BUKU PEGANGAN KULIAH
FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL
FISIKA TEKNIK
MEKANIKA
DISUSUN OLEH :
HERMAN SUSILA, ST., MT.
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS TUNAS PEMBANGUNAN SURAKARTA
2014
ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT., karena atas ijin-Nya sehingga penyusunan buku ajar Mata Kuliah Fisika Teknik dapat kami selesaikan. Penyusunan buku ajar ini dimaksudkan untuk meningkatkan gairah belajar mahasiswa dan aktivitas belajar mandiri mahasiswa menjadi terprogram dan semakin intensif sehingga efektivitas pembelajaran dapat tercapai.
Materi buku ajar ini adalah Mekanika. Hal ini dianggap lebih tepat mengingat ilmu teknik sipil adalah ilmu untuk perencanaan bangunan yang mana dalam perencanaan tersebut banyak berhubungan dengan mekanika. Oleh karena itu materi Fisika Teknik meberikan teori dasar tentang mekanika kepada mahasiswa untuk mendukung dalam perencanaan struktur bangunan sipil.
Semoga buku ajar ini dapat mengantarkan mahasiswa yang memprogramkan mata kuliah Fisika Teknik dalam belajar mandiri dengan lebih efektif. Kritikan terhadap isi dari buku ajar ini yang sifatnya membangun sangat kami harapkan untuk perbaikan di masa yang akan datang.
Surakarta, Januari 2014
Penyusun
iii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ……….. i
KATA PENGANTAR ……… ii
DAFTAR ISI ………. iii
BAB 1 BESARAN DAN SATUAN ……….. 1
A. Arti Fisika ……….. 1
B. Besaran dan Satuan ……….. 2
C. Pengukuran ………. 5
D. Rangkuman ………. 6
BAB 2 VEKTOR ……….. 7
A. Definisi Vektor ……….. 7
B. Komponen Vektor ……….. 8
C. Penjumlahan Vektor ………. 10
D. Rangkuman ………. 16
BAB 3 GERAK LURUS ………. 17
A. Gerak ……….. 17
B. Jarak, Kecepatan dan Percepatan ……… 18
C. Gerak Lurus Beraturan ……… 19
D. Gerak Lurus Berubah Beraturan ……….. 21
E. Rangkuman ………. 29
BAB 4 GERAK PARABOLA ……….. 30
A. Gerak Peluru ……….. 30
B. Rangkuman ………. 38
BAB 5 KESETIMBANGAN MOMEN GAYA ……… 39
A. Pengertian Momen Gaya ……….. 39
B. Syarat Kedua untuk Kesetimbangan ……….. 40
C. Resultan Gaya Sejajar ……….. 41
D. Pusat Berat ………. 43
E. Kopel ……… 44
F. Rangkuman ………. 48
BAB 6 DINAMIKA PARTIKEL ………. 49
A. Mekanika Klasik ……… 49
B. Hukum newton I ………. 50
iv
C. Gaya ………. 51
D. Hukum Newton II ………... 51
E. Massa ………. 52
F. Sistem Satuan ……… 53
G. Hukum Gravitasi Sejagat ……… 54
H. Massa dan Berat ………. 55
I. Rangkuman ………. 59
BAB 7 USHA DAN ENERGI ………. 60
A. Usaha ……….. 60
B. Energi Kinetik ………. 62
C. Energi Potensial Gravitasi ………. 63
D. Energi Potensial Elastik ……… 64
E. Daya dan Kecepatan ………. 66
BAB 8 TEGANGAN DAN REGANGAN ………. 69
A. Tegangan (stess) ……….. 69
B. Regangan ……….………. 75
DAFTAR PUSTAKA ………. 80
v
1
BAB 1
BESARAN DAN SATUAN
Standar Kompetensi :
– Mahasiswa dapat melakukan pengukuran
Kompetensi Dasar :
– Mahasiswa mampu memahami besaran dan satuan
– Mahasiswa mampu memahami Sistem Satuan Internasional (SI)
A. ARTI FISIKA
Fisika berasal dari kata Yunani yang berarti ”alam”. Karena itu fisika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari benda – benda di alam, gejala – gejala kejadian alam serta interaksi dari benda – benda di alam tersebut. Gejala ini pada mulanya adalah apa yang dialami oleh indera kita. Misalnya penglihatan menemukan optika atau cahaya, pendengaran menemukan pelajaran tentang bunyi, panas juga dapat dirasakan (perasaan).
Ilmu fisika juga disebut ilmu pengukuran (science of measurement). Dalam hubungan ini Lord Kelvin (1824 – 1907), seorang sarjana fisika Inggris yang termashur, mengucapkan, “Saya sering berkata bahwa bila seseorang dapat memberikan ukuran kepada sesuatu yang dibicarakannya serta menyatakannya dalam angka – angka, ia memang tahu tentang apa yang dibicarakannya itu; tetapi bila ia tidak mampu mengungkapkannya dengan angka – angka, berarti pengetahuannya dangkal dan tidak memuaskan, paling – paling baru merupakan awal suatu pengetahuan. Tingkat pemikirannya masih jauh dari tingkat ilmu, apapun yang menjadi pokok pembicaraanya”.
Fisika dapat didefinisikan sebagai proses benda – benda alam yang tak dapat berubah, artinya benda mati (biologi mempelajari benda – benda hidup). Maka
2
dapat disimpulkan bahwa ”Fisika” adalah ilmu pengetahuan yang tujuannya mempelajari bagian – bagian dari alam dan interaksi antara bagian tersebut.
Dalam mendefinisikan suatu besaran dalam Fisika haruslah terkandung kaidah menghitung besaran yang bersangkutan berdasarkan besaran - besaran lain yang dapat diukur. Misalnya, momentum didefinisikan sebagai hasil kali ”massa”
dan ”kecepatan”: jadi, sudah disebutkan kaidah untuk menghitungnya. Tinggal lagi bagaimana cara atau dasar mengukur besaran massa dan kecepatan tersebut.
Kecepatan didefinisikan berdasarkan faktor panjang (jarak) dan selang waktu; tetapi mendefinisikan besaran panjang dan waktu ini secara lebih mendasar dan lebih sederhana lagi tidaklah mungkin. Oleh sebab itu panjang dan waktu dinamakan besaran mekanika yang tak terdefinisikan.
B. BESARAN DAN SATUAN
Dalam fisika untuk mengetahui suatu sifat benda dilakukan pengukuran.
Hasil pengukuran selalu mengandung dua hal, yakni: kuantitas atau nilai dan satuan.
Sesuatu yang memiliki kuantitas dan satuan tersebut dinamakan besaran. Berbagai besaran yang kuantitasnya dapat diukur, baik secara langsung maupun tak langsung, disebut besaran fisis, misalnya panjang dan waktu. Tetapi banyak juga besaran- besaran yang dikategorikan non-fisis, karena kuantitasnya belum dapat diukur, misalnya cinta, bau, dan rasa.
Dahulu orang sering menggunakan anggota tubuh sebagai satuan pengukuran, misalnya jari, hasta, kaki, jengkal, dan depa. Namun satuan-satuan tersebut menyulitkan dalam komunikasi, karena nilainya berbeda-beda untuk setiap orang. Satuan semacam ini disebut satuan tak baku. Untuk kebutuhan komunikasi, apalagi untuk kepentingan ilmiah, pengukuran harus menggunakan satuan baku, yaitu satuan pengukuran yang nilainya tetap dan disepakati secara internasional, misalnya meter, sekon, dan kilogram.
3
Adanya kemungkinan perbedaan penafsiran terhadap hasil pengukuran dengan berbagai standar tersebut, memacu para ilmuwan untuk menetapkan suatu sistem satuan internasional yang digunakan sebagai acuan semua orang di penjuru dunia. Pada tahun 1960, dalam The Eleventh General Conference on Weights and Measures (Konferensi Umum ke-11 tentang Berat dan Ukuran) yang diselenggarakan di Paris, ditetapkanlah suatu
sistem satuan internasional, yang disebut sistem SI (Sistem International). Sampai saat ini ada dua jenis satuan yang masih digunakan, yaitu:
1) Sistem metrik
2) Sistem Inggris (imperial sistem)
Sistem metrik ada 2 macam, yaitu : meter- kilogram- sekon (disingkat mks) dan centimeter- gram- sekon (disingkat cgs). Sistem Inggris dikenal sebagai: foot, pound dan second (disingkat fps).
Dalam Sistem Internasional dikenal dua besaran yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Besaran pokok adalah besaran yang tak tergantung pada besaran – besaran lain. Besaran pokok ada tujuh, yaitu panjang, massa, waktu, kuat arus listrik, temperatur, jumlah zat, dan intensitas cahaya. Tabel 1.1 menunjukkan tujuh besaran pokok tersebut beserta satuan dan dimensinya.
Besaran turunan adalah besaran yang diturunkan dari besaran – besaran pokok, jadi merupakan kombinasi dari besaran pokok. Satuan besaran turunan diperoleh dari satuan-satuan besaran pokok yang menurunkannya, seperti terlihat dalam Tabel 1.2.
Tabel 1-1 Besaran Pokok Dan Satuan S.I
No. Besaran Simbol Dimensi Satuan Simbol
1 Panjang L meter m
2 Massa M kilogram kg
3 Waktu T sekon (detik) s (det)
4 arus listrik I ampere A
5 temperatur termodinamis T kelvin K
6 intensitas penyinaran Lc candela (lilin) Cd
7 banyaknya zat Mole mol
4
Besaran berdasarkan arah dapat dikelompokkan menjadi 2 bagian : a. Besaran skalar
Yaitu besaran yang hanya memerlukan perincian besarnya saja.
Contoh : isi, luas, suhu, waktu dan sebagainya b. Besaran vektor
Yaitu besaran yang memerlukan perincian besar dan arah.
Contoh : kecepatan, percepatan, gaya dan sebagainya.
Tabel 1-2 Besaran Turunan SI dan Singkatannya
Besaran Definisi Simbol Dimensi Satuan
Turunan Kecepata
n
perubahan posisi per
satuan waktu dt
v ds l t-1 meter-detik-1
Percepat an
perubahan kecepatan per
satuan waktu dt
a dv l t-2 m-detik-2
Luas - A, S l2 meter2
Volume - V l3 meter3
Gaya penyebab perubahan
gerak F = m.a ml t-2 Kgm/det-2 = N Newton Kerja perkalian gaya dan jalan
yang ditempuh W = F.s ml2 t-2 N – m = Joule Daya kerja per satuan waktu
dt
P dw ml2 t-3 joule/det = watt (W) Tekanan gaya per satuan luas
A
p F ml-1 t-2 Newton m-2 = Pascal (Pa)
5 C. PENGUKURAN
Untuk melukiskan peristiwa-peristiwa alam secara kwantitas perlu dilakukan pengukuran. Mengukur adalah membandingkan suatu besaran dengan besaran standar. Langkah pertama dalam pengukuran besaran fisika adalah memilih satuan dari pada besaran tersebut, kemudian membuat percobaan untuk menentukan perbandingan besar kwantitas terhadap besarnya satuan. Jadi bila dikatakan panjang sebuah tongkat 100 cm, maka berartiperbandingan antara panjang batang atau tongkat adalah 100 kali satuan panjang sentimeter.
Ada dua hal yang perlu diperhatikan dalam kegiatan pengukuran, pertama masalah ketelitian (presisi) dan kedua masalah ketepatan (akurasi). Presisi menyatakan derajat kepastian hasil suatu pengukuran, sedangkan akurasi menunjukkan seberapa tepat hasil pengukuran mendekati nilai yang sebenarnya.
Presisi bergantung pada alat yang digunakan untuk melakukan pengukuran.
Umumnya, semakin kecil pembagian skala suatu alat semakin presisi hasil pengukuran alat tersebut.
6 D. Rangkuman
1. Dalam fisika untuk mengetahui suatu sifat benda dilakukan pengukuran. Hasil pengukuran selalu mengandung dua hal, yakni: kuantitas atau nilai dan satuan.
Sesuatu yang memiliki kuantitas dan satuan tersebut dinamakan besaran.
2. Dalam Sistem Internasional dikenal dua besaran yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Besaran pokok adalah besaran yang tak tergantung pada besaran – besaran lain. Besaran pokok ada tujuh, yaitu panjang, massa, waktu, kuat arus listrik, temperatur, jumlah zat, dan intensitas cahaya.
Besaran turunan adalah besaran yang diturunkan dari besaran – besaran pokok, jadi merupakan kombinasi dari besaran pokok. Satuan besaran turunan diperoleh dari satuan-satuan besaran pokok yang menurunkannya
3. Besaran berdasarkan arah dapat dikelompokkan menjadi 2 bagian :
a. Besaran skalar, yaitu besaran yang hanya memerlukan perincian besarnya saja.
b. Besaran vektor, yaitu besaran yang memerlukan perincian besar dan arah.
4. ada dua jenis satuan yang masih digunakan, yaitu:
1) Sistem metrik
2) Sistem Inggris (imperial sistem)
Sistem metrik ada 2 macam, yaitu : meter- kilogram- sekon (disingkat mks) dan centimeter- gram- sekon (disingkat cgs). Sistem Inggris dikenal sebagai: foot, pound dan second (disingkat fps).
7
A
B
BAB 2 VEKTOR
Standar Kompetensi
– Mahasiswa mampu menganalisis vektor
Kompetensi Dasar
– Mahasiswa mampu mendefinisikan vektor – Mahasiswa mampu menguraikan vektor
– Mahasiswa mampu menjumlahkan dan mengalikan vektor
A. DEFINISI VEKTOR
Skalar adalah besaran yang tidak mempunyai arah, misalnya waktu, volume, energi, massa, densilitas, kerja. Penambahan skalar dilakukan dengan metode aljabar misalnya, 2 detik + 5 detik = 7 detik; 10 kg + 5 kg = 15 kg.
Vektor adalah besaran yang mempunyai arah, misalnya gaya, perpindahan, kecepatan, impuls. Sebuah vektor dapat digambarkan dengan anak panah, dan anak panah ini disebut dengan vektor. Sebuah vektor dengan besar dan arah tertentu (Gambar 2-1). Titik A menyatakan arah, panjang 4 satuan menyatakan besar serta garis yang melalui AB menyatakan garis kerja vektor.
Gambar 2-1. Vektor AB
8
Simbol vektor dinyatakan dengan huruf cetak tebal atau dengan A, a , AB dan besarnya dengan A, a, AB atau │A│, │ a │, │AB│.
Vektor Bebas adalah sebuah vektor yang dapat dipindahkan ke mana saja dalam ruang, asalkan besar dan arahnya tetap.
Vektor Satuan adalah sebuah vektor yang besarnya satu satuan vektor.
Vektor satuan pada sumbu X, Y, dan Z dinyatakan dengan vektor satuan iˆ , jˆ, kˆ atau aˆ , x aˆy, aˆ . z
Suatu vektor A bisa di tulis dengan : A = A eˆ A Disini eˆ adalah vektor satuan dari vektor A A.
Vektor Negatif P adalah vektor -P yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan.
Vektor Resultan adalah jumlah terkecil vektor yang menggantikan sistem vektor yang bersangkutan .
B. KOMPONEN VEKTOR Vektor Dalam Ruang
Vektor A dalam ruang dinyatakan dengan A = A + x Ay + A = z Axiˆ
+ Ayˆj + Azkˆ dan besarnya
A =
2 2 2
z y
x A A
A
A , x Ay, A dan iˆ , z jˆ, kˆ masing – masing adalah komponen vektor dan vektor satuan pada sumbu x, y, dan z.
9 disini A = x Axiˆ
besarnya A = A cos α x
Ay = Ayˆj Ay = A cos β
A = z Azkˆ A = A cos γ z
Arah vektor A terhadap sumbu x, y, dan z positif adalah
Cos α = A Ax
, Cos β = A Ay
, Cos γ = A Az
Vektor Dalam Bidang
Dalam bidang sumbu Z tidak ada maka vector A adalah : A = A + x Ay = Axiˆ
+ Ayˆj besarnya :
A =
2 2
y
x A
A
Komponen vektornya : A = x Axiˆ
besarnya : A = A cos α x
Ay = Ayˆj Ay = A cos β = A sin α Arahnya terhadap sumbu x dan y :
Cos α = A Ax
, dan Cos β = A Ay
Gambar 2.2. Vektor A dalam Ruang
10
Gambar 2.3. Vektor A dalam Bidang
C. PENJUMLAHAN VEKTOR
Dalam ilmu hitung (aritmetika) dan ilmu aljabar kita berhadapan dengan bilangan semata – mata. Dalam ilmu analisa vektor, yang merupakan salah satu cabang ilmu matematika murni, begitu pulalah halnya: sebuah vektor dianggap semata – mata sebagai sebuah anak panah atau ”sepotong garis lurus yang berarah”
tanpa mempunyai arti fisis sama sekali. Tetapi, sama seperti hukum – hukum ilmu hitung dan ilmu aljabar dapat menjelaskan operasi – operasi tertentu yang dapat dilakukan dengan beberapa besaran fisika, hukum – hukum aljabar vektor dapat pula menjelaskan beberapa (tidak semua) aspek besaran – besaran fisika lainnya.
(a) Metode Grafik
Untuk menjumlahkan vektor A dengan vektor B, tariklah Bsedemikian rupa sehingga ekornya berada pada kepala A jumlah vector A dan B adalah vektor R yang menghubungkan ekor A dan kepala B dan besar serta arahnya dapat di ukur (Gambar 2-4).
Gambar 2.4. Penjumlahan 2 Vektor A dan B
11
Dengan cara yang sama dilakukan bila lebih dari 2 vektor dijumlahkan.
Vektor Resultan R adalah vektor yang ditarik dari ekor vektor pertama ke kepala vektor terakhir. (Gambar 2.5).
Gambar 2.5. Penjumlahan Vektor R = A + B + C + D (b) Metode Jajaran Genjang
Vector Resultan R = A + B dapat di hitung dengan : (1) Membuat titik tangkap vektor A dan B
(2) Membuat jajaran genjang dengan vektor A dan B sebagai sisi – sisinya.
(3) Menarik diagonal dari titik tangkap vektor A dan B.
Vektor R = A +B adalah vektor diagonal jajaran genjang tersebut (Gambar 2.6).
Gambar 2.6. Vektor R = A +B dengan metoda jajaran genjang.
12
Bila θ = (A,B) = sudut antara vector A dan B maka : R = │A + B│ = A2 B2 2ABcos180 Arah vektor R terhadap vektor B adalah (R,B) disini :
180
sin R
= sin
AR,B(c) Metode Komponen
Menjumlahkan dua atau lebih vektor A,B,C,... sekaligus dengan metoda komponen dilakukan sebagai berikut.
(1) Uraikan semua vektor ke dalam komponen dalam arah x, y, dan z.
(2) Jumlahkan komponen – komponen dalam arah x, y, dan z bersama – sama yang memberikan Rx, Ry, Rz.
Artinya, besarnya Rx, Ry, dan Rz diberikan oleh : Rx = Ax + Bx + Cx + ...
Ry = Ay + By + Cy + ...
Rz = Az + Bz + Cz + ...
(3) Hitung besar dan arah Resultan R dari komponennya Rx, Ry,dan Rz Besar vektor Resultan R dinyatakan dengan :
R = Rx2 R2y RZ2 Dan arahnya terhadap sumbu x, y, dan z adalah :
Cos α = R Rx
, Cos β = R Ry
, Cos γ = R Rz
13 Contoh :
1. Carilah jumlah dua vektor gaya berikut dengan cara parallelogram : 30 pon pada 30 dan 20 pon pada 140 (satu pon gaya adalah gaya sedemikian hingga benda dengan massa 1 kg mempunyai berat 2,21 pon di bumi. Satu pon adalah sama dengan gaya 4,45 newton; ( 4,45 N )).
Kedua vektor gaya diperlihatkan pada gambar 2-7 (a). Kita bentuk paralelogram dengan kedua gaya itu sebagai sisinya, lihat gambar 2-7 (b). Resultannya, R, adalah diagonal paralelogram. Dengan pengukuran ditemukan R adalah 3 pon pada 72.
Gambar 2-7
2. Empat vektor sebidang bekerja pada sebuah benda dan berpotongan di titik O.
Lihat Gambar 2-11 (a). Carilah resultan gaya secara grafik. [ Pada Gambar 2-11, satuan gaya N adalah Newton. Benda dengan massa 1 kg beratnya 9,8 N di bumi : Gaya 1 N adalah sama dengan gaya 0,225 pon ].
Gambar 2-8
14
Dari titik keempat vektor ditarik seperti tampak pada Gambar 2-8(b). Ekor vektor yang satu diimpitkan dengan ujung vektor sebelumnya. Maka anak panah yang dapat ditarik dari titik ke titik ujung vektor terakhir adalah vektor resultan.
Dengan mengingat skala gambar didapatkan dari gambar 2-8 (b) bahwa R = 119 N. Dengan mistar busur sudut didapatkan 37. Maka R membentuk sudut θ = 180 - 37 = 143 dengan sumbu x positif. Resultan gaya-gaya itu adalah 119 N pada sudut 143.
3. Lima gaya sebidang bekerja pada sesuatu obyek. Lihat Gambar 2 - 13. Tentukan resultan kelima gaya itu.
Gambar 2-9
15
a) Tentukan komponen x dan y setiap gaya sebagai berikut :
Gaya Komponen x Komponen y
19 N 19 0
15 N 15 cos 600 = 7.5 15 sin 600 = 13
16 N - 16 cos 45° = - 11.3 16 sin 45° = 11.3 11 N - 11 cos 30° = - 9.5 - 11 sin 30° = - 5.5
22 N 0 -22.0
Perhatikan tanda + dan – pada komponen – komponen diatas.
b) Komponen vektor R adalah Rx = Fx dan Ry = Fy berarti ” jumlah semua komponen gaya adalah arah x”. Dengan demikian
Rx = 19,0 + 7,5 – 11,3 – 9,5 + 0 = + 5,7 N Ry = 0 + 13,0 + 11,3 – 5,5 – 22,0 = -3,2 N c) Besarnya gaya resultan :
R = Rx2 Ry2 6.5 N
16 D. Rangkuman
1. Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Tiap besaran vector dapat dinyatakan dengan sebuah anak panah dimana besarnya dinyatakan dengan panjangnya dan arahnya dinyatakan dengan arah anak panah
2. Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan : – Metode grafik
– Metode jajaran genjang – Metode komponen
17
BAB 3 GERAK LURUS
Standar Kompetensi :
– Mahasiswa mampu mahami kinematika benda
Kompetensi Dasar :
– Mahasiswa mampu mendefinisikan gerak lurus
– Mahasiswa mampu membedakan gerak lurus dengan percepatan tetap, gerak lurus dengan kecepatan tetap dan gerak jatuh bebas
– Mahasiswa mampu menghitung kecepatan dan posisi benda yang bergerak lurus
A. GERAK
Gerak dapat didefinisikan sebagai perubahan letak yang terus – menerus.
Pada kebanyakan gerak yang sesungguhnya, tiap – tiap titik pada suatu benda bergerak menurutkan lintasannya masing – masing. Gerak seluruhnya dapat diketahui apabila kita mengetahui bagaimana gerak setiap titik pada benda itu.
Karena itu kita mulai saja dengan meninjau suatu titik yang bergerak atau gerak suatu benda yang kecil sekali, yang disebut partikel.
Letak sebuah partikel dengan mudah dapat ditentukan berdasarkan proyeksinya pada ketiga sumbu sistem koordinat tegak lurus. Apabila partikel itu bergerak dalam ruang menurutkan sembarang lintasan, maka proyeksinya bergerak dalam garis lurus sepanjang ketiga sumbu itu. Gerak yang sesungguhnya dapat direkonstruksi berdasarkan gerak ketiga proyeksi ini. Sebab itu kita mulai saja dengan membicarakan gerak suatu partikel sepanjang garis lurus, atau gerak lurus.
18 B. JARAK, KECEPATAN DAN PERCEPATAN
Gerak lurus adalah gerak titik P sepanjang lintasan lurus, disini lintasan diambil sepanjang sumbu x.
(a) Posisi titik P pada setiap waktu t dinyatakan sebagai Jarak x dari suatu titik asal yang tetap O pada sumbu x. Jarak x ini positif atau negatif sesuai ketentuan tanda yang berlaku.
(b) Kecepatan rata-rata, Vr dari titik P dalam selang waktu t dan t +t selama perpindahan posisi dari x ke x +x adalah :
Vr = o
o t
t t
x x t x
( 3-1 )
(c) Kecepatan sesaat V dari titik P adalah limit kecepatan Rata-rata untuk pertambahan waktu mendekati nol. Secara matematika ditulis :
V = 0
lim
t = t x
= dt dx
( 3-2 )
(d) Percepatan Rata-rata ar dari titik P dalam selang waktu t dan t + t selama perubahan kecepatan dari V menjadi V + V adalah
ar = t v
= o
o t
t t
v v
( 3-3 )
(d) Percepatan sesaat a suatu titik P adalah limit percepatan Rata-rata untuk pertambahan waktu mendekati nol. Secara matematika ditulis :
a = 0
lim
t = t v
= dt dv
= 2
2
dt x d
( 3-4 )
19 C. GERAK LURUS BERATURAN
Gerak lurus beraturan adalah gerak titik P yang lintasannya berbentuk garis lurus dengan sifat bahwa jarak yang ditempuh tiap satuan waktu tetap.
r1 r2
r0 r1 r2
Gambar 3-1
Perhatikan Gambar 3-1, Po, P1, P2 adalah posisi titik P pada saat t = to, t1, dan t2 dengan vektor posisi r0,r1,r2,dan perpindahan r1, dan r2 .
r1 ditempuh dalam t1 = t1 – t0 dan r2 = dalam t2= t2 – t1.
Bila t1 = t2 = t dan r1 = r2 = r = r adalah konstan maka gerak benda disebut gerak lurus beraturan. Persamaan lintasan titik P adalah :
r = r0 + r = r0 + r eˆ r ( 3-5 )
Disini eˆ adalah vektor satuan perpindahan r r dan besar perpindahan r adalah tetap dalam selang waktu t yang sama.
Kecepatan gerak titik P dalam selang waktu t adalah :
v = t r
= tetap ( 3-6 )
atau r = v t ( 3-7 )
Persamaan lintasan dalam vektor posisi menjadi
r = r0 + v . teˆ r ( 3-8 )
20
Lintasan ini berupa garis lurus dan bukan pada sumbu x atau y maka komponen – komponennya adalah :
x = x0 + vx t iˆ x iˆ = xoiˆ + vx t iˆ
Atau ( 3-9 )
y = y + v0 y t jˆ yjˆ = yo jˆ + vy t jˆ
Karena gerak ini dalam gerak satu dimensi dan pada umumnya titik θ diambil di titik Po maka Persamaan lintasan menjadi :
x = vx t atau
y = vy t ( 3-10 )
Di sini vx dan vy adalah vx dan vy Rata-Rata dan besarnya tetap. Jadi dalam gerak lurus beraturan kecepatan Rata-rata sama dengan kecepatan sasaat,
Atau vr = v = c ( konstan ) ( 3-11 )
Maka percepatan sesaat dalam gerak lurus beraturan :
a = dt dv
= dt d
(c) = 0 ( 3-12 )
Gravik x vs t , v vs t dan a vs t dapat dilihat dalam gambar 3-2
( a ) x vs t ( b ) v vs t ( c ) a vs t
Gambar 3-2. Grafik x, v, dan a fungsi t
21 D. GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN
Gerak Lurus Berubah Beraturan ialah gerak sebuah benda yang lintasannya berbentuk garis lurus dengan sifat bahwa jarak yang ditempuh tiap satuan waktu berubah lebih besar atau lebih kecil, artinya tidak tetap.
Di sini jarak yang ditempuh makin besar atau makin kecil artinya gerak dipercepat atau diperlambat. Contoh gerak lurus berubah beraturan adalah gerak jatuh bebas. Gerak jatuh bebas ialah gerak lurus dipercepat beraturan yang lintasannya vertikal ke bawah sejajar sumbu Y dan biasanya arah ke bawah di ambil sebagai arah positif. Gerak jatuh bebas adalah gerak benda yang dilepaskan dari suatu tempat di atas permukaan bumi tanpa kecepatan awal.
Dari eksperimen diperoleh bahwa jarak yang ditempuh berbanding lurus dengan kwadrat dari waktu artinya
Y = c t2 ( 3-13 )
Di sini c adalah konstanta tak bergantung pada benda dan waktu. Gambar 3- 3 menunjukkan lintasan gerak jatuh bebas dari titik Po
Gambar 3.3 Lintasan Gerak Jatuh Bebas (a) Titik tinjau 0 di luar sumbu Y (b) Titik tinjau 0 pada sumbu Y
22 Persamaan lintasan untuk Gambar 3-3 (a)
r = r0 + r = r0 + c t2 jˆ ( 3-14 )
Persamaan lintasan untuk Gambar 3-3 (b) y = y + 0 y
Atau
y jˆ = ( yo + y) jˆ = ( yo + c t2) jˆ ( 3-15 ) Karena lintasannya garis lurus, maka persamaan (3-15) pada umumnya ditulis dengan tanpa tanda vektor.
y = yo + c t2 ( 3-16 )
persamaan kecepatan benda.
vy = t
y
d d
= 2 C t ( 3-17 )
persamaan percepatan benda.
ay = t
y
d dv
= 2 C ( 3-18 )
Dari persamaan ( 3-17 ) dapat disimpulkan bahwa kecepatan Rata-rata gerak lurus berubah beraturan sangat bergantung pada interval waktu, jadi besarnya tidak sama dengan kecepatan sesaat.
Sebagai diketahui bahwa setiap benda yang jatuh bebas di dekat permukaan bumi mempunyai percepatan ke bawah yang disebut percepatan gaya tarik bumi atau percepatan gravitasi bumi ( g ). Percepatan gravitasi bumi ini besarnya Rata- rata :
g = 9,8 m/s² ( 3-19 )
Dari persamaan ( 3-18 ) dan ( 3-19 ) diperoleh ay = 2 c = g
23
Atau c = ½ g ( 3-20 )
Persamaan lintasan benda jatuh bebas menjadi
y = yo + ½ g t2 ( 3-21 )
vy = g t ( 3-22 )
ay= g = 9,8 m/s²
Bila titik tinjau θ berimpit dengan Po persamaan lintasan jatuh bebas menjadi.
y = ½ g t2 ( 3-23 )
dan
vy = g t ( 3-24 )
Bila persamaan ( 3-24 ) di tulis :
t = g vy
, dan disubstitusikan ke dalam persamaan ( 3-23 ) diperoleh
2
v = 2 g y y ( 3-25a )
Atau vy 2 g y ( 3-25b )
Benda jatuh bebas adalah gerak lurus berubah beraturan, maka persamaan Gerak lurus berubah beraturan tanpa kecepatan awal ( Vo = 0 ) secara umum dapat ditulis
x = xo + ½ a t2 atau s = so + ½ a t2 ( 3-26a )
vx = at v = at ( 3-26b )
2
vx = 2 a ( x - xo ) v2 = 2 a ( s - so ) ( 3-26c )
Bila mana benda bergerak dengan kecepatan awal Vo, persamaan lintasan menjadi
x = xo + vo t + ½ at2 atau S = so + vo t + ½ at2 ( 3-27a )
vx = vo + at v = vo + at ( 3-27b )
24
2
vx = v02 + 2 a ( x - xo ) v2 = v02 + 2 a ( s - so ) ( 3-27c )
vr = 2
0 vx
v
vr = 2
0 v
v
( 3-27d )
Grafik x vs t, v vs t, dan a vs t dapat dilihat dalam Gambar 3-4
Xo Vo
θ θ θ
(a) x = xo + vo t + ½ at2 (b) vx = vo + at (c) a = c
Gambar 3-4 Grafik Gerak berubah beraturan
Dalam Gambar 3-4 dapat dilihat bahwa bila percepatan a > 0 , kecepatan v naik dan jarak x mempunyai titik minimum dengan bertambahnya waktu. Sebaliknya bila mana a < 0 , kecepata v turun dan jarak x mempunyai titik maksimum.
Contoh Soal :
1) Ubah laju 0,200 cm/s menjadi km/tahun.
Jawab :
0,200 cm/s = ( 0,200 cm/s) ( 10-s km/s) ( 3600 h/d) (24 h/year) = 63 km/tahun
25
2) Seorang pelari menempuh satu putaran sepanjang 200 m dalam waktu 25 detik.
(a) Berapakah laju rata-ratanya ? (b) Berapakah kecepatan rata-ratanya ? Jawab :
(a) Dari definisi :
Laju rata-rata = waktu yang diperlukan ditempuh yang
Jarak
= s
m 25 200
= 8,0 m/s
(b) Karena titik akhir lintasan berimpit dengan titik awalnyam, maka vektor perpindahan pelari itu adalah nol. Hingga
v =
s s m
m waktu
n perpindaha
/ 25 0
0
3) Benda yang mula-mula diam dipercepat dengan percepatan 8 m/s2 dan menempuh garis lurus. Tentukan :
(a) laju pada akhir detik ke-5 ;
(b) laju rata-rata dalam selang waktu 5 detik pertama ; (c) jarak yang ditempuh dalam 5 detik tersebut ; Jawab :
Kita hanya memperhatikan gerak selama 5 detik pertama. Pada gerak ini diketahui bahwa vo = 0, t = 5, a = 8 m/s2. karena gerak ini adalah gerak yang dipercepat beraturan, maka kelima persamaan gerak di atas dapat digunakan :
(a) v = v +at = 0 + ( 8 m/s2 ) ( 5 s ) = 40 m/s
(b) v = 2
0 v
v
= 2 40 0
m/s = 20 m/s
(c) s = vo t + ½ at2 = 0 + ½ ( 8 m/s2 ) ( 5 s ) 2 = 100 m atau
s = v t = ( 20 m/s ) ( 5 s ) = 100 m
26
4) Laju sebuah truk bertambah secara teratur dari 15 km/jam menjadi 60 km/jam dalam waktu 20 detik, Carilah :
(a) laju rata – rata, (b) percepatan,
(c) jarak yang ditempuh, dalam satuan meter dan detik, Jawab : pada gerak selama 20 detik ini berlaku :
vo = ( 15 km/jam ) ( 1000 m/km ) ( 3600 1
jam/s ) = 4,17 m/s v = 60 km/jam = 16,7 m/s
t = 20 s
(a) v = ½ (vo + vt ) = ½ (4,17 + 16,7 ) m/s = 10,4 m/s
(b) a =
s t
v v
20 2 , 4 7 ,
0 16
= 0,63 m/ s2 (c) x = v t = ( 10,4 m/s ) ( 20 s ) = 208 m
5) Bola jatuh bebas dari ketinggian 50 m.
(a) Berapakah laju bola sesaat sebelum sampai di tanah ?
(b) Berapakah waktu yang diperlukan bola untuk mencapai tanah ? Jawab :
Dengan mengabaikan gesekan udara, bola itu bergerak dipercepat beraturan hingga sampai di tanah. Percepatan yang dialaminya adalah 9,8 m/s² ke bawah.
Dengan mengambil arah ke bawah sebagai arah positif, maka : y = 50 m, a = 9,8 m/s² , vo = 0
(a) v2 = v02 + 2 ay = 0 + 2 (9,8 m/s² ) ( 50 m ) = 980 m²/s² Maka v = 31 m/s
(b) Karena a = ( v - vo )/t
27 Maka t =
s s m
s m a
v
v 3,2
/ 8 , 9
/ 0 31
2
0
6) Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu x dengan persamaan lintasannya x = 5t2 + 1, dengan x dalam meter t dalam detik.
Hitung :
a. Kecepatan rata-rata antar t – 2 detik dan t = 3 detik.
b. Kecepatan pada saat t = 2 detik.
c. Kedudukannya pada t =10 detik dan t = 0 detik.
d. Jalan yang ditempuh dalam 10 detik.
e. Percepatan rata-rata antara t = 2 detik dan t = 3 detik.
f. Grafik x vs t, v vs t, a vs t.
Jawab :
a. v rata-rata = 3 2
2 3
t t
x x t x
=
2 3
1 2 . 5 1 3 .
5 2 2
v rata-rata = 1 25 /det
21
46 m
b. V2 = dt dx
= | 10 t | = 20 m/det
t = 2 t = 2 c. xo = 1 m
x10 = 5.102 + 1 = 501 m.
d. Jalan yang ditempuh dalam 10 detik : ( 501 – 1) m = 500 m.
e. a rata-rata = 3 2
2 3
t t
v v t v
28
=
det2
/ 1 10
2 . 10 3 .
10 m
(konstan, dipercepat)
29
E. Rangkuman
1. Gerak dapat didefinisikan sebagai perubahan letak yang terus – menerus.
2. Gerak lurus adalah gerak titik P sepanjang lintasan lurus
3. Gerak lurus beraturan adalah gerak yang lintasannya berbentuk garis lurus dengan sifat bahwa jarak yang ditempuh tiap satuan waktu tetap.
Rumus : V = Vo
x = xo + v t
4. Gerak Lurus Berubah Beraturan ialah gerak sebuah benda yang lintasannya berbentuk garis lurus dengan sifat bahwa jarak yang ditempuh tiap satuan waktu berubah lebih besar atau lebih kecil, artinya tidak tetap.
Rumus : v = vo + at
x = xo + vo t + ½ at2
2
vx = v02 + 2 a ( x - xo )
5. Gerak jatuh bebas ialah gerak lurus dipercepat beraturan yang lintasannya vertikal ke bawah sejajar sumbu Y dan biasanya arah ke bawah di ambil sebagai arah positif. Gerak jatuh bebas adalah gerak benda yang dilepaskan dari suatu tempat di atas permukaan bumi tanpa kecepatan awal.
Rumus : vy = vo + g t y = vot + ½ g t2
30
O
V0y
V0x V0
VA = V0A
B
V,
V
X
V
BAB 4
GERAK PARABOLA
Standar Kompetensi :
– Mahasiswa mampu mahami kinematika benda Kompetensi Dasar
– Mahasiswa mampu memahami gerak parabola
– Mahasiswa mampu menghitung kecepatan, percepatan dan posisi benda pada gerak parabola
A. GERAK PELURU (PROYEKTIL)
Gerak peluru adalah gerak sebuah peluru yang dilemparkan dengan arah yang tidak vertikal, sehingga geraknya hanya dipengaruhi oleh percepatan gravitasi bumi dan lintasan berupa parabola.
Gambar 4.1
31
Misalkan sebuah peluru dilemparkan dari titik 0 dengan kecepatan Vo dengan arah terhadap horizontal, maka lintasan peluru akan berada dalam satu bidang datar dan berbentuk lengkung (bukan garis lurus) berarti akan mencapai titik tertinggi (A) dan titik terjauh (B) terhadap titik pelemparan (0). (Lihat gambar 4.1). Karena gerak ini berada dalam bidang datar berarti merupakan resultan dari dua gerak yaitu pada arah vertikaldan horizontal. Jika bidang datar ini adalah bidang X O Y, maka arah horizontal = arah X dan arah vertikal = arah Y. Dalam perjalanannya peluru tersebut hanya dipengaruhi oleh percepatan gravitasi bumi yang arah vertikal ke bawah berarti // sumbu Y, sedangkan pada arah horizontal tidak ada percepatan, jadi pada permulaan geraknya pada arah vertrikal peluru mendapat perlambatan, karena percepatan dan kecepatan arahnya berlawanan. Pada suatu titik jika vy = 0, peluru akan berhenti dan kemudian jatuh kembali dengan di percepat. Komponen gerak pada arah Y adalah gerak lurus dipercepat beraturan dengan kecepatan awal, sedangkan pada arah X terdapat gerak lurus beraturan. Di sini pengaruh udara diabaikan.
Gerak dalam arah sumbu x adalah gerak lurus beraturan karena percepatan ax = 0 di sini :
Vox = Vx = Vo Cos θ = tetap ( 4-1 )
Dan
X = Vox . t = Vo Cos θ .t ( 4-2 )
Gerak dalam arah sumbu Y adalah gerak lurus berubah beraturan dengan percepatan ay = - g di sini :
Voy = Vo Sin θ ( 4-3 )
Y = Voy t - ½ gt² = Vo Sin θ t - ½ gt² ( 4-4 ) Vy = Voy – gt = Vo Sin θ – gt ( 4-5 ) Kecepatan peluru pada saat t adalah :
32 V =
2 2
y
x V
V
( 4- 6 )
Arah kecepatan peluru menyinggung lintasannya dinyatakan dengan :
Tg θ = x
y
V V
( 4-7 )
Di sini θ adalah sudut antara kacepatan v dengan sumbu x positip.
Peluru akan mencapai tinggi maksimum bila : Vy = 0 = Vo Sin θ – gt
atau
t (maks) = g V0 sin
( 4-8 )
Sehingga dari persamaan ( 4-4 ) di peroleh tinggi Y maksimum :
Ymaks = g V
2 sin2
2
0
( 4-9 ) Dan
V = Vx = Vo Cos θ ( 4-10 )
Pada saat peluru mencapai jarak mendatar terjauh ( B) Bila : Y = 0 = Vo Sin θ t²
Atau
tx(maks) = g V sin 2 0
( 4-11 )
Dari persamaan ( 4-2 ) diperoleh jarak terjauh :
Xmaks= g V02 sin 2
( 4-12 )
33 pusat bumi
permukaan bumi
g V0
V'
g' g'' V''
V'''
g'''
Dari persamaan ( 4-12 ) ini dapat dilihat bahwa jarak mendatar terjauh diperoleh bila sin 2 θ = 1 artinya sudut lemparan ( elevasi ) = 45. Syarat –syarat yang harus dipenuhi pada gerak peluru adalah :
Jarak ( range ) cukup kecil sehingga kelengkungan bumi dapat diabaikan.
Ketinggian cukup kecil sehingga perubahan percepatan gravitasi terhadap ketinggian dapat diabaikan.
Untuk jarak jauh, keadaan lintasan dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar 4-2
Arah semua g ke pusat bumi. Lintasan ini tidak lagi parabola, tapi elips. Jika gerak peluru dipengaruhi gesekan udara lintasannya berubah.
Gambar 4-3
Lintasan ( 1 ) : lintasan sebenarnya di udara.
Lintasan ( 2 ) : lintasan di vakum.
34
Contoh yang umum dari gerak dengan percepatan konstan adalah jatuhnya suatu benda kebumi . Bila tidak ada gesekan udara, ternyata bahwa setiap benda bagaimanapun ukuran dan berapapun beratnya, jatuhnya dititik yang sama di permukaan bumi akan terjadi dengan kecepatan yang tidak berbeda, dan apabila jarak jatunya tidak terlalu besar, percepatan akan tetap konstan selama jatuh. Efek gesekan udara dan berkurangnya percepatan akibat tinggi letak kita abaikan.
Gerak yang diidealisasikan seperti ini sering disebut dengan jatuh bebas. Walaupun pengertiannya berlaku untuk gerak ke atas dan kebawah.
Percepatan benda jatuh bebas disebut dengan percepatan akibat gaya berat dan diberi simbol huruf ( g ). Nilai g = 980 cm/s2 atau 9.8 m/s2 = 32 ft/s2.
Harga-harga yang lebih tepat dimuka bumi tergantung pad letak lintang dan tinggi letaknya di permukaan bumi.
Catatan :
Besaran g kadang-kadang untuk mudahnya disebut saja berat yang diakibatkan oleh gaya percepatan gravitasi bumi.
35 Contoh Soal:
1. Seorang penerbang menerbangkan pesawatnya dengan kecepatan 15 m/s dalam arah datar pada ketinggian 100 m. Lihat pada gambar 4.7. berapa meter di depan sasaran karung beras harus dilepas agar karung tepat mengenai sasarannya ?
Jawab :
Dengan memakai persamaan Y = Vot + 1/2ayt2 dari persamaan ini diperoleh 100m = 0 + ½ (9,8m/s2)r2 atau t = 4,5 s
Dengan persamaan X = V xt diperoleh (15 m/s) (4,5 s) = 68 m Jadi 68 m di depan sasaran, karung harus di lepas.
voy
v o
v0x
Gambar 4.7 Gambar 4.8
36
2. Bola tenis dilempar dengan kecepatan awal 100m/s yang memebentuk sudut 30
0 ke atas. Lihat Gambar 4-8. berapa jauh dari titik awal, bola akan mencapai ketinggiannya semula ?
Jawab :
Dalam soal ini bagian vertikal dipisahkan dari bagian horisontalnya. Dengan arah ke atas dihitung positif diperoleh
Vox = Vo cos 300 = 86,6 m/s dan Voy = V sin 30o 0 = 50 m/s
Dalam arah vertikan y = 0 sebab bola kembali ke ketinggian semulanya. Maka:
Y Voyt+ ½ ayt2 atau 0 + (50 m/s) + ½ (-9.8 m/s2)t hingga t + 10.2 s.
Dalam arah mendatar, Voy = Vfx = V = 87 m/s. Maka X = Vxt = ( 87 m/s ) ( 10.2 s ) = 890 m
3. Seorang anak melempar batu dengan kecepatan al 12.5 m/s dan sudut 30o terhadap bidang horizontal. Jika percepatan gravitasi 10 m/s2, Tentukan waktu yang diperlukan batu tersebut mencapai tanah ?
Jawab :
Untuk gerak dengan lintasan berbentuk parabola, waktu yang dibutuhkan untuk sampai ketanah adalah :
x sekondx x g
t Vo
o
. 25 . 10 1
5 . 0 25 10
30 sin 5 . 12 2 sin . .
2
37
20
y
4. Bola dilempar dari atap bangunan lain sejauh 50 ft dari bangunan pertama kecepatan awal: 20 ft/s pada sudut 400. Di mana (di atas bawah ke tinggian semula) bola akan mengenai bangunan yang lebih tinggi itu? Lihat gambar berikut:
Kita peroleh:
V = (20 ft/s) cos 40ox 0 = 15,3 ft/s Voy = (20 ft/s) cos 400 = 12,9 ft/s
Perhatikan gerak dalam arah datar. Untuk gerak ini berlaku V = ox Vfx = V 15,3 ft/s x
Dari persamaan X = Vxt diperoleh 50 ft = (15,3 ft/s)t atau t = 3,27 s
Dengan arah ke bawah sebagai arah positif :
Y = V t + 1/2aox yt2 = (-12,9 ft/s)(3,27 s)+1/2(3,27 ft/s)2= 130 ft
Jarak Y positif, maka bola mengenai bangunan 130 ft di bawah ketinggiannya semula.
38 B. Rangkuman
1. Gerak parabola adalah suatu gerak benda yang lintasannya berupa parabola.
Gerak parabola = gerak eluru
2. Kecepatan mendatar = Vx = Vo Cos θ Kecepatan vertikal = Vy = Vo Sin θ – gt 3. Perpindahan mendatar :
X = Vo Cos θ .t Y = Vo Sin θ t - ½ gt²
4. Titik tertinggi :
Ymaks = g V
2 sin2
2
0
5. Waktu di tempat tertinggi :
t (maks) = g V0 sin
6. Waktu kembali ke tanah :
tx(maks) = g V sin 2 0
39
BAB 5
KESETIMBANGAN MOMEN GAYA
Standar Kompetensi :
– Mahasiswa mampu mahami keseimbangan benda
Kompetensi Dasar :
– Mahasiswa mampu memahami momen gaya
– Mahasiswa mampu memahami syarat-syarat kesetimbangan benda – Mahasiswa mampu menghitung Resultan gaya
– Mahasiswa mampu menentukan pusat berat benda
A. PENGERTIAN MOMEN GAYA
Besar dan arah efek gaya yang bekerja pda suatu benda tergantung pada letak garis kerja gaya yang dapat diperinci dengan menentukan jarak tegak lurus antara sebuah titik patokan dengan garis kerja tersebut.
Karena ruang lingkup bahsan adalah benda yang berputar bebas terhadap sumbu dan gaya – gaya sebidang yang bekerja tegak lurus sumbu, maka yang paling penting adalah menetukan titik tersebut yang dinamakan titik pusat koordinat, yaitu titik dimana sumbu memotong bidang gaya yang bekerja.
Jarak tegak lurus antara titik koordinat ke garis kerja gaya dinamakan lengan gaya atau lengan momen dari gaya itu terhadap sumbu.
Dari kedua pengertian diatas, kita dapat peroleh bahwa momen gaya terhadap suatu sumbu adalah hasil kali antara besarnya gaya dengan lengan momen atau disebut juga gaya putar (Torque). Gambaran tentang pengertian tersebut dapat dijelaskan dengan ilustrasi sebagai berikut:
40 F
F1
2 lengan momen F1
lengan momen F2
O
A
B
garis kerja F1
garis kerja F2
F1
F2
Dari gambar 5.1 b diatas dapat dibedakan bahwa:
Efek gaya F1: rotasi yang berlawanan dengan putaran jarum jam terhadap sumbu dan dianggap positif (+). Sehingga momen (gamma) dari gaya F1 terhadap sumbu lewat O:
1 = +F1. l1
Efek gaya F2: rotasi yang searah putaran jarum jam terhadap sumbu dan dianggap negatif (-).Sehingga momen (gamma) dari gaya F2 terhadap sumbu lewat O:
2 = -F2. l2
Momen ini dapat dinyatakan dalam pound feet atau Kgm.
B. SYARAT KEDUA UNTUK KESETIMBANGAN
Bendayang dalam kondisi setimbang, maka sejumlah gaya yang bekerja padanya harus memenuhi 2 syarat:
1. Sama besar dan berlawanan arahnya.
2. Harus mempunyai garis kerja yang sama.
Syarat pertama dapat dipenuhi oleh syarat kesetimbangan I, yaitu:
Fx = 0, Fy = 0
41 F1
O I
A
F2
Syarat kedua dapat dipenuhi oleh syarat kesetimbangan II, yang dinyatakan berdasarkan momen gaya, yaitu:
= 0 (terhadap sembarang sumbu) Syarat kedua ini dapat di ilustrasikan seperti gambar berikut:
C. RESULTAN GAYA SEJAJAR
Resultan gaya sejajar adalah sebuah gaya yang bisa mewakili sekumpulan gaya sejajar serta mempunyai:
Arah yang sama dengan semua gaya tersebut
Besar sama dengan penjumlahan besar semua gaya
Garis kerja yang dapat dicari berdasar syarat bahwa momen resultan harus sama dengan penjumlahan momen setiap gaya.
Gambar 7.3 dapat dipakai untuk menjelaskan hal tersebut. Dari gambar tersebut dengan gaya – gaya sejajar F1 dan F2 dapat dibuat sumbu x yang tegak lurus terhadap gaya – gaya dan titik O adlah titik sembarang yang dijadikan acuan.
Karena kedua gaya tidak berkomponen x maka besarnya resultan gaya:
R = Fy = F1 + F2
Sedangkan resultan momennya terhadap titik O adalah:
0 = x1 F1 + x2 F2
Dan jika x adalah jarak dari O ke garis kerja resultan, maka momen dari resultan terhadap O adalah:
42 y
x O
F
1R F
2x1
x x2
R x = (F1 + F2) x Biasanya x dapat ditentukan dengan:
0 = R x x1 F1 + x2 F2 = (F1 + F2) x
2 1
2 2 1 1
F F
x F x x F
Resultan dari sembarang gaya sejajar dapat ditentukan dengan cara yang sama degan besar resultannya:
R = F
Dan jika gaya – gaya itu sejajar dengan sumbu y, maka koordinat x dari garis kerjanya (resultan) adalah:
R Fx F
x Fx
43
y
x O
W1
W W2
x1
x x2
x1,y1
x2,y2
y
x O
W1
W
W2
y1
y
y2
x1,y1
x2,y2
p,b
x,y W
D. PUSAT BERAT
Berat adalah resultan dari semua gaya tarik bumi yang dialami oleh partikel zat dalam suatu benda. Tetapi karena jarak ke pusat bumi sedemikian jauhnya sehingga gaya – gaya tersebut dapat dianggap sejajar. Dengan demikian berat benda dapat diartikan sebagai resultan dari sejumlah besar gaya sejajar.
Sedangkan pusat berat dari benda dapat diilustrasikan dari gambar berikut yang memperlihatkan benda tipis sembarang bentuk dan terletak pada bidang xy.
Jika dimisalkan benda tersebut terbagi atas partikel – partikel dengan berat w1, w2 dst maka:
Berat total benda tersebut adalah:
W = w1 + w2 + ... = w Koordinat x garis kerja W adalah:
W wx w
wx w
w x w x
x w
...
...
2 1
2 2 1 1
Kemudian jika gaya gravitasi kita putar 900 berlawanan jarum jam, maka koordinat y dari garis kerjanya adalah:
W wy w
wy w
w
y w y
y w
...
...
2 1
2 2 1 1
44
y
x O
F2
x1 x2
l
Titik perpotongan garis kerja W pada kedua bagian dengan koordinat x ,y dinamakan pusat berat benda tersebut. Dan simetri suatu benda seringkali berguna untuk menentukan pusat berat benda.
E. KOPEL
Kopel adalah pasangan gaya sama besar yang berlawanan arah, denga garis kerja sejajar tetapi tidak berimpit. Pasangan gaya tersebut dapat dijelaskan dengan gambart berikut ini, yang sama besar masing – masing gaya adalah F, terpisah oleh jarak tegak lurus l.
Resultan dari gaya – gaya tersebut adalah:
R = F – F = 0
Dengan resultan = 0 artinya bahwa sebuah kopel tidak mempengaruhi sebuah gerak translasi benda sebagai suatu benda keseluruhan, tetapi hanya menimbulkan rotasi.
Momen resultan dari kopel tersebut terhadap sembarang titik O adalah:
0 = x1F – x2F
= x1F – (x2 + l) F
= - lF
45 W = 80 lb
F1 F2y F2
16 ft
6 ft 6 ft
20 ft
Dari perumusan itu dapat disimpulkan bahwa besarnya momen kopel terhadap semua titik dalam bidang dimana bekerja gaya – gaya yang membentuk kopel adalah:
Hasil kali salah satu gaya dengan jarak tegak lurus antara garis – garis kerjanya.
Dan sebuah benda yang padanya bekerja sebuah kopel, hanya dapat dalam keadaan setimbang bila ada kopel lain yang bekerja pada benda tersebut dengan besar yang sama dan arah berlawanan.
Contoh Soal:
1. Sebuah tangga panjang 20 feet, berat 80 lb pusat beratnya ada ditengah – tengah, dalam keadaan setimbang, bersandar pada dinding vertikal tanpa gesekan dan membuat sudut 530 denganhorizontal. Tentukan besar dan arah gaya F1 dan F2.
Penyelesaian:
Bila tanpa gesekan, F1 horizontal dan arah F2 tidak diketahui, sehinga F2 diuraikan menjadi F2x dan F2y.
Syarat I kesetimbangan, memberikan persamaan:
Fx = F2 cos - F1 = 0
Fy = F2 sin - 80 = 0 F2 sin = 80 lb
46
1 in
y
x
W
1W
26 in
1 in 2 in
pb
Syarat kesetimbangan II, momen terhadap sumbu lewat titik A
A = F1 x 16 - 80 x 6 = 0 F1 = 480/16 F1 = 30 lb Dimasukkan ke persamaan 1 sehingga: F2 cos = 30 lb Karenanya:
F2 =
802 302
= 85,5 lb
= tan -1 (80:30)
= 69,50
2. Tentukan letak pusat berat bagian suatu mesin sperti gambar. Yanbg terdiri atas piringan berdiameter 2 inci dan panjangnya 1 inci dan batang berdiameter 1 inci serta panjangnya 6 inci. Keduanya terbuat dari bahan homogen.
Penyelesaian:
Berdasar simetri pusat berat berada pada sumbu sumetrinya, sedagkan pusat berat masing – masing terletak pada tengah – tengah antara ujungnya masing – masing.
Volume piringan:
Voll = R2 x 1
= . (1)2 x 1
= in3
47 Volume batang:
Voll = R2 x 6
= . (0,5)2 x 6
= 3 / 2 in3
Karena berat kedua bagian berbandinga langsung dengan volumenya, maka:
23 2 / 3 2 1
tan
w
w g Wba
Wpiring
Ambillah titik O pada muka sebelah kiri dan pada sumbu piringan, maka:
x1 = 0,5 in dan x2 = 4,0 in
in w
w
w w
x 2,6
32
0 , 4 2 . 5 3 , 0 .
1 1
1
1
sebelah kanan O
3. Pada soal 1 dapat dianggap dipengaruhi oleh 2 buah kopel, a) Dibentuk oleh gaya F2 sin
1 = 6 ft x 80 lb = 480 lb searah jarum jam b) Dibentuk oleh F2 cos q dan F1
2 = 16 ft x 30 lb = 480 lb berlawanan jarum jam
