Soal No. 1 Soal No. 1
Kubus dengan panjang sisi 12 cm. Kubus dengan panjang sisi 12 cm. Tentukan
Tentukan
a) panjang diagonal bidang sisi kubus a) panjang diagonal bidang sisi kubus b) panjang diagonal ruang
b) panjang diagonal ruang
Pembahasan Pembahasan AF adala
AF adalah salah sah salah satu contoh tu contoh diagonadiagonal bidang l bidang pada kubpada kubus semenus sementara !" atara !" adalah saladalah salah satuh satu contoh diagonal ruang pada kubus.
contoh diagonal ruang pada kubus.
Panjang diagonal bidang dan diagonal dari kubus dengan panjang sisi # a masing$masing Panjang diagonal bidang dan diagonal dari kubus dengan panjang sisi # a masing$masing adalah
adalah
Sehingga Sehingga
a) panjang diagonal bidang # 12%2 cm a) panjang diagonal bidang # 12%2 cm b) panjang diagonal ruang # 12%& cm b) panjang diagonal ruang # 12%& cm Soal No. 2
Soal No. 2
Kubus A!'(.F*" dengan panjang sisi 12 cm. Titik P adalah perpotongan diagonal bidang Kubus A!'(.F*" dengan panjang sisi 12 cm. Titik P adalah perpotongan diagonal bidang A!'(. T
A!'(. Teentukan jantukan jarak titik P rak titik P ke titik *ke titik * Pembahasan
Pembahasan
*ambar sebagai berikut *ambar sebagai berikut
A' panja
A' panjangn+a 12ngn+a 12%2 semen%2 sementara P' atara P' adalah sedalah setengah dtengah dari Aari A'. Sehin'. Sehingga P' # gga P' # ,%2 cm. '* ,%2 cm. '* ## 12 cm.
12 cm.
Soal No. & Soal No. &
Pada kubus A!'(.F*" dengan panjang rusuk , cm jarak titik ! ke diagonal ruang A* Pada kubus A!'(.F*" dengan panjang rusuk , cm jarak titik ! ke diagonal ruang A* adalah... adalah... A. A. %-!. !. 2%-'. '. &%-(. 2%, (. 2%, . &%, . &%, /N 200&) /N 200&) Pembahasan Pembahasan
isalkan jarakn+a adalah !P dimana !P dengan A* harus tegak lurus. isalkan jarakn+a adalah !P dimana !P dengan A* harus tegak lurus.
Ambil segi
Ambil segitiga Atiga A!* seb!* sebagai acuaagai acuan perhitunn perhitungan. ika gan. ika A! dA! dijadikan alijadikan alas segitigas segitiga maka !*a maka !* menjadi tinggin+a. ika A* +ang dijadikan alas maka tinggi segitigan+a adalah !P dimana !P menjadi tinggin+a. ika A* +ang dijadikan alas maka tinggi segitigan+a adalah !P dimana !P itulah +ang hendak dicari.
itulah +ang hendak dicari.
alas1 3 tinggi1 # alas2 3 tinggi2 alas1 3 tinggi1 # alas2 3 tinggi2
Soal No. 4
Pada kubus A!'(.F*" dengan panjang rusuk 12 cm titik P adalah tepat ditengah '* tentukan jarak titik ' ke garis AP5
Pembahasan
Posisi titik ' dan garis AP pada kubus sebagai berikut6
'ari panjang AP terlebih dahulu
dilanjutkan menentukan jarak ' ke AP
Soal No.
-(iketahui kubus A!'(.F*" dengan panjang rusuk , cm. arak titik * ke diagonal ! adalah7. A. &%, cm !. ,%, cm '. 8%, cm (. &%10 cm . 8%10 cm
Pembahasan
Sketsa kubusn+a dulu beri nama titik$titik sudutn+a. (iberi tanda titik dan garis +ang hendak dicari jarakn+a.
Tambahkan 2 garis lagi hingga muncul segitiga !*.
Pada segitiga !* ! sama panjangn+a dengan !* sama juga dengan * +aitu ,%2 dapatn+a dari rumus langsung diagonal sisi). Karena sama sisi maka garis 3 tegak lurusn+a akan di tengah$tengah garis !. Terapkan p+thagoras untuk segitiga !* untuk mendapat panjang 36
etode kedua bisa juga dengan penggunaan setengah luas segitiga seperti beberapa soal terdahulu. Namun di sini perlu digunakan rumus luas segitiga +ang ada sinusn+a karena
diketahui dua sisi dan sudut diantaran+a tengok catatan jika lupa. isal perlu sudutn+a ∠ # ∠! #∠ * # ,09karena sama sisi6
Soal No. ,
(iketahui limas beraturan T.A!'( dengan A!'( adalah persegi +ang memiliki panjang A! # 4 cm dan TA # , cm. arak titik ' ke garis AT #.../N atematika :PA 2014)
A. 1;14 %14 cm !. 2;& %14 cm '. &;4 %14 cm (. 4;& %14 cm . &;2 %14 cm Pembahasan
Sketsa soaln+a seperti berikut ini
(engan p+thagoras dapat ditentukan panjang A'
dan juga tinggi limas TP
Akhirn+a dari segitiga A'T diperoleh nilai 3
a<aban6 (. 4;& %14 cm
Soal No. =
Pada kubus A!'(.F*" panjang rusuk > cm. arak titik ke bidang !(* adalah...
A. 1;& %& cm !. 2;& %& cm '. 4;& %& cm (. >;& %& cm . 1,;& %& cm /N atematika 2012) Pembahasan
Perhatikan gambar berikut. Posisi titik dan bidang !(*
*aris merah adalah jarak +ang akan dicari dimana garis tersebut harus tegak lurus dengan bidang !(*. Tambahkan garis$garis bantu untuk mempermudah
Panjang$panjang +ang diperlukan adalah
P? # > cm sama panjang dengan rusuk kubus. * # >%2 cm diagonal bidang kubus.
encari panjang *? dengan ph+tagoras dengan ?' adalah setengah dari diagonal sisi # 4%2
Kemudian pada segitiga P? berlaku
@ tidak lain adalah jarak titik ke bidang !*(. Soal No. >
Kubus A!'(.F*" dengan panjang rusuk 10 cm. Titik : terletak di tengah$tengah rusuk !'. Tentukan jarak titik : ke bidang AF*(
Pembahasan
(ari segitiga K: diperoleh jarak titik : ke bidang AF*" +aitu panjang dari : ke dengan data$ data +ang diperlukan6
: # 10 cm sama dengan panjang rusuk kubus. K: # 10 cm sama panjangn+a dengan rusuk kubus
K # 10%2 cm sama panjangn+a dengan diagonal sisi kubus ingat a%2
Sehingga
Soal No. 8
Kubus A!'(.F*" dengan panjang rusuk , cm. Titik P adalah titik tengah " ? adalah titik tengan !F @ adalah titik tengah '* dan S adalah titikpotong garis A'dan !(. Tentukan jarak titik S ke bidang P?@
Pembahasan
Acuan hitung adalah segitiga PST tambahkan titik$titik lain jika perlu.
Tentukan panjang ST PS dan PT dengan ph+tagoras akan ditemukan bah<a ST # &%2 cm dan PT # %4- cm
isalkan /T # 3 maka P/ adalah %4- B 3 dan /S namakan sebagai t
(ari segitiga PS/
liminasi dan substitusikan hingga di dapat panjang t
Nilai t adalah
10. (iketahui kubus A!'(.F*" dengan panjang rusuk > cm. Tentukan jarak antara titik " ke garis diagonal sisi A'C
Pen+elesaian6
Titik " dengan garis A' tegak lurus di titik D titik tengah diagonal sisi A'). adi jarak " ke garis A' # panjang "D.
Perhatikan pembahasann+a pada gambar di ba<ah ini6
adi jarakn+a adalah 4%, cm.
11. (iketahui sebuah !alok memiliki perbandingan rusuk$rusuk # & 6 , 6 2. Panjang diagonal ruangn+a adalah 21 cm. aka Eolume balok tersebut adalah C
Pen+elesaian6
Perhatikan gambar di ba<ah ini.
adi Eolume !alok tersebut adalah 8=2 cm.
12. (iketahui kubus A!'(.F*" dengan panjang rusuk 12 cm. Titik K berada di tengah$tengah rusuk A!. Tentukanlah jarak antara titik K dengan diagonal sisi '"C
Pen+elesaian6
"ubungkan titik K " dan ' sehingga terbentuk sebuah segitiga.
"itung panjang K" K' dan '" dengan menggunakan dalil Ph+tagoras. Tarik garis dari titik K tegak lurus dengan garis '".
Perhatikan gambar pembahasann+a di ba<ah ini.
adi jarak titik K ke garis '" # panjang KD # 8%2 cm. 14. (iketahui limas segiempat beraturan T.A!'( dengan panjang rusuk 12 cm. Panjang sisi tegakn+a juga 12 cm. Titik P ? @ dan S masing$masing berada ditengah rusuk A! !' '( dan A(. Tentukan nilai sin T terhadap bidang P?@S C
Pen+elesaian6
"itung tinggi imas.
!uat limas baru dengan alas P?@S. "itung pula panjang rusukn+a dengan menggunakan aturan Ph+tagoras.
"itung panjang sisi tegak limas T.P?@S.
*unakan aturan Sinus untuk mencari uas segitiga. /ntuk lebih jelasn+a perhatikan gambar pembahasann+a di ba<ah ini.
adi besar sin T # 4;-.
14. (iketahui limas segitiga beraturan T.A!' memiliki panjang rusuk dan sisi tegak sama dengan 10 cm. Titik / berada di tengah$tengah A! sehingga terbentuk segitiga T/'. aka besar sin T/' adalah7C
Pen+elesaian6
"itung panjang T/ dengan aturan ph+tagoras.
"itung luas segitiga T/' dengan menggunakan Teorema "eron. uas # %ss$a)s$b)s$c) dengan s # 1;2 keliling atau 1;2 aGbGc).
/ntuk menentukan sinusn+a bisa menggunakan aturan sinus untuk mencari luas +akni6 uas # 1;2 3 a 3 b sin '
adi besar sin T/' # 2;& %2. 'ontoh soal
1-Pada limas beraturan T.A!'( panjang rusuk tegakn+a 2- cm dan panjang rusuk alasn+a =%2 cm. arak titik T ke bidang A!'( sama dengan 7
a<ab 6
A # HA' # = cm
'ontoh soal 1,
Pada limas beraturan (.A!' +ang panjang rusukn+a 12 cm jarak titik ( ke bidang A!' sama dengan 7
a<ab 6
A2 # A!2 I !2 # 122 I ,2 # 144 I &, # 10>
(2 # ('2 I '2 # 122 I ,2 # 144 I &, # 10>
(engan memakai aturan cosinus pada segitiga A( maka (2 # A(2 G A2 I 2A(.A cos J
10> # 144 G 10> I 2.12.,%& cos J 0 # 144 I 144%& cos J
'ontoh soal 1=6
Pada kubus A!'(F*" titik P pada A( dan titik ? pada " sehingga AP#? # 12 cm. ika panjang rusuk 12%& cm maka jarak A ke !P?F sama dengan 7
a<ab 6
!P2 # !A2 G AP2 # 4&2 G 144 # -=, !P # 24
t # &0o #### sin t # H
'ontoh soal 1>6
Pada kubus KNP?@S +ang rusukn+a 12 cm jarak titik K ke bidang NP sama dengan 7 a<ab 6
(iagonal NP di<akili oleh garis AP PA2 # PK2 G KA2 # 144 G =2 # 21,
Pada segitiga PK! berlaku
Pada segitiga PKA berlaku
maka bisa disimpulkan
'ontoh soal 186
(iketahui balok A!'(F*" memiliki rusuk A! # A( # 12 cm sedangkan A sama dengan 24 cm. arak * ke !( sama dengan 7
Agar lebih mudah mengamatin+a kita gambar bidang diagonal A'*
P2 # PA2 G A2 # =2 G -=, # ,4>
Pada segitiga ?*
(ari kedua persamaan bisa disimpulkan
'ontoh soal 206
Pada kubus A!'(F*" +ang panjang rusukn+a 1> cm titik P pada (" sehingga (P6P" sama dengan 261. arak P ke A'" sama dengan 7
T"2 # T(2 G ("2 # 1,2 G &24 # 4>,
Pada segitiga T(" berlaku
Pada segitiga P?" berlaku
dari kedua persamaan terakhir bisa disimpulkan
'ontoh soal 21 6
Pada kubus A!'(F*" +ang rusukn+a 12 cm titik P pada A* sehingga AP6P* # &61. arak P ke !(* sama dengan 7
Agar lebih mudah kita gambar bidang diagonal A'*
3 # + I L
sin 3 # sin + I L)
sin 3 # sin + cos L I cos + sin L
Pada segitiga P?* berlaku
(engan demikian
