎} dari bilangan bulat merupakan operasi tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian, yang jelas memenuhi aksioma ring, sehingga membentuk sebuah ring terhadap

dirinya sendiri. □

Contoh 2.3.3. ℤ₇ = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]} yaitu himpunan semua kelas bilangan bulat modulo 7. ℤ₇ dengan penjumlahan modulo 7 dan perkalian modulo 7 adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan [1]. Berikut ini tabel cayley penjumlahan dan perkalian dari ℤ₇.

(12)

16

Tabel 2. 1 Tabel Cayley penjumlahan dari ℤ_𝟕.

+7 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0]

[2] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1]

[3] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2]

[4] [4] [5] [6] [1] [2] [3] [4]

[5] [5] [6] [1] [2] [3] [4] [5]

[6] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5]

Tabel 2. 2 Tabel Cayley perkalian dari ℤ_𝟕.

×7 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]

[1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[2] [0] [2] [4] [6] [1] [3] [5]

[3] [0] [3] [6] [2] [5] [1] [4]

[4] [0] [4] [1] [5] [2] [6] [3]

[5] [0] [5] [3] [1] [6] [4] [2]

[6] [0] [6] [5] [4] [3] [2] [1]

Memperhatikan Tabel 2.1 dan Tabel 2.2, tampak sifat tertutup dari penjumlahan dan perkalian modulo 7 dipenuhi, dengan elemen identitasnya adalah [0], invers terhadap penjumlahan modulo 7 dari elemen-elemennya adalah negatifnya, yaitu – [0] = [0], −[1] = [6], −[2] = [5], −[3] = [3], −[4] = [3], −[5] = [2], −[6] = [1]. Karena tabel simetris terhadap diagonal utama maka penjumlahan modulo 7 maupun perkalian modulo 7 pada ℤ₇ bersifat komutatif. ℤ₇terhadap perkalian

(13)

17

modulo 7, bersifat tertutup dan invers dari setiap elemennya terhadap perkalian modulo 7, yaitu [1] − 1 = [1], [2] − 1 = [4], [3] − 1 = [5], [6] − 1 = [6].

Jadi ℤ₇ juga merupakan medan. □

Selain itu, terdapat juga ring komutatif seperti yang telah dicontohkan di atas, yakni suatu ring yang mempunyai sifat komutatif terhadap perkalian. Berikut didefinisikan oleh Musili (1992: 5) ring komutatif dan elemen satuan.

Definisi 2.3.2. Musili (1992: 5) Suatu ring dikatakan sebagai ring komutatif jika semi-grup (𝑅, ·) adalah komutatif yaitu 𝑎 . 𝑏 = 𝑏 . 𝑎 untuk semua 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅.

Lebih lanjut mengenai ring, diberikan Definisi 2.3.3. oleh Musili (1992: 5) mengenai elemen identitas perkalian dari ring.

Definisi 2.3.3. Musili (1992: 5) Jika semi-grup (𝑅, ·) mempunyai sebuah identitas yang tunggal dan dinotasikan sebagai 1R atau secara sederhana dilambangkan dengan 1 dan disebut sebagai elemen identitas perkalian atau unity dari R.

Definisi berikut diberikan oleh Musili (1992: 5) menjelaskan mengenai invers pada ring.

Definisi 2.3.4. Musili (1992: 5) Andaikan R merupakan ring dengan unity. Sebuah elemen 𝑢 ∈ 𝑅 dikatakan sebagai unit atau invertible jika terdapat 𝑣 ∈ 𝑅 sedemikian sehingga 𝑢𝑣 = 𝑣𝑢 = 1. Jika 𝑢 adalah sebuah unit, terdapat 𝑣 sedemikian 𝑢𝑣 = 𝑣𝑢 = 1 adalah tunggal dapat dinotasikan sebagai 𝑢⁻¹ dan disebut sebagai invers perkalian dari 𝑢.

(14)

18 1. Sifat-sifat Ring

Sifat-sifat ring yang terdapat pada Teorema 2.3.1. berikut membahas aturan perkalian pada ring.

Teorema 2.3.1. Gallian (2010: 239). Andaikan 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 elemen dari ring 𝑅. maka 1) 𝑎0 = 0𝑎 = 0

2) 𝑎(−𝑏) = (−𝑎)𝑏 = −(𝑎𝑏) 3) (−𝑎)(−𝑏) = 𝑎𝑏

4) 𝐴(𝑏 – 𝑐) = 𝑎𝑏 – 𝑎𝑐 𝑑𝑎𝑛 (𝑏 – 𝑐)𝑎 = 𝑏𝑎 – 𝑐𝑎.

Selain itu, jika 𝑅 memiliki elemen kesatuan 1, maka 5) (−1)𝑎 = −𝑎

6) (−1)(−1) = 1.

Teorema 2.3.2. berikut ini menjelaskan tentang ketunggalan dari elemen kesatuan dan invers dari ring oleh Gallian (2010: 240).

Teorema 2.3.2. Gallian (2010: 240). Jika suatu ring mempunyai elemen kesatuan, maka itu tunggal. Jika elemen suatu ring mempunyai invers perkalian, maka itu tunggal.

2. Subring

Di dalam struktur grup terdapat subgrup sedangkan pada struktur ring juga terdapat analogi dari subgrup yakni subring, berikut didefinisikan subring menurut Gallian (2010: 240).

(15)

19

Definisi 2.3.5. Gallian (2010: 240) Sebuah subhimpunan 𝑆 dari suatu ring 𝑅 adalah subring dari 𝑅 jika 𝑆 itu sendiri merupkan ring dengan operasi pada 𝑅.

Untuk menjamin suatu subring, diperlukan syarat cukup dan syarat perlu yang juga akan dipakai untuk membangun definisi dari ring fuzzy. Berikut ini teorema mengenai subring oleh Gallian (2010: 240).

Teorema 2.3.3. Gallian (2010: 240) Subhimpunan tak kosong 𝑆 dari ring 𝑅 adalah subring jika tertutup atas pengurangan dan perkalian, yakni jika (𝑎 − 𝑏) dan (𝑎𝑏) dalam 𝑆 bilamana 𝑎 dan 𝑏 di dalam 𝑆.

Mengenai definisi subring diberikan Contoh 2.3.4. sebagai berikut.

Contoh 2.3.4. Misalkan ℤ merupakan ring bilangan bulat dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik dan ℤ₂ adalah himpunan semua bilangan genap. ℤ₂ dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik merupakan suatu ring. Karena ℤ₂ subhimpunan dari ℤ maka ℤ₂ adalah subring dari ℤ. □

3. Ideal Ring

Ideal merupakan subring dengan sifat khusus seperti didefinisikan oleh Gallian (2010: 262).

Definisi 2.3.6. Gallian (2010: 262) Suatu subring 𝐴 dari ring 𝑅 disebut ideal kiri dan kanan dari 𝑅 jika untuk setiap 𝑟 ∈ 𝑅 dan setiap 𝑎 ∈ 𝐴 keduanya 𝑟𝑎 dan 𝑟𝑎 berada dalam 𝐴.

(16)

20

Jadi, suatu subring 𝐴 dari 𝑅 merupakan suatu ideal jika 𝐴 menyerap elemen dari 𝑅 yakni jika 𝑟𝐴 = {𝑟𝑎|𝑎 ∈ 𝐴} ⊆ 𝐴 dan 𝐴𝑟 = {𝑎𝑟|𝑎 ∈ 𝐴} ⊆ 𝐴 untuk setiap 𝑟 ∈ 𝑅. Diberikan teorema berikut yang menyatakan suatu ideal ring.

Teorema 2.3.4. Gallian (2010: 262) Suatu subhimpunan tak kosong 𝐴 dari ring 𝑅 adalah suatu ideal dari 𝑅 jika,

1. 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝐴 untuk 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴.

2. 𝑟𝑎 dan 𝑎𝑟 dalam 𝐴 untuk 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑟 ∈ 𝑅.

Dari Definisi 2.3.6. dan Teorema 2.3.4. diberikan contoh ideal ring berikut.

Contoh 2.3.5. Misalkan ℤ merupakan ring bilangan bulat dan 𝐵 adalah himpunan semua bilangan genap. 𝐵 merupakan subring dari ℤ dan 𝐵 adalah ideal kiri dan ideal kanan dari ℤ sehingga 𝐵 adalah ideal dari ℤ. □

4. Ring Faktor

Selain ideal juga terdapat ring faktor yang merupakan analogi dengan grup faktor pada struktur aljabar grup, diberikan teorema oleh Gallian (2010: 264) sebagai berikut:

Teorema 2.3.5. Gallian (2010: 264) Misalkan 𝑅 ring dan 𝐴 subring dari 𝑅.

Himpunan dari koset {𝑟 + 𝐴|𝑟 ∈ 𝑅} adalah ring atas operasi (𝑠 + 𝐴) + (𝑡 + 𝐴) = 𝑠 + 𝑡 + 𝐴 dan (𝑠 + 𝐴)(𝑡 + 𝐴) = 𝑠𝑡 + 𝐴 jika dan hanya jika 𝐴 adalah ideal dari 𝑅.

Untuk mengetahui lebih lanjut mengenai ring faktor, diberikan Contoh 2.3.6. berikut.

(17)

21

Contoh 2.3.6. Misalkan ℤ adalah ring bilangan bulat dan 𝑀 adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan 5. 𝑀 adalah ideal dari ℤ, sehingga koset-koset dari 𝑀 dalam ℤ adalah:

𝑀 + 1 = {… , −9, −4, 1, 6, 11, … } = 𝑀 + 6 = 𝑀 − 4 = ⋯ 𝑀 + 2 = {… , −8, −3, 2, 7, 12, … } = 𝑀 + 7 = 𝑀 − 3 = ⋯ 𝑀 + 3 = {… , −7, −2, 3, 8, 13, … } = 𝑀 + 8 = 𝑀 − 2 = ⋯ 𝑀 + 4 = {… , −6, −1, 4, 9, 14, … } = 𝑀 + 9 = 𝑀 − 1 = ⋯ 𝑀 + 0 = {… , −10, −5, 0, 5, 10, … } = 𝑀 + 5 = 𝑀 + 10 = ⋯

Diperoleh, ring faktor dari 𝑀 dalam ℤ adalah {𝑀, 𝑀 + 1, 𝑀 + 2, 𝑀 + 3, 𝑀 + 4}.□

5. Homomorfisme Ring

Homomorfisme ring merupakan peluasan dari konsep homomorfisme grup yang didefinisikan oleh Gallian (2010: 280) sebagai berikut.

Definisi 2.3.8. Gallian (2010: 280) Suatu homomorfisme ring 𝜙 dari ring R ke ring S adalah pemetaan dari R ke S yang melanggengkan dua operasi ring; yakni untuk setiap a, b dalam R,

𝜙(𝑎 + 𝑏) = 𝜙(𝑎) + 𝜙(𝑏) 𝑑𝑎𝑛 𝜙(𝑎𝑏) = 𝜙(𝑎)𝜙(𝑏).

Homomorfisme ring yang keduanya bersifat satu-satu dan onto disebut isomorfisme ring.

Diberikan Contoh 2.3.7. mengenai homomorfisme ring sebagai berikut.

Contoh 2.3.7. Koresponden 𝜙: 𝑥 → 5𝑥 dari 𝑍₄ dan 𝑍₁₀ merupakan homomorfisme ring ditunjukkan sebagai berikut.

(18)

22

𝑥 + 𝑦 = 4𝑞₁+ 𝑟₁ dan 𝑥𝑦 = 4𝑞₂+ 𝑟₂. Dengan 0 ≤ 𝑟₁ < 4 dan 0 ≤ 𝑟₂ < 4. Maka,

𝜙(𝑥 + 𝑦) = 𝜙(𝑟₁)

= 5𝑟₁

= 5(𝑥 + 𝑦 − 4𝑞₁)

= 5𝑥 + 5𝑦 − 20𝑞₁

= 5𝑥 + 5𝑦

= 𝜙(𝑥) + (𝑦) dalam 𝑍_10.

Menggunakan 5 . 5 = 5 dalam 𝑍₁₀ diperoleh, 𝜙(𝑥𝑦) = 𝜙(𝑟₂)

= 5𝑟₂

= 5(𝑥𝑦 − 4𝑞₂)

= 5𝑥𝑦 − 20𝑞₂

= (5 . 5)𝑥𝑦

= 5𝑥5𝑦

= 𝜙(𝑥)𝜙(𝑦) dalam 𝑍₁₀. □

D. Grup Fuzzy

Merujuk pada tulisan Ajmal (1994), Kandasamy (2003) dan Karyati (2015) mengenai grup fuzzy dan semigrup fuzzy yang merupakan pemetaan dari suatu grup ke interval [0,1]. Didefinisikan grup fuzzy sebagai berikut.

(19)

23

Definisi 2.4.1. Ajmal (1994: 330) Misalkan 𝐺 merupakan suatu grup.

Subhimpunan fuzzy 𝜇 dari 𝐺 disebut subgrup fuzzy dari 𝐺 jika ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺, i. 𝜇(𝑥𝑦) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)},

ii. 𝜇(𝑥⁻¹) ≥ 𝜇(𝑥).

Untuk jelas mengenai Definisi 2.4.1. diberikan contoh grup fuzzy sebagai berikut.

Contoh 2.4.1. Himpunan bilangan bulat modulo 6 (ℤ₆) terhadap operasi penjumlahan modulo 6 merupakan suatu grup yang ditunjukkan oleh tabel cayley 2.3 berikut.

Tabel 2. 3 Tabel Cayley penjumlahan dari ℤ_𝟔.

+₆ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

Dari Tabel 2.3. disimpulkan bahwa:

i. Operasi biner +₆ bersifat asosiatif karena memenuhi (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ₆.

ii. Elemen identitasnya yakni 0.

(20)

24

iii. Setiap elemen ℤ₆ mempunyai invers di dalamnya. 0⁻¹ = 0, 1⁻¹ = 5, 2⁻¹= 4, 3⁻¹ = 3, 4⁻¹= 2, 5⁻¹ = 1.

Kemudian didefinisikan pemetaan 𝜇 terhadap ℤ₆ yakni,

𝜇(𝑥) = {

2

3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 1, 3, 5,

3

4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 0, 2, 4.

Terlihat bahwa setiap elemen ℤ₆ dipetakan tepat satu elemen pada interval [0,1].

Sehingga 𝜇 merupakan pemetaan. Akan ditunjukkan bahwa 𝜇 grup fuzzy dari ℤ₆ yaitu memenuhi aksioma berikut:

i. 𝜇(𝑥𝑦) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)},

Untuk membuktikan aksioma ini, maka harus ditunjukkan berlaku untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ₆, sehingga harus diuji berlaku untuk setiap kemungkiunan yang terjadi. Kemungkinan Misalkan 𝑃 = {0, 2, 4} dan 𝑄 = {1, 3, 5}, kemungkinan- kemungkinan yang terjadi sebagai berikut:

a. Untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝑃 dan 𝑦 ∈ 𝑄 maka, min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)} = min {³

4,²

3} =²

3. Karena (𝑥𝑦) ∈ 𝑄 dan (𝑥𝑦) ∈ 𝑃

𝜇(𝑥𝑦) =²

3 dan 𝜇(𝑥𝑦) =³

4. Dengan demikian dipenuhi 𝜇(𝑥𝑦) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)}.

b. Untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝑄 dan 𝑦 ∈ 𝑃 maka, min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)} = min {²

3,³

4} =²

3. Karena (𝑥𝑦) ∈ 𝑄 dan (𝑥𝑦) ∈ 𝑃

(21)

25 𝜇(𝑥𝑦) =²

3 dan 𝜇(𝑥𝑦) =³

4. Dengan demikian dipenuhi 𝜇(𝑥𝑦) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)}.

c. Untuk sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑃 maka,

min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)} = min {³

4,³

4} =³

4. Karena (𝑥𝑦) ∈ 𝑃

𝜇(𝑥𝑦) =³

4.

Dengan demikian dipenuhi 𝜇(𝑥𝑦) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)}.

d. Untuk sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄 maka,

min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)} = min {²

3,²

3} =²

3. Karena (𝑥𝑦) ∈ 𝑃

𝜇(𝑥𝑦) =³

4.

Dengan demikian dipenuhi 𝜇(𝑥𝑦) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)}.

Berdasarkan bukti di atas, dipenuhi aksioma pertama grup fuzzy sehingga 𝜇 merupakan grup fuzzy dari ℤ₆.

ii. 𝜇(𝑥⁻¹) ≥ 𝜇(𝑥).

Bukti aksioma kedua ditunjukkan sebagai berikut:

a. Untuk 𝑥 = 0 maka,

𝜇(0⁻¹) = 𝜇(0) =³

4= 𝜇(0).

Dengan demikian dipenuhi 𝜇(0⁻¹) ≥ 𝜇(0).

b. Untuk 𝑥 = 1 maka,

(22)

26

𝜇(1⁻¹) = 𝜇(5) =²₃= 𝜇(1).

c. Untuk 𝑥 = 2 maka,

𝜇(2⁻¹) = 𝜇(4) =³₄= 𝜇(2).

d. Untuk 𝑥 = 3 maka,

𝜇(3⁻¹) = 𝜇(3) =²₃= 𝜇(3).

e. Untuk 𝑥 = 4 maka,

𝜇(4⁻¹) = 𝜇(2) =³₄= 𝜇(4).

f. Untuk 𝑥 = 5 maka,

𝜇(5⁻¹) = 𝜇(1) =²₃= 𝜇(5).

Berdasarkan bukti di atas, dipenuhi aksioma kedua grup fuzzy sehingga 𝜇

merupakan grup fuzzy dari ℤ₆. □

Struktur aljabar grup mengenal istilah subgrup normal, pada grup fuzzy diberikan definisi normal grup fuzzy sebagai berikut.

Definisi 2.4.2. Kandasamy (2003: 11) Misalkan G Grup. Suatu subgrup fuzzy 𝜇 dari G disebut normal jika 𝜇(𝑥) = 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺.

(23)

27

Untuk memperjelas Definisi 2.4.2. tersebut, diberikan contoh sebagai berikut:

Contoh 2.4.2. Diberikan grup ℤ₆ dan pemetaan 𝜇 seperti dalam Contoh 2.4.1..

Akan ditunjukkan 𝜇 merupakan normal fuzzy untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ₆ dengan memperhatikan setiap kemungkinan yang terjadi, yaitu:

i. Untuk 𝑥 = 0 sehingga 𝜇(𝑥) = 𝜇(0) = ³

4, akan ditunjukkan 𝜇(𝑥) = 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦).

𝑦 = 1 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(5 + 0 + 1) = 𝜇(0) =³

4= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 2 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(4 + 0 + 2) = 𝜇(0) =³

4= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 3 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(3 + 0 + 3) = 𝜇(0) =³

4= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 4 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(2 + 0 + 4) = 𝜇(0) =³

4= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 5 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(1 + 0 + 5) = 𝜇(0) =³

4= 𝜇(𝑥).

ii. Untuk 𝑥 = 1 sehingga 𝜇(𝑥) = 𝜇(1) = ²

𝑦 = 0 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(0 + 1 + 0) = 𝜇(1) =²

3= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 2 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(4 + 1 + 2) = 𝜇(1) =²

3= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 3 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(3 + 1 + 3) = 𝜇(1) =²

3= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 4 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(2 + 1 + 4) = 𝜇(1) =²

3= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 5 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(1 + 1 + 5) = 𝜇(1) =²

3= 𝜇(𝑥).

iii. Untuk 𝑥 = 2 sehingga 𝜇(𝑥) = 𝜇(2) = ³

𝑦 = 0 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(0 + 2 + 0) = 𝜇(2) =³

4= 𝜇(𝑥).

(24)

28

𝑦 = 1 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(5 + 2 + 1) = 𝜇(2) =³

4= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 3 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(3 + 2 + 3) = 𝜇(2) =³

4= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 4 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(2 + 2 + 4) = 𝜇(2) =³

4= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 5 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(1 + 2 + 5) = 𝜇(2) =³

4= 𝜇(𝑥).

iv. Untuk 𝑥 = 3 sehingga 𝜇(𝑥) = 𝜇(3) = ²

𝑦 = 0 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(0 + 3 + 0) = 𝜇(3) =²

3= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 1 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(5 + 3 + 1) = 𝜇(3) =²

3= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 2 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(4 + 3 + 2) = 𝜇(3) =²

3= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 4 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(2 + 3 + 4) = 𝜇(3) =²

3= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 5 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(1 + 3 + 5) = 𝜇(3) =²

3= 𝜇(𝑥).

v. Untuk 𝑥 = 4 sehingga 𝜇(𝑥) = 𝜇(4) = ³

𝑦 = 0 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(0 + 4 + 0) = 𝜇(4) =³

4= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 1 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(5 + 4 + 1) = 𝜇(4) =³

4= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 2 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(4 + 4 + 2) = 𝜇(4) =³

4= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 3 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(3 + 4 + 3) = 𝜇(4) =³

4= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 5 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(1 + 4 + 5) = 𝜇(4) =³

4= 𝜇(𝑥).

vi. Untuk 𝑥 = 5 sehingga 𝜇(𝑥) = 𝜇(5) = ²

𝑦 = 0 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(0 + 5 + 0) = 𝜇(5) =²

3= 𝜇(𝑥).

(25)

29

𝑦 = 1 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(5 + 5 + 1) = 𝜇(5) =²

3= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 2 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(4 + 5 + 2) = 𝜇(5) =²

3= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 3 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(3 + 5 + 3) = 𝜇(5) =²

3= 𝜇(𝑥).

𝑦 = 4 berlaku 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦) = 𝜇(2 + 5 + 4) = 𝜇(5) =²

3= 𝜇(𝑥).

Berdasarkan bukti di atas untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ₆ memenuhi 𝜇(𝑥) = 𝜇(𝑦⁻¹𝑥𝑦)

sehingga 𝜇 merupakan normal. □

Lebih lanjut secara sederhana dijelaskan oleh Ajmal (1994: 330) mengenai normal. Misalkan elemen identitas dari 𝐺 adalah 𝑒, jika 𝜇(𝑒) = 𝑡, dan 𝜇 disebut normal jika 𝜇(𝑥𝑦) = 𝜇(𝑦𝑥) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺. Selain itu, pada penelitian ini juga digunakan konsep pembuktian menggunakan subhimpunan level 𝜇_𝑡 maupun subhimpunan level kuat 𝜇_𝑡^> yang didefinisikan oleh Ajmal (1993: 330) sebagai berikut.

Definisi 2.4.3. Ajmal (1994: 330) Misalkan 𝜇 merupakan himpunan fuzzy dalam himpunan 𝑆 dan 𝑡 ∈ [0,1]. Maka, subhimpunan level (𝜇_𝑡) dan subhimpunan level kuat (𝜇_𝑡^>) dari 𝜇 didefinisikan,

i. 𝜇_𝑡= {𝑥 ∈ 𝑆 |𝜇(𝑥) ≥ 𝑡}, ii. 𝜇_𝑡^> = {𝑥 ∈ 𝑆 |𝜇(𝑥) > 𝑡}.

Guna memperjelas Definisi 2.4.3. diberikan contoh subhimpunan level dan subhimpunan level kuat sebagai berikut:

(26)

30

Contoh 2.4.3. Misalkan 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} dan himpunan fuzzy 𝜇 memetakan 𝐴 ke interval [0, 1] yang didefinisikan sebagai 𝜇(𝑥) =^2𝑥

10 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐴. Sehingga diperoleh derajat keanggotaan dari elemen-elemen 𝐴 sebagai berikut:

i. Untuk 𝑥 = 1, diperoleh 𝜇(1) =^2.1

10 = ²

10. ii. Untuk 𝑥 = 2, diperoleh 𝜇(1) =^2.2

10 = ⁴

10. iii. Untuk 𝑥 = 3, diperoleh 𝜇(1) =^2.3

10 = ⁶

10. iv. Untuk 𝑥 = 4, diperoleh 𝜇(1) =^2.4

10 = ⁸

10. v. Untuk 𝑥 = 5, diperoleh 𝜇(1) =^2.5

10 = ¹⁰

10= 1.

Ditunjukkan subhimpunan level 𝜇_𝑡 dan subhimpunan level kuat 𝜇_𝑡^> dari himpunan fuzzy 𝜇 dengan 𝑡 = ⁴

10, yaitu 𝜇⁴

10

= {𝑥 ∈ 𝐴 | 𝜇(𝑥) ≥ ⁴

10} = {2, 3, 4, 5} subhimpunan level, sedangkan subhimpunan level kuat 𝜇4

10

> = {𝑥 ∈ 𝐴 | 𝜇(𝑥) > ⁴

10} = {3, 4, 5}.

Dalam hal ini berlaku 𝜇4 10

> ⊆ 𝜇⁴

10

. □

Penyelidikan mengenai sifat-sifat ring fuzzy juga dilakukan dengan memanfaatkan peta dan pra-peta homomorfisme. Definisi mengenai pemetaan yang digunakan oleh Ajmal (1994: 330) dalam grup fuzzy tidak jauh berbeda dengan yang akan digunakan pada penelitian ring fuzzy, yakni hanya pada struktur yang digunakan.

(27)

31

Definisi 2.4.4. Ajmal (1994: 330) Misalkan 𝑓 pemetaan dari grup 𝐺 ke grup 𝐺^′, 𝜇 dan 𝜂 masing-masing merupakan himpunan fuzzy dari grup 𝐺 dan grup 𝐺′. Peta homomorfis 𝑓(𝜇) didefinisikan untuk setiap 𝑦 ∈ 𝐺^′ berlaku:

𝑓(𝜇)(𝑦) = { sup

𝑥∈𝑓⁻¹(𝑦)

𝜇(𝑥) 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓⁻¹(𝑦) ≠ 0, 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓⁻¹(𝑦) = 0, Prapeta dari 𝑓⁻¹(𝜂) didefinisikan untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 berlaku:

𝑓⁻¹(𝜂)(𝑥) = 𝜂(𝑓(𝑥)), 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ∈ 𝐺.

Guna memperjelas definisi Definisi 2.4.4. di atas, diberikan contoh sebagai berikut:

Contoh 2.4.4. Misalkan dibentuk pemetaan 𝑓: ℤ₄ → ℤ₄ yang didefinisikan sebagai 𝑓(𝑥) = 2𝑥. Didefinisikan 𝛼 subhimpunan fuzzy dari ℤ₄ sebagai berikut:

𝛼 = {

3

4, 𝑥 = 1

4

5, 𝑥 = 2

5

6, 𝑥 = 0,3,

dengan demikian yang dimaksud dengan 𝑓(𝛼)(𝑥) adalah:

a. Untuk 𝑦 = 0, berlaku

𝑓(𝛼)(1) = sup

𝑥∈𝑓⁻¹{𝜇(𝑥)},

= sup

{0,2}⊆𝑓⁻¹{𝜇(0), 𝜇(2)}

= sup

{0,2}⊆𝑓⁻¹

{⁵

6,⁴

5}

=⁵

6.

(28)

32

b. Untuk 𝑦 = 1, berlaku 𝑓(𝛼)(1) = 0 karena 𝑓⁻¹(1) = ∅.

c. Untuk 𝑦 = 2, berlaku

𝑓(𝛼)(2) = sup

𝑥∈𝑓⁻¹

{𝜇(𝑥)},

= sup

{1,3}⊆𝑓⁻¹{𝜇(1), 𝜇(3)}

= sup

{1,3}⊆𝑓⁻¹

{³

4,⁵

6}

=⁵

6.

d. Untuk 𝑦 = 3, berlaku 𝑓(𝛼)(3) = 0 karena 𝑓⁻¹(1) = ∅.

Selanjutnya didefinisikan 𝛽 subhimpunan fuzzy dari ℤ₄ sebagai berikut:

𝛽 = {

3

7, 𝑥 = 0, 3

5

6, 𝑥 = 1,2

Sehingga untuk 𝑓⁻¹(𝛽)(𝑦) = 𝛽(𝑓(𝑥)) diperoleh sebagai berikut:

a. Untuk 𝑥 = 0, berlaku:

𝑓⁻¹(𝛽)(0) = 𝛽(𝑓(0)) = 𝛽(0) =³

7. b. Untuk 𝑥 = 1, berlaku:

𝑓⁻¹(𝛽)(1) = 𝛽(𝑓(1)) = 𝛽(2) =⁵

6. c. Untuk 𝑥 = 2, berlaku:

𝑓⁻¹(𝛽)(2) = 𝛽(𝑓(2)) = 𝛽(0) =³₇. d. Untuk 𝑥 = 3, berlaku:

𝑓⁻¹(𝛽)(3) = 𝛽(𝑓(3)) = 𝛽(2) =⁵

6. □

(29)

33

Beberapa sifat-sifat dalam grup fuzzy yang telah dibuktikan oleh Ajmal (1993: 331). Proposisi 2.4.1. dibuktikan oleh Ajmal (1994: 331) dengan memanfaatkan subhimpunan level.

Proposisi 2.4.1. Ajmal (1994: 331) Misalkan 𝜇 merupakan himpunan fuzzy dalam grup 𝐺. Maka, 𝜇 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺 jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level tak kosong dari 𝜇 adalah subgrup dari 𝐺.

Sebagai akibat dari Proposisi 2.4.1. diperoleh Proposisi 2.4.2. yang dibuktikan oleh Ajmal (1994: 331) dengan menggunakan definisi subhimpunan level.

Proposisi 2.4.2. Ajmal (1994: 331) Misalkan 𝜇 merupakan himpunan fuzzy dalam grup 𝐺. Maka, 𝜇 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺 jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level 𝜇_𝑡 untuk 𝑡 ∈ 𝐼𝑚 𝜇 adalah subgrup dari 𝐺.

Selain sifat pada grup fuzzy, Ajmal (1994: 332) juga menyelidiki mengenai sifat dari subgrup normal fuzzy, sehingga diperoleh Proposisi 2.4.3.. Pembuktian yang dilakukan juga dengan memanfaatkan sifat dari subhimpunan level.

Proposisi 2.4.3. Ajmal (1994: 332) Subgrup fuzzy 𝜇 dari 𝐺 adalah suatu normal jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level tak kosong 𝜇_𝑡 adalah subgrup normal dari 𝐺.

Proposisi 2.4.3. memberikan akibat pada Proposisi 2.4.4. sehingga berlaku sebagai berikut:

(30)

34

Proposisi 2.4.4. Ajmal (1994: 332) Subgrup fuzzy 𝜇 dari 𝐺 adalah normal fuzzy jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level 𝜇_𝑡 untuk 𝑡 ∈ 𝐼𝑚 𝜇 adalah subgrup normal dari G.