DAFTAR PUSTAKA. Qu P, Yandell B A local polynomial jump-detection algorithm in nonparametric regression. Technometxics 40:

(1)

DAFTAR PUSTAKA

Guthery SB. 1974. Partition regression. J Amer Statist Assoc 69:945-947.

W d l e W, Hall P, Marron S. 1988. How far are the optimally chosen smoothing parameters &om their optimum?. J Amer Statist Assoc 83:86-95.

Hastie TJ, Tibshirani

RJ.

1987. Generalized additive mode&: some applications. J Amer Statist Assoc 82:37 1-386.

Hastie TJ, Tibshirani RJ. 1990. Generalized Additive Models. New York: Chapman & Hall.

Q u P, Yandell B. 1998. A local polynomial jump-detection algorithm in nonparametric regression. Technometxics 40: 141-1 52.

Silverman BW. 1984. A fast and efficient cross-validation method fbr smoothing parameter choice in spline regression. J Amer Statist Assoc 79:584-589.

Wegman EJ, Wright

IW.

1983. Splines in statistics. J Amer Statist Assoc 78:351- 365.

(2)

(3)

(4)

(5)

Lampiran 3. Contoh hasil pendeteksian untuk n = 100

(6)

Lampiran 3. Lanjutan

(7)

(8)

Lampiran 4. Contoh hasil pendeteksian untuk n = 200

(9)

(10)

(11)

Lampiran 5. Contoh hasil pendeteksian

untuk

n = 300

(12)

Lampiran 5 . Lanjutan

(13)

(14)

Lampiran 6 . Cantoh hasil pendeteksian mtuk n = 400

(15)

Lampiran 6. Lanjutan

(16)

(17)

(18)

Lampiran 7. Makro minitab untuk mendeteksi loncatan

gmacro deteksi noecho

name C1='X1 ## Nilai peubah penjelas X ciiketik berurut pada kolom C 1

name C2= ' Re spon Y

'

## Nilai peubah respon Y diketik pada kolom C2

let kl=count (Cl) ## Ukuran data yang dideteksi center C1 C3;

MinMax 1 kl.

let C3=C3/kl ## Nil4 rancangan 0 c x, < 1 pada kolom C3

center C2 C4. ## Standardisasi respon Y pada kolom C4

let k2= ## Isi hkuensi yang dipakai (lihat kesimpulan penelitian ini) let k3= ## Isi simpangan baku data

let k4= ## Isi taraf kepercayaan yang dipakai (bergantung jenis data)

let C1000 (1) =k2

name C1000='k' ## Nilai k tercetak pada kolom C 1000 ## Nilai Threshold

let k5=SQRT ( (6* ( (5*k2) -3) ) / ( ( (k2) **2) -1) )

let k6=(k3) *(k4)*(kl/k2)*k5 let C999(1)=k6

name C999='u11 ## Nilai threshold tercetak pada kolom C999

let k7=1+ (-l+k2) /2 ## Indeks median 1+1 kolom x

let k8=1-k2+kl # Banyaknya polinom lokal

let k9=ll ## Lokasi cetak koefisien f i polinom pertama do k10=1: k8 ## Loop untuk polinom ke-k 10

do kll=l: k2 # Baris 1 sampai baris k let kl2=-l+klO+kll

let C5(kll)=C3(k12) ##Nilaix,lokaltercetakpadakolomC5 let C6(kll)=C4(k12) ##PeubahY lokaltercetakpadakolomC6 enddo

Regress C6 1 C5; ## Menglutung koefisien regresi coefficients Ck9. ## Lokasi cetak koefisien &

let C994 (k10) =Cl (k7) ## Nilai x untuk koefisien f i tercetak pada C994

let C995 (k10) =Ck9 (2) ## Nilai koefisien

PI

tercetak pada kolom C995

let k9=l+k9 let k7=l+k7 enddo

name C994='x B1' name C995='Koef B1'

(19)

Lampiran 7. Lanjutan ## Operator 6:) let k13= (-l+k2) /2 let k14=l+k13 let k15=1+ (2*k13) let k17=k2 ## Nilai 1 ## Indeks median 1+1 ## Nilai k do k18=1:k16

let C996 (k18)=Cl (k17) ## Nilai x untuk operator tercetak pada C996

let k19=C995(k14)-C995(k18) let k20=C995 (k14) -C995 (k15) let k21=abso (kl9) let k22=abso (k20) if k21=k22 or k21<k22 let C997 (k18) =k19 else if k21>k22 let C997 (k18) =k20 endif

## Nilai operator A!) tercetak pada C997

let k14=l+k14 let k15=l+k15 let k17=l+k17 let k23=C997 (k18) let k24=abso (k23)

if k24>k6 ## Jika suatu loncatan terdeteksi

let c998 (k18)=1 ## maka tercetak angka 1 pada kolom C998

else if k24<k6 or k24=k6 ##Jikatidakadaloncatan

let c998 (k18) =0 ## maka tercetak angka 0 pada kolom C998

endif enddo

name C996='x Operator' name C997='0peratorV name C998='Kode Deteksi' Endmacro

(20)

Lampiran 8. Jumlah data bangkitan dengan banyaknya posisi loncatan yang terdeteksi untuk pemakaian firekuensi k dan n = 200

(21)

Lampiran 9. Jumlah data bangkitan dengan banyaknya posisi loncatan yang terdeteksi untuk pemakaian fiekuensi k dan n = 300

(22)

Lampiran 10. Jumlah data banglatan dengan banyaknya posisi loncatan yang terdeteksi untuk pemakaian fiehemi k dan n = 400

(23)

Lampiran 1 1. Petunjuk penggunaan metode polinom lokal kuadrat terkecil untuk mendeteksi adanya loncatan

Misalkan terdapat suatu data dengan ukuran n = 100. X adalah peubah penjelas dan Y adalah peubah respon.

Pasangan nilai ( x , y) kemudian ditebar dalam suatu diagram pencar. Gambar 6 menunjukkan adanya indikasi loncatan pada x = 61. Untuk memastikan adanya loncatan tersebut diguuakan metode polinom lokal kuadrat terkecil. Prosedur pendeteksian menghti algoritma berikut:

1. Pasangan nilai-nilai ( x , y) diurut berdasarkan nilai peubah penjelas X, dimulai dengan nilai x yang terkecil. Dalam ilustrasi ini, kebetulan data yang dipakai sudah berurut.

(24)

Gambar 6. Diagram pencar dari data yang akan dideteksi.

2. Skala nilai-nilai x diubah demikian sehingga nilai x terkecil sama dengau l l n dan nilai x terbesar sama dengan 1, sedangkan nilai-nilai y distandardisasi. Hal

ini dilakukan untuk menyamakan penggunaan nilai threshold pada hrbagai skala data real. Tabel 4 menmjukkan perubahan skala x dan y tersebut.

3. Pasangan (x, y ) selanjutnya diberikan suatu indeks (x, , y, ) berdasarkan urutan data. Berdasarkan tabel 4, (x,,, y,, ) = (0.61,0.33036) yang berpadanan dengan data asli ( x , y ) = (6 1,82.06) pada tabel sebelumnya.

4. Bentuk tetangga terdekat dari suatu data. Karena n = 100 maka menurut hasil penelitian ini, banyaknya data setiap tetangga adalah k = 15. Tetangga ke-1 beranggotakan lima belas nilai x, terkecil pertama. Tetangga ini dilambangkan dengan N(x,) yang berarti bahwa nilai-nil6 x, yang tennuat dalam tetangga tersebut merupakan tetangga terdekat dari x, (median). Tetangga ke-2 terdiri atas nilai x, sampai nilai x,, , dalam hal ini N(x9) = {x,,x,,..; X ~ , . . ; X , , , X , ~ ) .

Tetangga ke-3 adalah N(x,, ) = {x, , x, ,a ; x,, ,*.

.,

x,, , x,,)

.

Demikian seterusnya

sampai terbentuk n

-

k

+

1 = 86 tetangga.

5. Tetapkan bentuk fimgsi polinom yang akan digunakan. Penetapan ini &pat dilakukan dengan memperhatikan trend data tetangga ke-1

.

Dalam ilustrasi ini, pendeteksian loncatan didasarkan pada penggunaan

{B,(o),

karena trend data pada tetangga ke- 1 " N(x, ) " cendemg linear.

(25)

Tabel 4. Nilai rancangan x, dan nilai s;tandardisasi respan y, dari data yang akan dideteksi

Nilai-nilai x dirancang demitian sehingga nilai terkecil adalah x, = 1 1 n dan nilai terbesar adalah xm = 1.

6 . Pengepasan suatu fimgsi polinom terhadap tetangga-tetangga yang sudah terbentuk. Dalam ilustrasi ini, pengepasan dilakukan dengan memakai fimgsi linear

f'"

=

b,("

+

6,c')x terhadap tetangga N ( x , ) untuk 8 5 i 5 93.

(26)

7. Catat semua koefisien

b$

yang diperoleh dad pengepasan terhadap tetangga dengan median xi. Apabila pengepasan dllakukan dengan menggunakan h g s i kuadratik maka yang dicatat adalah koefisien

8:".

Tabel 5. Koefisien

6:)

dari fungsi polinom yang dipas terhadap tetangga dengan median xi

(27)

8. Nilai operator A:) dihitung dengan memakai rumus:

dengan k 5 i 5 n - k + l dan I = ( k - 1 ) / 2 . Dalamilustrasiini, I = 7 .

Tabel 6. Nilai operator A(:) dari tetangga dengan median x,

9. Sebagai penentu adanya loncatan dipakai nilai threshold u,. Nilai ini diperoleh dengan menggunakan rumus:

dengan

6

adalah penduga ragam data dan Z,,, adalah taraf kepercayaan yang dipakai. Apabila nilai

IA:)~

> u, maka dapat diprediksi bahwa persamaan regresi mengalami loncatan pada suatu x, dalam tetangga N ( x , ) .

(28)

Penduga ragam & dapat diperoleh dari h a d pengepasan lokal telhadap segmentasi pendahuluan. Gambar 6 menunjulckan adanya kecendenmgan data terpartisi ke dalam dua segmen. Segmen pertama beranggotakan data (x,, y, )

dengan i = 1,2,.. ;60 dan segmen kedua beranggotakan (x,, y, ) dengan i =

6 1,62,.. .,loo. Segmentasi ini dapat dilakukan karena adanya indikasi lmcatan pada x = 61 (Gambar 6). Nilai 3 yang diperoleh dari pengepasan ini adalah & = 0,607 . Sedangkan taraf kepercayaan yang dipakai adalah Z,,, = 2,58 yang setara dengan a = 0,01 sehingga diperoleh nilai'threshold u, = 14.5706. Tabel 6 menunjukkan bahwa nilai-nilai

IA\~)~, IA?')

1,

I A \ ~ ) ~

lebih besar dad u, . Dengan demikian ada tiga indikasi loncatan yang diberikan oleh algoritma. Ketiga indlkasi ini berada dalam tetangga dengan median x6,. Ini berarti bahwa, suatu loncatan te jadi pada x,, yang berpadanan dengan x = 61. 10. Penentuan posisi loncatan juga dapat dilakukan dengan melihat diagram

pencar dari {pi')} dan diagram pencar dad {A:)}. Gambar 7(a) dan 7(b) juga menunjukkan adanya indikasi loncatan pada x,,

.

11. Langkah terakhir adalah mengepas suatu kurva terhadap setiap segmen yang diperoleh. Pengepasan ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, metode pemulusan atau metode pengepasan lainnya.

Gambar 7. (a) Koefisien polinom

iii)

dari tetangga dengan median x, . (b) Nilai operator A:) dari tetangga dengan median x, .

(29)

Untuk memudahkan pendeteksian, pengguna dapat memakai makro minitab (Lampiran 7). Makro tersebut dapat disimpan dalam suatu file notepad 0ump.txt). Data yang akan dideteksi diketik pada lembar data minitab. Nilai-nilai peubah penjelas X diketik b e m t pada kolom C 1, sedangkan nilai-nilai peubah respon Y diketik pada kolom C2. Selanjutnya pada session window diketik %c:\jump.txt [enter] (Gambar 8).

1 Worksheet size: 100000 cells

,

! Retrieving vorksheet f rom file: C:WAHAR.YITW

i Worksheet vas saved on 2/13/2002

I, MTB > %c:\jump. txt

I

r

Gambar 8. Pendeteksian loncatan dengan makro minitab.

Hasil pendeteksian dapat dilihat pa& kolom C996 dan C998. Jika terjadi suatu loncatan maka pada kolom C998 tercetak angka 1, sedangkan angka yang tercetak pada C996 menunjukkan posisi loncatan.