BAB V
DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS
5.1 Diagonalisasi
Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil kali berbentuk PDP−1, di mana D adalahmatriks diagonal. Jika diperoleh hubungan
D AP
P−1 = maka dikatakan bahwa matriks A dapat didiagonalisasi. Bagaimana memperoleh matriks P dan D yang dimaksud akan dibahas lebih lanjut dalam bagian ini.
TIK : Setelah mengikuti sub bab ini diharapkan mahasiswa dapat menentukan suatu matriks yang dapat didiagonalisasi.
Definisi : Suatu matriks A berorde nxn disebut dapatdidiagonalisasi jika terdapat matriks P non singular dan matriks diagonal Dsedemikian sehingga PDP−1= D
Matriks P dikatakan mendiagonalisir matriks A.
Teorema : Suatu matriks A berorde nxn, dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika A mempunyai n vektor eigen yang bebas linear.
Bukti : Misalkan matriks A mempunyai n vektor eigen bebas linear p1,p2K,pn dan λi adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian dengan pi untuk setiap i (beberapa dari λi boleh sama). Misalkan P adalah matriks di mana vektor kolom ke-j adalah pj untuk
n
AP=(Ap1,Ap2,K,Apn) =(λ1p1,λ2p2,K,λnpn)
⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
n n
p p
p
λ λ
λ
O
K 2
1
2
1, , , ) (
=PD
Karena P mempunyai n vektor kolom yang bebas linear, maka P adalah taksingular, karena itu :
D=P−1PD=P−1AP
Sebaliknya, misalkan A dapat didiagonalisasi. Selanjutnya terdapat suatu matriks
taksingular P sehingga AP=PD, jika p1,p2K,pn adalah vektor kolom dari P, maka : Apj =λjpj , (λj =djj) untuk setiap j.
Jadi untuk setiap j, λj adalah nilai eigen dari A dan pjadalah vektor eigen yang dimiliki
j
λ . Karena vektor kolom P bebas linear, maka A mempunyai n vektor eigen yang bebas
linear.
Dari bukti di atas, maka kita mendapatkan prosedur untuk mendiagonalisasi sebuah matriks A berorde nxn, sebagai berikut :
Langkah 3 : Maka matriks P−1AP akan didiagonal dengan λ1,λ2,Kλn sebagai entri- entri diagonalnya yang berturutan, di mana λi adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan pi,i=1,2,K,n.
Contoh :
Carilah sebuah matriks P yang mendiagonalkan matriks
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡ −
− =
5 0 0
0 3 2
0 2 3
A
Penyelesaian :
Matriks A ini mempunyai nilai-nilai eigen, λ =1 dan λ =5. Untuk λ =1 diperoleh vektor-vektor karakteristik
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡− =
0 1 1
1
p dan
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡ =
1 0 0
2
p
Untuk λ =5 diperoleh vektor karakteristik
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡ =
0 1 1
3
p
Mudah untuk memeriksa bahwa
{
p1,p2,p3}
bebas linear, sehingga dapat dibentuk matriks
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡− =
0 1 0
1 0 1
1 0 1
P yang mendiagonalkan matriks A.
⎥
Terlihat bahwa entri-entri pada diagonal pokok adalah nilai-nilai eigen dari matriks A. Jadi dapat dikatakan bahwa matriks P mendiagonalkan matriks A
Catatan :
Tidak ada persyaratan yang khusus untuk meletakkan orde kolom-kolom dari matriks P Karena entri diagonal ke i dari P−1AP adalah nilai eigen untuk vektor eigen kolom ke i dari P, maka dengan mengubah orde kolom-kolom dari P hanyalah mengubah orde dari nilai-nilai eigen pada diagonal dari P−1AP.
Jadi seandainya kita menuliskan :
.
Maka diperoleh :
5.2. Dekomposisi Matriks.
Sub pokok bahasan ini membahas tentang matriks [A] dari SPL didekomposisi (difaktorisasi) menjadi matriks-matriks segitiga bawah [L] dan segitiga atas [U] sedemikian rupa sehingga persamaannya menjadi :
[A] = [L][U] atau A = L U. Bagaimana mendapatkan matriks L dan U yang dimaksud akan dibahas lebih lanjut.
TIK : Setelah mengikuti sub bab ini diharapkan mahasiswa dapat mencari penyelesaian SPL dengan cara dekomposisi LU.
5.2.1. Prinsip Dekomposisi LU.
Secara umum, jika suatu matriks A berorde nxn dapat direduksi menjadi matriks segi tiga atas U tanpa pertukaran baris, berarti A dapat dikomposisi (difaktorisasi) ke dalamhasil kali LU, dimana L adalah matriks segi tiga bawah dengan elemen-elemen pada diagonal utama 1. Entri (i , j) dari L di bawah diagonal akan merupakan kelipatan dari baris i yang telah dikurangkan dari baris j selama proses eliminasi, sedemikian sehingga identitasnya menjadi :
[A] = [L][U] atau A = L U Contoh :
Misalakan matriks A =
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡
−
−
5 2 2
2 10 2
2 2 4
Langkah pertama dalam proses eliminasi adalah baris kedua dikurangi dengan 2 1 kali
baris pertama dan baris ketiga dikurangi dengan 2 1
− kali baris pertama, sehingga kita
tetapkan
2 1 21 =
l dan
2 1 31 =−
l . Selanjutnya menghasilkan matriks :
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡ −
=
4 3 0
3 9 0
2 2 4 ) 1 (
A
Langkah kedua proses eliminasi adalah baris ketiga dikurangi dengan 3
1 kali baris kedua,
sehingga kita tetapkan
3 1 32 =
l . Sesudah langkah kedua ini diperoleh matriks segi tiga
atas,
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡ −
= =
3 0 0
3 9 0
2 2 4 ) 2 (
A U
Matriks L dapat ditulis sebagai :
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡
− =
1 0 1
0 0 1
3 1 2 1 2 1
L
Dapat kita uji bahwa hasil kali LU = A
invers dari matriks-matriks elementer dengan urutan ini menghasilkan suatu matriks segi tiga bawah L dengan elemen pada diagonal utama adalah satu.
L
5.2.2. Penyelesaian SPL dengan Dekomposisi LU
Diberikan sistem persamaan linear Ax=b dengan Anxn adalah matriks invertible. Untuk menyelesaikan SPL ini, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1 : Lakukan faktorisasi A=LU dimana L adalah matriks segi tiga bawah dengan elemen diagonal utama satu dan U adalah matriks segi tiga atas. Langkah 2 : Ambil vektor kolom yyang belum diketahui sedemikian sehingga y =Ux. Langkah 3 : Substitusikan A= LU dan y =Ux ke dalam sistem persamaan linear Ax=b, diperoleh (LU)x=L(Ux)=Ly=b.
Contoh :
Selesaikan SPL berikut dengan cara dekomposisi matriks.
Penyelesaian :
SPL di atas mempunyai matriks koeffisien
Kemudian matriks A difaktorisasi menjadi L dan U, menghasilkan :
Jika diambil
Jadi
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡ =
1 3 2
y
Sehingga, y Ux=
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡ −
3 0 0
3 9 0
2 2 4
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡
3 2 1
x x x
=
⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡
1 3 2
, diperoleh :
1 3
3 3 9
2 2 2
4
3 3 2
3 2
1
= = +
= −
+
x x x
x x
x
3 1 3
9 2 2
9 5 1
= ⇒
= ⇒
= ⇒
x x x
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah tunggal, yaitu :
(
)
(
)
3 1 9 2 9 5 3 21,x ,x = , ,
x
