AUTOKORELASI PERIODIK PADA DATA
DENGAN KOMPONEN MUSIMAN PERIODIK *
Mulyana **
Abstrak
Data deret waktu dengan komponen musiman periodik, biasanya berautokorelasi periodik dengan periode sama dengan periode musiman. Untuk menguji periode dari autokorelasi, dilakukan berdasarkan rumusan hipotesis
H0 : { xt } , adalah data deret waktu stasioner
H1 : {T(k)} , adalah autokorelasi periodik dengan periode
dan statistik uji yang digunakan adalah
N
)
k
(
w
N 1 n n ^
, dengan wi(k) komponen dari proses berdimensi , yang merupakan produk varians-kovarians proses rata-rata bergerak periodik. Statistikuji tersebut berdistribusi normal multivariat dengan rata-rata 0, varians
3
1
, kovarians 0. Untuk
menentukan kriteria pengujiannya statistik tersebut ditranformasikan menjadi statistik yang berdistribusi chi-kuadrat (chisquares) berderajat bebas .
Kata kunci : autokorelasi, musiman, periodesitas, proses rata-rata bergerak
Abstract
Time series with seasonal periodic, usually have autocorrelation periodic with same periodicity. For testing periodicity of autocorrelation, can use hypothesis
H0 : { xt } , stationer time series
H1 : {
T(k) } , autocorrelation periodic with periodicity
Statistics for testing hypothesis is
N
)
k
(
w
N 1 n n ^
, where wi(k ) component from proces with
dimension
, that is product of variance-kovariance of moving average proces. This statistics havedistribution, multivariate normal with mean 0, variance
3
1
, covariance 0. For description hypothesis
criterion, this statistic transformation to statistic with have distribution chi-square with degree of fredom
.Keyword : autocorrelation, seasonality, periodecity, moving average proces
* Makalah hasil penelitian kepustakaan, disampaikan pada Seminar Nasional di Universitas Airlangga Surabaya, tanggal 20 Desember 2008
** Staf Pengajar Jurusan Statistika FMIPA Unpad
Jl. Raya Bandung – Sumedang Km. 21, Jatinangor Sumedang
▸ Baca selengkapnya: pt waserba 81 metode periodik
(2)Pendahuluan
Dalam masalah-masalah tertentu, seperti bidang telaahan perekonomian (dunia usaha) dan pola konsumsi terhadap suatu komoditi, berautokorelasinya antar pengamatan bisa periodik (periode autokorelasi lebih dari satu), terutama jika data pengamatannya memiliki komponen musiman periodik (periode musiman lebih dari satu). Sebab musiman periodik merupakan komponen utama yang menyebabkan terdapatnya autokorelasi periodik (Vecchia dan Ballerini, 1991). Komponen musiman (seasonality) didefinisikan pada data deret waktu dengan waktu pengamatannya bukan tahunan (bulanan, mingguan, harian), yaitu suatu siklus yang sama dalam setiap selang pengamatan satu tahun. Misalnya data curah hujan di daerah tropis, adalah data deret waktu yang memiliki komponen musiman dengan periode satu, sebab dalam setiap tahunnya yang ada musim hujan, yaitu kondisi dengan curah hujan tinggi, dan musim kemarau, yaitu kondisi dengan curah hujan rendah. Jika siklus (kondisi tinggi dan rendah) ini berulang dalam setiap selang satu tahunannya, maka komponen musiman seperti ini dinamakan komponen musiman periodik. Misal data curah hujan di daerah sub-tropis, adalah data deret waktu dengan komponen musiman periodik, dengan periodenya dua.
Autokorelasi Periodik
Sudah dikemukakan, salah satu akibat dari keberadaan komponen musiman (baik periodik atau tidak periodik) adalah kemungkinan terdapatnya autokorelasi periodik. Perhatikan data deret waktu { x1 , x2 , . . . , xt , . . . }, dengan waktu pengamatan (t) bukan tahunan (bulanan, mingguan, harian). Jika data deret waktu ini memiliki komponen musiman, maka dapat disajikan persamaan
xt = t +tyt (1)
dengan
t , t, masing-masing adalah parameter rata-rata hitung periodikdan simpangan baku periodik dengan periode masing-masing
yt , proses stasioner dengan asumsi E(yt) = 0 dan berautokorelasi lag-k, (k) t = 1 , 2 , . . . , n , . . .
Selanjutnya jika komponen musimannya periodik dengan periode , maka dalam hal ini autokorelasi lag-k-nya disajikan dalam persamaan
t(k) = Kor(xt , xt+k) (2)
Karena xt adalah data deret waktu dengan musiman periodik, yang rata-rata hitung dan simpangan baku periodiknya masing-masing t dan t, maka xt dapat disajikan dalam model rata-rata bergerak periodikdengan persamaan
xt = t +
t t j j( )
j
0 (3)
dengan
t kekeliruan (white-noise) yang diasumsikan E(t) = 0, var(t) = 1, dan E(t4) <
t(j) = t+k(j) koefisien rata-rata bergerak periodik lag-k, dengan asumsi
t jj
( )
0
, untuk setiap nilai t
t = 1, 2, . . . , n, . . .
Berdasarkan ciri (characteristics) dari t dan t(j), Persamaan (3) merupakan sebuah fungsi atas bentuk kuadrat rata-rata hitung, sehingga untuk menyederhanakan proses perhitungannya Persamaan (3) distandarisasi menjadi
zt = (xt -t)/t =
t t j j( )
j
0 /t (4)
dengan
t 2
=
t jj
20
( )
, yaitu varians periodik proses rata-rata bergerak.Sehingga fungsi autokorelasi periodik untuk xt dihitung berdasarkan fungsi autokorelasi periodik untuk zt , karena nilai-nilai zt merupakan nilai-nilai standar dari xt , yang berarti nilai-nilai zt lebih sederhana dari nilai-nilai xt.
Untuk menguji apakah autokorelasi dari data deret waktu dengan komponen musiman periodik seperti pada Persamaan (1) merupakan autokorelasi periodik, pengujiannya dilakukan berdasarkan rumusan hipotesis
H0 : { xt } , adalah data deret waktu stasioner
H1 : { T(k) } , adalah autokorelasi periodik dengan periode (5)
Pengujian statistisnya dilakukan berdasarkan pada hukum sampel besar dari transformasi Fourier (sehingga ukuran sampelnya harus besar), dan sebagai komponen pembangun statistik ujinya adalah penaksir fungsi autokorelasi periodik yang dihitung untuk setiap nilai lag dan T dalam selang 0 T
Statistik Uji Pendekatan
Perhatikan data deret waktu { x1, x2, . . . , xt, . . . } dengan komponen musiman periodik, dan rata-rata hitung periodiknya { 1, 2, . . . , t, . . . } diketahui.
Selanjutnya didefinisikan proses berdimensi dengan lag-k untuk sembarang nilai n,
{wn(k)} = {(0kS(n-1)(k) ,1k+1S(n-1)+1(k) , . . . , -1k+-1S(n-1)(2-1)(k))’} (6) dengan
{ St(k) } = { ztZt+k } , yaitu proses produk lag-k dari zt pada Persamaan (4).
t2 , varians periodik dengan periode pada waktu t dari zt.
Berdasarkan perumusan tersebut, maka {wn(k)} merupakan proses stasioner orde kedua, sehingga E{wn(k)} =
( )
k
= ( 0(k) , 1(k) , . . . , -1(k) )’ (7)Penaksir
( )
k
berdasarkan sampel berukuran N adalah
^( )
w k
N
n nN
1
(8)
Vecchia dan Ballerini (1991) menunjukan bahwa
^adalah penaksir konsisten lemah (weakly
consistent estimator) untuk
( )
k
, dan berdistribusi normal multivariat pendekatan. Vecchia danBallerini (1991) juga mengemukakan
^merupakan statistik uji pendekatan untuk pengujian hipotesis
autokorelasi periodik seperti yang dirumuskan pada Persamaan (5).
Metode Perhitungan
Berdasarkan teori yang telah dikemukakan, dapat disimpulkan bahwa statistik untuk menguji hipotesis autokorelasi periodik, adalah adalah autokorelasi dari dari proses rata-rata bergerak periodik, yang merupakan statistik uji pendekatan dan berdistribusi normsl pendekatan.
Sehingga jika dimiliki sampel berukuran n atas data deret waktu dengan komponen musiman periodik, yang periodenya pertahun,
{ x1 , x2 , . . . , xn}, maka langkah-langkah untuk menghitung statistik ujinya adalah 1. Menghitung rata-rata hitung periodik dengan rumus
t
t i i n
x
n
0 1
2. Membangun model rata-rata bergerak periodik dengan persamaan seperti pada Persamaan (3), dengan nilai rata-rata hitung periodiknya adalah hasil pada Langkah ke-1.
3. Menghitung varians periodik dari model rata-rata bergerak pada Langkah ke-2.
4. Menstandarisasikan proses rata-rata bergerak pada Langkah ke-2, dengan menggunakan Persamaan (4).
5. Membangun proses berdimensi dari proses rata-rata bergerak yang distandarisasi pada Langkah ke-4, dengan menggunakan Persamaan (6).
6. Menghitung autokorelasi periodik dari proses berdimensi pada Langkah ke-5, dengan menggunakan Persamaan (8).
Kesimpulan
1. Autokorelasi periodik tidak selalu muncul dalam data deret waktu dengan komponen musiman periodik, artinya walaupun data deret waktu tidak memiliki komponen musiman atau memiliki komponen musiman tetapi bukan musiman periodik, autokorelasinya bisa saja merupakan autokorelasi periodik.
2. Menggambarkan data derat waktu atas waktu dan korelogramnya, merupakan tahap awal yang harus dilakukan dalam pengujian periodesitas autokorelasi, karena dari gambar-gambar inilah nilai periodesitas dan nilai lag dihipotesiskan.
3. Hipotesis untuk pengujian periodesitas autokorelasi yang dirumuskan pada Persamaan (5), sudah melibatkan pengujian untuk lag autokorelasinya.
4. Model data deret waktu yang digunakan untuk membangun statistik uji adalah model rata-rata bergerak dengan ordenya adalah periodesitas autokorelasi.
5. Statistik uji untuk pengujian hipotesis pada Persamaan (5) adalah vektor statistik
^pada
Persamaan (8) yang merupakan statistik uji pendekatan yang yang berdistribusi normal multivariat
dengan komponen vektor rata-ratanya 0, varians
3
1
, dan kovarians 0.
6. Untuk menentukan kriteria pengujian dari hipotesis pada Persamaan (5) tersebut, vektor statistik
^ditranformasikan menjadi vektor statistik yang berdistribusi normal baku multivariat dengan persamaan
^
^ 0
7. Selanjutnya dihitung jumlah kuadrat dari komponen vektor transformasi tersebut, dan nilai jumlah kuadratnya dibandingkan dengan tabel distribusi chi-kuadrat (chisquares) untuk derajat bebas
yaitu nilai periodesitas autokorelasi dengan luas kurva kritisnya (1-)%, 0 < < 1.
8. Untuk menghitung vektor statistik
^dapat digunakan paket program komputer STATGRAPHICS
atau EXCEL.
9. Jika hipotesis pada Persamaan (5) diterima, maka nilai periodesitas autokorelasi dan lagnya berdasarkan peta data atas waktu dan korelogramnya dapat diterima. Tetapi sebaliknya jika ditolak, maka tidak berarti kedua nilai tersebut ditolak secara bersamaan. Dalam hal hipotesis
ditolak pengujian dilakukan terhadap masing-masing komponen vektor
^ 0, dan untuk
menentukan kriteria pengujiannya komponen vektor dibandingkan dengan tabel normal baku.
Kepustakaan
Abraham, B. 1983. Statistical Methods for Forecasting. John Wiley & Sons. New York.
Azzalini, A. 1984. Estimation and Hypothesis Testing for Collections of Autoregressive Time Series. Biometrika, 71, 1, pp 85-90.
Box, G. E. P. dan Jenkins, G. M. 1976. Time Series Analysis: forecasting and control. Holden-Day. San Francisco.
Chatfield, C. 1984. The Analysis of Time Series: An Introduction. Chapman and Hill. London.
Hamilton, D. C. dan Watts, D. G. 1978. Interpreting Partial Autocorrelation Functions of Seasonal Time Series Models. Biometrika, 65, 1, pp 134-140.
Harvey, A. C. 1984. Time Series Forecasting Based on The Logistic Curve. Royal Society, Vol. 38, No. 7 pp 641-646.
Harvey, A. C. 1993. Time Series (2nded). Harvester & Wheatsheaf. New York.
Siegel, A. F. 1980. Testing for Periodicity in a Time Series. Journal of American American Statistical Association. Juni 1980, Volume 75, Number 370.
Montgomery, D. C. dan Johnson L. A. 1976. Forecasting and Time Series Analysis. McGraw-Hill Book Co. New York.
Veccha, A. V. dan Ballerini, R. 1991. Testing for Periodic Autokorelations in Seasonal Time Series Data. Biometrics, 78, 1, pp 53-63.
Wei, W. W. S. 1994. Time Series Analysis: Univariat and Multivariat Methods. Addison-Wesley Pub. Co. Inc. California.
