HASIL WORKSHOP PLPG TAHUN 2016 PERANGKAT PEMBELAJARAN

(1)

HASIL WORKSHOP PLPG TAHUN 2016 PERANGKAT PEMBELAJARAN

INDUKSI MATEMATIKA

M. RIDWAN AZIZ

NOPES: 16110118010191

SMA NEGERI 2 UNGGUL SEKAYU

2016

(2)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Sekolah : SMAN 2 Unggul Sekayu Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Semester : XI / Satu

Materi Pokok : Induksi Matematika Alokasi Waktu : 1 x 35 menit

A. KOMPETENSI INTI

KI 3 : Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah

KI 4 : Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan

B. KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika

3.1.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan dengan induksi matematika.

4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian

4.1.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan

C. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah mengikuti pembelajaran dengan metode Discovery Learning, peserta didik dapat:

1. Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan dengan induksi matematika.

2. Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan

D. MATERI PEMBELAJARAN - Prinsip Induksi Matematis

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan dimana kebenarannya ditentukan oleh nilai n. Jika P(n) memenuhi dua sifat berikut.

1. P(n) itu benar untuk n = 1

2. Untuk setiap bilangan asli k, jika P(k) bernilai benar maka P( k + 1 ) juga bernilai benar.

Maka P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.

- Prinsip Induksi Matematis yang diperluas

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan dimana kebenarannya ditentukan oleh nilai n. Jika P(n) memenuhi dua sifat berikut.

1. P(n) itu benar untuk n = m

2. Untuk setiap bilangan asli k ≥ m, jika P(k) bernilai benar maka P( k + 1 ) juga bernilai benar.

Maka P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli yang lebih atau sama dengan n.

E. METODE PEMBELAJARAN

Model pembelajaran : Problem Based Learning

Metode Pembelajaran : diskusi, demonstrasi, tanya jawab, dan presentasi

(3)

F. KEGIATAN PEMBELAJARAN

Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi

Waktu Pendahuluan 1. Guru membuka pelajaran dengan memberika salam dan

mengabsensi siswa.

2. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran yang akan dicapai yaitu peserta didik dapat menguji pernyataan matematis dalam bentuk barisan.

3. Guru memberi gambaran tentang pentingnya memahami prinsip induksi matematika dan penerapannya dalam melatih berpikir sistematis.

4. Sebagai apersepsi siswa diingatkan kembali tentang rumus jumlah deret aritmatika 1+2+3+…+n=^{𝑛 (𝑛+1)}

2 . Peserta didik diminta untuk menanyakan hal-hal yang belum diketahui.

5. Guru menyampaikan evaluasi proses belajar yaitu akan ada kuis di akhir pembelajaran dan pemberian bintang emas bagi siswa yang aktif.

6. Guru menjelaskan aktivitas yang akan dilakukan siswa yaitu secara berkelompok menemukan prinsip induksi matematika.

7. Guru membagi kelompok masing-masing terdiri dari 3 orang.

5 menit

Inti SINTAKS KEGIATAN PEMBELAJARAN 25 menit

Tahap 1

Orientasi terhadap masalah

1. Guru memberikan suatu permasalahan dalam bentuk pernyataan kontekstual tentang fenomena alam atau lingkungan. Siswa diminta mengamati dan menyebutkan hal-hal yang mengarah ke suatu pembuktian

pernyataan tersebut (proses penalaran deduktif ) dan sebaliknya dari kasus-kasus tersebut,apakah valid untuk menyimpulkan kebenaran pernyataan dimaksud?(proses penalaran induktif )

2. Dengan berkelompok siswa diminta untuk mengamati dan menyelidiki beberapa pernyataan matematik (dalam LKPD), proses penalaran deduktif, dan sebaliknya dari kasus- kasus tersebut, apakah sudah dapat membuktikan dan menyimpulkan kebenaran dari pernyataan dimaksud (proses penalaran induktif )

Tahap 2

Organisasi belajar

Menanya :

Dengan diskusi kelompok, siswa diminta untuk menuliskan pertanyaan yang diharapkan muncul berkenaan dengan induksi matematis (dalam LKPD)

Tahap 3 Penyelidikan individual maupun kelompok

Mengumpulkan informasi

Dengan berdiskusi kelompok siswa menggali informasi bagaimana induksi matematis

digunakan dalam pembuktian matematis (dalam LKPD)

Tahap 4 Pengembangan dan penyajian hasil penyelesaian masalah.

Mengasosiasikan

Dengan penalaran deduktif (prinsip induksi matematis), dengan diskusi kelompok siswa di ajak untuk menalar, apakah pernyataan P(n) yang berkenaan dengan semua bilangan asli n, jika memenuhi dua sifat P(1) benar dan Untuk setiap bilangan asli k,jika P(k) benar maka P(k+1) juga

(4)

benar, sudah dapat untuk menyimpulkan P(n) tersebut ? (dalam LKPD)

Mengkomunikasikan

Perwakilan dari salah satu kelompok diminta untuk mempresentasikan hasilnya di depan kelas dan kelompok lainnya dipersilahkan untuk

membandingkan hasil diskusinya. (dalam LKPD) Tahap 5

Analisis dan evaluasi proses penyelesaian masalah,

Mengasosiasikan

Peserta didik menganalisa masukan,tanggapan dan koreksi dari guru

Penutup 1. Siswa dibimbing guru menyimpulkan tentang induksi matematika.

Guru bersama-sama peserta didik mengidentifikasi kelebihan dan kekurangan kegiatan pembelajaran.

2. Guru memberikan umpan balik ke peserta didik dalam proses dan hasil pembelajaran dengan cara memberikan satu soal yang dikerjakan peserta didik secara individu.

3. Siswa menerima informasi tentang tugas (PR) yang harus dikerjakan (terlampir) dan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya yaitu pembuktian ketidaksamaan menggunakan induksi matematika.

5 menit

H. PENILAIAN HASIL BELAJAR 1. Teknik Penilaian

a. Sikap (Spiritual dan sosial) - Observasi (Jurnal) b. Pengetahuan

- Tes tertulis c. Keterampilan

- Praktik 2. Instrumen Penilaian

a. Sikap Terlampir b. Pengetahuan

Terlampir c. Keterampilan

Terlampir

I. MEDIA/ALAT, BAHAN, DAN SUMBER BELAJAR 1. Media : Presentasi Power Point (Bahan tayang) 2. Alat : LKPD (Lembar Kegiatan Peserta Didik)

3. Sumber Belajar : Buku Guru (Matematika Kelas XII Wajib Kurikulum 2013 ) Buku Siswa (Matematika Kelas XII Wajib Kurikulum 2013 ) Palembang, 24 November 2016 Peserta PLPG

M. Ridwan Aziz, M.Pd.

NOPES.16110118010191 Mengetahui

Instruktur 1

Prof. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si.

NRI.0010091800080

Instruktur 2

Dr. Yusuf Hartono NRI.0010091800123

(5)

BAHAN AJAR Sekolah : SMAN 2 Unggul Sekayu Mata Pelajaran : Matematika

A. KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

B. TUJUAN PEMBELAJARAN

2. Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan

C. BAHAN AJAR

Pada materi barisan aritmatika atau geometri kita mengenal berbagai rumus jumlah suatu barisan.

Sebagai contoh barisan bilangan bulat jika dijumlahkan sampai ke-n akan sama dengan ^𝑛

2(𝑛 + 1).

Pernahkah kita bertanya, apakah rumus tersebut pasti benar untuk semua nilai n?

Salah satu strategi untuk membuktikan kebenaran suatu rumus penjumlahan barisan adalah dengan induksi matematika. Konsep pembuktian dengan induksi matematika analog dengan proses

penjatuhan kartu remi yang disusun berdekatan. Jika suatu pernyataan matematika P(1), P(2), P(3),

…, P(n), ….. dinyatakan oleh kartu remi yang disusun berdekatan. Suatu pernyataan matematika P(1) dikatakan benar jika kartu remi P (1) jatuh. Suatu pernyataan matematika P(2) dikatakan benar jika kartu remi P (2) jatuh dan seterusnya.

Untuk menjatuhkan semua susunan kartu remi, dapat kita lakukan proses sebagai berikut:

1. Pastikan P(1) jatuh

2. Andaikan P(k) jatuh, buktikan bahwa P(k+1) jatuh

Jika proses di atas dapat kita lakukan, maka kita mulai dengan P(1). Sudah diketahui bahwa P(1) jatuh. Kemudian kita pilih k=1, karena P(1) jatuh maka P(2) jatuh. Karena P(2) jatuh maka P(3) jatuh. Proses ini dapat dilakukan sampai seluruh kartu remi jatuh.

(6)

Jika dibawa ke bahasa matematika, misalkan P(n) adalah suatu pernyataan dimana kebenarannya ditentukan oleh nilai n. Jika P(n) memenuhi dua sifat berikut.

1. P(n) itu benar untuk n = 1

2. Untuk setiap bilangan asli k, jika P(k) bernilai benar maka P( k + 1 ) juga bernilai benar.

Maka P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.

Palembang, 24 November 2016 Peserta PLPG

Instruktur 1

NRI.0010091800080

Instruktur 2

(7)

LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK (LKPD) Sekolah : SMAN 2 Unggul Sekayu Mata Pelajaran : Matematika

C. LKPD

Petunjuk:

Bacalah dengan cermat uraian berikut dan isi bagian yang masing kosong.

Susunan parkir motor di suatu mall terlihat pada gambar di atas. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Apa yang terjadi jika ada salah satu motor yang ada di tengah jatuh?

2. Bagaimana jika yang jatuh adalah motor yang paling ujung?

Situasi di atas analog dengan proses pembuktian pernyataan matematika dengan induksi

matematika. Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang berkenaan dengan semua bilangan asli n.

P(n) memenuhi dua sifat:

1. P(1) bernilai benar

(8)

2. Jika P(k) bernilai benar, maka P(k+1) juga bernilai benar Berdasarkan dua sifat diatas, isikan tabel berikut:

Diketahui Dasar Pengambilan Kesimpulan Kesimpulan P(1) benar Sifat (2) → Jika P(k) benar, maka P(k+1) juga benar P(1+1)=P(2) benar P(2) Sifat (2)

P(3) Sifat (2) P(4) Sifat (2) P(5) Sifat (2) P(6) Sifat (2) P(7) Sifat (2) P(8) Sifat (2)

Jika kita melakukannya terus menerus sampai ke P(n), apa yang dapat anda simpulkan?

Latihan

Jumlah n suku pertama bilangan asli 1+2+3+…+n=^{𝑛 (𝑛+1)}

2 . Jika kesamaan 1+2+3+…+n=^{𝑛(𝑛 +1)}

2 disebut dengan P(n), bagaimana langkah pembuktiannya menggunakan induksi matematika? Tuliskan jawaban Anda dalam kotak dibawah ini.

Instruktur 1

NRI.0010091800080

Instruktur 2

(9)

INSTRUMEN PENILAIAN

C. PENILAIAN SIKAP Petunjuk

- Isikan kolom penilaian sikap di bawah ini sesuai dengan urutan sikap yang terdapat pada keterangan

- Berikan skor 0-3 pada masing-masing kolom sikap tersebut berdasarkan hasil observasi guru terhadap sikap siswa yang disesuaikan dengan rubrik penilaian yang tersedia - Hitunglah jumlah skor yang diperoleh masing-masing siswa

- Gunakan rumus yang terdapat pada pedoman penilaian lalu sesuaikan dengan kriteria penilaian untuk menentukan nilai siswa.

No Nama Aspek Sikap

Jumlah Nilai Kritis Tanggungjawab Kerjasama

1 Dewi 2 Apriliani 3 Boyke 4 Dina 5 Suharto 6 Rohayah 7 Evi 8 Satun 9 Diana Rubrik Penilaian

 Kritis

o Bertanya setiap mendapatkan hal yang baru

o Menganalisis pertanyaan dan jawaban yang diberikan oleh guru atau temannya

o Berfikir tingkat tinggi untuk memcecahkan masalah dalam melakukan diskusi

 Tanggungjawab

o Melakukan diskusi dalam kelompok dengan serius

o Mengerjakan tugas yang diberikan guru sesuai dengan instruksi

(10)

o Menyelesaikan diskusi yang diberikan tepat waktu

 Kerjasama

o Berdiskusi bersama anggota kelompok

o Tidak mendominasi percakapan pada saat diskusi kelompok o Peduli terhadap anggota kelompok

Kriteria Penskoran

3 : Jika semua descriptor terpenuhi 2 : Jika hanya 2 deskriptor yang terpenuhi 1 : Jika hanya 1 deskriptor yang terpenuhi 0 : Jika tidak ada deskriptor yang terpenuhi D. PENILAIAN PENGETAHUAN

1. Buktikan 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1).

NO JAWABAN SKOR

1 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) i. Langkah dasar

𝑃 1 : 2 = 1 1 + 1 = 1.2 = 2, maka 𝑃(1) bernilai benar

ii. Langkah induksi

Andaikan 𝑃(𝑘) benar, yaitu 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1) akan dibuktikan apakah 𝑃(𝑘 + 1) benar, yaitu apakah 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2 𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) .

𝑃 𝑘 + 1 : 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2 𝑘 + 1

= 𝑘 𝑘 + 1 + 2 𝑘 + 1

= 𝑘²+ 𝑘 + 2𝑘 + 2

= 𝑘²+ 3𝑘 + 2

= 𝑘 + 1 (𝑘 + 2) Maka 𝑃(𝑘 + 1) benar

Kesimpulannya 𝑃(𝑛) benar yaitu 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

1

3

1

Jumlah skor 6

E. PENILAIAN KETERAMPILAN

No Nama

Aspek Pemecahan masalah

Skor Nilai Mengidentifikasi

unsure-unsur yang diketahui

Menerapkan strategi untuk menyelesaikan

masalah

Menjelaskan dan menginterpretasika

n hasil 1 Dewi

2 Apriliani 3 Boyke 4 Dina 5 Suharto 6 Rohayah 7 Evi 8 Satun 9 Diana

Rubrik Penilaian

 Mengidentifikasi unsure-unsur yang diketahui 0 : Tidak ada identifikasi unsur

1 : Identifikasi unsur ada tapi salah

(11)

2 : Identifikasi unsur kurang lengkap 3 : Identifikasi unsur benar kurang lengkap 4 : Identifikasi unsur lengkap dan benar

 Menerapkan strategi untuk menyelesaikan masalah 0 : Tidak ada strategi penyelesaian masalah 1 : Strategi penyelesaian masalah ada tapi salah 2 : Strategi penyelesaian masalah kurang lengkap 3 : Strategi penyelesaian masalah benar kurang lengkap 4 : Strategi penyelesaian masalah lengkap dan benar

 Menjelaskan dan menginterpretasikan hasil 0 : Tidak ada penjelasan dan interpretasi 1 : Penjelasan dan interpretasi ada tapi salah 2 : Penjelasan dan interpretasi kurang lengkap 3 : Penjelasan dan interpretasi benar kurang lengkap 4 : Penjelasan dan interpretasi lengkap dan benar

Instruktur 1

NRI.0010091800080

Instruktur 2

(12)

MEDIA PEMBELAJARAN

C. MEDIA PEMBELAJARAN

Slide 1 Slide 2

Slide 3 Slide 4

(13)

Slide 5

Instruktur 1

NRI.0010091800080

Instruktur 2