Marko V. Iveti
Raqunska hidraulika
Otvoreni tokovi
Sadraj
1 Opxte o neustaljenom teqenju u kanalima 7
1.1 Osnovne pretpostavke . . . 7
1.2 Hidrauliqki skok - diskontinuitet u fluidnoj struji 10 1.2.1 Stabilan hidrauliqki skok . . . 10
1.2.2 Pokretan hidrauliqki skok . . . 12
1.3 Matematiqki model neustaljenog teqenja . . . 15
1.3.1 Brzina prostiranja poremeaja . . . 15
1.3.2 Karakteristike i invarijante . . . 18
1.3.3 Gubitak energije . . . 19
1.4 Primeri . . . 21
2 Osnovne jednaqine 27 2.1 Jednaqina odranja mase . . . 27
2.2 Zakon odranja koliqine kretanja u pravcu toka . . . 30
2.3 Razliqiti oblici Sen-Venanovih jednaqina . . . 35
2.4 Jednaqine za ustaljeno teqenje . . . 36
2.4.1 Diferencijalni oblik . . . 36
2.4.2 Integralni oblik . . . 37
3 Kinematiqki talas 41 3.1 Pojednostavljeni oblici jednaqina . . . 41
3.2 Transformacija talasa u akumulaciji . . . 42
3.3 Osnovne jednaqine modela kinematiqkog talasa . . . . 43
3.3.1 Analitiqko rexenje . . . 47
3.3.2 Numeriqki model kinematiqkog talasa . . . . 49
3.5 Difuziona jednaqina kao model neustaljenog teqenja
u otvorenim tokovima . . . 60
3.5.1 Numeriqki model . . . 61
4 Metoda karakteristika 65 4.1 Numeriqki model . . . 67
4.2 Metoda karakteristika tri taqke . . . 68
4.3 Poqetni i graniqni uslovi . . . 70
4.4 Primer 1 . . . 75
4.5 Primer 2 . . . 76
5 Matematiqki modeli dinamiqkog talasa 81 5.1 Praismanova metoda qetiri taqke . . . 81
5.1.1 Numeriqki model . . . 82
5.2 Eksplicitne metode . . . 85
5.2.1 Laksova metoda . . . 85
5.3 Metoda razdvajanja operatora . . . 86
5.3.1 Graniqni uslovi . . . 89
5.3.2 Primer . . . 90
A Proraqun linije nivoa u otvorenim tokovima 93 A.1 Belexka o autoru (i slika mu) . . . 100
Predgovor
Ova monografija je jox jednom ponovljeno izdanje Beleaka, ovog puta dostupno preko Interneta u PDF formatu. U odnosu na prethodno, koje je izaxlo 1997. godine, a obnovljeno 2000. godine, nema bitnijih izmena. Neke grexke su ispravljene a korixen je i iriliqni slog. Po tehniqkoj obradi odgovara pravoj knjizi, ali po sadraju i kompletnosti obraenog materijala jox uvek je daleko od toga. Osnovna namera, koja je dovela do xtampanja prvog izdanja, a to je da se studentima obezbedi materijal koji u pot-punosti pokriva gradivo koje se predaje, nije ni ovoga puta iznev-erena. Obraeno je sve xto se predaje, pa i malo vixe od toga, i to upravo na naqin na koji se to predaje studentima hidrotehnike. Da bi materijal obraen u ovoj monografiji bio jox interesantniji inenjerima, koji nisu imali prilike da sluxaju ovaj predmet, nedostaje jox toga. U prvom redu to je deo o ustaljenom teqenju u otvorenim tokovima (xto predajem studentima Arhitektonsko-graevinskog fakulteta u Banjoj Luci) i o regulacionim karakter-istikama ustava i preliva. O tome razmixljam i namera mi je da se ve za sledeu generaciju studenata pojavi kompletnije izdanje ove monografije, koje e doprineti da se cela linija od Mehanike fluida do Hidraulike 2, moe prouqavati na jedinstven naqin, i zasluiti nazivknjige. I ovo xto definitivno nije knjiga izgleda korektno najvixe zahvaljujui Donaldu Knutu i njegovom TEX-u.
Marko V. Iveti
1
Opxte o neustaljenom
teqenju u kanalima
1.1
Osnovne pretpostavke
Teqenje u otvorenim tokovima karakterixe neodreenost konture fluidne struje. Jedan deo konture je slobodna povrxina na kojoj je pritisak jednak okolnom (slika 1.1).
Ustaljeno teqenje razmatrano je u okviru predmeta Mehanika fluida a delom u okviru Hidraulike 1. Neustaljeno teqenje u otvorenim tokovima prouqava se u okviru ovog kursa uz sledee pretpostavke:
• Teqenje je linijsko (jednodimenzionalno). Koriste se veli-qine reprezentativne za popreqni presek. Umesto komponenti brzineui u svakoj taqki preseka, koriste se proticaj, odnosno, srednja brzina, kao reprezentativne veliqine za ceo popreqni
presek: vk= Q Ak = 1 Ak Z Ak uinidA,
gde je Ak povrxina popreqnog preseka kanala, Q, proticaj zapremine kroz povrxinuAk. Na sliqan naqin definixu se i ostale veliqine kao, pijezometarska kota, kinetiqka energija, ukupna energija, sila pritiska itd. Takoe, pretpostavlja se da je nivo u popreqnom preseku kanala horizontalan.
• Sve veliqine vezane za popreqni presek blago se menjaju du toka. Vertikalno ubrzanje u popreqnom preseku kanala je zanemarljivo. Strujnice su meusobno priblino paralelne. Odavde sledi hidrostatiqka raspodela pritisaka u popreq-nom preseku kanala, kao i to da se pijezometarska kota za presek poklapa sa kotom nivoa.
• Fluid je homogen i nestixljiv.
• Trenje se uzima kao kod ustaljenog teqenja.
• Poduni nagib dna vodotoka je mali,cos2α≈1, tako da je sve-jedno da li se dubina meri vertikalno na dole, ili upravno na popreqni presek fluidne struje.
Osnovni zadatak u prouqavanju linijskog teqenja u otvorenim tokovima je odreivanje promena veliqina reprezentativnih za pop-reqni presek fluidne struje du toka u svakom vremenskom trenutku.
Postoje dve (meusobno nezavisne) promenljive veliqine koje definixu stanje u svakom popreqnom preseku otvorenog toka. Za njihovo odreivanje potrebne su dve jednaqine, koje predstavljaju dva fiziqka zakona. Na raspolaganju su tri zakona odranja od kojih treba definisati dva uslova. U upotrebi su dva pristupa, koji su na prvi pogled ekvivalentni:
1. zakon odranja mase i zakon odranja koliqine kretanja, i 2. zakon odranja mase i zakon odranja energije.
Kod ustaljenog teqenja dobijaju se identiqni rezultati sve dok su sve promenljive kontinualne du kanala. Meutim, u otvorenim tokovima postoje diskontinuiteti (hidrauliqki skok, naprimer) koji se ne mogu ignorisati. Kao xto je poznato, na konaqnu masu
fluida koji se u posmatranom trenutku nalazi izmeu dva preseka, ispred i iza stabilnog hidrauliqkog skoka, inercijalne sile i sile pritiska su u ravnotei, odakle se moe odrediti gubitak energije. Energetska jednaqina se ne moe direktno primeniti upravo zbog nepoznatog gubitka energije.
Dalje, kod primene osnovnih zakona Mehanike fluida na kon-trolnu zapreminu karakteristiqnu za teqenje u otvorenim tokovima, postoje dva pristupa:
• integralni, kod koga se osnovni zakoni odranja primenjuju na konaqnu zapreminu fluida izmeu dva popreqna preseka na konaqnom rastojanju (unutar kontrolne zapremine mogui su diskontinuiteti),
• diferencijalni, kod koga se, uz pretpostavku linearne promene svih veliqina izmeu dva bliska preseka, i primenom opera-tora limes, dolazi do jednaqina koje vae u okolini taqke. Diferencijalni pristup dovodi do matematiqkih modela sledeeg oblika (Streeter & Wylie, 1975):
dh dx = Id−Ie 1−F r odnosno: d dx Zd+h+ v2 2g ! =−Ie Ie=Cτ 1 R v2 2g
koji vae za ustaljeno i blago promenljivo teqenje u prizmatiqnim kanalima. Diskontinuiteti u fluidnoj struji moraju se posebno identifikovati i razmatrati na drugi naqin.
Ukoliko su matematiqki (i numeriqki) modeli spremni da bez velikih problema uzmu u obzir i diskontinuitet, to im je znaqa-jan kvalitet. U nastavku e se relacije izvedene za hidrauliqki skok iskoristiti za definisanje generalnog modela neustaljenog teqenja, za priblino horizontalno dno i zanemarljiv uticaj trenja. Tako definisan model neustaljenog teqenja moe se primeniti za rexavanje problema neustaljenog teqenja na kraim deonicama plov-nih i melioracioplov-nih kanala kod kojih se nivo regulixe ustavama, i upoxte kanala kod kojih su mogue nagle promene nivoa ili pro-ticaja.
1.2
Hidrauliqki skok - diskontinuitet u
flu-idnoj struji
1.2.1 Stabilan hidrauliqki skok
Posmatra se kontrolna zapremina izmeu preseka 1-1 i 2-2 (slika 1.2), koja obuhvata deonicu za koju, zbog velikog vertikalnog ubrza-nja, nisu zadovoljene pretpostavke o prouqavanju fluidnih struja. Dno kanala je priblino horizontalno i zanemaruje se trenje.
Slika 1.2: Hidrauliqki skok
Uzvodno i nizvodno od hidrauliqkog skoka teqenje je priblino horizontalno.
Zakon odranja mase primenjen na kontrolnu zapreminu izmeu preseka 1-1 i 2-2, pravougaonog kanala, xirine b, daje
ρv1h1b=ρv2h2b (1.1) Sile koje deluju na stabilan hidrauliqki skok u presecima 1-1 i 2-2 su u ravnotei, pa zakon odranja koliqine kretanja glasi:
1 2ρgh 2 1b+ρh1bv12 = 1 2ρgh 2 2b+ρh2bv22 (1.2) Zamenom jednaqine kontinuiteta (1.1) u dinamiqku jednaqinu (1.2), dobijaju se dve ekvivalentne jednaqine:
v21 = gh2
(h1+h2)
v22 = gh1
(h1+h2)
2h2 (1.4)
Zbog nepoznavanja naqina prelaza fluida iz stanja u preseku 1-1 u stanje u preseku 2-2, u kojima je teqenje priblino horizontalno, zakon odranja energije se pixe:
v21
2g+h1 = v22
2g +h2+ ∆E (·ρg(vh)1b) (1.5) gde ∆E predstavlja razliku energije izmeu dva preseka.
Jednakost je napisana za energiju po jedinici teine, kako je to uobiqajeno u hidrotehniqkoj praksi. Mnoenjem sa izrazom u zagradi dobijaju se proticaji energije kroz preseke 1-1 i 2-2.
Na osnovu jednaqina (1.3) i (1.4) moe se pokazati da je veliqina
∆E razliqita od nule za svaki, konaqno veliki, hidrauliqki skok i da je jednaka:
∆E = (h2−h1)
3
4h1h2 (1.6)
Ako je h1< h2 radi se o smanjenju (gubitku) energije, dok bi se, za h1 > h2, radilo o poveanju energije u nizvodnom smeru. Prema pr-vom zakonu termodinamike1 i jedno i drugo je mogue (primer za to su hidrauliqke maxine). Meutim, ovde nema pokretne konture i sve se dexava u fluidu unutar kontrolne zapremine. Drugi zakon termodinamike govori o tenji prirodnih sistema da zauzmu stanje vee neodreenosti (entropije). Linijsko, priblino paralelno teqenje, predstavlja najureeniji oblik teqenja (Abbott, 1979), pa je svaki prelazak u manje ureen oblik teqenja u potpunosti mogu. Meutim, pretvaranje neureenog kretanja u ureeno, odnosno par-alelno, kakvo je iza skoka, ne moe se ostvariti u potpunosti (Muxicki, 1975), pa jedan deo energije ostaje u neureenom kre-tanju.
Vixak energije u ulaznom preseku prelazi, delom u oscila-torno kretanje sa malom periodom, a delom u energiju turbulentnog teqenja. Za vee razlike (h2−h1), poveava se i deo energije koji prelazi u turbulentno teqenje. Nijedan od ovih oblika energije se ne moe prikazati veliqinama linijskog modela, pa se taj deo
1
U izolovanom sistemu, rad kojim se sistem prevodi iz stanja A u stanje B, odnosno, iz stanja B u stanje A, jednak je razlici unutraxnjih energija sistema u stanju A i stanju B.
energije smatra gubitkom. Hidrauliqki skok je, dakle, primer ireverzibilnog procesa.
Iako to kod ustaljenog teqenja nema mnogo smisla, stabilan skok, kod koga je h1 < h2, zove se pozitivan hidrauliqki skok. Za prelazak toka iz stanja 1 u stanje 2 pri h1 > h2, trebalo bi dodati energiju linijskom toku, xto se ne moe desiti na horizontalnom dnu kanala. Postojanje stabilnog negativnog hidrauliqkog skoka je fiziqki nemogue. U stvari, negativni hidrauliqki skok se moe pojaviti samo trenutno u neustaljenom teqenju, ali se brzo gubi i prelazi u blago promenljivo teqenje.
1.2.2 Pokretan hidrauliqki skok
Kada sile u presecima 1-1 i 2-2, koje deluju na kontrolnu za-preminu, nisu u ravnotei, diskontinuitet se pomera du kanala. Korixenjem Galilejevog pokretnog koordinatnog sistema (sli-ka 1.3), koji se kree zajedno sa diskontinuitetom, moe se doi do relacija za pokretni hidrauliqki skok analognih jednaqinama (1.1), (1.2) i (1.5).
Slika 1.3: Galilejev koordinatni sistem
Na slici 1.3 prikazano je jednoliko pravolinijsko kretanje taq-ke (I), posmatrano u odnosu na koordinatni sistem A (referentni, uslovno reqeno, apsolutni), kao i njeno kretanje u odnosu na koor-dinatni sistem B, koji se ravnomerno kree brzinom v u odnosu na sistem A. Veza izmeu poloaja taqke u ova dva sistema glasi:
(XI)A= (XI)B+v·t (1.7) gde je t vreme, a (XI)A i (XI)B, poloaji taqke u koordinatnom sistemu A, odnosno, B. Odatle se lako dobija i veza brzina u dva
Slika 1.4: Pokretni hidrauliqki skok koordinatna sistema:
(vI)A= (vI)B+v (1.8) Svi zakoni odranja se mogu primeniti i na kontrolnu za-preminu u pokretnom koordinatnom sistemu, pod uslovom da se radi sa relativnim brzinama. Uostalom, i to xto smatramo apso-lutnom brzinom (brzina u odnosu na dno), je relativna brzina ako se posmatra kretanje Zemlje.
Kod pokretnog hidrauliqkog skoka se uzima da se koordinatni sistem kree zajedno sa skokom, brzinom c (slika 1.4).
Posmatrajui relativne brzine u pokretnom koordinatnom sis-temu smer teqenja mora biti od manje dubine ka veoj, da bi bio zadovoljen energetski uslov, E1 > E2, ili, drugim reqima, da bi hidrauliqki skok bio stalan. Ako se uzme da je ∆h=h2−h1, uvek pozitivno, iz jednaqina (1.3) i (1.4) sledi:
(v1−c)2 = g(h1+ ∆h) (h1+ (h1+ ∆h)) 2h1 > gh1 (1.9) (v2−c)2 = g(h2−∆h) ((h2−∆h) +h2) 2h2 < gh2 (1.10) Za posmatraqa, koji se kree zajedno sa diskontinuitetom, izgleda kao da tok prelazi iz burnog u mirno teqenje jer su odgovarajui Frudovi (Froude) brojevi jednaki:
(v1−c)2 gh1 >1, (v2−c) 2 gh2 <1
Za (h1 > h2) izgleda da tok prelazi sa vee dubine na manju. Tada se radi o negativnom hidrauliqkom skoku, koji se vrlo brzo
Slika 1.5: Zakon odranja mase u nepokretnom koordinatnom sis-temu
gubi jer zbog prvog i drugog zakona termodinamike zahteva spoljnu energiju da bi se odrao.
Zakoni odranja mase i koliqine kretanja za pokretan poziti-van hidrauliqki skok glase:
(v1−c)h1 = (v2−c)h2 (1.11) (v1−c)2h1+g h21 2 = (v2−c) 2h 2+g h22 2 (1.12)
Posle sreivanja dolazi se do izraza u kojima figurixu proticaji mase i koliqine kretanja u odnosu na dno:
c(h2−h1) = (v2h2−v1h1) /·ρb , (1.13) c(v2h2−v1h1) = " v22h2+g h22 2 ! − v12h1+g h21 2 !# /·ρb , (1.14) Prethodni izrazi se mogu napisati skraeno
c[h]21 = [vh]21 (1.15) c[vh]21 = " v2h+gh 2 2 #2 1 (1.16) gde uglaste zagrade predstavljaju razlike veliqina u dva popreqna preseka. Iz prve jednaqine se vidi da je proizvod brzine pomer-anja skoka i promene dubine u skoku (odnosno, poveanje zapremine izmeu fiksnih preseka 1-1 i 2-2), jednak razlici proticaja kroz preseke 1-1 i 2-2. Isto to je prikazano na slici (1.5).
Ovo je diskontinualni oblik zakona odranja, koji predstavlja matematiqki, ali ujedno i numeriqki, model pokretnog hidrauliq-kog skoka.
Zakoni odranja (1.15) i (1.16) mogu se napisati i u matriqnoj formi: c " ρh ρvh #2 1 = " ρvh ρv2h+gh22 #2 1 (1.17) Veliqine na levoj strani jednaqine (1.17) se zovu ”nivoi” mase i koliqine kretanja (neuobiqajen termin u srpskom jeziku), dok su veliqine na desnoj strani proticaji mase i koliqine kretanja.
Uz pretpostavku da se radi o proizvoljno malim promenama du-bine i brzine, dolazi se do diferencijalnog oblika zakona odra-nja: c dh= d(vh) (1.18) c d(vh) = d v2h+gh 2 2 ! (1.19)
1.3
Matematiqki model neustaljenog teqenja
Prethodna razmatranja o pokretnom hidrauliqkom skoku se mogu dalje uopxtiti, takoe, uz zanemarenje trenja i za horizontalno dno. Ono xto dokazano vai za diskontinuitet u otvorenom toku, kao xto je pokretni hidrauliqki skok, vaie i za jako male poremeaje, na koje se moe razloiti nekakva kontinualna prom-ena dubine ili proticaja na granici, koja putuje kao poremeaj du kanala, qime e se doi do modela neustaljenog teqenja u otvorenim tokovima.
1.3.1 Brzina prostiranja poremeaja
Za razliqite kombinacije dubina i brzina mogue je razlikovati qetiri oblika pokretnog hidrauliqkog skoka (slika 1.6) meu ko-jima moe biti onih koji su stalnog (a. i g.) i koji su privremenog tipa (b. i v.).
Problem stalnosti skoka e se ostaviti na stranu, a posma-trae se sva qetiri sluqaja kretanja beskonaqno malog poremeaja u pozitivnom i negativnom smeru x ose, kao xto je to prikazano na
Slika 1.6: Oblici pokretnog hidrauliqkog skoka
slici (1.7). Poremeaj, promena dubine ±dh, izazvan je konstant-nim beskonaqno malim izvorom (sluqajevi (a) i (b)) ili ponorom (sluqajevi (v) i (g)), smextenim u koordinatnom poqetku x= 0.
Uz pretpostavku da se kao zavisno promenljive javljaju v i h, jer se moe napisati v1, v2 →v ih1, h2→h, jednaqine (1.3) i (1.4) se svode na: (c−v1)2→(c−v)2= gh2(h1+h2) 2h1 →gh (1.20) (c−v2)2→(c−v)2= gh1(h1+h2) 2h2 →gh (1.21)
Brzine prostiranja beskonaqno malih poremeaja su jednake: c±=v±
p
gh (1.22)
Prethodni rezultat se moe prikazati i shematski na slici (1.8), relativno u odnosu na brzinu fluida. Tragovi koje ostavljaju poremeaji (beskonaqno mali hidrauliqki skokovi) u ravni (x, t) zovu se karakteristike (slika 1.7). U svakoj taqki ravni (x, t) seku se dve karakteristike, pozitivna i negativna, u zavisnosti od znaka u jednaqini (1.22).
Slika 1.7: Trodimenzionalni prikaz qetiri oblika elementarnih poremeaja
1.3.2 Karakteristike i invarijante
Na osnovu zakona odranja koliqine kretanja doxlo se do brzine propagacije poremeajac, a veza izmeu promene dubinedhi brzine
dvu elementarnom poremeaju, moe se dobiti iz zakona o odranju mase: d(vh) =cdh. Iz jednaqine (1.22) sledi d(vh) = (v±p gh)dh (1.23) d(vh) =v dh+h dv (1.24) Posmatraju se promene, posebno za svaki pravac karakteristika:
1. preko beskonaqno malog poremeaja, koji putuje u pozitivnom smeru brzinom, v+ √ gh: h dv=pghdh odakle se dobije: dv= rg h dh odnosno, dv−d(2 p gh) = 0 (1.25)
2. preko beskonaqno malog poremeaja, koji putuje u negativnom smeru brzinom, v− √ gh: hdv =−pgh dh odakle se dobije: dv=− rg h dh odnosno, dv+ d(2 p gh) = 0 (1.26)
Izrazi (1.25) i (1.26) predstavljaju osnovna rexenja u diferenci-jalnom obliku za blago promenljivo, odnosno, priblino horizon-talno teqenje. Promena brzine usled konaqno velikog poremeaja moe se dobiti sabiranjem (odnosno, integracijom) elementarnih promena.
U ravni (x, t) postoji proizvoljno mnogo linija du kojih se mogu integrisati promene brzine i dubine. Pogodno je da te linije budu karakteristike, zato xto posmatraq koji se kree du jedne
Slika 1.9: Ukupna promena dubine i brzine du pozitivne karak-teristike izazvana je elementarnim poremeajima (hidrauliqkim skokovima) koji putuju u negativnom smeru
karakteristike ”susree” samo poremeaje koji mu dolaze u susret du karakteristika iz suprotne familije (slika 1.9).
Du pozitivne karakterisitke integrixe se (1.26) i dobije se da je:
v+ 2pgh=const=I+ (1.27) a du negativne karakterisitke integrixe se (1.25) i dobije se:
v−2pgh=const=I− (1.28) VeliqineI+iI−su nepromenljive du pozitivne i negativne karak-teristike, i zovu se Rimanove (Riemann) invarijante. Zajedno sa pravcima prostiranja poremeaja dx/dt = c±, Rimanove invari-jante predstavljaju osnovu Metode karakteristika o kojoj e biti reqi u narednim poglavljima.
1.3.3 Gubitak energije
Postoji jedna nedoumica koju treba raxqistiti. Poxlo se od pokretnog hidrauliqkog skoka u kome je postojao odreeni gubitak energije ∆E. Prelaskom na beskonaqno male promene, od kojih se sastoje konaqne kontinualne promene, i formulisanjem Rimanovih invarijanti, koje postoje i kod diferencijalnih jednaqina, xta se dexava sa gubitkom energije? Da li postoji ili i on tei nuli?
Posmatra se promena dubine du jedne karakteristike (slika 1.10). Izvrxena je podela du x na podintervale u kojima se
du-Slika 1.10: Promena dubine du jedne karakteristike bina h menja monotono. Ako se pretpostavi da je teqenje blago promenljivo broj ovih intervala mora da bude konaqan. Teqenje se dalje aproksimira u svakom podintervalu kao niz hidrauliqkih skokova i horizontalnih teqenja, za koje su zanemareni gubici en-ergije usled trenja. Uzima se da je ukupna promena dubine na pod-intervalu jednaka celom broju jednakih priraxtaja ∆kh. Ako je Jk broj elementarnih hidrauliqkih skokova u k-tom podintervalu, ukupan gubitak energije (ustvari, ukupna promena energije u je-dinici vremena du jedne karakteristike), je uvek manji od
K X k=1 Jk X j=1 ρg|Vj| 4hj ! k |∆kh|3 , (1.29) jer su svi gubici raqunati kao pozitivni. Dalje je
dE dt ≤ K X k=1 " max j ρg|vj| 4hj !# k Jk|∆kh|3 . (1.30) Moe se iskoristiti jednakost
Jk|∆kh|=|h(ak)−h(bk)| (1.31) gde su h(ak) i h(bk) dubine na poqetku i na kraju podintervala k. Na celom intervalu du karakteristike, od preseka a1 do preseka bK, trai se najvea vrednost qlana
ρg|v(x)| 4h(x) dE dt ≤a1max<x<bk ρg|v(x)| 4h(x) K X k=1 |h(ak)−h(bk)||∆kh|2 . (1.32) Na kraju moe se napisati
dE dt ≤K·a1max<x<bk ρg|v(x)| 4h(x) max k [|h(ak)−h(bk)||∆kh| 2]. (1.33)
Za ∆h → 0 gubitak energije ddEt tei nuli proporcionalno
(∆kh)2. Poxto K nije funkcija ∆h, ovo vai za proizvoljno K. Ne treba zaboraviti ni uslove pod kojim je ovo izvedeno. Radi se o blago promenljivom teqenju koje je aproksimirano jako malim hidrauliqkim skokovima.
1.4
Primeri
U nastavku e se na nekoliko primera objasniti korixenje Ri-manovih invarijanti za rexavanje praktiqnih zadataka i postaviti osnove Metode karakteristika.
Karakteristike, ili putanje poremeaja u ravni (x, t), defin-isane su izrazom
dx
dt =c±=v± p
gh (1.34)
gde znak (+), odgovara pozitivnoj, a znak (−), negativnoj karakter-istici. Du ovih linija konstantne su vrednosti I+ i I−, pozi-tivna i negapozi-tivna Rimanova invarijanta. U svakoj taqki, u ravni
(x, t), seku se dve karakteristike, a da bi se odredilo stanje u toj
taqki potrebno je znati vrednosti invarijanti za te karakteris-tike. Za karakteristike koje seku osnovnu liniju (t = 0), invar-ijante odreuju poqetni uslovi, vrednosti brzine i dubine du kanala u poqetnom trenutku. Stanje na granici oblasti u kojoj se trai rexenje (x= 0 ix=L), odreuje jedna karakteristika koja dolazi iz kanala, i dodatni uslov, koji se zove graniqni uslov2.
Primer 1
Posmatra se deonica pravougaonog kanala xirine 4 m, duine 200 m sa definisanim proticajem na uzvodnom kraju i ustavom na nizvodnom kraju. Dno je horizontalno a dubina je na celoj de-onici priblino konstantna. Odrediti dubinu u kanalu u poqet-nom trenutku ako se zna da je proticaj jednak 10 m3/s, a veliqina otvora ustavee=0.3 m (CA=0.70,CV =0.95). Na uzvodnoj strani kanala dolazi do linearne promene proticaja od∆Q= +2m3/s, za 10 sekundi. Odrediti kolika je promena proticaja u nizvodnom preseku u trenutku kada ukupni poremeaj dospe do ustave.
2
Ovo vai za kanal u kome je mirno teqenje. Meutim, to ne treba shvatiti kao neko ograniqenje, jer zapravo, samo za sluqajeve kada je brzina u kanalu jako mala ima smisla zanemariti trenje, kao xto je to ovde i uraeno
Proticaj u ustaljenom teqenju iznosi: Q0 =CA·CV ·e·B
q
2g(H0−CA·e)
odakle se dobije da je dubina jednaka H0= 8.21m
Promena dubine u uzvodnom preseku dobija se preko negativne Ri-manove invarijante koja dolazi iz neporemeene sredine i poznate promene proticaja Q1= 12 m3 s (I0)−= 10.0 4.0·8.21 −2 √ 9.81·8.21 =−17.64m s 12.0 4.0·h1 −2pg·h1 =−17.64 m s h1 = 8.26m
Nova dubina i proticaj u preseku uzvodno od ustave dobie se na osnovu pozitivne Rimanove invarijante koja vai du karak-teristike koja nosi poremeaj, i na osnovu jednaqine isticanja ispod ustave. (I1)+= 0.363 + 2 p g·h1= 18.37 m s Q2 b·h2 + 2pg·h2= 18.37 m s Q2= 10.06 m3 s h2 = 8.31m
Vremenski trenutak u kojem se ostvaruje dubina h2 je t2= 10 +
200
0.363 +√9.81·8.26 = 31.36s
Primer 2
U kanalu pravougaonog popreqnog preseka xirine 4 m, duine 200 m nalazi se spuxtena ustava na nizvodnom kraju. U poqetnom trenutku voda u kanalu miruje, a dubina je jednaka 5 m. Dno kanala je horizontalno. Ustava na nizvodnom kraju kanala se postepeno podie brzinom ddet = 0.5cms , dok ne dostigne vrednost e = 20cm. Koeficijent kontrakcije mlaza je CA = 0.7, koeficijent brzine
CV = 0.95. Odrediti promene dubine i proticaja u kanalu tokom prvih 100 s.
Na slici (1.11) u ravni (x, t) nacrtane su linije kojima putuju poremeaji (karakteristike). Stanje u bilo kojoj taqki ravni odreeno je vrednostima Rimanovih invarijanti za karakteris-tike koje se seku u toj taqki.
Slika 1.11: Primer 2 Na slici se mogu uoqiti tri oblasti:
• Neporemeena zona; nalazi se u donjem levom uglu dijagrama. Invarijante du bilo koje karakteristike koja polazi iz ove zone imaju istu vrednost.
• Zona prostog talasa; nalazi se iznad neporemeene zone, i ograniqena je linijamaA0−A1 i A1−A2. Sve karakteristike u toj zoni su prave linije jer se negativne karakteristike koje nose poremeaj sa nizvodne strane seku sa pozitivnim karakteristikama koje dolaze iz neporemeene zone.
Poloaj taqke A1 dobija se na osnovu negativne karakteristike koja kree iz taqke A0.
tA1 =tA0+ L |vA0 −cA0|
= 0 +200
7.0 = 28.6s
Proticaj u taqki B0, za tB0 = 20s i e = 0.10m, odreuju pozi-tivna invarijanta koja dolazi iz neporemeene zone i jednaqina isticanja ispod ustave
(I0)+=v+ 2 p g·h0= 14 m s QB0 = 0.7·0.96·4·0.1 q 2g(hB0 −0.07)
Proticaj i dubina dobijaju se iterativno QB0 = 2.59
m3
s hB0 = 4.90m
Poloaj taqke B1 dobija se na osnovu negativne karakteristike koja kree iz taqke B0.
tB1 =tB0 + L |vB0 −cB0|
= 20 + 200
|0.13−6.93| = 20.0 + 29.4 = 49.4s
Proticaj i dubina u taqki C0 odreuju se na sledei naqin vC0+ 2 q g·hC0 = 14 m s QC0 = 0.7·0.96·4·0.1 q 2g(hC0−0.07) QC0 = 5.09 m3 s hC0 = 4.81m
Poloaj taqke C1 dobija se na osnovu negativne karakteristike koja polazi iz taqke C0
tC1 =tC0 + L |vC0 −cC0|
= 40 + 200
|0.265−6.87| = 40.0 + 30.3 = 70.3s
U raqunu je pretpostavljeno da su negativne karakteristike koje polaze iz taqakaA0, B0 iC0 prave linije. To je taqno samo za lin-ijuA0−A1, dok je za preostale dve to taqno samo na delu do preseka sa linijom A1 −A2, odnosno do taqaka B
0
1 i C
0
odstupanje od prave linije nije veliko, ali to je qinjenica o kojoj se mora voditi raquna. To je posledica toga xto brzina prosti-ranja poremeaja zavisi od dubine i xto je istog reda veliqine kao brzina fluida koja je takoe premenljiva.
Proticaj na uzvodnoj granici kanala jednak je nuli (to je gra-niqni uslov) a dubina se odreuje na osnovu negativne karakter-istike koja dolazi sa nizvodnog kraja kanala.
IB0 =vB0−2 q
ghB0 =−13.73 m
s hB1 = 4.80m
U taqkama A2, B2 itd. stanje se odreuje na osnovu pozitivne invarijante koja dolazi sa uzvodnog kraja iz taqaka u kojima su poznate vrednosti dubine i proticaja i nizvodnog graniqnog uslova, jednaqine isticanja ispod ustave. Tako se, naprimer, dobija da je dubina u taqki A2 jednaka 4.81 m, a proticaj 5.09 m3/s. Poloaj taqke A2 se moe priblino odrediti pomou karakteristikeA1− A2, tA2 = 57.2s. Taqnije odreivanje poloaja neke taqke kada karakteristika nije prava linija, mogue je ako se to radi u seg-mentima na kojima se pretpostavlja da je karakteristika prava. Za taqku na kanalu, recimo, C
0
1, stanje odreuju invarijante du karakteristika B 0 1−C 0 1 i C0−C 0 1. Literatura
[1] Abbott M.B., 1979, Computational Hydraulics, Pitman.
[2] Abbott M.B. & Basco D.R., 1989, Computational Fluid Dynamics - An
Introduction for Engineers, Longman Scientific & Technical.
[3] Muxicki, ., 1975, Uvod u teorijsku fiziku, II deo, Statis-tiqka fizika, ICS Beograd.
[4] Streeter V.L. & Wylie E.B., 1975, Fluid Mechanics, 6th edition,
McGraw-Hill.
[5] Radojkovi, M. i Klem N., 1989,Primena raqunara u Hidraulici, Graevinska knjiga.
2
Osnovne jednaqine
Na isti naqin kao xto je to uraeno u prethodnom poglavlju za po-jednostavljeni sluqaj kada se zanemare poduni nagib dna kanala i trenje, zakoni odranja mase i koliqine kretanja mogu se primeniti na konaqne zapremine deonica otvorenih tokova proizvoljnog ob-lika popreqnog preseka. Namera je da se doe do opxteg obob-lika jednaqina matematiqkog modela i do odgovarajueg numeriqkog mo-dela.
2.1
Jednaqina odranja mase
Posmatra se deonica toka, duine ∆x, izmeu dva popreqna pre-seka fluidne struje, koji se nalaze na xk i xk+1, u vremenskom intervalu, ∆t (slika 2.1). Fluid je nestixljiv (ρ= const).
• Razlika ulaza i izlaza iz kontrolne zapremine jednaka je
[(ρvA)k+1−(ρvA)k] ∆t (2.1) • Promena mase (zapremine) dela toka izmeu dva preseka
jed-naka je
h
(ρA)n+1−(ρA)ni∆x (2.2) Izrazi (2.1) i (2.2) odgovaraju jedan drugom: suma proticaja mase kroz kontrolnu povrxinu jednaka je promeni mase unutar kontrolne za-premine(zakon odranja mase). Treba voditi raquna da pozitivnoj vrednosti qlana (2.1) odgovara smanjenje mase fluida izmeu dva preseka.
Zakon odranja mase moe se napisati u diskretnom obliku, direktno za potrebe numeriqkog modela
[(ρvA)k+1−(ρvA)k] ∆t+
h
(ρA)n+1−(ρA)ni∆x= 0 (2.3) U izrazu (2.1), za veliqine u presecima k i k+ 1, nije naznaqen vremenski nivo na koji se to odnosi. To treba da bude reprezen-tativno za ceo interval ∆t. Takoe, u izrazu (2.2) nije naznaqen presek, jer to treba da bude reprezentativno za celu deonicu ∆x. Od jednaqine (2.3) lako se dolazi do numeriqkog modela. U za-visnosti od taqnosti koja se eli postii mogui su razliqiti numeriqki modeli. Ako se kao reprezentativne vrednosti kod pr-vog qlana uzmu veliqine na poqetku intervala ∆t, a kod drugog qlana, na polovini intervala ∆x, dobija se
Qnk+1−Qnk ∆t+ " Ank+1+1+Ank+1 2 − Ank+1+Ank 2 # ∆x= 0 (2.4)
Prvi qlan je aproksimiran sa taqnoxu prvog reda (pravilo pravo-ugaonika, Ojlerova metoda), a drugi sa taqnoxu drugog reda (trapezno pravilo, centralne razlike). Aproksimacija vixeg reda taqnosti moe se dobiti na sledei naqin
" Qnk+1+1+Qnk+1 2 − Qnk+1+Qnk 2 # ∆t+ " Ank+1+1+Ank+1 2 − Ank+1+Ank 2 # ∆x= 0 (2.5) gde su oba qlana aproksimirana sa taqnoxu drugog reda.
Slika 2.2: Smaknuta mrea (staggered grid)
Formalno ista taqnost, ali sa dvostruko manje veliqina pos-tie se na tzv., smaknutoj mrei (staggered grid) (slika 2.2), gde dubine i proticaji nisu definisani u istim presecima
" Qnk+1+1+Qnk+1 2 − Qnk−+11 +Qnk−1 2 # ∆t+hAnk+1−Anki2 ∆x= 0 (2.6) Zakon odranja mase (2.3) moe se napisati i u integralnom obliku. Tada se formalno uzima u obzir stvarna promena svih veliqina u intervalu∆t, odnosno na rastojanju,∆x, a ne linearna, odnosno, skokovita kao u prethodnim izrazima.
Z tn+1 tn [Qk+1−Qk] dt+ Z xk+1 xk h An+1−Anidx= 0 (2.7)
Zakon odranja mase se moe napisati i u diferencijalnom ob-liku. Razlike definisane izrazima (2.1) i (2.2) napisae se na sledei naqin
(ρvA)k+1−(ρvA)k ≡∆x(ρvA) (2.8)
(ρA)n+1−(ρA)n≡∆t(ρA) (2.9) Izraz (2.3) moe se napisati u sledeem obliku
∆x(ρvA)·∆t+ ∆t(ρA)·∆x= 0 (2.10) Ako se jednaqina podeli sa ∆x·∆t6= 0, dobija se
∆x(ρvA)
∆x +
∆t(ρA)
Ako su intervali ∆t i ∆x jako mali, odnosno, ako se pret-postavi da, ∆t,∆x → 0, dolazi se do diferencijalnog oblika za-kona odranja mase
∂(ρvA)
∂x + ∂(ρA)
∂t = 0 (2.12)
Uzimajui u obzir da je gustina konstantna moe se napisati ∂(Q)
∂x + ∂(A)
∂t = 0 (2.13)
2.2
Zakon odranja koliqine kretanja u pravcu
toka
Posmatra se deonica toka izmeu dva popreqna preseka na konaq-nom rastojanju, ∆x, u vremenskom intervalu ∆t (slika 2.3). Sile koje deluju na masu fluida unutar tako ograniqene zapremine dovode do promene koliqine kretanja te mase.
Slika 2.3: Sile koje deluju na konaqnu masu fluida
• Promena koliqine kretanja, (m v), konaqne mase, (m=ρA∆x), u intervalu, [tn, tn+1] jednaka je h (ρvA∆x)n+1−(ρvA∆x)ni (2.14) odnosno, h (ρvA)n+1−(ρvA)ni∆x (2.15) • Proticaj koliqine kretanja kroz povrxinu koja ograniqava kontrolnu zapreminu (inercijalne sile) u intervalu [tn, tn+1]
h
(ρβv2A)k−(ρβv2A)k+1 i
Zbog neravnomernosti brzine po popreqnom preseku uvodi se koeficijent neravnomernosti brzine βv2A=RAui(niui)dA. • Sile pritiska na konaqnu zapreminu;
– Sile u popreqnim presecima1
Hidro-statiqka sila u jednom popreqnom preseku fluidne struje jednaka je
Pk=
Z hk
0
ρg[hk−η]b(xk, η)dη =ρgS1 (2.17) gde je,S1 statiqki moment povrxine popreqnog preseka u odnosu na nivo S1 = Z Bk 0 η2(ζ) 2 dζ . (2.18)
Bk je xirina vodenog ogledala, a promenljiva ζ se meri od jedne obale, 0≤ζ ≥Bk.
Uticaj sile pritiska na promenu koliqine kretanja u kontrolnoj zapremini u intervalu∆t(impuls sile) iznosi
ρg[(S1)k−(S1)k+1] ∆t (2.19)
– Sile usled neprizmatiqnosti kanala.
Ukoliko se dva preseka ne mogu preklopiti pomeranjem po paralenim izvodnicama, od kojih osnovna spaja najnie taqke u preseku, radi se o neprizmatiqnim kanalima. Na
1
Kod crtanja linija nivoa du kanala i potrebe distorzije razmere (jedna razmera za duine, druga za dubine), usvojeno je da se preseci kanala crtaju ”vertikalno na dole”, zbog toga xto se u veini praktiqnih sluqajeva radi o malim nagibima dna, kod kojih secos2 ne razlikuje mnogo od 1. Meutim, ovde se zbog malog rastojanja preseka(k)i(k+1), popreqni preseci crtaju upravno na osu
x, koja se orijentixe u pravcu toka, pa sile pritiska u presecima deluju u pravcu osex. Nagib dna na ovoj i nekoliko narednih slika je namerno prenaglaxen.
skici je xrafiran deo povrxine za koliko se razlikuju dva preseka.
Sila na elementarni deo xrafirane povrxine na skici iznosi
ρg ∂b ∂x ∆xdη h0=const [h(x)−η] (2.20)
Na celoj deonici ∆x sila iznosi ρg Z hk 0 " ∂b ∂x h0=const ∆x # [h(x)−η] dη=ρgS2∆x (2.21) gde je S2∆x statiqki moment xrafiranog dela povrxine u odnosu na nivo u preseku (k). U intervalu [tn, tn+1] do-prinos (impuls) sile pritiska usled neprizmatiqnosti iznosi
ρg[S2] ∆x∆t (2.22) Treba ga uzeti sa znakom + jer za poveanje xirine u nizvodnom smeru, vea je sila u nizvodnom preseku. Kon-tura kao reakcija deluje u pravcu teqenja.
• Komponenta sile teine u pravcu teqenja.
Doprinos sile teine iznosi ρgA∆x
| {z }
G
∆zd
Uvodi se nagib dna I0 =−
∆zd
∆x = tanα≈sinα (2.24) a priblina jednakost sinusa i tangensa, iako vai za rela-tivno male nagibe, zadovoljava veinu praktiqnih problema. • Sila trenja Ukupna sila trenja na masu fluida izmeu
pre-seka xk i xk+1 iznosi
T = ¯τ O ∆x (2.25)
gde jeτ¯srednja vrednost tangencijalnog napona, koji se raquna kao u ustaljenom teqenju, a O okvaxeni obim
¯ τ = 1 2Cτρv 2 = 1 2Cτ Q2 A2ρ (2.26)
Doprinos (impuls) sile trenja u intervalu ∆t iznosi T ∆t. Jednaqina odranja koliqine kretanja za neustaljeno linijsko teqenje sa slobodnom povrxinom, moe se napisati na sledei naqin h (ρvA)n+1−(ρvA)ni∆x= h (ρv2A)k−(ρv2A)k+1 i ∆t+ρg[(S1)k−(S1)k+1] ∆t+ ρg S2+AI0− 1 2Cτρv 2O∆x∆t (2.27) Ovo je diskretni oblik zakona odranja koliqine kretanja, za koji se moe direktno traiti odgovarajui numeriqki model.
U integralnom obliku jednaqina (2.27) moe se napisati Z xk+1 xk h (ρvA)n+1−(ρvA)nidx= Z tn+1 tn h (ρv2A)k−(ρv2A)k+1 i dt+ρg Z tn+1 tn [(S1)k−(S1)k+1] dt+ ρg Z tn+1 tn Z xk+1 xk " S2+AI0−Cτ v2 2gO # dxdt (2.28)
Na isti naqin kao xto je to uraeno za jednaqinu odranja mase moe se doi do diferencijalnog oblika jednaqine odranja koliqine kretanja. Uvode se konaqne razlike oblika:
∆t(ρvA)∆x+ ∆x(ρv2A)∆t+ρg∆x(S1)∆t = ρg " S2+AI0−Cτ v2 2gO # ∆x∆t , (2.30) odakle se deljenjem sa ρg∆t∆x, i primenom operatora lim, sa za-htevom da ∆t,∆x−→0, dobija ∂Q ∂t + ∂ ∂x Q2 A +gS1 ! =gS2+gAI0−Cτ Q2 2AR (2.31) Jednaqina (2.13) i jednaqina (2.31) mogu se napisati u matriqnom obliku: ∂f ∂t + ∂G ∂x =D (2.32) gde je f = " A Q # G= " Q Q2 A +gS1 # D= " 0 gS2+gAI0−Cτ Q 2 2AR #
Ovo je tzv. konzervativni oblik diferencijalne jednaqine odranja koliqine kretanja. Ako je desna strana jednaqine (2.31) jednaka nuli, za svaku zatvorenu konturu u ravni (x, t), masa i koliqina kretanja se odravaju. Mogue je obuhvatiti i diskontinuitet u fluidnoj struji. Qlanovi na desnoj strani jednaqine predstav-ljaju izvore ili ponore koliqine kretanja (sila trenja, sila tene i sila pritiska usled neprizmatiqnosti). Moe se formulisati rexenje diferencijalne (a i integralne) jednaqine za diskontinu-itet u tzv. slabom obliku (weak solution), koje odgovara onome xto je izvedeno za pokretni hidrauliqki skok (Cunge et al., 1980).
Jednaqina (2.31) nije pogodna za primenu jer se javljaju neke ne bax bliske veliqine, kao xto su statiqki momenti povrxine popreqnog preseka itd. Do uobiqajenog oblika dolazi se preko sledeih zamena i Lajbnicove teoreme o diferenciranju integrala
∂ ∂x(gS1) = g ∂ ∂x Z h(x) 0 [h(x)−η]b(x, η)dη = g∂h ∂x Z h(x) 0 b(x, η)dη+g Z h(x) 0 [h(x)−η] ∂b ∂x h=const dη = gA(x)∂h ∂x +gS2 (2.33)
U prethodnom izrazu iskorixeno je da je R0hbdη=A.
Na kraju dolazi se do uobiqajenog oblika jednaqine (2.31) koji nije u potpunosti ekvivalentan polaznoj jednaqini jer nije kon-zervativan za koliqinu kretanja.
∂Q ∂t + ∂ ∂x(vQ) +gA ∂h ∂x−I0 +1 2Cτ Q2 AR = 0 (2.34) Jednaqina (2.34) zove se ”dinamiqka jednaqina”, a zajedno sa jed-naqinom kontinuiteta (2.13) qini jedan oblik tzv. Sen-Venanovih jednaqina.
2.3
Razliqiti oblici Sen-Venanovih jednaqina
U zavisnosti od izbora zavisno promenljivih veliqina (dubina ili nivo, brzina ili proticaj itd.) postoji nekoliko osnovnih oblika jednaqina:
a) Osnovne veliqine su proticaj, Q(x, t), i dubina h(x, t); ∂A(h) ∂t = ∂A ∂h ∂h ∂t =B ∂h ∂t ∂h ∂t + 1 B ∂Q ∂x = 0 (2.35) ∂Q ∂t + ∂ ∂x Q2 A ! +gA ∂h ∂x−I0 + 1 2Cτ Q2 AR = 0 (2.36) b) Osnovne veliqine su proticaj, Q(x, t), i nivo, z(x, t).
Umesto dubine, h, uvodi se nivo, z, prema izrazu h=z−zd
gde je zd, kota dna u preseku. Koriste se i sledee zamene ∂h ∂t = ∂z ∂t ∂h ∂x = ∂z ∂t − ∂zd ∂x = ∂z ∂x+Id ∂z ∂t + 1 B ∂Q ∂x = 0 (2.37) ∂Q ∂t + ∂ ∂x Q2 A ! +gA∂z ∂x+ 1 2Cτ Q2 AR = 0 (2.38)
c) Osnovne veliqine su brzina,v(x, t), i dubina, h(x, t), ∂h ∂t + A B ∂v ∂x +v ∂h ∂x + v B ∂A ∂x h=const = 0 (2.39) ∂v ∂t +v ∂v ∂x+g ∂h ∂x−I0 +1 2Cτ v2 R = 0 (2.40) d) Osnovne veliqine su brzina, v(x, t), i nivo, z(x, t),
∂z ∂t + A B ∂v ∂x +v ∂h ∂x+I0 + v B ∂A ∂x z=const = 0 (2.41) ∂v ∂t +v ∂v ∂x +g ∂z ∂x + 1 2Cτ v2 R = 0 (2.42)
Pojedini oblici jednaqina vixe odgovaraju odreenim problemima. Tako na primer, dubina vixe odgovara kod vextaqkih vodotoka, sa malim varijacijama popreqnog preseka, kao xto su kanali, kana-lizacione cevi i sliqno, posebno kada je veliki nagib dna. Sa druge strane, nivo vixe odgovara kod malih nagiba nivoa i kod prirodnih vodotoka.
Jednaqine su uslovno ekvivalentne polaznoj, jer su izvedene uz pretpostavku da su sve veliqine kontinualne po vremenu i pros-toru. Za hidrauliqki skok se, meutim, ne mogu koristiti.
2.4
Jednaqine za ustaljeno teqenje
2.4.1 Diferencijalni oblik
Polazi se od jednaqina (2.35) i (2.36) u kojima su izvodi po vre-menu jednaki nuli, a parcijalni izvodi po rastojanju x postaju totalni. dQ dx = 0 (2.43) Q gA d dx Q A +dh dx −I0+ 1 2gCτ Q2 A2R = 0 (2.44) Jednaqina kontinuiteta daje da se proticaj du toka ne menja
Prvi qlan u jednaqini (2.44) moe se dalje razviti Q gA d dx Q A =− Q 2 gA3 dA dx
Poxto se povrxina popreqnog preseka menja i u zavisnosti od du-bine i od rastojanja, odnosno, A=A(h, x), moe se napisati
dA dx =B dh dx + dA dx h=const
gde je drugi qlan po definiciji jednak nuli kod prizmatiqnih tokova. Ako se to zameni u jednaqinu (2.44) dobija se
dh dx − Q2 gA3 Bdh dx+ dA dx h=const −I0+ 1 2gCτ Q2 A2R = 0 (2.45) odakle sledi dh dx = Q2 gA3 dA dx h=const+I0− 1 2gCτ Q2 A2R 1−QgA2B3 (2.46) Za prizmatiqne kanale prethodni izraz se svodi na
dh dx = I0− 21gCτ Q 2 A2R 1−QgA2B3 (2.47) Odnosno dh dx = I0−IE 1−F r (2.48)
Numeriqki modeli za rexavanje ove jednaqine dobro su poznati studentima i inenjerima hidrotehnike (Wylie & Streeter, 1975). U Prilogu 1 jox jednom je pokazano kako se to radi, uz razmatranja vezana za stabilnost i smer raqunanja.
2.4.2 Integralni oblik
Matematiqki modeli (2.46) i (2.47) nisu pogodni za odreivanje linije nivoa u prirodnim vodotocima. Ako se poe od jednaqine (2.38) i ako se ona podeli sa (gA) dobija se
Q gA d dx Q A + dz dx + 1 2gCτ Q2 A2R = 0 (2.49)
odnosno, d dx " 1 2g Q A 2 +z # + 1 2gCτ Q2 A2R = 0 (2.50) Izraz u uglastoj zagradi predstavlja ukupnu energiju fluidne struje po jedinici teine, E. dE dx + ¯ τ ρgR = 0 (2.51)
Po definiciji, nagib linije energije, IE, jednak je −dE
dx =IE
pa se iz jednaqine (2.50), lako dolazi do korisne relacije za usta-ljeno teqenje u otvorenim tokovima
¯
τ =ρgIER (2.52)
Numeriqki model moe se dobiti integracijom jednaqine (2.50) u intervalu [xk, xk+1] 1 2g Q A 2 k +zk= 1 2g Q A 2 k+1 +zk+1+ 1 2g Z xk+1 xk CτQ2 A2R dx (2.53) Ovaj izraz potpuno odgovara Bernulijevoj jednaqini (koja je, u suxtini uporeivanje energija u dva popreqna preseka). Taqnost numeriqkog modela zavisi od naqina rexavanja integrala qlana sa trenjem u jednaqini (2.53) (vidi Radojkovi, Klem, 1989).
1 2g Z xk+1 xk CτQ2 A2R dx ≈ CτQ2 2gA2R ! xk+1 ∆xk (2.54) ≈ 1 2 " CτQ2 2gA2R ! k+1 + CτQ 2 2gA2R ! k # ∆xk(2.55) Priblina integracija izrazom (2.54) je prvog reda taqnosti (Oj-lerova metoda), dok je integracija izrazom (2.55) drugog reda taq-nosti (trapezno pravilo). Takoe, prva metoda je eksplicitna jer se nepoznata veliqina moe direktno dobiti. Izraz je napisan pod pretpostavkom da se radi o mirnom teqenju i da je smer raqunanja suprotan smeru teqenja, odnosno, da je dubina u preseku(xk+1) poz-nata. Kao xto je to objaxnjeno u Prilogu 1, o smeru proraquna
mora se formalno voditi raquna i u izrazu (2.55), qija desna strana se ne moe eksplicitno sraqunati.
Zbog toga xto se Maningov koeficijent hrapavosti manje menja od koeficijenta tangencijalnog napona, u problemima sa teqenjem u otvorenim tokovima qlan usled trenja prikazuje se i ovako:
n2Q2 A2R4/3 ! xk+1 ∆xk Literatura
[1] Abbott M.B., 1979, Computational Hydraulics, Pitman.
[2] Abbott M.B. & Basco D.R., 1989, Computational Fluid Dynamics - An
Introduction for Engineers, Longman Scientific & Technical.
[3] Cunge J., Holly F.M. & Verwey A., 1980, Practical Aspects of
Compu-tational River Hydraulics, Pitman, London
[4] Streeter V.L. & Wylie E.B., 1975, Fluid Mechanics, 6th edition,
3
Kinematiqki talas
3.1
Pojednostavljeni oblici jednaqina
Polazi se od oblika jednaqina (a), prema numeraciji u prethodnom poglavlju, odnosno jednaqina, (2.35) i (2.36).
∂h ∂t + 1 B ∂Q ∂x = 0 (3.1) ∂Q ∂t |{z} 1 + ∂ ∂x Q2 A ! | {z } 2 +gA∂h ∂x | {z } 3 −gAI0 | {z } 4 +1 2Cτ Q2 AR | {z } 5 = 0 (3.2)
Pojedini qlanovi iz dinamiqke jednaqine nisu istog znaqaja u svim uslovima teqenja pa se neki od njih mogu zanemariti xto moe znatno da pojednostavi proraqun. Qlan (1) je inercijalni i predstavlja uticaj promene brzine u jednom preseku kroz vreme (lokalno ubrzanje). Qlan (2) predstavlja promenu brzinske visine du toka (potiqe od konvektivnog ubrzanja). Qlan (3) je prom-ena dubine du toka i predstavlja doprinos sila pritiska, dok je (4) sa nagibom dna doprinos sile teine. Zajedno (3) i (4) pred-stavljaju promenu pijezometarske kote. Qlan (5) je uticaj trenja i sadri nagib linije energije
gAIE =gA CτQ2
2gA2R =gA n2Q2 A2R4/3 .
Razmatranja u prvom poglavlju zasnivala su se na eksplicit-noj pretpostavki da se zanemaruju gubici energije i da je dno horiznontalno. Dobijeni izrazi su dakle reprezentativni za jednu klasu prizmatiqnih tokova gde su brzine relativno male a dubine vode relativno velike. Na drugoj strani su tokovi kod kojih je
dominantno trenje. To su tokovi sa velikim brzinama i velikim nagibima dna kod kojih su promene dubine i brzine du toka rela-tivno male.
Jedan od najjednostavnijih matematiqkih modela neustaljenog teqenja u kanalima je modelkinematiqkog talasa. Mnogo fiziqkih procesa moe se opisati na ovaj naqin (konvekcija obeleene ma-terije, talasno kretanje), pa model ima veliki praktiqni znaqaj.
Pre toga objasnie se jox jednostavniji sluqaj neustaljenog teqenja: transformacija talasa u akumulaciji.
3.2
Transformacija talasa u akumulaciji
Iako se i ovaj matematiqki model svrstava u grupu modela prosti-ranja poplavnih talasa u otvorenim tokovima (flood routing models) ovde vixe odgovara termin transformacija talasa1. Koristi se za delove vodotoka pod znaqajnim usporom.
Slika 3.1: Osnovne veliqine za model transformacije poplavnog talasa u akumulaciji
Polazi se od jednaqine kontinuiteta integrisane na celoj de-onici vodotoka [x1, xN] (slika 3.1)
Z xN x1 ∂A ∂tdx= d dt Z xN x1 Adx= dV dt (3.3) Z xN x1 ∂Q ∂xdx= Z xN x1 dQ=QN −Q1 (3.4) odakle sledi dV dt =QN −Q1 (3.5) 1
Uvodi se promenljiva V, zapremina vode na celoj deonici, koja je funkcija samo vremena, i proticaji,Q1, (ili,QI) ulazni proticaj, i QN, (ili, QO) izlazni proticaj. Ovo je opravdano kod kratkih a velikih akumulacija kod kojih se poduni nagib slobodne povr-xine moe zanemariti. Takoe, izraz (3.3) moe se napisati u sledeem obliku Z xN x1 B∂z ∂tdx= dz dt Z xN x1 B(z, x)dx= dz dtA(z) (3.6) gde je A(z) horizontalna povrxina akumulacije.
dz
dtA(z) =QO−QI (3.7) Ovo je obiqna nelinearna diferencijalna jednaqina koja se stan-dardno rexava numeriqkim metodama. Na dijagramima (slika 3.2) naznaqena je jedna mogunost koja se moe iskazati i sledeim izrazom Vn+1−Vn ∆t = QnI+1+QnI 2 − QnO+1+QnO 2 (3.8)
Izlazni proticaj moe biti jednoznaqna funkcija nivoa, QO(z), odnosno zapremine, QO(V), kao xto je kod slobodnog prelivanja, ili isticanja kroz otvor nepromenljivih karakteristika. U tom sluqaju ulazni i izlazni hidrogram izgledaju kao na slici (3.2), odnosno, maksimum izlaznog hidrograma nalazi se u preseku sa opadajuom granom ulaznog hidrograma. Maksimalni izlazni pro-ticaj se javlja pri maksimalnom nivou u akumulaciji kada je dz
dt =
0, a to se dexava kada je QI−QO= 0. Izlazni proticaj moe biti definisan upravljanjem, a moe obuhvatati i proticaj kroz tur-bine. Tada prethodna razmatranja o poloaju maksimuma izlaznog proticaja ne vae.
3.3
Osnovne jednaqine modela kinematiqkog
ta-lasa
Model kinematiqkog talasa koristi se za proraqun neustaljenog teqenja u relativno strmim kanalizacinim cevima, slivanja sa povrxine terena u modelima za simulaciju oticanja sa gradskih i
Slika 3.2: Ulazni i izlazni hidrogram i odgovarajua promena zapremine u akumulaciji
neureenih slivova itd. Od Sen-Venanovih jednaqina, jednaqina kontinuiteta se uzima u kompletnom obliku,
∂h ∂t + 1 Bs ∂Q ∂x = 0 (3.9)
a dinamiqka jednaqina se svodi na sledei oblik Id=
1 2gCτ
Q2
A2R (3.10)
U jednaqini (3.9) Bs predstavlja ukupnu xirinu vodenog ogledala glavnog toka i inundacije, koja moe da se razlikuje od xirine B ivog preseka, (slika 3.3) na koji se odnosi povrxina A, koja figurixe u dinamiqkoj jednaqini.
Jednaqina (3.10) moe se napisati na sledei naqin Q= 2gI d Cτ 1/2 A√R=CcA p RId (3.11) gde je,Cc = p
2g/Cτ, Xezijev (Chezy) koeficijent trenja. Prethodna jednaqina se svodi na pretpostavku o jednoznaqnoj vezi proticaja i dubine u svakom preseku, Q=f(h), i na osnovu toga, broj nepoz-natih se smanjuje za jedan. Zbog toga je mogue u jednaqini (3.9) uvesti smenu ∂Q ∂x = dQ dh x=x0 ∂h ∂x odakle se dobija ∂h ∂t + 1 Bs dQ dh x=x0 ∂h ∂x = 0 (3.12)
Iz jednaqine kontinuiteta za beskonaqno mali pokretni hidra-uliqki skok napisane za nepokretni koordinatni sistem (x = x0) (1.18)
c dh= d(v h) /·Bs c Bs dh= d(Q)
vidi se da je fiziqko znaqenje izraza uz parcijalni izvod dubine po rastojanju, brzina prostiranja poremeaja u otvorenom toku, c, odnosno c= 1 Bs dQ dh x=x0 (3.13) Konaqno, matematiqki model kinematiqkog talasa moe se napisati u sledeem obliku
∂h ∂t +c
∂h
∂x = 0 (3.14)
Brzina prostiranja poremeaja u matematiqkom modelu kine-matiqkog talasa jednaka je
c= 1 Bs Cc p Id d dh R1/2A (3.15) Za neke jednostavnije oblike popreqnog preseka mogue je jed-nostavno proceniti brzinu prostiranja poremeaja. Tako, na pri-mer, za xiroki pravougaoni kanal (A = B h, R ≈ h), i uz pret-postavku da je Xezijev koeficijent, Cc, odnosno, Cτ, koeficijent tangencijalnog napona, konstantan, brzina prostiranja kinematiqkog talasa iznosi c= 3 2 B Bs Cc p hId (3.16) odnosno c= 3 2 B Bs v (3.17)
gde je v srednja brzina toka.
Sa druge strane, ako se pretpostavi da je Maningov koeficijent konstantan (xto je u veini sluqajeva logiqnija pretpostavka), dobie se da je brzina prostiranja talasa u xirokom pravougaonom kanalu jednaka
c= 1.67v
Kao xto je poznato, koeficijent tangencijalnog napona, a i Xezi-jev koeficijent, koji je u direktnoj vezi sa njim, nisu konstantni pri promeni dubine kod otvorenih tokova, ni kada je obloga hra-pava. Zato se inaqe i uvodi Maningov koeficijent hrapavosti, n, prema ovoj relaciji Cc = n1R1/6).
Za logaritamski zakon raspodele brzina i hrapav zid koristi se izraz za Cτ (Abbott, Basco, 1989)
2 Cτ
1/2
= 6 + 2.5 lnR
k (3.18)
gde je k apsolutna hrapavost obloge. Preko izraza c= B1
dQ dh
x=const dolazi se relativno jednostavno do sledeeg izraza c=βv (3.19) gde je β = 1 +m 2 1 + 5 C τ 2 1/2! (3.20)
Slika 3.4: Odreivanje koeficijenta m u izrazu za brzinu pro-stiranja kinematiqkog talasa
m= A R dR dA = d(lnR) d(lnA) (3.21)
Za pravilne oblike kanala i za p2/Cτ ≈ 15 dobijaju se sledee vrednosti: 1. pravougaoni kanal m= 1 c= 1.67 v 2. paraboliqni kanal m= 2 3 c= 1.44 v 3. trougaoni kanal m= 1 2 c= 1.33 v
Za proizvoljni oblik kanala moe se koristiti dijagram (slika 3.4) i izraz (3.21).
3.3.1 Analitiqko rexenje
U jednaqini (3.14) x i t su nezavisne promenljive. Ako se pak pretpostavi da je c= dx/dt, dobija se ∂h ∂t + ∂h ∂x dx dt = 0 ⇒ Dh Dt = 0 (3.22) xto znaqi da du linija, c= dx/dt, koje se zovu karakteristike, nema promene dubine. Analitiqko rexenje jednaqine (3.22) glasi
Slika 3.5: Prostiranje kinematiqkog talasa u ravni (x, t)
Slika 3.6: Deformacija kinematiqkog talasa
Zbog jednoznaqne veze dubine i proticaja, isto vai i za proticaje Q(x, t+ ∆t) =Q(x−c ∆t, t) (3.24)
Brzina prostiranja kinematiqkog talasa nije konstantna, pa bez obzira xto nema promene dubine dolazi do deformacije talasa (slike 3.5 i 3.6)
Kod poplavnih talasa u prirodi, u kanalizacionim sistemima, kao i svuda gde je dominantno trenje, odgovara matematiqki model kinematiqkog talasa. Ukoliko su dominantni inercijalni qlanovi i sila pritiska, treba koristiti sloeniji model, recimo, model dinamiqkog talasa.
Brzine prostiranja kinematiqkog talasa razlikuju se od brz-ina prostiranja poremeaja dobijenih u Poglavlju 1 (v±
√
gh). Za xiroki pravougaoni kanal brzina kinematiqkog talasa je vea od brzine dinamiqkog talasa ako je Fr > 4 (Henderson, 1966). Za manje
vrednosti Frudovog broja postoji prethodnica kinematiqkom ta-lasu u vidu dinamiqkog talasa koji se brzo gasi izuzev ako se ne radi o oxtrom poveanju nivoa. Za vee vrednosti Frudovog broja dolazi do formiranja talasa sa strmim qelom. Interesantno je da se isto dexava i sa talasima u kanalima drugaqijeg popreqnog preseka.
Osnovni nedostatak matematiqkog modela kinematiqkog talasa je nedostatak difuzije, odnosno, ublaenja talasa, koje je uoqljivo u prirodi. Rexenje, koje se nalazi izmeu kinematiqkog i di-namiqkog talasa, je tzv. matematiqki model difuzionog talasa, gde se dinamiqka jednaqina koristi u sledeem obliku
∂h ∂x−Id+ 1 2gCτ Q2 A2R = 0 (3.25)
Meutim, postoji jox jedan naqin da se dobiju prihvatljivi rezultati. Numeriqki model kinematiqkog talasa, koji predstavlja priblino rexenje matematiqkog modela, ima numeriqku difuziju, koja, ako se kontrolixe, daje ublaenje talasa blisko onom koje se javlja u prirodi. Na taj naqin, zbog svog priblinog rexenja (posebno metoda Kan-Maskingam, koja e biti objaxnjena u nas-tavku), kinematiqki model ima i dalje veliku ulogu u simulaciji neustaljenog teqenja u otvorenim tokovima.
3.3.2 Numeriqki model kinematiqkog talasa
U ravni (x, t), u okolini taqke (k, n), qiji poloaj je definisan x = k∆x, t = n∆t, parcijalni izvodi aproksimiraju se konaqnim razlikama ∂h ∂t n k ≈ h n+1 k −hnk ∆t (3.26) ∂h ∂x n k ≈ h n k−hnk−1 ∆x (3.27)
Postoji formalno taqnija aproksimacija izvoda po x, tzv. cen-tralnom razlikom, ∂h ∂x | n k ≈ hnk+1−hnk−1 2∆x (3.28)
ali se ona ne moe koristiti jer daje bezuslovno nestabilan nu-meriqkim model. Numeriqki model se dobija zamenom ovih
aproksi-Slika 3.7: Karakteristike za stabilno i nestabilno rexenje mod-ela kinematiqkog talasa
macija u osnovnu jednaqinu (3.14) hnk+1−hnk ∆t +c hnk−hnk−1 ∆x = 0 (3.29) odnosno, hnk+1=hnk−c∆t ∆x h n k−hnk−1 (3.30) hnk+1= (1−Cr)hnk+Crhnk−1 (3.31) gde je Cr = c∆∆xt, Kurantov (Courant) broj. Ovo je eksplicitna xema, koja se ponekad obeleava kao FTBS (Forward in Time, Backward in
Space), razlika unapred po vremenu, razlika unazad po prostoru).
Stabilnost. Postoji detaljna analiza stabilnosti xeme (recimo, fon Nojmanova), ali i inenjerska, koja e se ovde prikazati.
Na slici (3.7. a) prikazane su karakteristike koje prolaze kroz taqke (k−1, n) i (k, n) za sluqaj kada je ∆∆xt ≥c. Takoe, naznaqena je i karakteristika kojom se dolazi do analitiqkog rexenja
hnk+1 =hnA (3.32) gde se vrednosthnA dobija linearnom interpolacijom preko izraza (3.31)
Sluqaj kada je ∆∆xt ≤ c, prikazan na slici (3.7. b), oqigledno ne valja jer se od numeriqkog modela trai vrednost van inter-vala u kojem se radi interpolacija. Kao posledica toga dolazi do nekontrolisanog menjanja vrednosti dubine, xto je poznato kao
nestabilnost. Nestabilnost je naqin na koji brojevi kazuju da je nexto kontradiktorno u numeriqkom modelu (Abbott, Basco, 1989).
Uslov stabilnosti je, dakle, c∆t
∆x ≤1 (3.33)
Ovo je tzv. CFL (Courant-Fridrisch-Lewy) uslov stabilnosti (
Rycht-myer, Morton, 1967) za eksplicitne metode. Moe se takoe rei i to da vremenski korak kod proraquna ne moe biti dui od vre-menskog priraxtaja karakteristike. To je vreme koje je potrebno da informacija doputuje do susedne taqke na narednom vremenskom nivou. Zbog smera putovanja informacije i odgovarajue aproksi-macije konvektivnog qlana ova xema se zove upwind ili, upstream ili pigpen.
Veoma lako se pokazuje da je numeriqki model koji se zasniva na aproksimaciji izvoda po prostoru razlikom unapred, dakle
down-stream shema, bezuslovno nestabilan.
Za aproksimaciju centralnim razlikama, koja je, formalno, drugog reda taqnosti, fon Nojmanovom analizom stabilnosti moe se pokazati da je bezuslovno nestabilna.
Pretpostavimo da imamo poqetni uslov h(x,0) =h0cos(mx) +H
odnosno, ako se zna da je reiθ=r(cosθ+isinθ), h(x,0) =h0 eimx+H
U taqkama numeriqke mree imamo hk=h0eikξ
gde je ξ=m∆x= 2π∆x/L, aL, talasna duina.
Zamenom ovih vrednosti u jednaqini numeriqkog modela, dobija se hk=h0eikξ− 1 2 c∆t ∆x h0ei(k+1)ξ−h0ei(k−1)ξ hk =h0eikξ 1−1 2Cr e iξ −e−iξ
Moe se iskoristiti poznata relacija 12(e
iξ−e−iξ) =isinξ
, da bi se na kraju dobilo
Izraz
ρ= 1−Crisinξ
predstavlja faktor uveanja kojim se mnoi vrednost na prethodnom ko-raku. Amplituda se mnoi sa|ρ|. Moe se videti da je za bilo koje Cr i ξ,|ρ|je vee od 1, odakle sledi da je ova numeriqka xema neupotrebljiva.
Taqnost. Iz jednaqine (3.31) jasno je da se zaCr= 1 dobija taqno rexenje (matematiqkog modela).
hnk+1=hnk−1 (3.34) Sa druge strane, naprimer, za Cr= 0.5, dobija se
hnk+1= h
n
k−1+hnk
2 (3.35)
pa, ma koliko nagla, promena dubine na granici biva brzo pri-guxena. Pored priguxenja (smanjenja amplitude talasa), dolazi i do xirenja (disperzije) talasa, xto je zajedno numeriqka difuzija. Ako se napravi modifikovana jednaqina numeriqkog modela (vidi Uvod knjige Iveti, 1996)
∂h ∂t +c ∂h ∂x =α 0∂2h ∂x2 (3.36)
primetie se da postoji jedan qlan koji ne postoji u polaznoj jed-naqini matematiqkog modela. Qlan na desnoj strani jednaqine odgovoran je za rasplinjavanje priblinog rexenja. On je posle-dica aproksimacije izvoda konaqnim razlikama, aα
0
se zove koefi-cijent numeriqke difuzije. Moe se pokazati da vai jednakost
α0 = 1
2c∆x(1−Cr),
odnosno, da za Cr = 1 nema numeriqke difuzije jer izraz (3.31) daje taqno rexenje.
Kod kinematiqkog talasa nije samo izbor vremenskog koraka uzrok nestabilnosti. Na slici (3.8) prikazan je sluqaj kada ne-linearnost (brzina prostiranja talasa nije konstantna) dovodi do nestabilnosti. Zbog deformacije talasa usled breg putovanja njegovog vrha (taqka B), dolazi se do oblasti gde fiziqki postoji trostruko rexenje.
Slika 3.8: Uticaj nelinearnosti na pojavu neodreenosti rexenja
Numeriqki model ne moe da da vixestruko rexenje pa e se pojaviti oscilacije kada je mala numeriqka difuzija (puna lin-ija na slici 3.9) ili znaqajno ublaeno rexenje kada je velika numeriqka difuzija (isprekidana linija na slici 3.9).
Jedan od naqina da se doe do prihvatljivog numeriqkog modela sa centralnom razlikom za izvod po x je da se poe od opxteg izraza hnk+1−1 2α(h n k+1+hnk−1)−(1−α)hnk ∆t +c hnk+1−hnk−1 2∆x = 0 (3.37) sa parametrom α qijom promenom utiqemo na taqnost i stabilnost numeriqkog modela.
Fon Nojmanova analiza daje da je faktor poveanja jednak ρ= 1−α+αcosξ−Crsinξ (3.38) gde je ξ = 2π∆x/L, a L talasna duina promene dubine. ξ se kree u granicama[0, π], xto odgovara ekstremnim vrednostima∆x,
min ∆x= 0 i max ∆x=L/2. Uslov stabilnosti je
|ρ| ≤1 za sve vrednosti ξ (3.39) odnosno,
|ρ|= (1 +α(cosξ−1))2+Cr2sin2ξ ≤1 (3.40)
1 + 2α(cosξ−1) +α2(cosξ−1)2+Cr2(1−cos2ξ)≤1 (3.41) Ako prethodni izraz podelimo sa
(cosξ−1)≤0 (3.42)
dobija se
2α+α2(cosξ−1)−Cr2(1 + cosξ)≥0 (3.43)
Ovo je linearna funkcija cosξ pa ako je nejednakost zadovoljena za dve ekstremne vrednosti ±1, vai i za one izmeu
cosξ = 1→ 2α−2Cr2≥0 →Cr2≤α (3.44)
cosξ =−1→ 2α−2α2≥0 →0≤α≤1 (3.45) xto zajedno daje opxti uslov stabilnosti
Ako je α= 1 radi se o Laksovoj xemi hnk+1− 12(hn k+1+hnk−1) ∆t +c hn k+1−hnk−1 2∆x = 0 (3.47) Kada je α = Cr radi se standardnoj FTBS (upstream) shemi (3.31), za koju je pokazano da je uslovno stabilna. U ovim raz-matranjima pretpostavljeno je da je brzina prostiranja talasa po-zitivna. Osnovna karakteristika ove xeme aproksimacija konvek-tivnog qlana razlikom unazad u odnosu na smer prostiranja ta-lasa, ne u odnosu na koordinatni sistem. Kurant-Fridrih-Levijev (CFL) uslov stabilnosti moe se napisati kao
|c|∆t
∆x ≤1 (3.48)
3.4
Maskingam-Kan metoda
Zbog CFL ograniqenja vremenskog koraka proraquna qovek lako posegne za implicitnim metodama, koje zahtevaju vixe matematiqkih operacija po koraku, ali su zato obiqno bezuslovno stabilne. Ovo svojstvo bezuslovne stabilnosti ne moe se previxe koristiti zbog taqnosti.
Jedna od najpoznatijih takvih metoda je tzv. Maskingam (
Musk-ingum) metoda. Radi se o ”hidroloxkoj” metodi koja je prvi put
primenjena pedesetih godina na slivu reke Maskingam u dravi Ohajo, u Severnoj Americi, a za koju se ispostavilo da se zasniva na fiziqkim zakonima odranja (Cunge, 1969), pa se metoda zove Maskingam-Kan.
Slika 3.10: Maskingam-Kan metoda
Zapremina vode na deonici toka izmeu preseka (k) i (k+ 1) (slika 3.10) je linearna kombinacija proticaja na granicama
de-onice (u originalnoj metodi govori se o tome da je to nekakva kombinacija prizmatiqne i klinaste zapremine)
V=KQk+1+K X (Qk−Qk+1). (3.49) K i X su empirijski parametri do kojih se dolazi kalibracijom koristei izmerene ulazne i izlazne hidrograme. Parametar X se bira tako da zavisnost izmeu V i [Qk+1+X (Qk−Qk+1)] bude jednoznaqna, a nagib te linije je K. X se nalazi u granicama od 0.0 (za proraqun transformacije talasa u akumulaciji) do 0.5, dok se za prirodne vodotoke, najqexe uzima vrednost 0.3.
Promena zapremine vode na posmatranoj deonici iznosi
Vn+1−Vn= ∆V (3.50) gde su zapremine vode u pojedinim trenucima jednake
Vn=KQnk+1+K X (Qnk−Qnk+1)
Vn+1 =KQnk+1+1+K X (Qnk+1−Qnk+1+1)
Promena zapremine (3.50) izjednaquje se sa razlikom ulaza i izlaza Vn+1−Vn= 1 2(Q n k+Qnk+1)− 1 2(Q n k+1+Qnk+1+1) (3.51) Sreivanjem izraza (3.51) dolazi se do jednaqine
Qnk+1+1=C1Qnk+C2Qnk+1+C3Qnk+1 (3.52) Koeficijenti se raqunaju na sledei naqin
C1 = ∆t K + 2X ∆t K + 2(1−X) C2 = ∆t K −2X ∆t K + 2(1−X) C3= 2(1−X)−∆t K ∆t K + 2(1−X) (3.53) Do sliqnog izraza doxao je Kan (Cunge) polazei od mate-matiqkog modela kinemate-matiqkog talasa (Cunge, 1969). Uz pretpostavku, Q|x=x0 =Q(h), i koristei zamenu ∂A ∂t = dA dQ x0 ∂Q ∂t (3.54)
preko jednaqine kontinuiteta ∂A
∂t + ∂Q
dolazi se do jednaqine ∂Q ∂t + dQ dA x=x0 ∂Q ∂x = 0 (3.56)
Analogno prethodno napisanom, brzina prostiranja talasa je jed-naka
c= dQ
dA (3.57)
Brzina prostiranja talasa zavisi od proticaja pa je jednaqina ne-linearna. Kao xto je pokazano, nema promene dubine i proticaja du jedne karakteristike, ali dolazi do deformacije oblika ta-lasa.
Moe se pretpostaviti da je brzina prostiranja talasa kon-stantna i tada je jednaqina linearna (Cunge, 1969). Tada se bira reprezentativna brzina prostiranja talasa (kod simulacije neusta-ljenog teqenja u krunim kanalizacionim cevima uzima se kao repre-zentativna brzina ona koja odgovara polovini ispunjenosti cevi), a analitiqko rexenje je jednostavna translacija talasa (Ponce &
Yevdjevich, 1989).
Izvodi u jednaqini (3.56) aproksimiraju se na sledei naqin (slika 3.12) ∂Q ∂t ≈ θ(Qnk+1−Qnk) + (1−θ)(Qnk+1+1−Qnk+1) ∆t (3.58) ∂Q ∂x ≈ Ψ(Qnk+1+1−Qnk+1) + (1−Ψ)(Qnk+1−Qnk) ∆x (3.59)
Teinski koeficijent Ψ je fiksiran i jednak 1/2, dok se θ kree u granicama 0≤θ≤1/2.
Vrednost proticaja u taqki (k+ 1, n+ 1) moe se prikazati na isti naqin kao u jednaqini (3.52).
Kan je pokazao da se, K i X, parametri definisani u origi-nalnoj metodi Maskingam, mogu i sraqunati
K = ∆x c X = 1 2 1− Q BIdc∆x (3.60) i da K predstavlja vreme za koje talas pree deonicu ∆x. Koefi-cijenti u jednaqini (3.52) mogu se izraziti i na sledei naqin
C1= 1 +Cr−D 1 +Cr+D C2= −1 +Cr+D 1 +Cr+D C3 = 1−Cr+D 1 +Cr+D (3.61)
gde je Cr Kurantov broj, a D= BIdQc∆x.
Numeriqki model (3.52) moe da da ublaenje talasa zato xto on, ustvari, bolje aproksimira (drugi red taqnosti) ovu jednaqinu
∂Q ∂t +c ∂Q ∂x −D 0∂2Q ∂x2 = 0 (3.62)
nego jednaqinu matematiqkog modela kinematiqkog talasa. D0, para-metar koji ima ulogu koeficijenta difuzije, jednak je
D0 = θ−1 2 +Cr 1 2−Ψ c∆x (3.63)
Kao xto je ve reqeno, uzima se da jeΨ = 12, a moe se pokazati da je metoda nestabilna za
θ > 1
2 (3.64)
Ublaenje talasa je nula za θ = 0.5, a najvee za θ= 0. Uslov da numeriqko priguxenje odgovara fiziqkom glasi
θ=X= 1 2 1− Q BIdc∆x .
Da bi jednaqina (3.52) imala smisla, koeficijenti C1, C2 i C3, moraju da budu pozitivni (Miller, Cunge, 1975). Oblast pri-hvatljivih vrednosti za koeficijente prikazana je na dijagramu (slika 3.11). Na slici (3.12) prikazano je gde se aproksimiraju
Slika 3.11: Dijagram prihvatljivih vrednosti za koeficijente u Maskingam-Kan metodi
Slika 3.12: Aproksimacija izvoda u Maskingam Cunge metodi Ako rezultati ne odgovaraju onome xto bismo oqekivali jedini parametar koji se moe menjati je X, odnosno, θ.
Dalje, iako se jednoznaqnost veze proticaja i dubina podrazumeva samim matematiqkim modelom kinematiqkog talasa, nivoe ne bi trebalo traiti na osnovu Xezijeve jednaqine nego iz jednaqine kontinuiteta. ∂h ∂t =− 1 B ∂Q ∂x (3.65) Za Ψ = 12 1 B ∂Q ∂x ≈ 1 2B∆x Qnk+1+1−Qnk+1+Qnk+1−Qnk (3.66) hnk+1+1/2 ≈hnk+1/2+∂h ∂t∆t≈h n k+1/2− Qnk+1+1−Qkn+1+Qnk+1−Qnk 2B∆x ∆t (3.67) U dinamiqkoj jednaqini su zanemarena tri qlana
1 g ∂v ∂t v g ∂v ∂x ∂h ∂x
pa je neophodno proveriti da li je to bilo i opravdano, odnosno, da li je svaki od qlanova znaqajno manji od Id. Tako, na primer, ako se dobiju rezultati simulacije, kao na slici (3.13), gde su prikazani hidrogrami u presecima A i B, koji se nalaze na med-jusobnom rastojanju od ∆x =xB−xA, moe se proceniti veliqina pojedinih zanemarenih qlanova:
1 g ∂v ∂t ≈ VA−VB gK (Id)
Slika 3.13: Procena veliqine zanemarenih qlanova v g ∂v ∂x = ∂ ∂x v2 2g ! ≈ V 2 A−VB2 2g∆x (Id) ∂h ∂x ≈ hA−hB ∆x (Id)
Matematiqkim modelom kinematiqkog talasa ne uzima se u obzir uticaj uspora. Poqetni uslov je poznat proticaj u svakom raqun-skom preseku. Graniqni uslov se zadaje samo na uzvodnoj strani, qime se definixe smer proraquna, od uzvodnog preseka ka nizvod-nom. Formulacija metode je implicitna, ali se ne zahteva is-tovremeno rexavanje svih jednaqina.
3.5
Difuziona jednaqina kao model neustaljenog
teqenja u otvorenim tokovima
Kod kinematiqkog talasa i metode Maskingam-Kan ne uzima se u obzir uspor (qlan ∂h/∂x je zanemaren), nego se koristi relacija koja vai samo za jednoliko teqenje. Ovo je vrlo gruba pret-postavka, ali zbog numeriqke difuzije mogu se dobiti realistiqni rezultati. Na istom principu zasnivaju se jox neke hidroloxke metode, kao xto je metoda Kalinjin-Miljukova itd. Zajedniqki nedostatak im je da se ne moe uzeti u obzir nizvodni graniqni uslov.
Ukoliko se, pak, u dinamiqku jednaqinu ukljuqi samo qlan∂h/∂x dobija se matematiqki model koji uzima u obzir i nizvodni graniqni uslov a sama jednaqina pored konvekcije ima i qlan odgovoran za
difuziju. Polazi se od dinamiqke jednaqine u sledeem obliku 1 gA ∂Q ∂t + ∂h ∂x −Id− Cτ 2g Q2 A2R = 0 (3.68) U zagradi je dat qlan koji treba uzeti ako se eli modelirati i povratno teqenje. Bez tog qlana praktiqno je neizvodljivo i modeliranje teqenja u pozitivnom smeru pod jaqim usporom. Iz jednaqine (3.68) proticaj se moe izraziti eksplicitno
Q= s 2g Cτ A s R Id− ∂h ∂x (3.69) odakle se moe dobiti∂Q/∂xi zameniti u jednaqinu kontinuiteta. Posle sreivanja dobija se jednaqina u sledeem obliku
∂h ∂t +c ∂h ∂x−D ∂2h ∂x2 = 0 (3.70)
gde je c brzina prostiranja talasa c= Q B 1 Cc dCc dh + 1 A dA dh + 1 2R dR dh (3.71) a D koeficijent ”difuzije” D= Q 2BId−∂h∂x (3.72)
Jednaqina (3.70) liqi na jednaqinu linijskog transporta, koja se jox zove i linijska difuzija, pa se matematiqki model (3.70) zove jox i model difuzionog talasa ili difuziona analogija.
3.5.1 Numeriqki model
Jednaqine (3.9) i (3.68) mogu se diskretizovati na smaknutoj mrei (slika 3.14). hnk+1−hnk ∆t + 1 B Qnk+1−Qnk−1 2∆x = 0 (3.73) Qnk+1+1= v u u tK¯2 Id− hnk+1+2−hnk+1 ∆x ! (3.74)
