Created By:
Efrininda Wahyuning Bintarti ( A 410 080 231 )
Awallysa Kumala Sari ( A 410 080 246 )
Teorema pythagoras
SK & KD
MATERI
STANDAR
KOMPETENSI
Menggunakan
Teorema
Pythagoras dalam
Penyelesaian
Masalah
KOMPETENSI DASAR
Menggunakan Teorema Pythagoras untuk
menentukan panjang sisi-sisi segitiga
siku-siku.
Memecahkan masalah pada bangun datar
yang berkaitan dengan teorema
TEOREMA
PYTHAGORA
S
Pokok materi luas persegi, luas segitiga, kuadrat suatu bilangan, akar kuadrat suatu bilangan, persamaan
linear, dan perbandingan seharga (senilai) yang telah dipelajari sebelumnya menjadi dasar dalam
mempelajari materi teorema pythagoras pada bab ini.
Suatu segitiga siku-siku yang selalu berlaku: Luas persegi pada sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah luas persegi pada sisi yang lain (sisi siku-sikunya). Teori ini dinamakan teorema pythagoras.
Pembuktian teorema pythagoras
Pada setiap segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiri atas sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa). Gambar disamping adalah yang siku-siku di A.
Sisi yang membentuk sudut siku-siku, yaitu AB dan AC disebut sisi siku-siku.
Sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring atau hipotenusa, yaitu BC.
ABC ∆ Sisi siku-siku S is i si ku -s ik u hip ote nusa
TUGAS INDIVIDU
Membuktikan teorema pythagoras Langkah-langkah:
1. Siapkan kertas berpetak
2. Buatlah dua buah persegi dengan panjang sisi yang sama dengan panjang (b+c) satuan
3. Untuk persegi pertama:
Buatlah persegi di dalam salah satu persegi tersebut dengan titik sudut antara perpotongan b dan c
4. Arsirlah segitiga siku-siku yang terbentuk 5. Untuk persegi kedua:
Lihat persegi pertama kemudian gabungkan segitiga siku- siku yang terbentuk sehingga terbentuk dua buah persegi panjang dengan panjang b dan lebar c.
6. Bandingkan antara persegi pertama dan kedua 7. Buatlah kesimpulannya.
Gambar 5.1 dan 5.2 diatas menunjukkan persegi yang memiliki panjang sisi yang sama , yaitu (b+c).
Karena panjang sisinya sama → luasnya juga sama.
Daerah yang di arsir pada gambar 5.1 dan 5.2 memiliki luas yang sama, berarti daerah yang tidak di arsir juga memiliki luas yang sama.
Perhatikan gambar 5.3! Gambar tersebut dirangkai dari bangun-bangun pada
gambar 5.1 dan 5.2. 2 2 2
Jadi
a
=
b
+
c
. adalah dan , adalah 2 2 2 nya siku siku sisi sisi pada persegi luas jumlah c b a hipotenusa pada persegi Luas − − +Berdasarkan uraian di atas dapat di
simpulkan sebagai berikut:
Untuk setiap segitiga siku-siku
selalu berlaku:
Luas persegi pada hipotenusa
sama dengan jumlah luas persegi pada sisi yang lain (sisi siku-siku nya).
CONTOH SOAL
Pada gambar disamping, segitiga ABC siku-siku di A. panjang AB = 4 cmdan AC = 3 cm. Hitunglah panjang BC! Penyelesaian C A B 4 3
5
25
25
9
16
3
4
2 2 2 2 2
=
=
=
+
=
+
=
+
=
BC
AC
AB
BC
Jadi panjang BC = 5 cm
C A B 3 4KEBALIKAN TEOREMA
PYTHAGORAS
Teorema pythagoras menyatakan:
2 2 2
maka
siku,
-siku
jika
,
Dalam
∆
ABC
∠
A
a
=
b
+
c
Kebalikan teorema pythagoras adalah:
siku.
-siku
maka
,
jika
,
Dalam
∆
ABC
a
2=
b
2+
c
2∠
A
KuisBUKTIKAN KEBALIKAN
TEOREMA PYTHAGORAS DI
ATAS!!!!!!!
BERIKAN KESIMPULANNYA!!!!!!!
Bukti TeoPEMBUKTIAN
C B A a b c R Q P x b c (i) (ii) . maka siku, -siku dan , , , panjang (ii), gambar Pada siku? -siku , bahwa (i) gambar Pada 2 2 2 2 2 2 c b x QPR x QR b PR c PQ CAB apakah c b a diketahui + = ∠ = = = ∠ + =).
(
(ii)
gambar
Dari
).
(
(i)
gambar
Dari
2 2 2 2 2 2pythagoras
teorema
c
b
x
diketahui
c
b
a
+
=
+
=
. berarti , yaitu sama harus juga kirinya ruas maka , yaitu sama kanannya ruas Karena 2 2 2 2 x a x a c b = = +Jadi, ketiga sisi pada segitiga ABC berturut-turut tepat sama dengan sisi-sisi pada segitiga PQR.
siku. -siku juga siku -siku Karena . : demikian Dengan CAB RPQ RPQ CAB PQR dengan sebangun dan sama ABC ∠ ⇒ ∠ ∠ = ∠ ⇒ ∆ ∆
Hal ini menunjukkan bahwa kebalikan teorema pythagoras merupakan pernyataan yang benar.
KESIMPULAN
. di siku -siku maka , Jika . di siku -siku maka , Jika . di siku -siku maka , Jika : yaitu , pythagoras teorema kebalikan berlaku maka , sudut hadapan di sisi adalah , sudut hadapan di sisi adalah , sudut hadapan di sisi adalah apabila , Dalam 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C ABC b a c B ABC c a b A ABC c b a C c B b A a ABC ∆ + = ∆ + = ∆ + = ∆Menentukan jenis segitiga
Dengan menggunakan prinsip kebalikan teorema pythagoras, kita dapat menentukan jenis segitiga, apakah segitiga lancip atau segitiga tumpul.
Gambar (a), segitiga ABC adalah segitiga lancip dan sehingga : 1
a
a
<
2 2 2b
c
a
<
+
Gambar (b), segitiga ABC adalah segitiga lancip dan sehingga : 1
a
a
>
2 2 2b
c
a
>
+
Perhatikan gambar berikut:
Dalam segitiga ABC, dengan
panjang sisi a, b, c, berlaku:
Jika , maka segitiga ABC adalah
segitiga lancip di A. Sisi a terletak di hadapan sudut A. Jika , maka segitiga ABC adalah
segitiga lancip di B. Sisi a terletak di hadapan sudut B. Jika , maka segitiga ABC adalah
segitiga tumpul di A. 2 2 2
b
c
a
<
+
2 2 2a
c
b
<
+
2 2 2b
c
a
>
+
Contoh soal:
Pada segitiga DEF, FG DE, panjang DG =
10 CM, GE = 24 cm, dan FG = 14 cm.
a. Hitunglah panjang DF dan EF!
b. Tentukan jenis segitiga DEF!
⊥
2 2 2 DG FG DF = + 325 225 100 15 102 2 = + = + = 325 = DF 2 2 2 FG GE EF = + 801 576 225 24 152 2 = + = + = 801 = EF
a
.
D F E G 24 10 1 5b.
Pada segitiga DEF, sisi terpanjang adalah DE.
2 2 = (10 + 24) DE 156 . 1 = 2 2 2 2 + EF = ( 325) + ( 801) DF 126 . 1 801 325 = + =
A
di
adalah
maka
,
Karena
2 2 2tumpul
segitiga
DEF
EF
DF
DE
∆
+
>
Perbandingan Sisi-sisi Segitiga Siku-siku
Yang Salah Satu Sudutnya
30
0atau
60
0Pada segitiga ABC di samping sama sisi dan CD adalah garis tinggi.
C
A D B
BC
AB
BC
BD
AD
AC
AB
AC
BD
AD
AB
BD
AD
BCD
ACD
ACB
ABC
BAC
AC
BC
AB
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∠
=
∠
=
∠
=
∠
=
∠
=
=
sebab
2
1
sebab
2
1
atau
2
1
30
60
0 0AC AD DAC ACD ADC 2 1 60 dan 30 : diperoleh maka erpisah, digambar t (a) gambar pada Jika 0 0 = = ∠ = ∠ ∆
Karena sudut ACD menghadap sisi AD dan sisi AC sebagai sisi miring, maka dapat dinyatakan sebagai berikut: miring) (sisi hipotenusa 2 1 adalah 30 sudut hadapan di sisi panjang 30 sudutnya satu salah yang siku -siku setiap Dalam 0 0 ∆
0 45 SUDUTNYA SATU SALAH YANG SIKU -SIKU SEGITIGA SISI AN PERBANDING 0 45 A C B a a 0 45 dan , : Sehingga kaki sama siku -siku segitiga adalah disamping = ∠ = ∠ = ∆ ACB ABC AC AB ABC Gambar b
KEGIATAN SISWA
Lengkapilah tabel berikut berdasarkan gambar (b)! Panjang AB Panjang AC Panjang BC
1 . . . .
2 . . . .
. . . 3 . . .
. . . 4 . . .
. . . 50
Berdasarkan tabel di atas, tentukan perbandingan panjang AB : AC : BC !
Penyelesaian
Pada gambar (b) diketahui AB = AC
Karena gambar (b) merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku teorema pythagoras.
BC merupakan sisi miring, maka:
2 2
2
AB
AC
Panjang AB Panjang AC Panjang BC 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2 2 2 8 = 2 3 18= 2 4 32 = 2 5 50=
Berdasarkan data pada tabel diatas dapat kita cari perbandingan panjang ketiga sisi-sisinya yaitu: Perbandingan AB : AC : BC = 1 : 1 : 2
! luas Hitunglah . 8 panjang ini, bawah di . kubus Pada ABH cm AB EFGH ABCD ∆ =
Penggunaan teorema pythagoras pada
bangun ruang.
A B C D E F G HPENYELESAIAN 2 2 2 2 2 2 2 32 2 8 8 2 1 2 1 Luas 2 8 2 64 128 128 64 64 cm 8 AB DH AD 8 8 : maka A, di siku -siku cm AH AB ABH AH BH AB AH ABH = × × = × × = ∆ = × = = = + = = = = ← + = + = ∆ A B C D E F G H A B H A B H
Penerapan teorema pythagoras
pada soal cerita
Langkah-langkah menyelesaikan soal-soal dalam bentuk cerita:
1.Buatlah gambar atau sketsa berdasarkan cerita dalam soal!
2.Isikan ukuran-ukuran yang diketahui ke dalam gambar!
3. Gunakan rumus dengan tepat!
4. Jawablah pertanyaan sesuai dengan yang di tanyakan!
CONTOH SOAL
Sebuah kapal berlayar kearah barat sejauh 80 km, kemudian kearah utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari tempat semula!
Penyelesaian:
100
10000
10000
3600
6400
60
80
2 2 2 2 2 2=
=
=
+
=
+
=
+
=
OU
OU
BU
OB
OU
Jadi, jarak kapal sekarang dari tempat semula = 100 km.
