KOREKSI KONTINUITAS PADA PENERAPAN BENTUK KHUSUS FUNGSI GAMMA DALAM TABEL KONTINGENSI 2 * 2

(1)

KOREKSI KONTINUITAS PADA PENERAPAN BENTUK

**KHUSUS FUNGSI GAMMA DALAM TABEL KONTINGENSI 2 * 2**

Iwa Sungkawa

1

ABSTRACT

Article discussed the modification to form gamma function became the probability density function as gamma distribution and determine the chi-square distribution as a special form resulted from gamma distribution. The aim of this article is to clarify the role of the gamma distribution in the statistics analysis through the use of chi-square distribution. By using chi-square distribution, the independence test between two factors is presented in the table contingency 2x2 to carry out a sustainable continuity in carrying out the data analysis. The case discussed the lack of protein energy (KEP) to the baby (age less than five years) that is influenced by the level of the mother 's education (low and high), the behaviour of the mother (true and untrue), and the income of the family (well-off and poor). Results of the analysis shows that the relation of the lack of protein energy and the three factors (mother's education, mother behaviour, and the income of the family) are significantly different.

Keywords: gamma function, chi-square distribution, correction of continuity, table contingency

ABSTRAK

Artikel membahas modifikasi untuk membentuk fungsi gamma menjadi fungsi kepekatan peluang yang disebut sebaran gamma dan menentukan sebaran khi-kuadrat sebagai bentuk khusus dari sebaran gamma. Tujuan penelitian adalah memperjelas peranan sebaran gamma dalam analisis statistika melalui penggunaan sebaran khi-kuadrat. Dengan sebaran khi-kuadrat dilakukan uji independensi antara dua faktor yang datanya disajikan dalam tabel kontingensi 2*2 sehingga perlu dilakukan koreksi kontinuitas dalam melakukan analisis. Kasus yang dibahas tentang Kekurangan Energi Protein (KEP) pada bayi (balita) yang dipengaruhi oleh tingkat pendidikan ibu (rendah dan tinggi), perilaku ibu (benar dan tidak benar), dan pendapatan keluarga (mampu dan tidak mampu). Hasil analisis menunjukkan bahwa hubungan kekurangan energi protein dengan ketiga faktor (pendidikan ibu, perilaku ibu, dan pendapatan keluarga) semuanya berbeda nyata.

Kata kunci: fungsi gamma, sebaran khi-kuadrat, koreksi kontinuitas, tabel kontingensi

1

Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara, Jl. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah, Jakarta Barat 11480, sungkawa@binus.edu

(2)

PENDAHULUAN

Fungsi gamma merupakan fungsi dalam bentuk integral dari suatu fungsi matematika yang tergantung dari suatu parameter dengan batasan nilai variabelnya antara nol dan tak terhingga atau berlaku untuk nilai variabel yang positif. Di samping itu, batasan nilai parameter dari fungsi gamma juga berlaku untuk yang nilainya positif atau lebih besar dari nol.

Untuk dapat menerapkan fungsi gamma dalam kajian statistika maka diperlukan modifikasi dengan mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi yang bersifat khusus dan merupakan fungsi kepekatan peluang dan dalam statistika hasil modifikasi tersebut dikenal dengan sebutan sebaran gamma.

Modifikasi yang lebih spesifik dari sebaran gamma dapat menghasilkan bentuk khusus dari sebaran gamma yang sering digunakan dalam analisis statistika. Bentuk khusus dari sebaran gamma diantaranya adalah sebaran sebaran khi-kuadrat yang dalam kesempatan ini akan dibahas bagaimana kronologis yang dapat ditempuh sehingga diperoleh sebaran yang merupakan bentuk khusus dari sebaran gamma.

Untuk lebih memberikan ilustrasi yang lebih lanjut, diberikan pula bagaimana penggunaan sebaran tersebut dalam menyelesaikan suatu kasus. Sebaran khi-kuadrat dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai bidang masalah yang diantaranya adalah pengujian ragam suatu populasi dan pengujian kesamaan beberapa ragam, pengujian kesamaan beberapa nilai proporsi, pengujian kesesuaian/kecocokan dari suatu sebaran, dan pengujian independensi/kebebasan antara faktor kualitatif yang ditempuh dengan tabel kontingensi. Dalam artikel dibahas bentuk khusus dari tabel kontingensi yang berukuran 2*2 sehingga dari setiap faktor memberikan dua opsi (pilihan)dandalam pelaksanaannya harus dilakukan koreksi kontinuitas. Koreksi kontinuitas dilakukan karena data yang tersaji dalam tabel kontingensi 2*2 cenderung bersifat data kategori yang masing-masing terdiri dari dua kategori/opsi yang berakibat sering terjadi penolakan hipotesis.

Dengan informasi tersebut diharapkan dapat menambah wawasan dan membantu para pelaku atau pengguna statistika dalam menyelesaikan berbagai masalah atau persoalan yang dihadapi, terutama dalam penggunaan sebaran khi-kuadrat.

FUNGSI GAMMA

Gambaran tentang fungsi gamma dapat diberikan dengan memperhatikan bentuk integral dari suatu fungsi sebagai berikut.

∫

~ − − 0

y

1

_dy

y

α

e

Dalam kalkulus, bentuk integral tersebut ada nilainya untuk α > 0 dan positif, integral tersebut disebut Fungsi Gamma dengan parameter α dan dapat ditulis sebagai berikut.

( )

~ y dy... 0 1 α y

∫

− − = Γ

α

e Jika α= 1 → maka Γ(1) = ~ _dy 0 y

∫

− e =1

Untuk α > 1 maka secara berurutan dapat diperoleh bentuk fungsi sebagai berikut.

Γ(α) = (α-1)

∫

− − ~ 0 y 2 α

_dy

y

e

= (α-1) Γ(α-1)

(3)

Apabila fungsi tersebut terus-menerus diintegralkan secara parsial maka untuk nilai α >1 dan merupakan bilangan bulat positif diperoleh relasi dalam bentuk sebagai berikut.

Γ(α) = (α-1)(α-2)(α-3)…… 3.2.1 atau Γ(α) = (α-1)! dengan Γ(1)= 1 dan 0!= 1,Γ(α) = (α -1)!

Untuk mendapatkan sebaran Gamma, dapat ditempuh dengan melakukan transformasi dan peubah baru y = x /β, untuk β>0 dan x = βy maka bentuk fungsi Gamma tersebut dapat ditulis dengan rumus Γ(α) = ~ x 1 dx 0 β x 1 α

∫

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − β β e

atau jika ruas kiri dan kanan dibagi dengan Γ(α) maka bentuk di atas dapat ditulis sebagai berikut.

1 =

( )

x dx 1 ~ 0 x 1 α

∫

− − Γ β α α β α e

Untuk α > 0 ; β > 0, dan Γ(α) > 0 dapat diperoleh bentuk fungsi kepekatan peluang f(x) yang dapat ditulis seperti berikut.

f(x) =

( )

1 x x -1 -α β α α β α e Γ ; o< x< ~ = 0 selainnya

f(x) merupakan fungsi kepekatan peluang sebaran gamma dengan parameter α dan β atau dapat ditulis dalam bentuk x ~ Gamma (α,β).

Fungsi Pembangkit Momen Sebaran Gamma

Untuk menentukan nilai rata-rata dan ragam dari suatu sebaran, dapat digunakan fungsi pembangkit momen. Fungsi pembangkit momen sebaran Gamma dapat diperoleh dengan uraian sebagai berikut. M(t) = E(etx_{) =}

( )

tx ~ 0 x 1 tx 1 _x _e _dx... _E _e e → β α Γ

∫

α− −β α = ~

_{( )}

1 x

e

( )

dx

0 / t 1 x 1

∫

α− − −β β α

β

α

Γ

Misal y =

(

)

β

1 t

;

β

t

1-x

_<

_atau x =

(

1- t

)

dx 1- t dy y ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ β β = → β β M(t) =

(

)

∫

Γ

( )

α − − α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ β t 0~ 1 y 1 y dy -1 1 α e M(t) =

(

₁ ₋ _β1_t

)

_α

; t < β1

(4)

Turunan pertama dan turunan kedua dari M(t) terhadap t adalah sebagai berikut.

Ml_{(t) = (-}_α_{) (1-}_β_t)-α-1_(-_β_{) dan} Mll_{(t) = (-}_α_{) (-}_α_{-1) (1-}_β_t)-α-2_(-_β₎2

Dengan mensubsitusi nilai t = 0 ke dalam Ml_{(t) dan M}”_{(t), diperoleh rata-rata dan ragam (variansi)} untuk sebaran Gamma sebagai berikut.

Rata-rata = μ = Ml_{(0) =}_α_β_atau_μ₌_α_β_{, dan} Ragam σ2_{= M}ll_{(0) -}_μ2₌_α₍_α₊₁₎_β2_-_α2_β2_atau_σ2

= αβ2.

Sebaran Khi-Kuadrat sebagai Bentuk Khusus Fungsi Gamma

Bentuk khusus dari sebaran Gamma untuk parameter α =

2

r dan r merupakan bilangan bulat positif dan parameter β=2 adalah sebaran khi-kuadrat sehingga fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinu X tersebut adalah sebagai berikut.

f(x) = _x _e _; ₀ _x _~ 2 2 r 1 ₂x 1 2 r 2 r < < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 untuk selainnya

Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak X yang menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas r adalah sebagai berikut.

Mx(t) = (1-2t)- 2

r

; t <

2

1

Nilai tengah atau rata-rata untuk peubah acak X adalah E(X) E(X) = μx = αβ =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2 r

_{2 = r} dan variansi/ragamnya adalah Var (X)

Var(X) = σx2 = α β2 = (r/2) 22 = 2r

Jika X1, X2 … Xn adalah peubah acak masing-masing bebas dan menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas k1, k2 …, kn, maka peubah acak: Y = X1 + … + Xn menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas k = k1 + … + kn dengan fungsi pembangkit momen sebagai berikut.

My (t) =

(

)

(

)

k/2 2 k

2t

1 2t

1

n 1 i i − −

−

=

−

∑=

dengan derajat bebas k =

∑

=

n 1 i i

k

Bentuk grafik dari fungsi kepekatan peluang sebaran Gamma sangat tergantung pada parameter α dan β sehingga jika terdapat perubahan dari parameter tersebut maka bentuk grafiknya juga akan berubah. Berikut diberikan contoh grafik untuk beberapa pasangan parameter α dan β.

(5)

1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 = =β α 0.5 2, = = β α 1 2, = = β α 1 4, = = β α f(x)

Grafik Fungsi Kepekatan Gamma

Gambar 1 Grafik Fungsi Kepekatan Gamma

Sebagai ilustrasi dari fungsi pembangkit momen sebaran Gamma, berikut diberikan beberapa kasus.

• Misalkan X mempunyai Fungsi Pembangkit Momen sebagai berikut. M(t) = (1-2 t)-8 _{t <}

21 maka dengan mudah dapat diketahui bahwa peubah acak X menyebar

khi-kuadrat dengan derajat bebas 16 atau dapat ditulis sebagai berikut X ~ χ2 (16)

• Jika peubah acak X menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas r dan C1 < C2, maka Pr(C1≤ X ≤C2) = Pr(X ≤ C2) – Pr(X ≤ C1) dan diketahui bahwa Pr(X=C1) = Pr(X=C2) = 0

• Untuk menentukan probabilitas dapat digunakan fungsi sebaran sebagai berikut.

F(x) = Pr (X < x) = _W _e _dw 2 2 r 1 1 w₂ 2 r x o 2 r − −

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ

Dalam pelaksanaannya, dapat digunakan tabel khi-kuadrat. Untuk itu, jika peubah acak X menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas 10 atau dapat ditulis

X ~

χ

_{( )}210 ; r = 10 maka dapat dihitung

Pr(3,25≤X≤20,5) = Pr(X≤20,5) – Pr (X<3,25) = 0,975 – 0,025 = 0,95 • Misalkan X menyebar secara Gamma dengan parameter α =

2 r

; β > 0 maka fungsi kepekatan peluang peubah acak Y =

β

2X _{dapat ditentukan dengan fungsi sebaran}

sebagai berikut.

G(y) = Pr (Y ≤ y) = Pr (X ≤

2 βy₎

Jika y ≤ 0 maka G(y) = 0 tetapi Jika y > 0 maka

G(y) =

( )

x e dx 1 ₂r x 2 r 2 r 2 y 0 β − β Γ ∫

(6)

Jadi, fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak Y adalah g(y) = Gl_{(y) =} 2 y e 1 2 r 2 y 2 r 2 r /2 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ β β ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ β = 2 y 1 2r y 2r 1 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ e 2r

2

; y > 0

atau peubah acak Y menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas r dan dapat ditulis Y ~

χ

_{( )}2_r .

TELADAN DAN PENERAPAN

**Uji Ketergantungan dengan Tabel Kontingensi 2*2**

Untuk memberikan gambaran yang lebih lanjut dari bentuk khusus fungsi Gamma, berikut diuraikan penggunaannya dalam pengujian independensi atau kebebasan antara dua faktor kualitatif. Untuk itu, dikhususkan untuk uji independensi dua faktor dengan masing-masing dua taraf sehingga digunakan tabel kontingensi berukuran 2*2. Hipotesis yang harus diuji dalam uji ketergantungan antar faktor kualitatif dapat ditulis sebagai berikut.

Ho : Kedua faktor tidak saling tergantung (independent) H1 : Kedua faktor saling tergantung astu sama lain

Dalam pelaksanaan uji ketergantungan atau kebebasan itu, data hasil pengamatan disajikan dalam tabel kontingensi sebagai berikut.

Tabel 1 Tabel Kontingensi Data Hasil Pengamatan

F a k t o r II Faktor I 1 2 j k Total 1 O11 O12 O1j O1k n1. 2 O21 O22 O2j O2k n2. i Oi1 Oi2 Oij Oik ni. b Ob1 Ob1 Obj Obk nb. T o t a l n.1 n.2 n.j n.k n

Dari Tabel 1, frekuensi yang diharapkan (Eij) ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

k j dan b i untuk 1,2,..., 1,2,..., n n * n Eij₌ i. .j ₌ ₌

(7)

Untuk menguji hipotesis di atas digunakan statistic khi-kuadrat dengan rumus ( ) ₁[ ( ) ] 2 1 2

∑

= = − = k j ij ij ij b i hitung E E O

χ

merupakan peubah acak yang menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas [(k-1);(b-1)]. Kriteria pengujian: tolak Ho jika khi-kuadrat hasil perhitungan lebih besar atau sama dengan khi-kuadrat yang diperoleh dari tabel untuk taraf nyata α yang dipilih dan derajat bebas [(k-1);(b-1)].

Khusus untuk i = j = 1, 2 , bentuk tabel kontingensinya berukuran 2*2 dan dapat ditulis sebagai berikut.

Tabel 2 Bentuk Tabel Kontingensi Berukuran 2*2

Faktor II

Faktor I 1 2 Total

1 a b (a+b) 2 c d (c+d)

Total (a+c) (b+d) n

Frekuensi pengamatannya adalah O11 = a; O12 = b; O21 = c; dan O22 = d, sedangkan frekuensi yang diharapkan (Eij) dapat ditulis sebagai berikut.

; ) ( * ) ( 11 n c a b a E = + + 12 ( )*( ); n d b b a E = + + ; ) ( * ) ( 21 n c a d c E = + + ₂₂ ( )*( ); n d b d c E = + +

Dengan mensubstitusikan Oij dan Eij pada rumus tersebut dapat ditulis sebagai berikut.

( ) n d b d c n d b d c d n c a d c n c a d c c n d b b a n d b b a b n c a b a n c a b a a hitung ) ( * ) ( ) ) ( * ) ( ( ) ( * ) ( ) ) ( * ) ( ( ) ( * ) ( ) ) ( * ) ( ( ) ( * ) ( ) ) ( * ) ( ( 2 2 2 2 2 + + + + − + + + + + − + + + + + − + + + + + − =

χ

Jika bentuk tersebut dijabarkan lebih lanjut maka dapat ditulis sebagai berikut.

( ) ₍ ₎_*₍ ( ₎_*₍ ) ₎_*₍ ₎ 2 2 d b c a d c b a bc ad n hitung ₊ ₊ ₊ ₊ − = χ

Rumus tersebut merupakan sebaran khi-kuadrat dengan derajat bebas 1 (satu). Dalam praktiknya, sering terjadi penolakan hipotesis. Di samping itu, bentuk tabel kontingensi 2*2 memberikan dua opsi (pilihan) dari setiap faktornya sehingga ada kecenderungan mengikuti sebaran binomial. Dengan dua hal tersebut perlu dilakukan koreksi kontinuitas karena binomial merupakan sebaran dengan peubah acak diskrit dan kuadrat merupakan bentuk sebaran dengan peubah acak kontinu. Bentuk khi-kuadrat tersebut dapat ditulis sebagai berikut.

(8)

( )

)

(

*

)

(

*

)

(

*

)

(

)

2 |

(|

2 2

d

b

c

a

d

c

b

a

n

bc

ad

n

hitung

₊

−

=

χ

Contoh Penerapan Uji Independensi

Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas, berikut diberikan contoh penggunaan sebaran khi-kuadrat yang bertujuan untuk mengukur kadar ketergantungan antara dua faktor yang masing-masing dua taraf (opsi). Dalam penelitian ini digunakan data hasil penelitian lapangan dengan metode survei atau wawancara terhadap 99 responden ibu pada periode Juli – Agustus 2006 di PUSKESMAS Karang Tengah Kabupaten Cianjur yang dilakukan oleh M.E. Yusnandar.

Dalam kesempatan ini, faktor yang diamati adalah faktor Kekurangan Energi Protein (KEP) pada bayi sebagai variabel dependen (Y) sedangkan variabel independen (X) yang merupakan variabel pendukung, terdiri dari 3 faktor, yaitu Tingkat pendidikan ibu yang terdiri dari kategori pendidikan rendah dan kategori pendidikan tinggi; Perilaku ibu dengan kategori berperilaku benar dan tidak benar; Pendapatan keluarga per bulan dengan kategori pendapatan tinggi (mampu) dan pendapatan rendah (tidak mampu). Data Kekurangan Energi Protein (KEP) diperoleh dari hasil penimbangan balita yang dicatat dalam Kartu Menuju Sehat (KMS) yang menggambarkan hubungan antara berat badan dan umur sampai usia 60 bulan (5 tahun).

ANALISIS DATA

Penyelesaian analisis data dengan mengaplikasikan crosstab analysis dan khi kuadrat (X2₎ sebagai uji statistik dengan mempergunakan perangkat lunak SPSS ver. 11.5 for windows sebagai berikut.

PENDIDIKAN VS KEKURANGAN ENERGI PROTEIN (KEP)

KEP Total berat ringan

PENDIDIKAN Rendah Count ₃₆ ₅₀ ₈₆

Expected Count _31.3 _54.7 _86.0 Tinggi Count 0 13 13 Expected Count 4.7 8.3 13.0 Total Count 36 63 99 Expected Count _36.0 _63.0 _99.0 Chi-Square Tests

Value df Asymp. Sig. (2-sided) Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided) Pearson Chi-Square 8.551(b) ₁ _.003

Continuity Correction (a)

6.838 1 .009

Likelihood Ratio _12.853 ₁ _.000

Fisher's Exact Test _.004 _.002

(9)

a Computed only for a 2x2 table

b 1 cells (25.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 4.73. c. Significant (P<0.05)

PENGETAHUAN VS KEKURANGAN ENERGI PROTEIN (KEP) Crosstab KEP Total berat ringan

PENGETAHUAN Baik Count ₀ ₄₆ ₄₆

Expected Count _16.7 _29.3 _46.0 Kurang Count 36 17 53 Expected Count 19.3 33.7 53.0 Total Count ₃₆ ₆₃ ₉₉ Expected Count _36.0 _63.0 _99.0 Chi-Square Tests Value df Asymp. Sig. (2-sided) Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided) Pearson Chi-Square 49.100 (b) ₁ _.000

46.208 1 .000

Likelihood Ratio _63.277 ₁ _.000

N of Valid Cases 99

b 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 16.73. c. Significant (P<0.05)

PERILAKU IBU VS KEKURANGAN ENERGI PROTEIN (KEP) Crosstab KEP Total berat ringan

PERILAKU IBU Benar Count 36 25 61 Expected Count 22.2 38.8 61.0

Tidak Benar Count ₀ ₃₈ ₃₈

Expected Count _13.8 _24.2 _38.0

Total Count 36 63 99

(10)

Chi-Square Tests

Value df Asymp. Sig. (2-sided) Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided) Pearson Chi-Square 35.241(b) ₁ _.000

32.737 1 .000

Likelihood Ratio 47.216 1 .000

N of Valid Cases 99

PENDAPATAN KELUARGA VS KEKURANGAN ENERGI PROTEIN (KEP) Crosstab

KEP Total berat ringan

PENDAPATAN Mampu Count 0 28 28

KELUARGA Expected Count 10.2 17.8 28.0

Tidak mampu Count ₃₆ ₃₅ ₇₁

Expected Count _25.8 _45.2 _71.0

Total Count 36 63 99

Expected Count 36.0 63.0 99.0

Chi-Square Tests

Value df Asymp. Sig. (2-sided) Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided) Pearson Chi-Square _22.310(b) ₁ _.000

Continuity Correction (a) 20.173 1 .000

Likelihood Ratio 31.373 1 .000

Fisher's Exact Test .000 .000

N of Valid Cases 99

(11)

PENUTUP

Beberapa simpulan berdasarak pembahasan adalah sebagai berikut. Pertama, bentuk khusus sebaran Gamma adalah sebaran khi-kuadrat, merupakan bentuk sebaran yang sering digunakan dalam analisis statistika yang diantaranya untuk melakukan uji independensi antar dua faktor kualitatif. Kedua, uji khi-kuadrat dengan tabel kontingensi berukuran 2*2 dalam pelaksanaannya perlu dilakukan uji kontinuitas karena derajat bebasnya sama dengan satu. Ketiga, hubungan antara pendidikan ibu, perilaku ibu, dan tingkat pendapatan keluarga merupakan faktor yang mempengaruhi terhadap kekurangan energi protein pada Balita dan berdasarkan hasil uji statistik pada tingkat konfiden interval 95% (α = 5%) menunjukkan berbeda nyata (P<5%).

DAFTAR PUSTAKA

Direktorat Gizi, Departemen Kesehatan. 1981. Daftar Komposisi Bahan Makanan. Jakarta

Ketaren, R.J. 2005. “Efek Ganggang cryptomonadales sebagai Whole Food Supplement Terhadap Perbaikan Kerusakan Hepar Mencit pada Pemaparan CCL4.” Skripsi Fakultas Kedokteran Universitas Padjadjaran.

Santoso, Singgih. 2004. Mengatasi Berbagai Masalah Statistik dengan SPSS versi 11.5. Jakarta: PT Elex Media Komputindo.

Sejati, Sri. 2006. “Faktor-faktor yang Berhubungan dengan Kekurangan Energi Protein pada BALITA di PUSKESMAS Karang Tengah Kabupaten Cianjur.” Skripsi, Program Extention Fakultas Kesehatan Masyarakat Universitas Respati Indonesia (URINDO), Jakarta.

Steel, Robert G.D. and J.H. Torie. 1980. Prociples and Procedures of Statistics a Biometrical Approach. 2nd_{Edition. McGraw-Hill Book Company.}

Yamane, Taro. 2006. Statistics an Introductory Analysis. 2nd_{Edition. New York: Harper and} Publisher.

Yasin,M.H.G. 2002. “Pengukuran Penyebaran Data untuk Seleksi Famili Jagung,” Warta Informatika Pertanian Volume 11. tahun 2002. Sekretariat Badan Litbang Pertanian, Departemen Pertanian.

Yusnandar, M.E. 2005. “Pemanfaatan Analisis Non Parametrik Satu Arah (One Way Non Parametric) terhadap Hasil Penelitian Percobaan.” Prosiding Temu Teknis Nasional Tenaga Fungsional Pertanian 2005. Pusat Penelitian dan Pengembangan Peternakan.