VIETMATHS.NET pascal theorem

(1)

Định lý Pascal

Nguyễn Văn Linh

Năm 2014

1 Giới thiệu.

Năm 16 tuổi, Pascal công bố một công trình toán học : Về thiết diện của đường cônic, trong đó ông đã chứng minh một định lí nổi tiếng và gọi là Định lí về lục giác thần kì. Ông rút ra 400 hệ quả từ định lí này. Nhà toán học và triết học vĩ đại lúc bấy giờ là Descartes cho rằng công trình của Pascal đã bao hàm được bốn cuốn sách đầu của Apollonius. Ông đánh giá rất cao công trình toán học này và nói :"Tôi không thể tưởng tượng nổi một người đang ở tuổi thiếu niên mà lại có thể viết được một tác phẩm lớn như thế".

Định lý Pascal tổng quát phát biểu cho các đường conic tuy nhiên ở đây chúng ta chỉ xem xét trong trường hợp đường tròn, phát biểu như sau:

Cho sáu điểm bất kì A, B, C, A′_{, B}′_{, C}′ _{cùng thuộc một đường tròn. Khi đó giao điểm của các cặp} đường thẳng(AB′_{, BA}′₎_,₍_AC′_{, CA}′₎_,₍_BC′_{, CB}′₎ _{thẳng hàng.}

Đường thẳng đi qua 3 giao điểm trên được gọi là đường thẳng Pascal. Có thể thấy vai trò của

A, B, C, A′_{, B}′_{, C}′ _{như nhau nên chúng ta hoàn toàn có thể hoán vị các điểm này. Từ đó thu được rất}

nhiều đường thẳng Pascal khác nhau. Cụ thể là 60 đường thẳng. Một số tính chất của đường thẳng Pascal xem tại [2].

Để dễ quan sát các cặp đường thẳng và không bị ngộ nhận hay nhầm lẫn, đôi khi người ta sử dụng cách kí hiệu 6 điểm như sau:

A B C

A′ _B′ _C′

.

Trong trường hợp có hai điểm trùng nhau, chẳng hạn A ≡B′_{, ta có thể coi đường thẳng} _AB′ _là tiếp tuyến của đường tròn tạiA. Từ đó thu được định lý Pascal cho lục giác suy biến thành ngũ giác,

tứ giác, tam giác nội tiếp.

2 Chứng minh.

Có rất nhiều cách chứng minh định lý Pascal tuy nhiên ở đây xin giới thiệu tới bạn đọc hai cách chứng minh sau.

(2)

J K

Y X

Z

B' A'

C' C

GọiX, Y, Z lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng(BC′_{, CB}′₎_,₍_AC′_{, CA}′₎_,₍_AB′_{, BA}′₎_.

A′_{C, AC}′ _giao ₍_XCC′₎ _{lần thứ hai tại}_{K, J.}

Ta có∠A′_KX ₌_∠_XC′_C₌_∠_BA′_C nên _XK _k_A′_Z. Chứng minh tương tự ta suy ra hai tam giác

XKJ vàZA′_Acó cạnh tương ứng song song. Từ đó _{XZ, KA}′_{, J A} đồng quy hay_{X, Y, Z} thẳng hàng. Cách 2.

M

N

Y X

Z A

B' A'

B

C' C

GọiM, N lần lượt là giao của AC′ _và_BA′_,_BC′ _và_CA′_.

Ta có A(A′_C′_B′_B_{) =}_C₍_A′_C′_B′_B₎ _nên ₍_A′_{M ZB}_{) = (}_{N C}′_XB₎_{. Điều đó nghĩa là} _{M C}′_{, N A}′_{, XZ} đồng quy hayX, Y, Z thẳng hàng.

3 Ứng dụng.

Bài 1. (Bổ đề Sawayama-Thebault). Cho tam giác _ABC nội tiếp đường tròn ₍_O₎, ngoại tiếp đường

tròn(I). Đường trònω tiếp xúc trong với(O)và tiếp xúc vớiAB, AClần lượt tạiAb, Ac. Chứng minh

(3)

F

E

X

I Ac A_b

O_a O A

B C

Chứng minh. GọiX là tiếp điểm củaω và(O),E, F lần lượt là giao điểm củaXAc, XAb với(O). Dễ

thấyE, F lần lượt là điểm chính giữa cung AC, AB. Suy raBE giao CF tạiI.

Áp dụng định lý Pascal cho lục giácAF BXCE ta có(AB∩XF),(AC∩XE),(BE∩CF) thẳng

hàng hayAb, I, Ac thẳng hàng.

Mặt khác tam giác AAbAc cân tạiA có AI là phân giác ∠AbAAc nên I là trung điểm AbAc.

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).AD giao BC tạiP,BA giao CD tại Q. Đường

thẳng quaQ vuông góc vớiAC cắtOP tại X. Chứng minh rằng∠ABX = 90o_.

K F

E X

Q

A

B

O P

D

C

Chứng minh. GọiE, F lần lượt là điểm đối xứng vớiA, C quaO.DF cắtBE tại X′.

Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm A, F, B, E, C, D ta có AE ∩CF = {O}, DF ∩BE = {X′_},

AD∩BC ={P} thẳng hàng.

Điều còn lại là chứng minhQX′ _⊥_AC.

(4)

T E C'

H _O

B C

F

Chứng minh. Gọida, db, dc là các đường thẳng đối xứng vớidquaBC, CA, AB.dcắtAC, ABlần lượt

tạiE, F.BH, CH giao (O) lần thứ hai tạiB′_{, C}′_.

C′_F giao ₍_O₎ tại_T._{T B}′ giao _AC tại _E′.

Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểmA, C′_{, B, T, C, B}′ suy ra _{F, H, E}′ thẳng hàng. Suy ra_E′ _≡_E. Do C′ _và _H _{đối xứng nhau qua} _AB _nên _C′_F _≡_d_c_{, tương tự} _B′_E _≡_d_b_{. Vậy} _d_b _cắt _d_c _tại _T _nằm trên(O). Chứng minh tương tự suy rada, db, dc đồng quy tạiT.

Bài 4. (Bài toán con bướm trong đường tròn). Cho đường tròn₍_O₎ và một dây cung_AB._M là trung

điểmAB. Hai dây cungCD vàEF bất kì đi qua M.CF, DE lần lượt ABtại I, J. Chứng minh rằng

M I=M J.

N K

L J I

E D

M

O

A B

C

F

Chứng minh. GọiL, K lần lượt là điểm đối xứng vớiF, D quaO.CL giaoEK tạiN.

Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểmF, D, E, L, K, C suy ra M, O, N thẳng hàng.

Do ∠IM N = ∠ICN = 90◦, _∠_{N M J} ₌ _∠_{N EJ} _{= 90}◦ nên các tứ giác _{IM N C, J M N E} nội tiếp.

Suy ra∠IN M =∠ICM =∠J EM =∠M N J. Vậy M I =M J.

Bài 5. Cho tam giác_ABC nội tiếp đường tròn₍_O₎. Một đường thẳng_dbất kì đi qua _O cắt_{CA, AB}

tại Y, Z. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BY, CZ, Y Z. Chứng minh rằng O, M, N, P cùng thuộc

(5)

J K

L P

M N

Y O

A

B C

Z

Chứng minh. Gọi J, K lần lượt là điểm đối xứng với B, C qua O. KZ cắt (O) tại L,LJ cắt AC tại Y′_.

Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm A, K, B, L, C, J suy ra Y′_{, O, Z} thẳng hàng hay _Y′ _≡ _Y. Ta thu được đường tròn đường kínhBY vàCZ giao nhau tạiLnằm trên (O).

Suy ra M O ⊥BL, N O ⊥ CL. Từ đó _∠M ON = 180◦₋_∠_BLC ₌ _∠_BAC ₌ _∠_{M P N} _(do _{M P} _k

AB, N P kAC).

Vậy O, M, N, P cùng thuộc một đường tròn.

Nhận xét.Nếu gọiX là giao củadvới BC thì chúng ta có (AX),(BY),(CZ) đồng trục.

Bài 6. Cho tam giácABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I). R là điểm bất kì nằm trên cung BC không

chứa A. Kẻ tiếp tuyếnRX, RY tới (ABI) và tiếp tuyến RZ, RT tới (ACI). Chứng minh rằng trung

điểmXY, ZT vàI thẳng hàng.

L M

Z

T X

Y

K

J

I A

B _C

R

(6)

(7)

(8)

(9)

Tài liệu

[1] Pascal’s theorem, Cut-the-knot.

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Chasles.shtml

[2] Pascal lines, from Wolfram Mathworld

http://mathworld.wolfram.com/PascalLines.html

[3] Hoàng Quốc Khánh, Câu chuyện nhỏ về một định lý lớn, Tạp chí Toán học Mathvn, Số 2 năm 2009.

[4] AoPS Forum.

http://www.artofproblemsolving.com/Forum