commit to user
i
ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI COM-POISSON UNTUK DATA
TERSENSOR KANAN MENGGUNAKAN METODE MAKSIMUM
LIKELIHOOD
Oleh
DIAN ANGGRAENI
NIM. M0107028
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
commit to user
iii ABSTRAK
Dian Anggraeni, 2012. ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI COM-POISSON UNTUK DATA TERSENSOR KANAN MENGGUNAKAN METODE
MAKSIMUM LIKELIHOOD. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Sebelas Maret.
Model regresi Poisson digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel independen dan variabel dependen berupa data cacah yang mengasumsikan equidispersi. Seringkali data cacah memperlihatkan overdispersi atau underdispersi, untuk mengatasi permasalahan tersebut dibentuk model regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson yang merupakan perluasaan dari model regresi Poisson memiliki dua parameter yaitu parameter regresi ( ) dan dispersi ( . Pada beberapa kasus untuk tujuan tertentu, nilai variabel dependen perlu pembatasan batas bawah atau tersensor kanan.
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji ulang estimasi parameter model regresi COM-Poisson pada data tersensor kanan menggunakan metode maksimum likelihood. Dalam memaksimumkan fungsi likelihood diperoleh sistem persamaan yang nonlinear, sehingga untuk menyelesaikannya digunakan metode Newton
dengan prosedur iterasi . Selanjutnya, estimasi
parameter model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan diterapkan pada faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya komplikasi penyakit dari suatu penderita diabetes mellitus di Rumah Sakit Panti Waluyo dan Rumah Sakit Umum Daerah Dr. Moewardi Surakarta dengan menggunakan Software R 2.15.0.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iv ABSTRACT
Dian Anggraeni, 2012. ESTIMATION PARAMETERS OF COM-POISSON REGRESSION MODEL FOR RIGHT CENSORED DATA USING MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD. Mathematics and Natural Sciences Faculty, Sebelas Maret University.
Poisson regression model is used to analyze relationship between independent variable and dependent variable equidispersion. The count data often showed overdipersion and underdispersion, to overcome the problems created COM-Poisson regression model. COM-Poisson regression model is an expansion of Poisson regression model. COM-Poisson regression model has two parameters, they are the regression parameter and dispersion . In some cases for a particular purpose, the value of the dependent variable should lower limit restriction or right censored.
This study aims to review the estimated parameters COM-Poisson regression model to the data right censored maximum likelihood method. In maximizing the likelihood function of a nonlinear system of equations is obtained,
so that the Newton method is used to solve the iterative procedure
. Furthermore, the estimated parameters of the
COM-Poisson regression models for right-censored the data applied to the factors that influence the number of complications from the disease of diabetes mellitus in Panti Waluyo Hospital and District General Hospital Dr. Moewardi Surakarta using software R 2.15.0.
commit to user
v MOTO
“Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan”
-Q.S. Al-Insyrah:1-8-
“Kesabaran memang pahit, tetapi kesabaran akan berbuah segar dan manis”
- Hitam Putih-
“Hidup jangan mengalir, melainkan kita membuat aliran itu sendiri”
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vi
PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk
Bapak, Ibu, Kakak dan adikku tercinta atas doa, cinta dan dukungan
commit to user
vii
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan
karunia-Nya, sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas
dari bimbingan dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis
menyampaikan ucapan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penulisan skripsi ini, khususnya kepada
1. Ibu Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si. selaku Dosen Pembimbing I atas
kesediaan dan kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis,
2. Bapak Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing II atas
kesediaan dan kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis,
3. Tia, Nurindah, dan seluruh teman-teman matematika angkatan 2007 atas
kerjasama dan motivasi yang diberikan saat penulis menghadapi kendala
dalam penyusunan skripsi ini,
4. Semua pihak yang turut membantu kelancaran penulisan skripsi ini.
Semoga penulisan skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
Surakarta, Juli 2012
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id 2.1 Tinjauan Pustaka ... 4
2.1.1 Konsep Dasar Statistik ... 5
2.1.2 Keluarga Distribusi Eksponensial ... 6
2.1.3 Distribusi Poisson ... 8
2.1.4 Model Regresi Poisson ... 9
2.1.5 Variabel Tersensor Kanan ... 10
2.1.6 Metode Maksimum Likelihood ... 11
2.1.7 Metode Newton ... 12
2.1.8 Pendekteksian Overdispersi dan Underdispersi ... 12
2.1.9 Uji Signifikansi Parameter ... 13
2.2 Kerangka Pemikiran... 14
commit to user
ix
4.1.1 Distribusi COM-Poisson ... 17
4.1.2 Model Regresi COM-Poisson... 20
4.2 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor
Kanan ... 22
4.2.1 Distribusi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan... 22
4.2.2 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Pisson untuk Data
Tersensor Kanan ... 23
4.3 Contoh Kasus ... 28
4.3.1 Model Regresi Poisson untuk Tersensor Kanan pada Data Pasien
Diabetes Mellitus ... 30
4.3.2 Pendeteksian Overdispersi atau Underdispersi ... 33
4.3.3 Model Regresi COM-Poisson untuk Variabel Dependen
Tersensor Kanan dengan Seluruh Variabel Independen ... 34
4.3.4 Uji Signifikansi Parameter ... 35
4.3.5 Model Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan
dengan Variabel Independen Berpengaruh ... 38
V. PENUTUP 40
5.1 Kesimpulan ... 40
5.2 Saran ... 40
DAFTAR PUSTAKA 41
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
x
DAFTAR TABEL
4.1 Pengkodean Kategori Variabel Dummy ... 30
4.2 Nilai Estimasi Parameter Regresi Poisson ... 31
4.3 Nilai Estimasi Parameter Model Regresi Poisson dengan Uji Wald ... 32
4.4 Estimasi Parameter Model Regresi Poisson dengan Variabel Independen yang Berpengaruh ... 33
4.5 Nilai Mean dan Variansi Data Diabetes Mellitus di Surakarta... 33
4.6 Nilai Statistik Deviansi ... 34
4.7 Nilai Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson ... 35
4.8 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson dengan Uji Wald ... 36
commit to user
1 BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Analisis regresi menyatakan hubungan antara variabel dependen dan
variabel independen. Variabel independen merupakan variabel yang nilainya tidak
dipengaruhi oleh variabel lain, sedangkan variabel dependen merupakan variabel
yang nilainya dipengaruhi oleh variabel independen. Variabel dependen dapat
berupa data cacah maupun data kontinu.
Dalam aplikasinya banyak penelitian menggunakan variabel dependen
yang berupa data cacah, termasuk pada pembahasan skripsi ini. Salah satu model
regresi yang dapat digunakan untuk menganalisis variabel dependen berupa data
cacah adalah model regresi Poisson. Model regresi Poisson menjelaskan
hubungan antara variabel independen dengan variabel dependen dari suatu data
cacah. Model regresi memiliki asumsi mean sampel dan variansi sampel sama
(equidispersi). Menurut Shmueli et al. (2005), pada kasus nyata seringkali data
cacah memperlihatkan variansi sampel lebih besar dari mean sampel
(overdispersi) atau variansi sampel lebih kecil dari mean sampel (underdispersi).
Untuk mengatasi masalah overdispersi atau underdispersi, Sellers dan Shmueli
(2010a) memberikan alternatif model yaitu dengan model regresi COM-Poisson.
Model regresi COM-Poisson merupakan perluasan dari model regresi
Poisson. Sellers dan Shmueli (2010a) menyatakan bahwa proses pembentukan
dari model regresi COM-Poisson berdasarkan pada distribusi COM-Poisson.
Model regresi COM-Poisson memiliki dua parameter yaitu parameter regresi ( )
dan parameter dispersi ( . Parameter dari model tersebut belum diketahui
sehingga harus diestimasi.
Berbagai kajian mengenai model regresi COM-Poisson telah dilakukan.
Dwicahyono (2012) telah mengkaji estimasi parameter model regresi
COM-Poisson menggunakan metode maksimum likelihood. Estimasi parameter model
regresi COM-Poisson menggunakan metode quasi likelihood juga telah dikaji
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2
menggunakan metode Bayesian sedang dikaji oleh Sari (2012). Pada kajian yang
dilakukan kadang-kadang untuk mencapai tujuan yang diinginkan dibutuhkan
asumsi data dependen tersensor. Pada model regresi COM-Poisson yang dikaji
oleh Dwicahyono (2012), Mardina (2012) dan Sari (2012), variabel dependennya
tidak disensor. Sedangkan asumsi untuk mencapai tujuan skripsi adalah variabel
dependen dibatasi nilainya atau disebut variabel dependen tersensor. Penyensoran
dapat dibedakan menjadi tiga macam yaitu tersensor kanan, tersensor kiri dan
tersensor dalam selang interval. Jenis sensor yang dikaji dalam penelitian ini ialah
sensor kanan (right censoring) karena hanya ingin mengkaji batas bawah dari data
variabel dependen. Lee dan Wang (1992) mengatakan bahwa observasi dikatakan
tersensor kanan jika objek masih hidup atau masih beroperasi ketika masa
observasi telah selesai. Misalnya, jumlah pasien yang telah datang di klinik,
jumlah pelanggan yang datang ke restoran selama periode waktu tertentu, atau
jumlah mobil yang diparkir. Meskipun jumlah kedatangan untuk masing-masing
kasus dapat melebihi kapasitas tempat yang tersedia dalam waktu tertentu, namun
obyek meninggalkan fasilitas karena keterbatasan kapasitas.
Sellers dan Shmueli (2010b) memperkenalkan metode estimasi maksimum
likelihood untuk mengestimasi parameter model regresi COM-Poisson pada data
tersensor kanan. Pada skripsi ini akan dikaji ulang estimasi parameter model
regresi COM-Poisson pada data tersensor kanan menggunakan estimasi
maksimum likelihood. Metode maksimum likelihood diperoleh dengan
memaksimalkan fungsi likelihood dari fungsi densitas probabilitasnya.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang masalah, dapat dirumuskan
permasalahan sebagai berikut.
1. Bagaimana kajian ulang estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk
commit to user
2. Bagaimana penerapan model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan
pada faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya komplikasi penderita
diabetes mellitus?
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah
sebagai berikut.
1. Mengkaji ulang estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk data
tersensor kanan dengan metode maksimum likelihood.
2. Menerapkan model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan pada
faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya komplikasi penderita diabetes
mellitus.
1.4 Manfaat Penelitian Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah
1. Secara teoritis dapat menambah wawasan dan pengetahuan para statistikawan
tentang model regresi khususnya model regresi COM-Poisson untuk data
tersensor kanan.
2. Secara praktis pembahasan ini dapat menganalisa data yang mengalami
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
Tinjauan pustaka berisi penelitian terdahulu dan teori penunjang. Teori penunjang
dalam kajian ini antara lain keluarga distribusi eksponensial, distribusi Poisson,
model regresi Poisson, variabel tersensor kanan, metode maksimum likelihood,
metode Newton, dan uji signifikansi parameter. Sedangkan kerangka pemikiran
berupa alur pikir untuk menjawab perumusan masalah pada kajian ini.
Model regresi Poisson digunakan untuk menganalisis hubungan antara
variabel dependen dan variabel independen dari suatu data cacah. Seringkali data
cacah memperlihatkan overdispersi atau underdispersi, sehingga penggunaan
model regresi Poisson tidak sesuai. Untuk mengatasi permasalahan tersebut dapat
dilakukan pendekatan model regresi Binomial Negatif yang dikaji oleh Yuniarti
(2006) dan model regresi ZIP yang dikaji oleh Putri (2007). Salah satu alternatif
model regresi lain yang dapat digunakan ialah model regresi yang didasarkan pada
distribusi COM-Poisson.
Shmueli et al. (2005) menyatakan distribusi COM-Poisson yang diusulkan
pertama kali oleh Conway dan Maxwell pada tahun 1962 untuk mengatasi sistem
antrian. Kemudian Shmueli et al. (2005) memperkenalkan metode estimasi
parameter pada distribusi ini dengan maksimum likelihood, weighted least
squares (WLS), dan metode Bayesian. Jowaheer dan Khan (2009) menggunakan
metode estimasi maksimum likelihood dan quasi likelihood dengan iterasi metode
Newton untuk mengestimasi parameter model regresi COM-Poisson. Sellers dan
Shmueli (2010a) dalam papernya memperkenalkan model regresi yang
berdasarkan distribusi COM-Poisson untuk mengatasi masalah overdispersi dan
underdispers dengan metode Bayesian. Selain itu, Sellers dan Shmueli (2010b)
juga memaparkan model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan.
commit to user
data tersensor kanan dan estimasi parameternya menggunakan metode maksimum
likelihood.
2.1.1 Konsep Dasar Statisik
Definisi konsep dasar statistik yang digunakan sebagai pendukung dalam
penulisan skripsi diambil dari Bain & Engelhardt (1992).
Definisi 2.1. Ruang sampel adalah himpunan dari semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan dan dinotasikan S.
Definisi 2.2. Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin pada ruang sampel S ke bilangan real , sedemikian sehingga
.
Definisi 2.3. Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel random X adalah himpunan berhingga atau dengan bilangan
positif maka X disebut variabel random diskrit. Fungsi dengan
yang menyatakan probabilitas dari masing-masing nilai
yang mungkin disebut fungsi densitas probabilitas untuk variabel random diskrit.
Definisi 2.4. Suatu fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel random diskrit didefinisikan untuk setiap bilangan real .
Definisi 2.5. Jika adalah suatu variabel random diskrit dengan fungsi densitas probabilitas , maka harga harapan dari X dinyatakan sebagai
Definisi 2.6. Jika adalah suatu variabel random berukuran , maka variansi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
6
2.1.2 Keluarga Distribusi Eksponensial
Menurut Mc Cullagh dan Nelder (1983), suatu fungsi probabilitas dengan
parameter dari suatu variabel random dikatakan anggota distribusi keluarga
eksponensial apabila dapat dituliskan sebagai
dengan adalah parameter kanonik dan adalah parameter dispersi serta
dan merupakan suatu fungsi yang diketahui. Mean sampel dan variansi sampel
dari distribusi keluarga eksponensial dapat diperoleh dengan mendefinisikan
fungsi sebagai
dimana . Dari persamaan (2.2) diperoleh
sehingga,
commit to user
Oleh karena itu, dari persamaan (2.3) dan (2.4) diperoleh mean sebagai berikut,
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
8
Jadi diperoleh mean sampel dan variansi sampel dari distribusi keluarga
eksponensial ialah,
dan
dengan dan merupakan turunan dari .
2.1.3 Distribusi Poisson
Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas diskrit yang
menyatakan jumlah kemunculan dari suatu kejadian, seperti jumlah bencana alam
pada suatu daerah setiap tahun. Menurut Bain and Engelhardt (1992), variabel
random dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter jika
mempunyai fungsi densitas sebagai berikut
, untuk . (2.8)
Distribusi Poisson termasuk dalam keluarga distribusi eksponensial, hal ini
dapat ditunjukkan dengan menyatakan bentuk fungsi dalam persamaan ke
persamaan
dengan , , dan .
Karena distribusi Poisson termasuk dalam keluarga distribusi eksponensial, maka
sesuai dengan persamaan dan dapat ditentukan mean dan variansinya
yaitu,
Oleh karena itu, pada distribusi Poisson berlaku
commit to user
2.1.4 Model Regresi Poisson
Model regresi Poisson digunakan untuk memodelkan jumlah kemunculan
dari suatu kejadian dalam interval waktu tertentu, seperti jumlah korban bunuh
diri pada suatu daerah dalam setahun. Model regresi Poisson diturunkan dari
distribusi Poisson dengan parameter yang bergantung pada variabel dependen.
Misalkan merupakan variabel dependen yang menyatakan banyaknya kejadian
yang berupa data cacah berdasarkan distribusi Poisson dan dipengaruhi variabel
independen yang saling linier. Menurut Fahrmeir & Tuts (1994)
hubungan kedua variabel dapat dituliskan
atau dalam bentuk sederhana
dengan
Secara matriks persamaan dapat dinyatakan sebagai
dimana adalah parameter yang tidak diketahui.
Mean dari variabel random pada model regresi Poisson yang merupakan
kombinasi linear dapat diasumsikan dengan sembarang nilai sehingga akan
menghasilkan nilai real, sedangkan mean yang merupakan ekspektasi data cacah
dari distribusi Poisson harus bernilai positif. Oleh karena itu, untuk mengatasinya
perlu dilakukan transformasi sehingga hubungan dan sesuai, yaitu dengan
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
10
Model regresi Poisson merupakan perluasan dari model linier. Menurut
Fahrmeir dan Tuts (1994) perluasan tersebut terbentuk melalui asumsi sebagai
berikut.
1. Yi observasi yang independen untuk setiap i dan berdistribusi Poisson
dengan fungsi densitas probabilitas
dengan
2. dihubungkan pada model linier (2.3) oleh fungsi link logaritma natural
sehingga diperoleh model regresi Poisson
2.1.5 Variabel Tersensor Kanan
Pengamatan untuk beberapa kumpulan data variabel dependen
terkadang tidak ada pembatasan atau penyensoran, tetapi nilai dapat disensor
untuk asumsi dalam tujuan tertentu. Variabel penyensoran yang digunakan dalam
penelitian ini ialah sensor kanan.
Sensor kanan merupakan batas bawah dari data variabel yang akan
disensor. Jika ada penyensoran untuk pengamatan ke , maka . Variabel
indikator sensor dapat didefinisikan sebagai
commit to user
2.1.6 Metode Maksimum Likelihood
Variabel random memiliki distribusi dengan fungsi densitas probabilitas
dimana . Parameter merupakan parameter yang tidak diketahui dengan adalah ruang parameter. Karena sampel random, maka
fungsi densitas probabilitas bersama dari adalah
.
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), fungsi likelihood didefinisikan
sebagai fungsi densitas probabilitas bersama dari yang saling
independen. Fungsi likelihood dianggap sebagai fungsi dari yang dituliskan
Pada metode maksimum likelihood, estimasi parameter dari diperoleh
dengan menentukan nilai yaitu dengan memaksimumkan fungsi likelihoodnya.
Nilai yang diperoleh disebut estimasi maksimum likelihood (MLE) dari .
Memaksimumkan akan memberikan hasil yang sama dengan
memaksimumkan , yang dituliskan sebagai
Estimasi maksimum likelihood dari dapat diperoleh dengan
menyelesaikan persamaan
Jika pada proses estimasi parameter didapatkan persamaan yang
non-linear, maka tidak mudah untuk memperoleh estimasi tersebut. Sehingga
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
12
2.1.7 Metode Newton
Misalkan terdapat system persamaan dari dua persamaan non-linear
Jain et al. (2004) menyatakan untuk mencari penyelesaian sistem non-linear dua
variabel pada persamaan digunakan iterasi Newton sebagai berikut
dimana
merupakan matrik Jacobian dari dan .
Langkah-langkah dari metode Newton sebagai berikut,
1. menentukan estimasi awal yaitu dan ,
2. melakukan proses iterasi seperti pada persamaan ,
3. jika dan maka iterasi dihentikan.
2.1.8 Pendekteksian Overdispersi dan Underdispersi
Pengujian yang digunakan untuk mendeteksi adanya overdispersi dan
underdispersi adalah nilai deviansi atau Pearson chi-square yang dibagi dengan
derajat bebasnya. Bentuk statistik deviansi adalah
dan bentuk dari statistik Pearson chi-square adalah
Jika hasil bagi antara nilai statistik terhadap derajat bebasnya atau
commit to user
bahwa telah terjadi overdispersi pada model regresi Poisson. Sedangkan nilai
hasil bagi yang lebih kecil dari 1 mengindikasikan adanya underdispersi.
2.1.9 Uji Signifikansi Parameter
Uji signifikansi parameter dilakukan setelah diperoleh estimasi model
regresi, yang bertujuan untuk mengetahui variabel-variabel independen yang
memiliki pengaruh signifikan terhadap model. Agresti (1990), menggunakan uji
Wald untuk menguji signifikansi dari masing-masing variabel independen.
Langkah-langkah untuk menguji signifikansi dari setiap parameter terhadap model
adalah sebagai berikut,
1. menentukan hipotesis
(tidak terdapat pengaruh yang signifikan dari variabel independen terhadap model)
(terdapat pengaruh yang signifikan dari variabel independen terhadap model)
dengan ,
2. menentukan tingkat signifikansi ,
3. daerah kritis:
ditolak jika ,
4. menghitung nilai statistik uji.
Statistik uji yang digunakan adalah uji Wald yang diperoleh dari hasil
kuadrat taksiran parameter dibagi dengan taksiran sesatan standar, yang
dituliskan dengan
, dan ,
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
14
2.2 KERANGKA PEMIKIRAN
Kerangka pemikiran dalam pemikiran ini adalah berawal dari konsep dasar
model regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson merupakan salah satu
alternatif untuk mengatasi hubungan antara variabel independen dengan variabel
dependen yang bersifat overdispersi maupun underdispersi. Model regresi
COM-Poisson didasarkan pada distribusi COM-COM-Poisson. Distribusi COM-COM-Poisson
memiliki parameter dispersi yang tidak dimiliki oleh distribusi Poisson. Variabel
dependen berupa data cacah sering tidak menggunakan pembatasan. Tetapi pada
kenyataanya, variabel dependen dapat mengalami pembatasan nilai atau sering
disebut sebagai variabel dependen tersensor.
Jurnal dari Sellers & Shmueli (2010a), Sellers & Shmueli (2010b) dan
Shmueli et al. (2005) yang membahas tentang distribusi COM-Poisson dan model
regresi COM-Poisson menjadi ketertarikan penulis untuk melakukan kajian dalam
penulisan skripsi ini. Distribusi COM-Poisson dapat digunakan dalam mengatasi
masalah overdispersi, underdispersi maupun equidispersi pada data cacah.
Variabel dependen berupa data cacah sering tidak menggunakan pembatasan atau
tersensor. Tetapi banyak kasus nyata yang menunjukkan variabel dependen
tersensor. Estimasi parameter model regresi COM-Poisson dilakukan dengan
menggunakan metode makimum likelihood (MLE) untuk data tersensor kanan.
Selanjutnya model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan diterapkan
pada faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya komplikasi penderita diabetes
commit to user
15 BAB III
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur dengan
mempelajari buku–buku referensi dan karya ilmiah yang meliputi hasil-hasil
penelitian dan jurnal yang berkaitan dengan model regresi COM-Poisson dan
metode maksimum likelihood.
Adapun langkah-langkah dalam penulisan skripsi ini sebagai berikut.
1. Menurunkan ulang model regresi berdasarkan distribusi COM-Poisson,
dengan langkah-langkah sebagai berikut
(a) menunjukkan bahwa distribusi COM-Poisson termasuk dalam keluarga
distribusi eksponensial,
(b) menentukan nilai mean dan variansi dari distribusi COM-Poisson,
(c) membentuk model regresi COM-Poisson berdasarkan mean distribusi
COM-Poisson.
2. Mengestimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk data tersensor
kanan dengan menggunakan metode maksimum likelihood, dengan
langkah-langkah sebagai berikut,
(a) menentukan probabilitas fungsi distribusi COM-Poisson untuk data
tersensor kanan,
(b) menentukan fungsi likelihood dari model regresi COM-Poisson untuk
data tersensor kanan,
(c) menentukan fungsi log-likelihood dari model regresi COM-Poisson
untuk data tersensor kanan,
(d) mencari turunan pertama dari fungsi log-likelihoodnya, yaitu diturunkan
terhadap dan kemudian disamadengankan dengan nol,
(e) mengestimasi parameter dan dengan menggunakan metode Newton
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
16
3. Menerapkan model regresi COM-Poisson pada faktor-faktor yang
mempengaruhi banyaknya komplikasi penyakit pada penderita diabetes
commit to user
17 BAB IV PEMBAHASAN
Pada bab ini dibahas tentang model regresi COM-Poisson yang meliputi
distribusi Poisson, model regresi COM-Poisson, estimasi parameter model regresi
COM-Poisson untuk data tersensor serta contoh kasus untuk data penyakit
Diabetes Mellitus di Surakarta.
4.1 Model Regresi COM-Poisson 4.1.1 Distribusi COM-Poisson
Distribusi COM-Poisson (Conway Maxwell Poisson) merupakan perluasan
dari distribusi Poisson. Variabel random berdistribusi COM-Poisson memiliki
fungsi densitas probabilitas
dengan . Parameter merupakan nilai mean dari distribusi
COM-Poisson, sedangkan merupakan parameter dispersi. Oleh Shmueli et al.
(2005) fungsi didekati dengan
Distribusi COM-Poisson termasuk dalam distribusi keluarga Eksponensial
sehingga untuk memperoleh nilai mean dan variansi ditunjukkan dengan
menggunakan sifat distribusi keluarga Eksponensial (Shmueli et al., 2005). Untuk
menunjukkan dalam keluarga distribusi eksponensial yaitu menyatakan bentuk
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
18
sehingga dapat disimpulkan
.
Dengan demikian terbukti bahwa distribusi COM-Poisson termasuk dalam
keluarga eksponensial sehingga dapat ditentukan mean distribusi COM-Poisson
commit to user ,
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
20
Jadi, mean dan variansi distribusi COM-Poisson ialah
.
4.1.2 Model Regresi COM-Poisson
Sellers & Shmueli (2010) memperkenalkan model regresi COM-Poisson
sebagai analisis hubungan antara variabel random dependen yang berupa data
cacah dengan satu atau lebih variabel independen .
Pada distribusi COM-Poisson telah dijelaskan bahwa parameter
merupakan harga harapan dalam distribusi Poisson yang bernilai positif.
Sedangkan bernilai real, artinya dapat bernilai positif atau negatif, sehingga
diperlukan fungsi link untuk menghubungkan nilai dengan . Hubungan
harga harapan dapat dituliskan sebagai berikut,
sehingga diperoleh
Sellers dan Shmueli (2010a) memaparkan bahwa hubungan antara variabel
dependen dan variabel independen dalam regresi COM-Poisson dapat
dinyatakan melalui harga harapan dari variabel dependennya. Model regresi
COM-Poisson dapat dituliskan
dimana parameter merupakan parameter yang mengkondisikan keadaan disperse
data, menurut Jowaheer dan Khan (2009),
1. jika nilai , model regresi COM-Poisson mempresentasikan sifat
equidispersi sehingga model regresi COM-Poisson sama dengan model
commit to user
2. jika nilai , model regresi COM-Poisson mempresentasikan sifat
overdispersi
3. jika nilai , model regresi COM-Poisson mempresentasikan sifat
underdispersi.
Pada model regresi COM-Poisson diasumsikan bahwa variabel dependen
menyatakan jumlah (cacah) kejadian berdistribusi COM-Poisson. Diberikan
sejumlah variabel independen . Fungsi densitas distribusi
COM-Poisson adalah
dengan
dan
Dengan mensubtitusikan persamaan dan ke dalam persamaan
diperoleh
dengan dan merupakan parameter yang tidak diketahui dalam model sehingga
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
22
4.2Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan
4.2.1 Distribusi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan
Sensor kanan terjadi apabila individu diketahui masih hidup sampai hilang
dari pengamatan atau sampai penelitian berakhir. Jadi hanya diketahui batas atas
(waktu awal) dari suatu kejadian.
Fungsi densitas probabilitas untuk data tersensor kanan seperti pada
persamaan ), dengan
persamaan ke dalam persamaan diperoleh
Persamaan telah diketahui bahwa , sehingga diperoleh
Persamaan dan persamaan disubtitusikan ke dalam persamaan
, maka diperoleh fungsi densitas probabilitas untuk data tersensor kanan
commit to user
4.2.2 Estimasi Parameter Model Regresi COM-Pisson untuk Data Tersensor Kanan
Parameter dan yang tidak diketahui dapat diestimasi menggunakan
metode maksimum likelihood. Metode maksimum likelihood merupakan suatu
metode estimasi parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood, . Fungsi
likelihood dari model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan adalah
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
24
dengan , maka diperoleh
commit to user
Persamaan (4.7) diturunkan terhadap dan , sehingga diperoleh
(4.8)
(4.9)
Kemudian persamaan (4.8) dan (4.9) disamadengankan nol, sehingga
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
26
Persamaan dan merupakan persamaan non-linear. Pada
persamaan merupakan hasil dari turunan fungsi log-likelihood terhadap
dimana turunannya masih menggandung parameter lain yang belum diketahui
yaitu dan perlu diestimasi, begitu juga dengan persaman yang masih
menggandung parameter . Oleh karena itu, sulit untuk dicari penyelesaian
estimasi kedua persamaan tersebut. Untuk mengestimasi kedua parameter ini
dilakukan secara bersamaan dengan menggunakan suatu metode iterasi yang
disebut metode Newton.
Metode Newton membutuhkan turunan pertama dan kedua dari fungsi
log-likelihoodnya. Misalkan didefinisikan
(4.12)
dimana fungsi dan dinyatakan sebagai matriks . Matriks adalah matriks
gradien, sehingga
Turunan pertama dari fungsi log-likelihood yang dinyatakan dalam matriks
commit to user
Turunan kedua dari fungsi log-likelihood diperoleh sebagai berikut,
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
28
iterasi Newton pada persamaan ( ) terdapat matriks Jacobian. Oleh karena itu
dibentuk matriks Jacobian sebagai berikut
Karena fungsi dan dinyatakan pada persamaan (4.12) serta dan
, sehingga diperoleh
Matriks merupakan matriks Hessian. Estimasi parameter dan
menggunakan metode iterasi Newton sesuai persamaan (2.10) ialah,
Proses persamaan berulang hingga diperoleh nilai parameter dan
yang konvergen, yaitu jika nilai mendekati nilai , begitu juga dengan
nilai mendekati . Apabila tidak dipenuhi konvergen, sehingga nilai
parameter dapat diperoleh jika nilai dan
bernilai sangat kecil.
4.3 Contoh Kasus
Pada contoh kasus ini akan dimodelkan pola hubungan antara banyaknya
komplikasi penyakit yang diderita oleh seorang pasien diabetes mellitus terhadap
faktor-faktor yang diduga berpengaruh terhadap timbulnya komplikasi penyakit
tersebut. Data yang digunakan adalah data sekunder dari pasien diabetes mellitus
di RS Dr Moewardi dan RS Panti Waluyo Surakarta dari tahun 2006-2011 yang
commit to user
sensor kanan, dengan variabel dependennya adalah banyaknya komplikasi
penyakit (BK). Sedangkan faktor-faktor yang berpengaruh terhadap timbulnya
komplikasi penyakit adalah variabel independen, variabel independen yang diduga
berpengaruh adalah
1. Usia pasien (USIA)
2. Jenis kelamin pasien (JK)
3. Obesitas (OBES)
4. Riwayat penyakit diabetes mellitus dari pasien (RDM)
5. Tipe diabetes mellitus yang diderita pasien (TPDM)
6. Gula darah (GD)
Variabel independen dibagi menjadi beberapa kategori karena variabel ini
berupa data kualitatif. Pada penyakit diabetes mellitus, pasien sering disertai
obesitas. Oleh karena itu variabel obesitas (OBES) dibagi menjadi 2 kategori yaitu
pasien yang mengalami obesitas (ya) dan pasien yang tidak mengalami obesitas
(tidak). Variabel riwayat diabetes mellitus (RDM) juga dibagi 2 kategori yaitu
pasien yang sebelumnya pernah dinyatakan positif terkena diabetes mellitus (ya)
dan pasien yang belum pernah positif terkena diabetes mellitus. Sedangkan
variabel tipe penyakit diabetes mellitus (TPDM) dibagi menjadi 2 kategori yaitu
tipe 1 dan tipe 2.
Menurut Watts (1984), penyakit diabetes mellitus dibedakan menjadi 2
golongan yaitu tipe 1 yang tergantung pada insulin dan tipe 2 yang tidak
tergantung pada insulin. Pembagian kategori pada variabel bebas disajikan pada
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
30
Tabel 4.1. Pengkodean Kategori Variabel Dummy
Variabel Keterangan Variabel dummy
Jenis kelamin
Jenis penyensoran yang digunakan ialah sensor kanan pada variabel
dependennya dengan pembatasan variabel dependen . Variabel dependen
tersensor berarti banyaknya komplikasi (BK) dalam variabel dependen
menggunakan nilai pembatasan dengan asumsi banyaknya komplikasi
penyakit yang diderita oleh seorang pasien sebanyak 1 dapat memperburuk
kondisi pasien tersebut. Analisis dalam penerapan kasus ini menggunakan
Software R 2.15.0 .
4.3.1 Model Regresi Poisson untuk Tersensor Kanan pada Data Pasien Diabetes Mellitus
Sebelum dilakukan estimasi parameter model regresi COM-Poisson,
terlebih dahulu dicari estimasi parameter model regresi Poisson yang akan
digunakan sebagai nilai awal untuk estimasi parameter model regresi
commit to user
Pada contoh kasus ini variabel independennya adalah USIA, JK, OBES, RDM,
TPDM, dan GD. Sehingga model regresi Poissonnya adalah
(4.21)
Tabel 4.2. Nilai Estimasi Parameter Regresi Poisson
Variabel Estimasi
Intercept 0.67663
USIA
D.JK
D.OBES
D.RDM
D.TPDM
GD
Estimasi parameter model regresi Poisson untuk data tersensor kanan
dengan metode maksimum likelihood tersajikan pada Tabel 4.2. Hasil estimasi
pada Tabel 4.2 dimasukkan ke persamaan (4.21), diperoleh model regresi Poisson
untuk data tersensor kanan adalah
Setelah diperoleh estimasi model regresi Poisson dengan seluruh variabel
independen, selanjutnya dilakukan uji signifikansi setiap parameter untuk
mengetahui variabel-variabel independen yang berpengaruh signifikan terhadap
model digunakan uji Wald. Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 5%,
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
32
Estimasi variabel yang berpengaruh pada data komplikasi banyaknya
penyakit dari seorang pasien diabetes mellitus dengan variabel dependen tersensor
kanan disajikan dalam Tabel 4.3.
Tabel 4.3. Nilai Estimasi Parameter Model Regresi Poisson dengan Uji Wald
Variabel Estimasi Std. Error uji Wald chi-kuadrat keputusan
Intercept
USIA tidak ditolak
D.JK tidak ditolak
D.OBES tidak ditolak
D.RDM ditolak
D.TPDM ditolak
GD tidak ditolak
Dari Tabel 4.3 terlihat jelas bahwa hanya variabel dan
yang memiliki pengaruh signifikan terhadap model. Sehingga, variabel yang
masuk ke dalam model regresi Poisson untuk data tersensor kanan hanya
dan . Selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter model regresi
Poisson untuk variabel independen yang berpengaruh saja. Hasil estimasi
parameter model regresi Poisson untuk data tersensor kanan dengan variabel
commit to user
Tabel 4.4. Estimasi Parameter Model Regresi Poisson dengan Variabel
Independen yang Berpengaruh.
Variabel Estimasi Parameter
Intercept
D.RDM
D.TPDM
Nilai estimasi yang ditunjukkan pada Tabel 4.4 dapat dibentuk model
regresi Poissonnya sebagai berikut,
4.3.2 Pendekteksian Overdispersi atau Underdispersi
Tahap awal dalam menentukan model regresi COM-Poisson adalah
dengan mendeteksi adanya overdispersi atau underdispersi. Nilai mean dan
variansi dari data diabetes mellitus di Surakarta yang disajikan pada Tabel 4.5.
Tabel 4.5. Nilai Mean dan Variansi Data Diabetes Mellitus di Surakarta
Mean
Variansi
Berdasarkan Tabel 4.5 diperoleh bahwa nilai variansi lebih besar dari
mean sampel. Oleh karena itu data banyaknya komplikasi penyakit diabetes
mellitus untuk data tersensor kanan bersifat overdispersi. Untuk memperkuat
dugaan ini, dilakukan uji dispersi dengan melihat nilai deviansi pada regresi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
34
Tabel 4.6. Nilai Statistik Deviansi.
Value DF Value / DF
Deviance
Dari Tabel 4.6 terlihat bahwa perhitungan nilai deviansi dibagi dengan
derajat bebasnya diperoleh yang menunjukkan lebih dari 1. Hal ini
berarti bahwa data banyaknya komplikasi dari pasien diabetes mellitus untuk data
tersensor kanan bersifat overdispersi.
4.3.3 Model Regresi COM-Poisson untuk Variabel Dependen Tersensor Kanan dengan Seluruh Variabel Independen
Nilai estimasi parameter yang diperoleh dari perhitungan regresi Poisson
digunakan sebagai estimasi awal untuk menentukan koefisien parameter dalam
regresi COM-Poisson. Hasil estimasi awal parameter pada regresi
COM-Poisson digunakan untuk mencari nilai estimasi parameter . Nilai estimasi awal
parameter merupakan perhitungan nilai deviance dibagi dengan derajat bebas
pada regresi Poisson yaitu .
Nilai estimasi awal parameter dan parameter pada regresi Poisson yang telah
diperoleh pada Tabel 4.2 dan Tabel 4.6 digunakan untuk menentukan estimasi
parameter model regresi COM-Poisson. Model regresi COM-Poisson adalah
Estimasi parameter model regresi COM-Poisson menyajikan nilai yang
commit to user
Tabel 4.7. Nilai Estimasi Parameter Regresi COM-Poisson
Variabel Estimasi
Intercept
USIA
D.JK
D.OBES
D.RDM
D.TPDM
GD
Berdasarkan nilai estimasi parameter pada Tabel 4.7, maka model regresi
COM-Poisson adalah
4.3.4 Uji Signifikansi Parameter
Uji signifikansi parameter dilakukan untuk mengetahui variabel-variabel
independen yang memiliki pengaruh signifikan terhadap model. Pada model
regresi COM-Poisson untuk menguji signifikansi parameter digunakan uji statistik
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 5%, sehingga akan ditolak
jika nilai statistik Estimasi parameter untuk variabel
yang berpengaruh pada data komplikasi banyaknya penyakit dari seorang pasien
diabetes mellitus untuk tersensor kanan disajikan dalam Tabel 4.8.
Tabel 4.8. Estimasi Parameter Model Regresi COM-Poisson dengan Uji Wald
Variabel Estimate Std. Error uji Wald chi-kuadrat keputusan
(Intercept) - -
darah (GD) tidak signifikan terhadap rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul
dari penyakit diabetes mellitus. Hal ini disebabkan pada uji signifikansi parameter
dengan statistik uji Wald terlihat nilainya kurang dari nilai statistik chi-kuadrat
yang berarti bahwa tidak ditolak (variabel bebas USIA dan GD tidak
berpengaruh secara statistika). Akan tetapi nilai dari koefisien parameternya
commit to user
terhadap rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul. Semakin banyak usia
seseorang maka semakin besar rata-rata banyaknya komplikasi penyakit,
sebaliknya semakin rendah usia seseorang maka rata-rata banyaknya komplikasi
yang muncul semakin kecil. Dan semakin tinggi tingkat gula darah (GD) yang
dimiliki maka semakin tinggi rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul,
sebaliknya semakin rendah tingkat gula darah (GD) maka rata-rata banyaknya
komplikasi yang muncul semakin kecil.
Variabel bebas jenis kelamin (JK) dan obesitas (OBES) yang berupa
variabel dummy juga tidak signifikan. Ini berarti bahwa tidak ada perbedaan
antara jenis kelamin (JK) dan obesitas (OBES) terhadap rata-rata banyaknya
komplikasi yang muncul dari penyakit diabetes mellitus. Hal ini karena setelah di
uji signifikansi parameter dengan statistik uji Wald terlihat nilainya kurang dari
nilai statistik chi-kuadrat yang berarti bahwa tidak ditolak (variabel bebas
jenis kelamin (JK) dan obesitas (OBES) tidak berpengaruh).
Variabel bebas riwayat diabetes mellitus (RDM) dan tipe penyakit
diabetes mellitus (TPDM) yang berupa variabel dummy signifikan terhadap
rata-rata banyaknya komplikasi penyakit diabetes mellitus. Ini berarti bahwa ada
perbedaan antara riwayat diabetes mellitus (RDM) dan tipe penyakit diabetes
mellitus (TPDM) terhadap rata-rata banyaknya komplikasi yang muncul dari
penyakit diabetes mellitus. Hal ini disebabkan karena nilai statistik uji Wald kedua
variabel tersebut lebih besar dari statistik chi-kuadrat yang berarti bahwa
ditolak (variabel bebas riwayat diabetes mellitus (RDM) dan tipe penyakit
diabetes mellitus (TPDM) berpengaruh terhadap banyaknya komplikasi pada
penyakit diabetes mellitus). Sehingga, variabel yang masuk ke dalam model
regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan hanya dan .
Selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk
variabel independen yang berpengaruh saja. Hasil estimasi parameter model
regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan dengan variabel independen
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
38
4.3.5 Model Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor Kanan dengan Variabel Independen Berpengaruh
Berdasarkan Tabel 4.8 telah diketahui bahwa variabel independen yang
berpengaruh dalam model hanya dan . Kemudian, dilakukan
estimasi parameter model yang mengandung variabel yang berpengaruh saja.
Estimasi parameter model untuk variabel independen yang berpengaruh disajikan
dalam Tabel 4.9.
Tabel 4.9. Nilai Estimasi Parameter Regresi COM-Poisson untuk Data Tersensor
Kanan dengan Variabel Independen yang Berpengaruh.
Variabel Estimasi Parameter
Intercept
Berdasarkan estimasi parameter pada Tabel 4.9, maka model regresi
COM-Poisson untuk data tersensor kanan adalah
(4.23)
Berdasarkan persamaan dapat dilihat bahwa besarnya pengaruh
riwayat diabetes mellitus (RDM) sebesar dan tipe diabetes
mellitus (TPDM) sebesar . Hal ini berarti bahwa rata-rata
banyaknya komplikasi yang diderita oleh pasien yang mempunyai riwayat
commit to user
sebesar pe-
nyakit. Sedangkan rata-rata banyaknya komplikasi yang diderita oleh pasien yang
tergantung pada insulin sebesar
penyakit. Jika pasien belum pernah dinyatakan positif terkena
diabetes mellitus dan mempunyai tipe diabetes mellitus yang tidak tergantung
pada insulin maka rata-rata banyaknya komplikasi penyakit yang muncul sebesar
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dilakukan, diperoleh
kesimpulan.
1. Estimasi parameter model regresi COM-Poisson untuk data tersensor kanan
menggunakan metode maksimum likelihood menghasilkan persamaan non
linear, sehingga untuk menyelesaikan estimasi parameter digunakan metode
iterasi Newton.
2. Berdasarkan contoh kasus yang digunakan, banyaknya komplikasi penyakit
diabetes mellitus di Surakarta dipengaruhi oleh faktor riwayat diabetes
mellitus (RDM) serta tipe diabetes mellitus (TPDM) dengan model regresinya
5.2.SARAN
Pada kajian ini hanya dibahas tentang estimasi parameter model regresi
COM-Poisson sebagai alternatif untuk mengatasi masalah data cacah yang
bersifat overdispersi maupun underdispersi dengan menggunakan metode
maksimum likelihood khususnya untuk data dependen tersensor kanan. Bagi
pembaca yang tertarik untuk mengembangkan skripsi ini, disarankan untuk
meneliti estimasi parameter model regresi COM-Poisson menggunakan metode
lain seperti metode Bayesian atau Autoregressive serta dengan mengambil jenis
