TEORI ELASTISITAS

(1)

TEORI ELASTISITAS

Metode seismik memanfaatkan sifat penjalaran gelombang mekanik yang Metode seismik memanfaatkan sifat penjalaran gelombang mekanik yang dijal

dijalarkan arkan melmelewati bumi. ewati bumi. KareKarena na penjalpenjalaran aran gelomgelombang bang sangat bergantungsangat bergantung pada sifat elastis dari batuan yang ada di bawah permukaan bumi, maka perlu pada sifat elastis dari batuan yang ada di bawah permukaan bumi, maka perlu terlebih dahulu dibahas mengenai konsep dasar elastisitas.

terlebih dahulu dibahas mengenai konsep dasar elastisitas. Uk

Ukururan an dadan n bebentntuk uk sesebubuah ah bebendnda a papadadat t dadapapat t beberurubabah h dedengngan an cacarara memberikan gaya ke bagian permukaan luar dari benda tersebut. Gaya luar ini memberikan gaya ke bagian permukaan luar dari benda tersebut. Gaya luar ini aka

akan n didilawlawan an ololeh eh gaygaya a ininteternarnal l yayang ng akaakan n memelawlawan an perperubaubahan han benbentuk tuk dandan ukuran benda tersebut. Sebagai akibat dari gaya internal tersebut, benda akan ukuran benda tersebut. Sebagai akibat dari gaya internal tersebut, benda akan berusaha untuk kembali ke bentuk semula ketika gaya luar dihilangkan. Fluida berusaha untuk kembali ke bentuk semula ketika gaya luar dihilangkan. Fluida aka

akan n memempempertrtahaahankankan n perperubaubahan han vovolulumeme, , tetetaptapi i titidak dak dendengan gan perperubaubahanhan bentuk.

bentuk.

Sifat melawan perubah

Sifat melawan perubahan bentuk an bentuk atau ukuran dan atau ukuran dan kembalkembali ke i ke bentuk awalbentuk awal ketika gaya luar dihilangkan dikenal dengan istilah elastisitas. Sebuah benda ketika gaya luar dihilangkan dikenal dengan istilah elastisitas. Sebuah benda yang elastis sempurna adalah benda yang benar-benar kembali ke bentuk dan yang elastis sempurna adalah benda yang benar-benar kembali ke bentuk dan uku

ukuraran n asaasal l dedengangan n sesempmpururna na sesetetelah lah gaygaya a luluar ar didihihilalangkngkan. an. BaBatutuan an bibisasa dia

diangganggap p elaelastistis s semsempurpurna na dendengan gan melmelihat ihat bahwbahwa a defodeformrmasi asi bendbenda a tetersersebutbut (peru

(perubahan bentuk atbahan bentuk atau ukuran) cukuau ukuran) cukup kecil, sepep kecil, seperti dalam rti dalam kasus gelokasus gelombangmbang seismik, kecuali untuk bahan yang berada dekat sumber seismik.

seismik, kecuali untuk bahan yang berada dekat sumber seismik. Te

Teori ori elaelastistisitsitas as akaakan n memenghnghubuubungkangkan n gaygaya a yanyang g dibdibererikan ikan terterhadhadapap su

suatatu u bebendnda a dedengngan an peperurubabahahan n bebentntuk uk dadan n ukukururan an yayang ng didiakakibibatatkakan.n. Hubungan antara gaya yang dikenakan pada benda terhadap deformasi benda Hubungan antara gaya yang dikenakan pada benda terhadap deformasi benda tersebut dinyatakan dalam konsep stress dan strain (tegangan dan regangan). tersebut dinyatakan dalam konsep stress dan strain (tegangan dan regangan).

Tegangan (Stress)

Stress atau tegangan didefinisikan sebagai gaya per satuan luas. Ketika Stress atau tegangan didefinisikan sebagai gaya per satuan luas. Ketika sebuah gaya diberikan kepada sebuah benda, tegangan adalah perbandingan sebuah gaya diberikan kepada sebuah benda, tegangan adalah perbandingan antara besar gaya terhadap luas dimana gaya tersebut dikenakan. Jika gaya antara besar gaya terhadap luas dimana gaya tersebut dikenakan. Jika gaya ya

yang ng didikekenanakakan n tetegagak k lulururus s teterhrhadaadap p pepermrmukukaan aan bebendnda a (l(luauas s yayang ng akaakann diperhitungkan), maka tegangan tersebut adalah tegangan normal. Jika gaya diperhitungkan), maka tegangan tersebut adalah tegangan normal. Jika gaya yang dikenakan berarah tangensial terhadap elemen luas permukaan benda, yang dikenakan berarah tangensial terhadap elemen luas permukaan benda, tegangan tersebut adalah tegangan geser. Jika gaya tersebut tidak tegak lurus tegangan tersebut adalah tegangan geser. Jika gaya tersebut tidak tegak lurus ma

maupupun un papararalelel l teterhrhadaadap p elelememen en luluas as pepermrmukukaan aan bebendnda a tetersrsebebutut, , gaygayaa tersebut dapat diuraikan ke komponen yang paralel dan tegak lurus terhadap tersebut dapat diuraikan ke komponen yang paralel dan tegak lurus terhadap el

elemeemen n lualuas s perpermukmukaan aan benbenda da tertersebsebut. ut. DenDengan gan demdemikiikian, an, segsegala ala benbentuktuk tegangan dapat diuraikan dalam komponen normal dan tangensial.

(2)

Jika kita mempertimbangkan sebuah elemen kecil volume, tegangan yang Jika kita mempertimbangkan sebuah elemen kecil volume, tegangan yang be

beraraksksi i padpada a enenam am bubuah ah pepermrmukukaaaan n dapdapat at didiururaiaikan kan memenjnjadadi i kokompmpononen en--komponen, seperti yang terlihat pada Gambar

komponen, seperti yang terlihat pada Gambar 1.1.

Gambar 1

Gambar 1. Komponen tegangan.. Komponen tegangan. Pad

Pada a saat saat benbenda da berberada ada daldalam am keakeadaan daan setsetimbimbang ang stastatistis, , gaygaya-ga-gaya aya akanakan sei

seimbambang. ng. Ini Ini berberartarti i bahwbahwa a tigtiga a komkomponponen en tegtegangaangann

σ

xx xx

,

, σ

σ

yx yx

,

, σ

σ

zx zx yangyang beraksi pada permukaan

beraksi pada permukaan OABCOABC harus sama dan berlawanan dengan teganganharus sama dan berlawanan dengan tegangan pada

pada permpermukaanukaan DEFG,DEFG, dedengngan an huhububungngan an yayang ng seserurupa pa pupula la ununtutuk k emempapatt permukaan yang lainnya. Sebagai tambahan, sejumlah tegangan geser, seperti permukaan yang lainnya. Sebagai tambahan, sejumlah tegangan geser, seperti

σ

yx yx

,,

merupakanmerupakan kopelkopel yang cyang cenderenderung ung memumemutar eltar elemenemennya padnya pada sumbu za sumbu z.. Besarnya kopel tersebut adalah :

Besarnya kopel tersebut adalah :

(

ggaayya

a lleennggaan

× ×

n ppeenngguunnggkkiit

))

t

σ

==

((

_yx_yx

ddyyddz

))

z

Ji

Jika ka kitkita a perpertimtimbanbangkan gkan tegtegangaangan n pada pada emempat pat perpermukmukaan aan lailain n benbendada tersebut, kita akan menemukan bahwa kopel ini akan dilawan hanya oleh kopel tersebut, kita akan menemukan bahwa kopel ini akan dilawan hanya oleh kopel yang disebabkan oleh pasangan tegangan

yang disebabkan oleh pasangan tegangan

σ

xy xy dengan besardengan besar ( ( σ σ xy xydxdz dydxdz dy)) . . KarenKarenaa

elemen tersebut dalam keadaan setimbang, maka momen total haruslah nol, elemen tersebut dalam keadaan setimbang, maka momen total haruslah nol, dengan demikian

dengan demikian

σ

xy xy

=

= σ

σ

yx yx . Secara umum, harus memenuhi. Secara umum, harus memenuhi

σ

ijij

=

= σ

σ

ji ji

..

Tensor stress = Tensor stress =













σ

zz zz zy zy zx zx yz yz yy yy yx yx xz xz xy xy xx xx

Regangan (Strain)

Ketika benda elastis mendapat tegangan, maka akan terjadi perubahan Ketika benda elastis mendapat tegangan, maka akan terjadi perubahan bentuk dan dimensi. Perubahan ini, yang dikenal dengan strain atau regangan, bentuk dan dimensi. Perubahan ini, yang dikenal dengan strain atau regangan, dapat diuraikan dalam beberapa tipe dasar. Perhatikan bidang segiempat PQRS dapat diuraikan dalam beberapa tipe dasar. Perhatikan bidang segiempat PQRS pada bidang xy (Gamb

pada bidang xy (Gambar 2). Pada saat star 2). Pada saat stress berlaku, ress berlaku, P akan berpindah ke P akan berpindah ke P’;P’; PP

PP’ ’ mememimililiki kompki kompononen u en u dadan n v. Jikv. Jika a titititik k susududut t lalain Q, in Q, R R dan dan S S mememimililikiki per

perpinpindahadahan n yanyang g samsama a dendengan P, gan P, bidbidang segiang segiempempat terseat tersebut akan hanybut akan hanyaa

A A BB F F E E C C G G D D O O dydy dx dx σ σ_x_xx_x x x y y zz σ σ x xyy σ σ x xzz σσyyyy σ σ y yxx σ σ_y_yzz σ σ_zzzz σ σ zzyy σ σ zzxx dz dz Normal Stress Normal Stress

(3)

akan berp

akan berpindah indah secarsecara keselura keseluruhan dengan beuhan dengan besar u dan v. Dalam hal ini tidaksar u dan v. Dalam hal ini tidak ada perubahan bentuk maupun ukuran dan tidak ada regangan yang timbul. ada perubahan bentuk maupun ukuran dan tidak ada regangan yang timbul. Namun jika besar u dan v berbeda untuk titik sudut yang berbeda, bidang Namun jika besar u dan v berbeda untuk titik sudut yang berbeda, bidang segiempat tersebut akan mengalami perubahan bentuk dan atau ukuran, dan segiempat tersebut akan mengalami perubahan bentuk dan atau ukuran, dan regangan akan timbul.

regangan akan timbul.

Gambar 2

Gambar 2. Analisis regangan 2 dimensi.. Analisis regangan 2 dimensi. Asumsikan

Asumsikan u u = = u(u(xx,y,y)), , v v = = v(v(x,x,yy)), , lalalu lu kokoorordidinanat t dadariri PQRSPQRS dandan P’Q’R’S’ P’Q’R’S’ dinyatakan sebagai berikut:

dinyatakan sebagai berikut:

( ( , , ) ) : ': '( ( , , ));; ( , ( , ) ) :: ''(( ,, ));; ( ( ,, )):: ''(( ,, ));; ( ( ,, )):: ''(( ,, )).. P P x x y y P x P x u u y y vv u u vv Q Q x dx dx x y Q y Q x dx dx u x u ddx x y v y v ddxx x x xx u u vv S S x x y dy dy y S S x u x u ddy y y dy dy v y v ddyy y y yy u u uu vv vv R R x dx dx x y dy dy R y R x dx dx x u u ddx x ddy y y dy dy v y v ddx x ddyy x x yy xx yy

+

++

∂

∂∂

+

+ +

+

+ ++

∂

∂∂

∂

∂∂

+

+ +

+

+ +

+ ++

∂

∂∂

∂

∂∂

+

+ +

+

+ +

+

+ +

+

++

∂

∂∂

secara umum perubahan

secara umum perubahan uu dandan v v jauh lebih kecil daripada besarjauh lebih kecil daripada besar dx dx dandan dy dy .. Be

Berdardasarsarkan kan hal hal tadtadi i dapadapat t diadiasumsumsiksikan an bahbahwa wa benbentuk tuk ((∂∂uu_{∂∂ )}_x_x) ,(,(∂∂uu_{∂∂ ) dan}_y_y) dan lainnya akan sangat kecil sehingga dapat diabaikan.

lainnya akan sangat kecil sehingga dapat diabaikan. Str

Strain ain diddidefiefinisnisikan ikan sebsebagai agai perperubahubahan an rerelatlatif if (pe(perubrubahan ahan frafraksiksionaonal/kl/keciecil)l) d

dalalam am didimmenensi si atatau au bebentntuk uk dadarri i susuatatu u bebendnda. a. KuKuanantititatass ∂∂uu_{∂∂ dan}_x_xdan ∂∂vv_∂∂_y_y mer

merupakan pertambahupakan pertambahan an panjanpanjang g yang yang relarelatif terhadap sumbu-x tif terhadap sumbu-x dan dan sumbu-sumbu-yy dan

dan mermerujuujuk k kepkepadaada normnormal al straistrainn. . KuantiKuantitastas ((∂∂v v _x_x++∂∂uu _yy))

∂∂ ∂∂ merumerupakan pakan jumljumlahah dari sudut sebelah kanan dalam bidang

dari sudut sebelah kanan dalam bidang xy xy yang berkurang ketika ada gayayang berkurang ketika ada gaya yang bekerja pada benda dan menyebabkan perubahan bentuk dari medium, yang bekerja pada benda dan menyebabkan perubahan bentuk dari medium,

Q Q P P S S RR P’ P’ Q’ Q’ δδ 2 2 δδ 1 1 S’ S’ R’ R’ dx dx dy dy vv u u (dv/dy)dy (dv/dy)dy (du/dy)dy (du/dy)dy (dv/dx)dx (dv/dx)dx (du/dx)dx (du/dx)dx x x y y

(4)

dikenal sebagai shearing strain yang dinotasikan oleh

dikenal sebagai shearing strain yang dinotasikan oleh ε ε . Kuantitas xy xy. Kuantitas ((∂∂v v ∂∂_x_x−−∂∂uu∂∂_yy))

mer

merepresepresentasentasikan rotasi ikan rotasi dari benda dari benda di di sekitsekitar ar sumbusumbu-z -z yang tidak yang tidak melimeliputiputi perubahan dalam ukuran atau bentuk sehingga ini bukan merupakan strain. perubahan dalam ukuran atau bentuk sehingga ini bukan merupakan strain. Kuantitas ini dinotasikan dengan simbol

Kuantitas ini dinotasikan dengan simbol θ θ .. z z

Strain

Strain atau regangan didefinisikan sebagai perubahan relatif (perubahanatau regangan didefinisikan sebagai perubahan relatif (perubahan kecil) dimensi atau bentuk dari suatu benda. Nilai kuantitas

kecil) dimensi atau bentuk dari suatu benda. Nilai kuantitas du/dx du/dx dandan du/dy du/dy adalah pertambahan relatif dimensi panjang dalam arah sumbu

adalah pertambahan relatif dimensi panjang dalam arah sumbu x x dandan y y dandan

berkenaan dengan regangan normal (

berkenaan dengan regangan normal (normal strainnormal strain). ). SedangSedangkan kan nilai kuantitnilai kuantitasas ((du/dx + du/dy du/dx + du/dy ) adalah besar dimana sudut sebelah kanan pada bidang) adalah besar dimana sudut sebelah kanan pada bidang xy xy berkurang pada saat tegangan diberikan, dengan demikian merupakan ukuran berkurang pada saat tegangan diberikan, dengan demikian merupakan ukuran perubahan bentuk dari medium tersebut, yang dikenal dengan regangan geser perubahan bentuk dari medium tersebut, yang dikenal dengan regangan geser ((shearshearing ing straistrainn) ) yanyang g dindinotaotasikasikan n dendengan gan simsimbolbol εε xy xy . . DaDalalam m peperlrluauasasan n keke

bidang tiga dimensi, elemen dasar dari regangan dinotasikan sebagai berikut : bidang tiga dimensi, elemen dasar dari regangan dinotasikan sebagai berikut :

Regangan Normal Regangan Normal xx xx yy yy zz zz u u x x u u y y w w z z ε ε ε ε ε ε



∂

=

_

∂

∂ 

∂

∂ 

=

_

∂

∂ 



∂

=

_

∂

∂ 



(1)

(1) ReRegagangngan an GeGeseser r

xxy y yyxx yyz z zzyy zzx x xxz z v v uu x x yy w w vv y y z z u u ww z z xx ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

∂

∂ ∂∂ 

=

= ++

_

∂

∂ ∂∂ 

∂

∂∂ 

=

= =

=

++

_

∂

_{∂∂ }



∂

∂ ∂∂

=

= =

= ++

_

∂

∂∂ 

(2) (2) Seb

Sebagai agai akiakibat bat dardari i rereganggangan an tertersebutsebut, , benbenda da menmengalgalami ami rotrotasiasi sederhana terhadap ketiga sumbu, yang diberikan oleh :

sederhana terhadap ketiga sumbu, yang diberikan oleh :

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 x x y y z z w w vv y y z z u u ww z z xx u u ww z z xx θ θ θ θ θ θ





∂

∂∂



=

_

−−

_

_

∂

∂∂





_ 



∂

∂∂







=

_

−−

_

_

∂

∂∂



_ 





∂

∂∂





=

_

−−

_



∂

∂∂





_{ }

(3) (3) Pe

Perubrubahan ahan dimdimensensi i yanyang g dibdiberierikan kan oleoleh h rereganggangan an akan akan menmenghaghasilsilkankan perubahan volume benda, perubahan volume per unit volume disebut

perubahan volume benda, perubahan volume per unit volume disebut dilatasidilatasi

dan direpresentasikan oleh Δ yang diberikan oleh : dan direpresentasikan oleh Δ yang diberikan oleh :

xxx x yyy y zzz z u u v v ww x x y y z z ε ε ε ε ε ε

∂

∂ ∂∂

∆

∆ =

= +

+ +

+ =

= +

+ ++

∂

∂∂

(4)(4)

(5)

Tensor strain = Tensor strain =













εε

zz zz zy zy zx zx yz yz yy yy yx yx xz xz xy xy xx xx

,, Rotasi Posisi benda =Rotasi Posisi benda =













∂

θ

w w v v u u z z // y y // x x // z z y y x x

Hukum Hooke

Huk

Hukum um HooHooke ke memenyanyataktakan an bahwbahwa a ketketika ika regregangangannyannya a keckecil, il, reregangganganan yang diberikan akan proporsional dengan tegangan yang menimbulkannya atau yang diberikan akan proporsional dengan tegangan yang menimbulkannya atau de

dengngan an kakata ta lalainin, , mamasisingng-m-masiasing ng reregagangngan an memerurupapakan kan fufungngsi si lilininier er dardar kes

keselueluruhruhan an tegtegangangan an dan dan sebsebalialiknyknya. a. UntUntuk uk medmedium ium homhomogeogen n isoisotrotropikpik,, pernyataan tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk :

pernyataan tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk :

2 2 iiii iiii σ λ σ λ

=

= ∆

∆ ++

µµε ε i = x,y,z i = x,y,z (5)(5) iij j iijj

σ

==

µε

i,j = x,y,z, i ≠ ji,j = x,y,z, i ≠ j (6)

(6)

Persamaan (5) menyatakan bahwa tegangan normal dapat menghasilkan Persamaan (5) menyatakan bahwa tegangan normal dapat menghasilkan ttegeganangagan n dadallam am ararah ah sesellaiain n ararah ah dadarri i tetegganangagan n tterersesebubut, t, sesedadangngkakann pe

persrsamamaan aan (6(6) ) memenynyataatakan kan babahwhwa a tetegagangngan an gegeseser r hahanynya a memengnghahasisilklkanan regangan geser (tidak ada regangan normal).

regangan geser (tidak ada regangan normal). Besaran

Besaran λ λ dandan μ μ dikenal dengandikenal dengan konstanta Lame.konstanta Lame. Jika dituliskanJika dituliskan ε ε _iij_j==σ σ µ _iijj //µ ,, jelas bahwa nilai

jelas bahwa nilai ε ε ijij berbaberbanding nding terbterbalik alik dengandengan μ μ. Oleh karena itu. Oleh karena itu μ μ yangyang

merupakan ukuran tahanan terhadap regangan geser sering merujuk kepada merupakan ukuran tahanan terhadap regangan geser sering merujuk kepada besaran

besaran modulus kekerasanmodulus kekerasan atauatau modulus geser modulus geser . Ketika tegangan dinaikkan. Ketika tegangan dinaikkan hingga melebihi

hingga melebihi limit elastislimit elastis, maka Hukum Hooke tak lagi berlaku dan regangan, maka Hukum Hooke tak lagi berlaku dan regangan ya

yang ng didiakiakibatbatkan kan ololeh eh tetegagangngan an tetersrsebebut ut titidadak k sesepepenunuhnhnya ya hihilalang ng keketitikaka tegangannya dihilangkan.

tegangannya dihilangkan.

Konstanta Elastis

Walaupun konstanta Lame sesuai untuk digunakan dalam peristiwa fisika Walaupun konstanta Lame sesuai untuk digunakan dalam peristiwa fisika yang melibatkan sifat elatisitas benda, beberapa konstanta elastis lain sering yang melibatkan sifat elatisitas benda, beberapa konstanta elastis lain sering digunakan, diantaranya

digunakan, diantaranya Modulus YoungModulus Young yang dirumuskan dengan :yang dirumuskan dengan : ((33 2 )2 ) xx xx xx xx E E σ σ µ µ λ λ µ µ ε ε λ λ µ µ + + = = == + + (7)(7)

dan perbandingan Poisson (

dan perbandingan Poisson (Poisson’s RatioPoisson’s Ratio) yang dirumuskan dengan :) yang dirumuskan dengan :

2( 2( )) yy yy _zz_zz xxx x xxxx ε ε _ε_ε _λ_λ σ σ ε ε ε ε λ λ µ µ − − ₋₋ = = == == + + (8)(8)

Medium yang mengalami penegangan hidrostatis sebesar

Medium yang mengalami penegangan hidrostatis sebesar –p–p atau :atau :

xx xx

σ

σ ==σ σ =yyyy=σ σ =zz zz = -p-p σ σ = xy xy=σ σ =yz yz =σ σ =zxzx= 00

akan memiliki perbandingan antara tegangan terhadap dilatasi sebesar

(6)

3 3 22 3 3 p p k k == −− == λ λ ++ µ µ ∆ ∆ (9)(9) xxx x yyy y zzz z u u v v ww x x y y z z ε ε ε ε ε ε ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∆ ∆ == ++ ++ == ++ ++ ∂∂ ∂∂ ∂∂ (10) (10)

Persamaan Gelombang

Gelombang yang berada pada keadaan tidak teredam dapat dinyatakan Gelombang yang berada pada keadaan tidak teredam dapat dinyatakan dengan persamaan berikut :

dengan persamaan berikut :

2 2 2 2 2 2 2 2 tt v v 1 1 ∂ ∂ ψ ψ ∂ ∂ = = ψ ψ ∇ ∇ (11) (11) dengan dengan z z k k ˆˆ y y j jˆˆ x x iiˆˆ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∇ ∇ (12) (12)

Persamaan rambat gelombang P dan S dapat diturunkan dari Hukum

Persamaan rambat gelombang P dan S dapat diturunkan dari Hukum HookeHooke

ya

yang ng memenynyatatakakan an huhububungnganan stressstress ((gagayya a peperrsasattuauan n lluauas) s) ddanan strainstrain (perubahan dimensi) sebagai:

(perubahan dimensi) sebagai:

ii ii ii ii ==λλ∆∆++22µµ εε σ σ (13) (13) ij ij ij ij ==µµεε σ σ _{; i}_{; i≠}_≠ j_j (14) (14) dal

dalam am perpersamsamaan aan tertersebsebut ut i,j i,j = = x,yx,y,z ,z sedsedangangkankan λλ dandan µµ dikendikenal al sebagaisebagai konstanta

konstanta lamelame. konstanta. konstanta µµ didefinisikan sebagai kemampuan menahan straindidefinisikan sebagai kemampuan menahan strain geser

geser, , sehisehinggangga µµ serseringingkali kali disdisebuebut t sebsebagai agai modmoduluulus s gegeserser.. ∆∆ adalahadalah perubahan volume sebagai akibat dari tekanan :

perubahan volume sebagai akibat dari tekanan :

z z w w y y v v x x u u

∂

+

∂

+

∂

=

∆

Persamaan (13) menyatakan hubungan antara

Persamaan (13) menyatakan hubungan antara stressstress ((σ σ iiii ) dan) dan strainstrain ((ε ε iiii ))

pad

pada a keakeadaadaan n satsatu u araarah h sedsedangkangkan an perpersamsamaan aan (1(14) 4) menmenyatyatakan akan hubhubungunganan stress

(7)

Gambar 3.

Gambar 3. Penggambaran stress dan strain yang ditimbulkan oleh tekanan.Penggambaran stress dan strain yang ditimbulkan oleh tekanan. Dalam hukum Newton, gaya (F) pada suatu benda setara dengan massa Dalam hukum Newton, gaya (F) pada suatu benda setara dengan massa benda (M) dikali dengan percepatannya (a). Sehubungan dengan pergeseran benda (M) dikali dengan percepatannya (a). Sehubungan dengan pergeseran (u) sebagai akibat dari tekanan sepanjang sumbu-x, hukum Newton tersebut (u) sebagai akibat dari tekanan sepanjang sumbu-x, hukum Newton tersebut diungkapkan sebagai berikut:

diungkapkan sebagai berikut: Hukum newton : Hukum newton : FF == volum volum a a .. m m = = ρρ ..aa

=

∂

ρ

22₂₂ tt u u z z y y x x xz xz x xyy xx xx

∂

σ

∂

+

∂

σ

∂

+

∂

σ

∂

(15) (15) dimana

dimana σσ xxxx = Stress normal arah x,= Stress normal arah x, σσ xyxy = Stress geser arah x ke y dan= Stress geser arah x ke y dan σσ xzxz = Stress geser arah x ke= Stress geser arah x ke

z. z.

Dengan mengunakan Hukum Hooke : Dengan mengunakan Hukum Hooke :

ii ii ii

ii ==λλ∆∆++22µµ εε

σ

σ dandanσσijij ==µµεεijijdimana idimana i≠≠ j j

Jika Hukum Hooke dimasukkan ke persamaan (15), akan mendapatkan : Jika Hukum Hooke dimasukkan ke persamaan (15), akan mendapatkan :

=

∂

ρ

22₂₂ tt u u ₍₍ ₎₎ z z )) (( y y )) 2 2 (( x x xxxx xyxy

∂

µ

µε

ε

xzxz

∂

+

µ

µε

ε

∂

+

µ

µε

ε

+

∆

λ

∂

(16) (16)

=

∂

ρ

22₂₂ tt u u ₍₍ ₎₎ z z )) (( y y )) (( x x 2 2 )) (( x x xxxx xxyy

∂

ε

xxzz

∂

µ

+

ε

∂

µ

+

ε

∂

µ

+

∆

∂

λ

(17) (17)

Jika dilakukan operasi divergensi arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z : Jika dilakukan operasi divergensi arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z :

=













∂

ρ

((uu)) x x tt22 2 2













_εε

∂

µ

+













_εε

∂

µ

+













_εε

∂

µ

+













_∆

∂

λ

(( )) x x z z )) (( x x y y )) (( x x x x 2 2 )) (( x x x x xxxx xyxy xzxz (18) (18)

strain tegak lurus strain tegak lurus stress stress strain searah strain searah stress stress tekanan tekanan

Kondisi benda pada keadaan awal Kondisi benda pada keadaan awal Kondisi benda pada keadaan akhir Kondisi benda pada keadaan akhir

(8)

=













∂

ρ

((vv)) y y tt22 2 2













ε

∂

µ

+













ε

∂

µ

+













ε

∂

µ

+













∆

∂

λ

(( )) y y z z )) (( y y x x )) (( y y y y 2 2 )) (( y y y y yyyy yxyx yzyz (19) (19)

=













∂

ρ

((ww)) z z tt22 2 2













_εε

∂

µ

+













_εε

∂

µ

+













_εε

∂

µ

+













_∆

∂

λ

(( )) z z y y )) (( z z x x )) (( z z z z 2 2 )) (( z z z z zzzz zxzx zyzy (20) (20) Kita kembang

Kita kembangkan lebih jauh, kan lebih jauh, lakukalakukan n operaoperasi pada si pada 3 arah 3 arah ”displ”displacemacement” u, ent” u, v,v, w : w : ∇ ∇ .D =.D = ∇∇xx.u +.u + ∇∇yy.v +.v +∇∇zz.w.w (21) (21) ∇ ∇ .D =.D = ((ww)) z z )) v v (( y y )) u u (( x x ∂∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ (22) (22)

Kita jumlahkan persamaan (18), persamaan (19), dan

Kita jumlahkan persamaan (18), persamaan (19), dan persamaan (20) :persamaan (20) :

( (

∇

))

=

∂

ρ

..DD tt22 2 2 ∆ ∆ ∇ ∇ µ µ + + ∆ ∆ ∇ ∇ λ λ 22 22 2 2 (23) (23)

( (

∇

))

=

∂

ρ

..DD tt22 2 2 ∆ ∆ ∇ ∇ µ µ + + λ λ 22 )) 2 2 (( (24) (24)

Persamaan (24) adalah persamaan untuk gelombang P karena beroperasi Persamaan (24) adalah persamaan untuk gelombang P karena beroperasi pa

pada da ararah ah sesejajajajar r (s(seaeararah) h) dedengngan an komkompoponenen n gagayaya. . JiJika ka pepersrsamamaan aan (1(18)8) dibandingkan dengan persamaan gelombang umum (11), maka akan diperoleh dibandingkan dengan persamaan gelombang umum (11), maka akan diperoleh perumusan kecepatan gelombang P, yaitu:

perumusan kecepatan gelombang P, yaitu: ρ ρ µ µ + + λ λ = = 22 V Vpp (19) (19) dengan

dengan λ λ adalah konstantaadalah konstanta LameLame dandan ρ ρ adalah densitas.adalah densitas.

Selanjutnya sehubungan dengan gerak puntir seperti dikemukakan dalam Selanjutnya sehubungan dengan gerak puntir seperti dikemukakan dalam lampiran B, diperoleh persamaan:

lampiran B, diperoleh persamaan:

x x 2 2 2 2 x x 2 2 tt

==

µµ

∇

θθ

∂∂

θθ

∂∂

ρρ

(20) (20) dengan

dengan θθ==∇∇xxζζ, , yang menyatyang menyatakan akan vekvektor tor sudusudut t puntpuntir. ir. PerPersamsamaan aan (20(20) ) iniini

dis

disebuebut t jugjuga a sebsebagai agai perpersamsamaan aan gelgelombombang ang S S karkarena ena gelgelombombang ang mermerambambatat dengan gerakan memutar (curl).

dengan gerakan memutar (curl). Den

Dengan gan memembambandindingkngkan an perpersamsamaan aan (9) (9) dan dan perpersamsamaan aan gelgelombombangang umum (1) maka diperoleh kecepatan gelombang S, yaitu :

(9)

ρ ρ µ µ

=

V Vss (21) (21) dengan

dengan µµ adaladalah ah modmoduluulus s gesgeser er dandan ρρ adaadalah lah masmassa sa jenjenis. is. BerBerdasdasarkarkanan persamaan ini, gelombang S tidak dapat merambat pada medium cair maupun persamaan ini, gelombang S tidak dapat merambat pada medium cair maupun udara karena cairan dan udara mempunyai modulus geser bernilai nol.

udara karena cairan dan udara mempunyai modulus geser bernilai nol.

Gambar 4.

Gambar 4. Perambatan gelombang P dan gelombang SPerambatan gelombang P dan gelombang S

Konsep Tensor Stress, Strain dan

Konsep Tensor Stress, Strain dan Tensor Anisotropi

Tensor Anisotropi

Dari Hukum

Dari Hukum HookeHooke yang menyatakan hubunganyang menyatakan hubungan stressstress (gaya persatuan(gaya persatuan luas) dan

luas) dan strainstrain (perubahan dimensi) sebagai:(perubahan dimensi) sebagai: σ

σ = C.= C.εε (22)

(22)

dimana :

dimana : σσ = tensor stress,= tensor stress, εε = tensor strain dan C = tensor stiffness (derajat= tensor strain dan C = tensor stiffness (derajat kekakuan), atau kekakuan), atau σ σ ijij = C= Cijklijkl..εε klkl (23) (23) C

Cijklijkl adalah tensor stiffness berukuran 9x9adalah tensor stiffness berukuran 9x9

σ

σ ijij == ζζ ijklijkl..εε klkl

(23) (23)

ζζ ijklijkl adalah tensor compliance berukuran 9x9,adalah tensor compliance berukuran 9x9, ζζ ijklijkl = 1/(C= 1/(Cijklijkl))

dimana

dimana σσ IJIJ : Stress (rank 2),: Stress (rank 2), εε KLKL : Strain (rank 2) dan C: Strain (rank 2) dan CIJKLIJKL : Tensor Elastisitas (rank: Tensor Elastisitas (rank

4) 4) σ σ 1111 = = CC11111111.. εε 1111++ CC11121112.. εε 1212++ CC11131113.. εε 1313++ CC11211121.. εε 2121++ CC11221122.. εε 2222++ C C11231123.. εε 2323++ CC11311131.. εε 3131+ C+ C11321132.. εε 3232++ CC11331133.. εε 3333 σ σ 1212 = C= C12111211.. εε 1111++ CC12121212.. εε 1212++ CC12131213.. εε 1313++ CC12211221.. εε 2121++ CC12221222.. εε 2222++ C C12231223.. εε 2323++ CC12311231.. εε 3131+ C+ C12321232.. εε 3232++ CC12331233.. εε 3333 σ σ 1313 = C= C13111311.. εε 1111++ CC13121312.. εε 1212++ CC13131313.. εε 1313++ CC13211321.. εε 2121++ CC13221322.. εε 2222++ C C13231323.. εε 2323++ CC13311331.. εε 3131+ C+ C13321332.. εε 3232++ CC13331333.. εε 3333 σ σ 2121 = C= C21112111.. εε 1111++ CC21122112.. εε 1212++ CC21132113.. εε 1313++ CC21212121.. εε 2121++ CC21222122.. εε 2222++ C C21232123.. εε 2323++ CC21312131.. εε 3131+ C+ C21322132.. εε 3232++ CC21332133.. εε 3333 σ σ 2222 = C= C22112211.. εε 1111++ CC22122212.. εε 1212++ CC22132213.. εε 1313++ CC22212221.. εε 2121++ CC22222222.. εε 2222++ C C22232223.. εε 2323++ CC22312231.. εε 3131+ C+ C22322232.. εε 3232++ CC22332233.. εε 3333

(10)

σ σ 2323 = C= C23112311.. εε 1111++ CC23122312.. εε 1212++ CC23132313.. εε 1313++ CC23212321.. εε 2121++ CC23222322.. εε 2222++ C C23232323.. εε 2323++ CC23312331.. εε 3131+ C+ C23322332.. εε 3232++ CC23332333.. εε 3333 σ σ 3131 = C= C31113111.. εε 1111++ CC31123112.. εε 1212++ CC31133113.. εε 1313++ CC31213121.. εε 2121++ CC31223122.. εε 2222++ C C31233123.. εε 2323++ CC31313131.. εε 3131+ C+ C31323132.. εε 3232++ CC31333133.. εε 3333 σ σ 3232 = C= C32113211.. εε 1111++ CC32123212.. εε 1212++ CC32133213.. εε 1313++ CC32213221.. εε 2121++ CC32223222.. εε 2222++ C C32233223.. εε 2323++ CC32313231.. εε 3131+ C+ C32323232.. εε 3232++ CC32333233.. εε 3333 σ σ 3333 = = CC33113311.. εε 1111++ CC33123312.. εε 1212++ CC33133313.. εε 1313++ CC33213321.. εε 2121++ CC33223322.. εε 2222++ C C33233323.. εε 2323++ CC33313331.. εε 3131+ C+ C33323332.. εε 3232++ CC33333333.. εε 3333

Matriks Stiffness Ordo 9x9 Matriks Stiffness Ordo 9x9

σ

11 11

C

11111111

C

11121112

C

11131113

C

11211121

C

11221122

C

11231123

C

11311131

C

11321132

C

11331133

εε

11 11

σ

12 12

C

12111211

C

12121212

C

12131213

C

12211221

C

12221222

C

12231223

C

12311231

C

12321232

C

12331233

εε

12 12

σ

13 13

C

13111311

C

13121312

C

13131313

C

13211321

C

13221322

C

13231323

C

13311331

C

13321332

C

13331333

εε

13 13

σ

21 21

C

21112111

C

21122112

C

21132113

C

21212121

C

21222122

C

21232123

C

21312131

C

21322132

C

21332133

εε

21 21

σ

22 22

=

C

22112211

C

22122212

C

22132213

C

22212221

C

22222222

C

22232223

C

22312231

C

22322232

C

22332233

εε

22 22

σ

23 23

C

23112311

C

23122312

C

23132313

C

23212321

C

23222322

C

23232323

C

23312331

C

23322332

C

23332333

εε

23 23

σ

31 31

C

31113111

C

31123112

C

31133113

C

31213121

C

31223122

C

31233123

C

31313131

C

31323132

C

31333133

εε

31 31

σ

32 32

C

32113211

C

32123212

C

32133213

C

32213221

C

32223222

C

32233223

C

32313231

C

32323232

C

32333233

εε

32 32

σ

33 33

C

33113311

C

33133313

C

33153315

C

33213321

C

33223322

C

33233323

C

33313331

C

33323332

C

33333333

εε

33 33 Jika

Jika σσ IJIJ == σσ JI JI, C, CIJKLIJKL = C= CIJLK,IJLK,CCIJKLIJKL = C= C JIKL JIKL dandan εε KLKL == εε LK LK

σ σ 1111 = = CC11111111.. εε 1111+ + 22 CC11121112.. εε 1212++ 2C2C11131113.. εε 1313++ CC11221122.. εε 2222++ 2C2C11231123.. εε 2323++ CC11331133.. εε 3333 σ σ 1212 = C= C12111211.. εε 1111+ + 22 CC12121212.. εε 1212++ 2C2C12131213.. εε 1313++ CC12221222.. εε 2222++ 2C2C12231223.. εε 2323++ CC12331233.. εε 3333 σ σ 2121 = C= C21112111.. εε 1111+ + 22 CC21122112.. εε 1212++ 2C2C21132113.. εε 1313++ CC21222122.. εε 2222++ 2C2C21232123.. εε 2323++ CC21332133.. εε 3333 σ σ 1313 = C= C13111311.. εε 1111+ + 22 CC13121312.. εε 1212++ 2C2C13131313.. εε 1313++ CC13221322.. εε 2222++ 2C2C13231323.. εε 2323++ CC13331333.. εε 3333 σ σ 2222 = C= C22112211.. εε 1111+ + 22 CC22122212.. εε 1212++ 2C2C22132213.. εε 1313++ CC22222222.. εε 2222++ 2C2C22232223.. εε 2323++ CC22332233.. εε 3333 σ σ 2323 = C= C23112311.. εε 1111+ + 22 CC23122312.. εε 1212++ 2C2C23132313.. εε 1313++ CC23222322.. εε 2222++ 2C2C23232323.. εε 2323++ CC23332333.. εε 3333 σ σ 3131 = C= C31113111.. εε 1111+ + 22 CC31123112.. εε 1212++ 2C2C31133113.. εε 1313++ CC31223122.. εε 2222++ 2C2C31233123.. εε 2323++ CC31333133.. εε 3333 σ σ 3232 = C= C32113211.. εε 1111+ + 22 CC32123212.. εε 1212++ 2C2C32133213.. εε 1313++ CC32223222.. εε 2222++ 2C2C32233223.. εε 2323++ CC32333233.. εε 3333 σ σ 3333 = C= C33113311.. εε 1111+ + 22 CC33123312.. εε 1212++ 2C2C33133313.. εε 1313++ CC33223322.. εε 2222++ 2C2C33233323.. εε 2323++ CC33333333.. εε 3333 atau : atau : σ σ 1111 = = CC11111111.. εε 1111+ + 22 CC11121112.. εε 1212++ 2C2C11131113.. εε 1313++ CC11221122.. εε 2222 ++ 2C2C11231123.. εε 2323 ++ CC11331133.. εε 3333 2σ 2σ 1212= (= (CC12111211+ C+ C21112111))εε 1111+ + 2(2( CC12121212+ C+ C21122112))εε 1212++ 2(C2(C12131213++ CC21132113)) εε 1313++ (C(C12221222++ CC21222122)) εε 2222++ 2(C2(C12231223+C+C21232123))εε 2323+ + (( CC12331233 + C + C21332133))εε 3333 2σ 2σ 1313= (= (CC13111311+ C+ C31113111))εε 1111+ + 2(2( CC13121312+ C+ C31123112))εε 1212++ 2(C2(C13131313++ CC31133113)) εε 1313++ (C(C13221322++ CC31223122)) εε 2222++ 2(C2(C13231323+C+C31233123))εε 2323+ + (( CC13331333 + C + C31333133))εε 3333

(11)

σ σ 2222 = = CC22112211.. εε 1111+ + 22 CC22122212.. εε 1212++ 2C2C22132213.. εε 1313++ CC22222222.. εε 2222 ++ 2C2C22232223.. εε 2323 ++ CC22332233.. εε 3333 2σ 2σ 2323= (= (CC23112311+ C+ C32113211))εε 1111+ + 2(2( CC23122312+ C+ C32123212))εε 1212++ 2(C2(C23132313++ CC32133213)) εε 1313++ (C(C23222322++ CC32223222)) εε 2222++ 2(C2(C23232323+C+C32233223))εε 2323+ + (( CC23332333 + C + C32333233))εε 3333 σ σ 3333 = = CC33113311.. εε 1111+ + 22 CC33123312.. εε 1212++ 2C2C33133313.. εε 1313++ CC33223322.. εε 2222 ++ 2C2C33233323.. εε 2323 ++ CC33333333.. εε 3333

Matriks Stiffness Ordo 6x6 Matriks Stiffness Ordo 6x6

σ

1111

C

11111111

2C

11121112

2C

11131113

C

11221122

2C

11231123

C

11331133

εε

1111

2σ

12 12 (C(C12111211+ + CC21112111))

2

((CC12121212+ C+ C21122112))

2

(C(C12131213++ CC21132113)) (C(C12221222++ CC21222122))

2

(C(C12231223+C+C21232123)) ((CC12331233+ C+ C21332133))

εε

1212

2σ

13 13

=

(C(C13111311+ + CC31113111))

2

((CC13121312+ C+ C31123112))

2

(C(C13131313++ CC31133113)) (C(C13221322++ CC31223122))

2

(C(C13231323+C+C31233123)) ((CC13331333+ C+ C31333133))

εε

1313

σ

2222

C

22112211

2C

22122212

2C

22132213

C

22222222

2C

22232223

C

22332233

εε

2222

2σ

23 23 (C(C23112311+ C+ C32113211))

2

((CC23122312+ C+ C32123212))

2

(C(C23132313++ CC32133213)) (C(C23222322++ CC32223222))

2

(C(C23232323+C+C32233223)) ((CC23332333+ C+ C32333233))

εε

2323

σ

3333

C

33113311

2C

33133313

2C

33153315

C

33223322

2C

33233323

C

33333333

εε

3333

σ

1111

C

11111111

2C

11121112

2C

11131113

C

11221122

2C

11231123

C

11331133

εε

1111

2σ

12 12 2C2C12111211

4

CC12121212

4

CC12131213 2C2C12221222

4

CC12231223 22CC12331233

εε

1212

2σ

13 13

=

2C2C13111311

4

CC13121312

4

CC13131313 2C2C13221322

4

CC13231323 22CC13331333

εε

1313

σ

2222

C

22112211

2C

22122212

2C

22132213

C

22222222

2C

22232223

C

22332233

εε

2222

2σ

23 23 2C2C23112311

4

CC23122312

4

CC23132313 2C2C23222322

4

CC23232323 22CC23332333

εε

2323

σ

3333

C

33113311

2C

33133313

2C

33153315

C

33223322

2C

33233323

C

33333333

εε

3333