MATEMATIKA NON TEKNIK II

(1)

Program Linear

PETA STANDAR KOPETENSI

KETERANGAN : SEMESTER 3

Standar Kopetensi G : Meneyelesakan Masalah Program Linier Standar Kopetensi H : Menerapakan Logika Matematika Dalam

Penyelesaian Masalah Yang Berkaitan Dengan Perynaayataan Majemuk Dan Pernyataan Kuantor

SEMESTER 4

Standar Kopetensi I : Menerapkan Konsep Barisan Dan Deret Dalam Pemecahan Masalah

Standar Kopetensi J : Memecahkan Masalah Keuangan Menggunakan Konsep Matematika TINGKAT II

SEMESTER 4 SEMESTES 3

STANDAR KOPETENSI I

STANDAR KOPETENSI G

STANDAR KOPETENSI H

STANDAR KOPETENSI J

(2)

Standar Kopetensi G

Menyelesaikan Masalah Program Linier

Tingkat 2 ; Semester 3 ; Waktu 44 jam@45 menit

============================================================== A. Membuat Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan

1. Pengertian Program Linier

Program linier adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan menggunakan konsep pertidaksamaan linier.

a. Pertidaksamaan linier dengan ditentukan daerah penyelesaian nya.

Sebelum kita membahas lebih lanjut kita harus mengetahui terlebih dahulu tentang perstidaksamaan linier dan juga cara menentukan daerah penyelsaian ( himpunan penylesaian).

Petidasamaan linier adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >, ≤_{, dan} ≥

Contoh :

1.Tentukan himpunan penyelesaian dari a. x < 3 d. y > 2

b.x ≤ ₂ _{e. y} ≤ _-1

c. y > - 3 Jawab : 1.a. x < 3

x 0

HP

(3)

0 x y

y = 2 d. y > 2

HP

0 x

y x = -3

c. x > -3

HP

0 x

y x = 2

b. x ≤ ₂

(4)

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari -2 < x ≥ _{4 untuk x}∈_R Jawab :

2. -2 < x ≥ _{4 untuk x}∈_R

b. Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variable ditentukan daerah penyelesaian

Contoh 1 :

Tunjukan himpunan penyelesaian yang memenuhi system pertidaksamaan 2x + y≤6 ; x≥0 ; y≥0, untuk x,y∈ _R

Jawab :

Langkah – langkah :

Lukislah grafik 2x + y≤6 dengan cara :

i. Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dengan table Jika x = 0 maka y = 6

Jika y = 0 maka x = 3 Tabel

x 0 3

y 6 0

ii. Buatlah garis x = 0 , yang merupakan sumbu y , derah yang memenuhi adalah daerah di sebelah kanan sumbu y.

iii.Buatlah garis y = 0 , yang merupakan sumbu x , derah yang memenuhi adalah daerah di atas sumbu x.

0

x y

x = -2 . x = 4

HP

0 x

y

y = -1 e. y ≤ _-1

(5)

iv.Ganbar grafik dalam koordinatkartesius sehingga terlihat himpunan penylesaiannya :

v. Daerah grafik yang diarsir. Uji titik ( 0,0 ) maka 2.0 + 0≤6 maka titik ( 0,0 ) memenuhi.

- - - + + +

Contoh 2 :

Diketahui sebuah daerah himpunan penyelesaian OABC yang digambarkan pada grafik di bawah ini : untuk O(0,0),A(7,0),B(4,5),dan C(0,7). Tentukan nilai maksimum dari fungsi obyektif z = 3x + y pada daerah OABC di bawah ini!

Jawab :

Nilai optimum terletak pada titik – titik sudut dari daerah penyelesaian, sehingga carilah nilainya untuk setiap titik tersebut :

• _{Untuk titik O(0,0) maka z = 0}

• _{Untuk titik A(7,0) maka z = 3.7 + 0 = 21} • _{Untuk titik B(4,5) maka z = 3.4 + 5 = 17} • _{Untuk titik C(0,7) maka z = 3.0 + 7 = 7}

Jadi nilai maksimum dari 3x + y adalah 21 di titik A(7,0) A

B c

x y

3

(6,0)

(6)

B. Menetukan Model Matematika Dari Soal Cerita (Kalimat Verbal₎

Model matematika adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan cara mengubah bentuk kalimat verbal menjadi suatu model yang selanjutnya diselesaikan dengan pendekatan matematika.

Contoh :

Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram bahan jenis B.

Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum?

Jawab :

Mengubah bentuk verbal menjadi model matematika dari soal diatas Misalkan : Paku jenis I = x dan

Paku jenis II = y Tabel

Barang Bahan A Bahan B

Paku jenis I 200 gram 75 gram

Paku jenis II 150 gram 50 gram

Jumlah 5.500 gram 2.000 gram

Berdasarkan table sebelumnya didapat persamaan sebagai berikut : 200x + 150y≤5.500

75x + 50y≤2.000 x≥0

y≥0

Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y Kita sederhanakan dulu persamaan diatas

200x + 150y≤5.500 ⇔_{4x + 3y}≤110 75x + 50y≤2.000 ⇔ _{3x + 2y}≤80 x≥0

y≥0

(7)

⇔_{Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + 2y = 80 adalah} 4x + 3y = 110 x2 8x + 6y = 220

3x + 2y = 80 x3 9x + 6y = 240 - x = -20

x = 20 untuk x = 20

3x + 2y = 80 ⇔_{3.20 + 2y = 80} 2y = 80 – 60

y = 2

20 = 10 maka titik potong (20,10) ⇔_{Gambar grafik fungsi penyelesaiannya}

⇔_{Daerah himpunan penyelesaian adalah OABC, sedangkan titik –titik} optimumnya adalah O(0,0), A(80/3,0), B(20,10), dan C(0,110/3) ⇔_{Nilai fungsi obyeknya adalah :}

Untuk O(0,0) ⇔_{z = 500.0 + 350.0 = 0}

UntukA(80/3,0) ⇔_{z = 500.80/3 + 350.0 = 13.000} UntukB(20,10) ⇔_{z = 500.20 + 350.10 =}_13.500 UntukC(0,110/30⇔_{z = 500.0 + 350.110/3 = 12.000}

⇔_{Jadi agar mendapat penghasilan}_{maksimum yaitu Rp 13.500,00}_maka pengusaha harus membuat 20 buah paku I dan 10 buah paku II.

C. Menentukan Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksamaan Linier. D. Garis Selidik dengan Prsamaan ax + by = k

Untuk menentukan nilai optimum,selain dengan mencari titik – titik yang koordinat – koordinatnya memenuhi syarat yang diberikan, dapat juga dilakukan dengan menggunakan garis – garis sejajar itu mempunyai persamaan ax + by = k ,dengan k ∈ _{R dan ax + by merupakan bentuk obyektif. Kerena garis – garis} yang sejajar itu di gunakan untuk menyelidiki nilai optimum,maka garis – garis itu disebutgaris selidik.Agar himpunan garis – garis sejajar ax + by = k mudah dilukis, maka mulailah dengan melukis garis yang melalui tttik pangkal , yaitu

B(20,10)

0

4x + 3y = 110

A(80/3,0) y

x C(0,110/3)

(8)

jika k = 0. Kemudian, garis – garis ax + by = k untuk k = 1,2,3,4, ……dilukis dengan penggaris.

Contoh :

Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi : x + y≤5 ; x≥0 ;y≥0

Jawab ;

3x +2y = k2maka 3.0 + 2.5 = 10

3x +2y = k2maka 3.5 + 2.0 = 15

Jadi nilai maksimum adalah 15

A. Latihan 1 :

1. Hitunglah nilai maksimum dari daerah yang diarsir pada gambar ini merupakan daerah penyelesaian system prtidaksamaan linear. Dimana fungsi obyektif z = x +3y

x + y =5

3x + 2y = k2 3x + 2y = k1

3x + 2y = k3

y

(9)

2. Tentukan system pertidaksamaan daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini. Adalah himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan …………..

3. Tentukan nilai minimum dengan fungsi obyektif z = 2x + 5y pada daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini ………..

4.Tentukan himpunan penyelesaian untuk x dan y∈ _{R dari sistem} pertidaksamaan berikut :

2x + 5y < 20 ; x≥0 ; y≥0 (5,3)

(6,4) (3,5)

(1,3)

(2,2)

0 1 2 3 4 5 6

6

5

4

3

2

1

0 2 4 6 8 10 12

(0,4)

x

2 4

6

4 8

6

4

2

4

(10)

5. Tentukan himpunan penyelesaian untuk x dan y∈_{R dari system} Pertidaksamaan berikut :

x + y≤6 ; 3x + 8y≤24 ; x≥0 ; y≥0

6. Tentukan himpunan penyelesaian untuk x dan y∈_{R dari system} Pertidaksamaan berikut :

3x + 2y≤36 ; x + 2y≥20 ; x≥0 ; y≥0

7.Tentukan nilai minimum fungsi obyektif z = 2x + 3y dari system pertidaksamaan :

2x + y≥11 ; x + 2y≥10 ; x≥0 ; y≥0 untuk x,y∈ _R

8.Tentukan nilai maksimum fungsi obyektif z = 2x + 3y dari system pertidaksamaan :

x + y≤16 ; x + 2y≤20 ; x≥0 ; y≥0 untuk x,y∈_R

9. Sebuah kereta api tiap gerbong penumpang terdiri dari kelas I dan II yang memuat 64 penumpang. Setaip penumpang kelas I berhak membawa barang 200 kg dan penumpang kelas II hanya 80 kg,tempat bagasu memiliki daya muat maksimum 4.800 kg. Jika penumang kelas I banyaknya x orang dan penumpang kelas II banyaknya y orang,Ubahlah kedalam kalimat

matematikanya!

10. Seorang penjahit akan membuat dua model pakaian. Untuk model I, waktu yang diperlukan memotong kain 2 jam dan untuk menjahit 4 jam. Untuk model II, Waktu yan diperlukan untuk memotong 4 jam dan menjahit 2 jam. Waktu yang disdiakan untuk memotong tidak lebih dari 20 jam dan untuk

menjahit tidak lebih dari 16 jam. Jika pakaian model I seharga Rp 340.000,00 dan model II seharga Rp 310.000,00 ,berapa pakian harus dibuat agar

pendapatan maksimum? B. Latihan 2

Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tand silang pada huruf a, b, c, d, atau e!

1. Dari diagram dibawah ini daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : ……..

a. x + y≤6; x≥2; y≥0 6 6

(11)

b. x - y≤6; x≥2; y≥0 c. x + y≤6; x≤2; y≥0 d. x + y≥6; x≤2; y≥0 e. x - y≥6; x≥2; y≥0

a. 2x + y≤4; y≥3; x≥0; y≥0 b. 2x - y≤4; x≥3; x≥0; y≥0 c. 2x + y≥4; y≤3; x≥0; y≥0 d. x + 2y≤4; x≤3; x≥0; y≥0 e. x + 2y≤4; y≥3; x≤0; y≥0

a. x + y≤48; 3x + y≥72; x≥0; y≥0 b. x + y≤48; x + 3y≤72; x≥0; y≥0 c. x + y≤48; 3x + y≤72; x≥0; y≥0 d. x + y≥48; x + 3y≥72; x ≥0; y≥0 e. x + y≥48; x + 3y≥72; x≥0; y≥0

2 0 3

y

x

24

48 72

(12)

5. Seorang penjual buah yang menggunakan gerobak mempunyi modal Rp 1.000.000,00. Ia telah membeli jeruk denga harga Rp 4.000,00 per kg dan pisang Rp 1.600,00 per kg. Jika banyak jeruk yang dibeli x kg, sedangkan muatan gerobak tidak dapat melebihi 400 g, maka system pertidaksamaan yang memenuhi permasalahan diatas adalah ……..

a. 5x + 4y≤2500; x + y≤400; x≥0; y≥0 b. 5x + 4y≤1250; x + y≤400; x≥0; y≥0 c. 5x + 2y≤1250; x + y≤400; x≥0; y≥0 d. 5x + 2y≤1200; x + y≤400; x ≥0; y≥0 e. 5x + y≤ 750; x + y≤400; x≥0; y≥0

6. Daerah yang diarsir pada diagram dibawah ini merupakan himpunan

penyelesaian dari suatu pertidaksamaan. Nilai maksimum untuk T = 5x + 4y dari daerah penyelesaian tersebut adalah ……….

a. 40 b. 28 c. 22 d. 20 e. 16

7. Daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x +2y ≥12; x +2y≤8; 0≤x≤8; y≥0 adalah daerah yang di tunjukan oleh

a.I b.II c.III d.IV e.V

8. Daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x +2y ≥20; 7x +2y ≤ 8; 2x + 5y ≥ 20; x≥ 0 ; y ≥0 adalah daerah yang di tunjukan oleh

4

V IV

I

8 II

0 4 6

III y

x 4

4

0 8

x 6

(13)

a.I b.II c.III d.IV e.V

9. Nilai minimum fungsi obyektif ( x, y ) = 4x +3y dari system pertidaksamaan 2x + y≥10; x + 2y≥10; x≥0 ; y≥0 adalah …

a. 15 b. 22 c. 25 d. 33 e. 40

10. Tempat parker seluas 360 m2 ,dapat menampung tidak lebih dari 30 kendaraan. Untuk parker sebuah sedan diperlukan 6 m2 dan sebuah bus 24 m2. Jika untuk sedan dinyatakan dalam x dan bus dinyatakan dalam y, maka model matematika dari pernyataan diatas adalah ….

a. x + y≤30; x + 4y≤60; x≥0; y≥0 b. x + y≤30; 4x + y < 60; x≥0; y≥0 c. x + y≤30; x + y≤60; x≥0; y≥0 d. x + y < 30; x + 4y≤60; x ≥0; y≥0 e. x + y < 30; 4x + y≤60; x≥0; y≥0

11. Daerah yang diarsir pada diagram dibawah ini merupakan himpunan

penyelesaian dari suatu pertidaksamaan. Nilai maksimum untuk fungsi obyektif f (x,y) = 6x + 8y tersebut adalah …

a. 40 b. 66 c. 74 d. 78 e. 84

0 4 10

10

7

4 II

III

x IV

V I

y

x (5,6)

(7,3) (0,5)

(14)

12. Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + y≤6 ; x≥0; y≥0, untuk x, y ∈ _{R adalah ….}

13. Seorang ibu penjual jamu tradisional ingin membuat porsi jamu sebanyak – banyaknya dari 2 jenis jamu A dan B dengan ketentuan seperti dibawah ini :

Jenis Jamu Ramuan I Ramuan II A

Tersedia 4 kg 1,4 kg

Banyaknya porsi yang optimal adalah ....

a. 27 b. 32 c. 40 d. 24 e. 28

14. Nilai maksimum dari 5x + 6y yang memenuhi HP dari system pertidaksamaan 2x + y≤8; x + 3y≤9; x≥0; y≥0 adalah …. a. 16 b. 18 c. 19 d. 27 e. 30

15. Titik –titik (0,4), (3,5), (5,3), (6,0) dan (0,0) adalah titik – titik sudut suatu daerah himpunan penyelesaian program linier. Nilai optimum bentuk 10(3x+2y) adalah …...

a. Maksimum 180, minimum 0 a. Maksimum 190, minimum 0 a. Maksimum 210, minimum 0 a. Maksimum 190, minimum 80 a. Maksimum 80, minimum 0 16. Perhatikan gambar berikut ini !

(15)

Daerah yang diarsir pad gambar di atas merupakan daerah penyelesaian dari suatu system pertidak samaan , Nilai minimum yang dipenuhi fungsi obyektif : f ( x, y ) = 3x + y adalah …

17. Perhatikan gambar berikut ini !

Nilai maksimum dari fungsi f ( x, y ) = 7x + 2y

a. 45 d. 28

b. 41 e. 8

c. 33

18. Nilai maksimum dari 2x + 3y yang memenuhi system pertidaksamaan :

(16)

c. 17

19. Jika diketahui bahwa P = x + y dan Q = 5x + y maka nilai maksimum dari P dan Q pada system pertidaksamaan x≥_{0, y}≥_{0, x + 2y}

≤

_{12 dan}

2x + y

≤

_{12 adalah :}

a. 8 dan 30 d. 6 dan 24

b. 6 dan 6 e. 8 dan 24

c. 4 dan 6

20. Apabila x, y∈_{R terletak pada himpunan penyelesaian system pertidak}

-Samaan x≥_{0, y}≥_{0, x + y} ≤ _{8, 2x + 5y} ≤_{10 maka nilai maksimum dari}

Z = x + 2y pada himpunan penyelesaian tersebut adalah …

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5