commit to user
i
MODEL REGRESI ZERO INFLATED GENERALIZED POISSON
Oleh
WICAKSONO CAHYO NUGROHO NIM. M0106067
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET
commit to user
ii SKRIPSI
ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI COM-POISSON MENGGUNAKAN METODE QUASI LIKELIHOOD
yang disiapkan dan disusun oleh WICAKSONO CAHYO NUGROHO
NIM. M0106067 dibimbing oleh
Pembimbing I Pembimbing II
Drs. Sugiyanto, M.Si Drs. Tri Atmojo K, M.Sc., Ph.D NIP. 19611224 199203 1 003 NIP. 19630826 198803 1 002
telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Selasa, 15 Mei 2012
dan dinyatakan telah memenuhi syarat.
Anggota Tim Penguji Tanda Tangan
1. Dra. Respatiwulan, M.Si 1. ... NIP. 19680611 199302 2 001
2. Drs. Siswanto, M.Si 2. ... NIP. 19670813 199203 1 002
Disahkan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan Ketua Jurusan Matematika
commit to user
iii
ABSTRAK
Wicaksono Cahyo Nugroho, 2012. MODEL REGRESI ZERO INFLATED GENERALIZED POISSON. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Model regresi Poisson secara umum telah banyak digunakan untuk menganalisis data cacah dengan mean sampel dan variansi sampel sama yang biasa disebut equidispersi. Sering kali data cacah memperlihatkan nilai variansi lebih besar dari mean yang biasa disebut overdispersion atau variansi lebih kecil dari mean yang disebut
underdispersion. Masalah lain yang muncul dalam data cacah adalah frekuensi nol yang lebih banyak, kedua masalah ini menyebabkan estimasi parameter yang dihasilkan kurang tepat. Pada kondisi tersebut salah satu model yang tepat digunakan adalah model regresi
zero inflatedgeneralized Poisson (ZIGP).
Tujuan dari penelitian ini adalah mengkonstruksi bentuk model regresi ZIGP, dan menentukan estimasi parameter dari model regresi ZIGP menggunakan maximum likelihood estimator (MLE).
Kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah (1) model regresi zero
inflated generalized Poisson (ZIGP) adalah ( | ) ( ) ( ) dengan
( )
( ), dan ( ) ( ), dan (2) estimasi parameter model regresi zero inflated generalized Poisson (ZIGP) menggunakan MLE menghasilkan persamaan non linier.
commit to user
iv
ABSTRACT
Wicaksono Cahyo Nugroho, 2012. ZERO INFLATED GENERALIZED POISSON REGRESSION MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Commonly Poisson regression model is widely used to analyze count data with same mean and variance samples, that usually called equidispersion. The count data is often shows the variance larger or smaller than mean, they are called overdispersion and underdispersion respectively. Another problems that emerged in the count data with excess zeros, both of these problems led toso parameter that estimated is not appropriate. In that condition, one of the appropriate model is zero inflated generalized Poisson regression model.
The purposes of this research is to reconstruct ZIGP regression model and to determine the parameter estimaton of ZIGP regression model using menggunakan
maximumlikelihood estimator (MLE).
The conclusions of this research are (1) zero inflatedgeneralized Poisson (ZIGP) is ( | ) ( ) ( ) with ( )
( ) and ( ) ( ), and (2) the
parameter estimation of zero inflatedgeneralized Poisson regression model (ZIGP) using MLE has non linear equation as the result.
commit to user
v
MOTO
“Tanah yang digadaikan bisa kembali dalam keadaan lebih berharga, tetapi kejujuran yang pernah digadaikan tidak pernah bisa ditebus kembali”
“Kebaikan tidak bernilai selama diucapkan akan tetapi bernilai sesudah dikerjakan”
commit to user
vi
PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk
Bapak, Ibu dan Adikku tercinta atas doa, kasih sayang dan do’a yang diberikan. Yuniar Dwi Nur Rahmasari atas dukungan, semangat dan keceriannya saat
commit to user
vii
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya dan memberikan kekuatan dan kemudahan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Terselesaikannya skripsi ini tidak lepas dari bimbingan dan motivasi dari berbagai pihak. Untuk itu penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada
1. Bapak Drs. Sugiyanto, M.Si sebagai Dosen Pembimbing I atas kesediaan dan kesabaran dalam memberikan bimbingan, nasehat serta pengarahan dalam penyusunan skripsi ini,
2. Bapak Drs. Tri Atmojo K, M.Sc., Ph.D sebagai Dosen Pembimbing II atas kesediaan dan kesabaran memberikan bantuan serta bimbingan dalam penulisan skripsi ini,
3. Ardy Yudha dan Mas Rizky Magta yang telah membantu dan memberi semangat penulis menyeleseikan skripsi ini,
4. Seluruh teman-teman matematika angkatan 2006 yang telah menemani berjuang menyeleseikan skripsi ini,
5. Semua pihak yang turut membantu kelancaran penulisan skripsi ini. Semoga penulisan skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
commit to user
viii
DAFTAR ISI
JUDUL ... i
PENGESAHAN ... ii
ABSTRAK ... iii
ABSTRACT ... iv
MOTTO ... v
PERSEMBAHAN ... vi
KATA PENGANTAR ... vii
DAFTAR ISI ...viii
DAFTAR TABEL ... x
I. PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah ... 1
1.2 Perumusan Masalah ... 3
1.3 Tujuan Penelitian ... 4
1.4 Manfaat Penelitian ... 4
II. LANDASAN TEORI 5 2.1 Tinjauan Pustaka ... 5
2.2 Teori-Teori Penunjang ... 7
2.2.1 Konsep Dasar Statistik ... 7
2.2.2 Teori Dasar Matriks ... 8
2.2.3 Keluarga Distribusi Eksponensial ... 9
2.2.4 Fungsi Link ... 9
2.2.5 Distribusi Poisson ... 9
2.2.6 Model Regresi Poisson ... 11
2.2.7 Model Regresi Generalized Poisson ... 12
2.2.8 Model Regresi Zero Infalted Poisson ... 14
2.2.9 Pendeteksian Overdispersi dan Underdispersi ... 15
2.2.10 Metode Maksimum Likelihood ... 15
commit to user
ix
III. METODE PENELITIAN 19
IV. PEMBAHASAN 20
4.1 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson ... 20
4.2 Estimasi Parameter Model Regresi Zero Infalted Generalized Poisson Menggunakan Maximum Likelihood Estimator (MLE) ... 22
4.3 Uji Ketepatan Model Regresi ZIGP ... 27
4.4 Contoh Kasus ... 28
4.4.1 Pendeteksian Overdispersi atau Underdispersi ... 29
4.4.2 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Pada Klaim Asuransi Untuk Kecelakaan Bermotor di Perusahaan Asuransi di Kota Kendari Dengan Seluruh Variabel Independen ... 30
4.4.3 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Pada Klaim Asuransi untuk Kecelakaan Bermotor di Perusahaan Asuransi di Kota Kendari dengan Seluruh Variabel Independen Berpengaruh ... 30
4.4.4 Uji Kecocokan Model ... 32
V. PENUTUP 33 5.1 Kesimpulan ... 33
5.2 Saran ... 33
DAFTAR PUSTAKA 34
commit to user
x
DAFTAR TABEL
2.1 Daftar fungsi link untuk beberapa distribusi ... .9 4.1 Data lama perawatan sesuai jumlah klaim yang diajukan, usia dan jenis
kelamin korban kecelakaan... 29 4.2 Nilai statistik deviance (D ) ... 30 4.3 Nilai estimasi parameter model regresi zero inflated generalized Poisson
dengan seluruh variabel independen ... 30 4.4 Nilai estimasi parameter model regresi ZIGP dengan variabel independen
commit to user
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang Masalah
Metode statistika merupakan pendekatan yang dapat digunakan untuk memperoleh hasil penelitian, metode ini meliputi masalah mengumpulkan, mengolah, menyajikan, menganalisa dan menginterpretasikan data. Salah satu metode yang digunakan adalah analisis regresi. Analisis regresi adalah suatu metode statistika yang menyatakan pola hubungan antar dua variabel yaitu variabel independen dan variabel dependen. Variabel independen merupakan variabel yang tidak dipengaruhi oleh variabel lain, sedangkan variabel dependen merupakan variabel yang masih dipengaruhi oleh nilai variabel independen. Analisis regresi bertujuan mencari pola hubungan antara variabel independen dan variabel dependen yang kemudian pola hubungan tersebut dirumuskan dalam suatu model tertentu, sehingga dapat dilakukan suatu prediksi nilai variabel dependen dengan diketahui suatu nilai variabel independennya, Sembiring (1995).
Dalam aplikasinya banyak penelitian menggunakan variabel tak bebas yang berupa data cacah, termasuk pada pembahasan skripsi ini penulis juga menggunakan data cacah. Menurut Fahrmeir dan Tuts (1994), data cacah adalah data yang dihitung sebagai jumlah kejadian dalam interval waktu tertentu. Misalnya data banyaknya kecelakaan, banyaknya kelahiran, banyaknya kematian dalam waktu satu tahun. Salah satu model regresi yang digunakan untuk menyatakan pola hubungan antara variabel tak bebas dengan variabel bebas yang berupa data cacah adalah model regresi Poisson. Menurut Simon dalam Putri (2007), data berdistribusi Poisson mempunyai tiga masalah yang menyebabkan model regresi linier tidak dapat digunakan, yaitu
1. distribusi Poisson adalah menceng (skew), sedangkan model regresi linier mengasumsikan distribusi dari sesatan adalah simetrik,
commit to user
2
2
3. distribusi Poisson mempunyai variabel yang akan naik seiring dengan naiknya mean, sedangkan model regresi linier mengasumsikan mean dan variansi konstan.
Penggunaan analisis data yang tidak sesuai dengan kondisi data tidak saja akan menghasilkan suatu kesimpulan atau inferensi yang tidak bermanfaat (meaningless) tetapi dalam kondisi tertentu bahkan banyak yang menyesatkan (misleading). Untuk itu diperlukan suatu analisis yang sesuai dengan data.
Salah satu model regresi yang sesuai untuk menyajikan permasalahan di atas adalah model regresi Poisson. Model regresi Poisson merupakan model regresi dengan variabel dependennya dalam bentuk cacah dan tidak bernilai negatif. Model regresi ini digunakan untuk memodelkan banyaknya kemunculan dari suatu kejadian sebagai fungsi dari sejumlah variabel independen, misalnya banyaknya kunjungan dokter, munculnya suatu penyakit, jumlah koloni dari bakteri dapat dimodelkan dengan menggunakan model regresi Poisson. Model regresi Poisson banyak digunakan untuk menganalisis data cacah dengan mean dan variansi dari sampel sama. Pada kenyataannya seringkali data cacah itu memperlihatkan perbedaan variansi dan mean sampel yaitu variansi sampel lebih besar dari mean sampel yang sering disebut overdispersi atau variansi sampel lebih kecil dari mean sampel yang sering disebut underdispersi, Ismail & Jemain (2005).
Banyak model atau metode statistika yang telah diperkenalkan oleh para ahli untuk mengatasi masalah overdispersi dan underdispersi. Salah satu model yang dapat mengatasi masalah tersebut adalah model regresi generalized Poisson (GP), model GP merupakan model perluasan dari model regresi Poisson, Famoye et al. (2004). Model GP yang digunakan Famoye et al. (2004), dalam pemodelan
commit to user
3
Model regresi GP dapat mengatasi masalah overdispersi tetapi tidak dapat mengatasi masalah zero inflated atau kasus dengan data yang ada terlalu banyak mengandung nilai nol. Oleh karena itu diperlukan suatu model yang dapat menangani masalah tersebut. Salah satu model regresi yang dapat menangani masalah zero inflated adalah model regresi zero inflated Poisson (ZIP), Lambert (1992). Pada tahun 2007 penelitian tentang model ini telah dilakukan oleh Putri. Model regresi ZIP merupakan model yang dapat digunakan pada data cacah dengan frekuensi nol lebih banyak. Akan tetapi, model ZIP ini kurang tepat untuk mengatasi masalah overdispersi atau underdispersi. Sehingga diperlukan suatu model alternatif lain yang tepat untuk mengatasi permasalahan tersebut. Salah satunya adalah memodelkan data cacah tersebut ke dalam model regresi zero inflated generalized Poisson (ZIGP). Menurut Famoye dan Singh (2006) model regresi ZIGP merupakan perluasan dari model regresi Poisson dan merupakan model gabungan dari model regresi ZIP dan model regresi GP. Konsep pembentukan model regresi ZIGP berdasarkan dari distribusi zero inflated generalized Poisson. Sehingga model regresi ZIGP ini dapat diterapkan pada data
cacah yang menunjukkan sifat overdispersi atau underdispersi serta mempunyai frekuensi nol yang lebih banyak.
Dalam skripsi ini dibahas mengenai konsep pembentukan model regresi zero inflated generalized Poisson yang didasarkan pada distribusi zero inflated generalized Poisson serta mengestimasi parameter-parameter dari model regresi zero inflated generalized Poisson menggunakan metode maksimum likelihood.
1.2Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut
1. Bagaimana bentuk model regresi zero inflated generalized Poisson.
commit to user
4
4
1.3Tujuan Penelitian
Berdasarkan perumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1. Menentukan bentuk model regresi zero inflated generalized Poisson.
2. Mengestimasi parameter dari model regresi zero inflated generalized Poisson menggunakan MLE.
1.4Manfaat Penelitian
commit to user
5
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bagian pertama dari bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi penelitian-penelitian sebelumnya yang mendasari penelitian ini. Untuk mendukung penulisan skripsi ini, penulis menyajikan teori-teori penunjang pada bagian kedua yang berisi definisi-definisi sebagai dasar pengertian untuk mempermudah pembahasan selanjutnya. Kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini diberikan pada bagian ketiga.
2.1 Tinjauan Pustaka
Distribusi Poisson memberikan suatu model yang realistis untuk berbagai macam fenomena random selama nilai dari variabel random Poisson adalah bilangan cacah, banyak fenomena random untuk suatu data cacah dari beberapa respon (variabel yang diteliti) merupakan suatu calon untuk pemodelan yang mengasumsikan distribusi Poisson. Misalkan suatu data cacah mungkin berupa jumlah kecelakaan lalu lintas tiap minggu, jumlah panggilan telepon per jam dalam suatu perusahaan yang masuk lewat operator, banyaknya kerusakan per unit dari beberapa material, jumlah aliran listrik tiap satuan panjang kabel, dan lain-lain.
Suatu ciri dari distribusi Poisson adalah mean sama dengan variansi. Pada prakteknya, kadang-kadang ditemukan suatu kondisi dengan variansi data lebih besar dibanding mean. Kondisi seperti ini disebut overdispersi, dan model regresi Poisson yang dihasilkan akan menjadi tidak sesuai. Selain itu akan menghasilkan estimasi parameter yang bias (Ridout, dkk, 2001).
commit to user
6
(2005) dengan variabel penelitiannya adalah banyaknya klaim bermotor di Malaysia.
commit to user
2.2 Teori - Teori Penunjang
Pada bagian ini diberikan definisi dan teori yang mendukung dalam mencapai tujuan penulisan. Berikut ini diberikan gambaran singkat mengenai konsep dasar statistik, teori dasar matriks, keluarga distribusi eksponensial, distribusi Poisson, fungsi link, distribusi Poisson, model regresi Poisson, model ZIP dan model GP sebagai dasar pembentukan model ZIGP, pendeteksian overdispersi dan underdispersi, metode maximum likelihood estimator (MLE), dan metode Newton-Raphson.
2.2.1 Konsep Dasar Statistik
Konsep dasar statistik yang digunakan sebagai pendukung dalam penulisaan skripsi ini adalah ruang sampel, fungsi densitas probabilitas, variabel random, fungsi distribusi kumulatif, harga harapan dan variansi yang di didefinsikan oleh Bain dan Engelhardt, (1992).
Definisi 2.2.1. Ruang sampel merupakan himpunan semua kejadian yang
mungkin dari suatu eksperimen yang dinotasikan dengan S.
Definisi 2.2.2. Suatu variabel random Y adalah suatu fungsi yang memetakan
setiap hasil yang mungkin pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x sehingga .
Definisi 2.2.3. Jika himpunan suatu nilai yang mungkin dari variabel random Y adalah himpunan terhitung atau himpunan terhingga tak terhitung
maka Y disebut variabel random diskrit. Fungsi
[
]
, merupakan probabilitas untuk masing-masing nilai y disebut fungsi
densitas probabilitas diskrit.
Definisi 2.2.4. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random Y terdefinisi
untuk setiap bilangan real y oleh
[ ]
Variabel random Y disebut variabel random diskrit jika terdapat f(y) sehingga
commit to user
8
∑
Definisi 2.2.5. Jika X adalah suatu variabel random diskrit dengan fungsi densitas probabilitas f(x), maka harga harapan dari X dinyatakan sebagai
∑
Definisi 2.2.6.Jika X adalah suatu variabel random berukuran n, maka variansi
X dinyatakan sebagai
[ ]
2.2.2 Teori Dasar Matriks
Berikut ini merupakan definisi matriks menurut Anton (1992).
Definisi 2.2.7. Sebuah matriks adalah sebuah persegi dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan di dalam persegi disebut entri dalam matriks
[
]
Dengan n baris dan n kolom disebut matriks persegi order n dan entri-entri
disebut diagonal utama dari matriks A.
Definisi 2.2.8. Jika A adalah sembarang matriks berukuran mxn maka transpose A dinotasikan dengan AT merupakan matriks berukuran nxm yang dihasilkan dengan mengubah baris dan kolom dari matriks A sehingga kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A,
dan seterusnya.
Definisi 2.2.9. Jika A adalah matriks persegi dan jika matriks B mempunyai
ukuran yang sama dengan matriks A dan berlaku AB = BA = I, maka A dikatakan
invertible dan B disebut inverse A.
2.2.3 Keluarga Distribusi Eksponensial
commit to user
[ ] (2.1)
dengan adalah parameter kanonik dan adalah parameter dispersi. Harga harapan dan variansi dari distribusi keluarga eksponensial dengan rumus
dan . Salah satu anggota keluarga distribusi
eksponensial adalah distribusi Poisson.
2.2.4 Fungsi Link
Menurut Mc Cullagh dan Nelder (1983), fungsi link adalah suatu fungsi yang menghubungkan fungsi prediktor linier dengan mean respons . Suatu fungsi link dikatakan fungsi link kanonik bila parameter kanoniknya sama dengan fungsi link-nya, yaitu
dengan adalah parameter kanonik. Fungsi link kanonik untuk beberapa distribusi disajikan dalam Tabel 1.
Tabel 2.1 Daftar fungsi link untuk beberapa distribusi Distribusi Fungsi link kanonik
Normal
Poisson
Binomial
[ ⁄ ]
Gamma
2.2.5 Distribusi Poisson
Distribusi Poisson sering digunakan untuk memodelkan jumlah kemunculan dari suatu kejadian, seperti jumlah bencana alam pada suatu daerah tiap tahun. Menurut Bain dan Engelhardt (1992) jika variabel random diskrit Y berdistribusi Poisson dengan parameter maka variabel random Y mempunyai fungsi densitas probabilitas
commit to user
10
Distribusi Poisson termasuk dalam keluarga distribusi eksponensial, hal ini ditunjukkan dengan membawa persamaan (2.2) ke persamaan (2.1)
[ ] ([ ] )
dengan Karena distribusi Poisson merupakan anggota distribusi keluarga eksponensial, maka dapat ditentukan nilai mean dan variansinya yaitu,
sehingga pada distribusi Poisson berlaku
.
Distribusi Poisson merupakan distribusi diskrit. Untuk nilai yang kecil maka distribusinya sangat menceng dan untuk nilai yang besar akan lebih mendekati distribusi normal. Untuk kasus yang jarang terjadi maka nilai akan kecil. Distribusi Poisson adalah suatu distribusi yang paling sederhana dalam pemodelan data yang berupa data cacah, tetapi bukan satu-satunya.
Menurut Lam, dkk (2006) distribusi Poisson sering digunakan dalam pemodelan kasus yang jarang terjadi (rare event), seperti pemodelan tentang kecelakaan, peperangan atau epidemi. Peristiwa terganggunya aktivitas seseorang karena sakit pada usia dewasa terutama yang masih aktif bekerja atau melakukan kegiatan primer lainnya (sekolah, mengurus rumah tangga atau kegiatan sehari-hari lainnya) dapat dikatakan merupakan suatu peristiwa yang jarang, karena pada usia tersebut terutama kalangan usia muda cenderung masih melakukan aktivitas secara normal walaupun sakit.
2.2.6 Model Regresi Poisson
commit to user
suatu model regresi yang didasarkan pada distribusi Poisson. Jika suatu variabel random mempunyai tipe diskrit dan menyatakan banyaknya kejadian dalam interval tertentu (waktu, area, dan lain-lain), maka variabel random tersebut berdistribusi Poisson. Regresi Poisson merupakan suatu bentuk analisis regresi yang digunakan untuk memodelkan data yang berbentuk cacah. Model regresi Poisson digunakan untuk memodelkan banyaknya kemunculan dari suatu kejadian dalam interval waktu tertentu tertentu.
Pada regresi Poisson diasumsikan bahwa variabel dependen Y yang menyatakan jumlah (cacah) kejadian berdistribusi Poisson, diberikan sejumlah variabel independen .
|
atau dengan kata lain,
Salah satu tujuan dari analisis regresi adalah untuk menentukan pola hubungan antara variabel respon dengan variabel penjelas. Selanjutnya, dalam regresi Poisson hubungan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk
|
atau
Karena nilai , maka digunakan fungsi link atau
untuk menghubungkan | dengan fungsi linier
sehingga hubungan antara | dan menjadi tepat. Dengan demikian model regresi Poisson dapat ditulis dalam bentuk
|
dengan merupakan parameter yang tidak diketahui dalam model dan perlu diestimasi.
commit to user
12
penggunaan model regresi Poisson tidak sesuai. Selain itu akan menghasilkan estimasi parameter yang bias.
Masalah lainnya pada regresi Poisson adalah jika terdapat banyak data yang bernilai nol, sehingga lebih banyak data nolnya dibanding regresi Poisson yang akan diprediksi. Jika hal ini terjadi, maka akan menyebabkan regresi Poisson menjadi tidak tepat menggambarkan data yang sebenarnya.
2.2.7 Model Regresi Generalized Poisson
commit to user
Model regresi GP merupakan terapan dari generalized liniar model (GLM). Pada GLM, variabel dependen tidak harus berdistribusi normal dan untuk uji hipotesisnya variansi tidak harus homogen/konstan. Model GP mengasumsikan bahwa komponen randomnya berdistribusi generalized Poisson. Misal, merupakan variabel respon. Famoye dkk (2004) mendefinisikan distribusi GP sebagai
{( )
( )
(2.3)
Mean dan variansi persamaan (2.3) adalah sebagai berikut
| dan | . Jika maka model regresi
GP akan menjadi regresi Poisson. Jika , maka model GP merepresentasikan data cacah yang overdispersi, dan jika underdispersi.
Analisis regresi mempunyai tujuan menentukan pola hubungan antara variabel dependen dan variabel independen maka persamaan | dapat dinyatakan sebagai
|
atau
| (2.4)
Nilai dari pada persamaan (2.4) dapat bernilai real, sehingga memungkinkan munculnya nilai negatif. Sebagaimana diketahui bahwa ekspetasi dari distribusi generalized Poisson, haruslah bernilai positif, sehingga perlu dilakukan transformasi sedemikian sehingga bentuk hubungan antara dan menjadi tepat. Solusi yang dilakukan adalah dengan mengambil logaritma natural dari nilai . Hasil dari log ini kemudian akan digunakan untuk mencari hubungannya terhadap , yaitu
Fungsi disebut sebagai fungsi link, yaitu fungsi yang menghubungkan dengan fungsi linier . Oleh sebab itu, model regresi generalized Poisson dapat ditulis dalam bentuk atau
commit to user
14
2.2.8 Model Regresi Zero Inflated Poisson
Tidak semua data cacah cocok menggunakan model Poisson, salah satunya adalah data cacah yang menunjukkan overdispersi disebabkan oleh frekuensi nol yang besar muncul dalam distribusi, maka disarankan digunakan model regresi zero inflated Poisson (ZIP) (Lambert, 1992). Famoye dan Singh (2006) memperkirakan proporsi data yang bernilai nol adalah sekitar 63,7 persen. Lambert (1992) mendefinisikan model regresi ZIP sebagai
{
dengan parameter dan yang memenuhi
( )
dengan X dan Z adalah matrik kovarian dalam hal ini terdiri dari variabel-variabel penjelas yang masing-masing mempengaruhi mean Poisson dengan
parameter , dan mempengaruhi probabilitas dengan parameter
.
Kovarian-kovarian yang mempengaruhi mean Poisson dapat sama dengan kovarian-kovarian yang mempengaruhi probabilitas ( ). Jika kovarian-kovarian yang sama mempengaruhi p dan , maka akan mengurangi banyaknya parameter dengan berpikir bahwa p merupakan fungsi dari , contohnya peluang seseorang untuk terganggu atau tidaknya aktivitas karena sakit dipengaruhi oleh rata-rata banyaknya gangguan aktivitas. Pada aplikasinya, informasi mengenai bagaimana berhubungan dengan sangatlah sedikit. Jika demikian maka
dan (
)
dengan adalah suatu ukuran parameter yang tidak diketahui dan merupakan bilangan Real yang menyatakan secara tidak langsung bahwa , sehingga model ZIP ini dilambangkan sebagai ZIP( ).
Mean dan variansi ZIP
commit to user
| [ ] | .
2.2.9 Pendeteksian Overdispersi dan Underdispersi
Kategori lain yang digunakan untuk mendeteksi adanya overdispersi dan underdispersi adalah nilai deviance. Bentuk statistik deviance adalah
∑ ( )
Jika hasil bagi antara nilai statistik D terhadap derajat bebasnya atau statistik terhadap derajat bebasnya lebih besar dari 1, maka indikasi bahwa telah terjadi overdispersi pada model regresi Poisson. Sedangkan jika nilai hasil bagi lebih kecil dari 1 maka diidentifikasi telah terjadi underdispersi.
2.2.10 Metode Maksimum Likelihood
Suatu variabel random dari suatu distribusi yang memiliki fungsi densitas probabilitas , dengan merupakan suatu parameter yang tidak diketahui dan adalah ruang parameter. Karena variabel random saling independen, maka fungsi densitas probabilitas bersama dari
adalah
∏
Menurut Bain dan Engelhardt (1992) fungsi likelihood didefinisikan sebagai fungsi densitas probabilitas bersama dari yang dapat dianggap sebagai fungsi dari . Fungsi likelihood dapat dituliskan sebagai berikut
∏
commit to user
16
memaksimumkan fungsi akan memberikan hasil yang sama dengan mencari nilai yang memaksimumkan . Baik atau dapat digunakan untuk mencari nilai ̂. Nilai yang memaksimumkan dapat diperoleh dengan mencari solusi dari persamaan
. Jika pada proses estimasi parameter didapatkan persamaan terakhir yang non-linier maka tidak mudah untuk memperoleh estimasi tersebut, sehingga diperlukan suatu metode iterasi untuk menyelesaikan persamaan non-linier tersebut. Salah satunya dengan menggunakan metode Newton-Raphson.
2.2.11 Metode Newton-Raphson
Menurut Famoye, dkk (2006) metode Newton-Raphson merupakan metode numerik untuk menyelesaikan persamaan non-linier secara iteratif seperti menyelesaikan persamaan likelihood yang mencari lokasi untuk memaksimalkan suatu fungsi. Jika pada proses estimasi parameter didapatkan persamaan terakhir yang non-linier maka tidak mudah untuk memperoleh estimasi parameter tersebut, sehingga diperlukan metode Newton-Raphson untuk menyelesaikan persamaan non-linier tersebut. Dasar dari metode inilah pendekatan deret Taylor linier
∑
Perluasan dari bentuk orde-1
, diperoleh
Jika merupakan nilai awal dari maka dapat dimisalkan dan
dengan
, begitu juga untuk G dan H sehingga diperoleh iterasi Newton-Raphson sebagai berikut :
dengan indeks t menyatakan ukuran iterasi.
commit to user
Metode Newton-Raphson dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan lebih dari satu parameter, misalnya dengan
commit to user
18
dan variansi sampelnya sama, sehingga penggunaan model regresi Poisson pada data cacah kadang tidak cocok karena data terkadang menunjukkan sifat overdispersi ataupun underdispersi. Dalam kenyataannya banyak dijumpai data cacah yang memiliki banyak nilai nol, dan mengandung sifat overdispersi ataupun underdispersi maka penggunaan model regresi Poisson menjadi tidak sesuai. Sehingga diperlukan model regresi yang dapat mengatasi masalah ini, model regresi yang lebih cocok adalah model regresi ZIGP.
Model regresi ZIGP merupakan gabungan model regresi ZIP dan GP. Model regresi ZIP merupakan suatu model yang cocok untuk kasus dengan responnya bersifat cacah dan banyak yang bernilai nol. Sedangkan model regresi generalized Poisson (GP) merupakan suatu model yang cocok untuk kasus dengan
terjadi pelanggaran asumsi mean sampel sama dengan variansi sampel pada disribusi Poisson. Untuk membentuk model tersebut dari distribusi zero inflated generalized Poisson dibutuhkan fungsi link agar hubungan fungsi prediktor linier
commit to user
19
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini, metode yang digunakan adalah studi literatur dengan mengacu pada sumber-sumber pustaka statistika, dan dengan cara mempelajari karya-karya ilmiah yang telah dihimpun dari hasil penelitian para pakar baik yang tersajikan pada seminar maupun yang telah dimuat di dalam situs web, jurnal, disertasi ataupun buku yang berkaitan dengan model regresi zero inflated generalized Poisson. Dengan metode tersebut dapat menjelaskan bentuk model regresi zero inflated generalized Poisson dan estimasi parameternya dilakukan dengan metode maksimum likelihood (MLE) yang didalamnya melibatkan metode iterasi Newton-Raphson dalam penyeleseiannya. Adapun langkah-langkah dalam penulisan skripsi ini sebagai berikut
1. Mengestimasi parameter model Regresi ZIGP dengan metode MLE, dilakukan langkah-langkah berikut
a) Menetapkan model regresi
b) Menetapkan parameter yang akan diestimasi, yaitu ( )
c) Membuat fungsi likelihood dan log likelihood-nya berdasarkan model regresi
d) Mengestimasi parameter dengan memaksimumkan fungsi log likelihood yang diperoleh di atas menggunakan algorithma Newton-Raphson.
2. Pengujian Hipotesis model regresi ZIGP menggunakan GLRT dengan hipotesis-hipotesis sebagai berikut
Pengujian kesesuaian model, yaitu uji parameter dispersi ( ) (ZIGP tidak sesuai)
(ZIGP sesuai).
commit to user
20
BAB IV
PEMBAHASAN
4.1 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson
Model ZIGP merupakan salah satu model yang dapat digunakan untuk data respon yang bersifat cacah. Model ini dapat mengatasi masalah dengan terdapat banyak data yang bernilai nol (zero inflation) dan terjadi overdispersi (Czado dan Min, 2006 ; Famoye dan Singh, 2006). Famoye dan Singh (2006) mendefinisikan fungsi densitas probabilitas ZIGP sebagai gabungan dari fungsi densitas probabilitas ZIP dan GP, sehingga fungsi densitas probabilitas model regresi ZIGP dapat dituliskan sebagai berikut,
( ) { ( ) (
)
( ) ( ) ( ) ( ( )) (4.1) ( ) (∑ ), ( ) adalah baris dari matriks kovariat X, dan ( ) adalah vektor kolom parameter k-dimensi, sehingga ( ) dan ( ) memenuhi
( ) ∑ dan ( ) ( ) ∑
dimana ( ) adalah baris dari matriks kovariat Z, dan
( ) adalah vektor kolom parameter m-dimensi. Jika matriks kovariat yang sama mempengaruhi maupun ( X = Z ), maka dapat ditulis sebagai fungsi dari sehingga diperoleh
( ) ∑ dan ( ) ( ) ∑ .
Dari persamaan (4.1) diperoleh (∑ ) dan ( )
( ) ∑ sehingga didapat
( ∑ ) (4.2)
commit to user dan
. (4.4)
Menurut Famoye dan Singh (2006), jika Y variabel random berdistribusi zero inflated generalized Poisson maka nilai mean dan variansi sampelnya adalah
( | ) ( ) ( )
( | ) ( )[ ( ) ] ( )
( | )[( ) ] .
Analisis regresi mempunyai tujuan menentukan pola hubungan antara variabel dependen dan variabel independen, sehingga persamaan (4.1) dapat dituliskan dalam bentuk
( | ) ( ) ( ) .
Nilai dari dapat bernilai real, artinya dapat bernilai poistif atau negatif. Padahal ekspektasi dari distribusi ZIGP haruslah bernilai positif sehingga diperlukan transformasi sedemikian sehingga bentuk hubungan dan tepat. Menurut Consul dan Famoye (1992) yang dapat digunakan adalah dengan mengambil nilai logaritma natural dari yang dituliskan sebagai berikut,
( )
dengan merupakan fungsi link, yaitu fungsi yang menghubungkan dengan fungsi linier . Sehingga model regresi ZIGP dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut,
( | ) ( ) ( )
dengan ( ) ( ).
commit to user
22
4.2 Estimasi Parameter Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson
Menggunakan Maximum Likelihood Estimastor (MLE)
Metode estimasi yang digunakan untuk mengestimasi parameter model regresi ZIGP adalah metode maksimum likelihood. Metode maksimum likelihood merupakan suatu metode estimasi parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood. Estimasi dengan metode ini dapat digunakan jika distribusi dari data
diketahui. Langkah pertama dari metode maksimum likelihood adalah menentukan fungsi densitas probabilitas bersama dari beberapa model regresi Poisson. Misalkan dengan mengasumsikan merupakan sekumpulan variabel random Poisson yang independen. Substitusi persamaan (4.2), (4.3) dan (4.4) ke dalam persamaan (4.1), maka akan diperoleh
( ) {( ) [
Dengan demikian fungsi log likelihood untuk Model ZIGP dapat ditulis
( ) ∑ ( ) ∑ [ (
)]
commit to user
Sehingga derivatif pertama terhadap sebagai berikut
commit to user
Sehingga derivatif pertama terhadap sebagai berikut
commit to user
sehingga derivatif pertama terhadap sebagai berikut
( ) derivatifnya masih mengandung parameter lain yang belum diketahui dan perlu diestimasi. Sehingga untuk mengestimasi kedua parameter ini dilakukan secara bersamaan dengan menggunakan suatu metode iterasi yang disebut metode Newton-Raphson. Metode Newton-Raphson merupakan metode numerik untuk menyelesaikan persamaan non-linier secara iteratif. Pada metode Newton-Raphson dibutuhkan derivatif pertama dan kedua fungsi log likelihoodnya. Misalkan didefinisikan matriks G dan H sebagai
commit to user
4.3 Uji Ketepatan Model Regresi ZIGP
Menurut Famoye dan Singh (2006), model regresi ZIGP akan menjadi model regresi ZIP ketika parameter . Oleh karena itu untuk melihat kesesuaian model ZIGP, dilakukan pengujian hipotesis sebagai berikut
Penolakan menunjukkan bahwa model regresi ZIP tidak tepat digunakan, sehingga dalam situasi seperti ini model regresi ZIGP lebih tepat digunakan dibandingkan model regresi ZIP.
commit to user
28
( ∑ ( ̂ ̂) ∑ [ ̂ ̂ ( ̂ )]
∑ { ( ̂)
( ) ̂ })
∑ { ( ̂ ̂ ( ̂̂ ̂)) [ ̂ ̂ ( ̂ )]}
∑ { [ ( ̂̂ ̂ ( ̂))] ( ) ( ̂ ) ̂ [
( ̂ )
̂ ̂ ]} (4.13)
Nilai statistik uji (4.13) mendekati distribusi chi-square dengan derajat bebas
( ), dengan p menyatakan jumlah total parameter yang diestimasi. Model Regresi ZIGP tepat digunakan jika nilai ( ), dengan sama dengan tingkat signifikansi.
4.4 Contoh Kasus
Pada contoh kasus ini akan dimodelkan hubungan antara tingkat cacat fungsional yang dialami oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor dengan faktor-faktor yang diduga berpengaruh terhadap tingkat cacat fungsional yang dialami oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor. Oleh karena itu tingkat cacat yang terlihat pada lamanya perawatan yang kemudian dihitung berdasarkan kejadian dilapangan menjadi variabel dependen. Variabel lama perawatan adalah diskrit dan bernilai ketika korban tersebut sudah sembuh total setelah periode cacat fungsional sementara.
Asuransi kecelakaan motor pada umumnya menangani tiga jenis klaim, yaitu kerusakan kendaraan karena kecelakaan atau kesalahan sendiri (Own Damage atau OD), terjadinya luka-luka pihak ketiga (Third Party Bodily Injury
commit to user
4.1 memberikan gambaran lama perawatan sesuai jumlah klaim yang diajukan, usia dan jenis kelamin korban kecelakaan.
Tabel 4.1. Data lama perawatan sesuai jumlah klaim yang diajukan, usia dan jenis kelamin korban kecelakaan
No. Lama Perawatan (Hari) Jumlah Klaim Usia Jenis Kelamin
1 0 1 30 1
2 1 3 50 1
3 2 1 24 1
4 5 1 45 0
5 0 1 22 0
6 0 1 20 1
7 0 1 22 0
8 1 1 11 1
267 2 0 16 1
268 2 1 17 1
269 0 1 37 1
270 0 1 24 1
4.4.1 Pendeteksian Overdispersi atau Underdispersi
Sebelum dilakukan penentuan model, terlebih dahulu dilakukan pendeteksian terjadinya overdispersi atau underdispersi. Dari output Sofware R 2.14.1 pada Lampiran 3, memberikan hasil estimasi untuk nilai deviance pada regresi Poisson yang disajikan pada Tabel 4.2.
Tabel 4.2. Nilai statistik deviance (D ) Value DF Value/DF Null deviance 359,54 269 1,34 Residual deviance 338,42 266 1,27
commit to user
30
4.4.2 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Pada Klaim Asuransi
Untuk Kecelakaan Kendaraan Bermotor di Perusahaan Asuransi
di Kota Kendari dengan Seluruh Variabel Independen
Model regresi zero inflated generalized Poisson adalah
( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Pada contoh kasus ini variabel independennya adalah usia, jenis kelamin dan jumlah klaim. Sehingga model regresi zero inflated generalized Poissonnya
( | ) ( ) ( ) dengan (4.16)
( ) ( ) dan
( ) ( )
Estimasi parameter model regresi zero inflated generalized Poisson pada lampiran 3, memberikan nilai yang disajikan pada Tabel 4.3
Tabel 4.3 Nilai estimasi parameter model regresi zero inflated generalized Poisson dengan seluruh variabel independen
Variabel Estimasi Parameter Intercept -0,26487 0,1845
USIA 0,01342 0,0163 JENIS_KELAMIN 0,14708 0,1239 JUMLAH_KLAIM 0,10025 0,4566 -2,18170 0,9730 -8,19127 0,0034
Dengan memasukkan nilai estimasi pada Tabel 4.3 ke persamaan (4.16), maka estimasi model regresi zero inflated generalized Poissonnya adalah
( | ) ( ) ( ) dengan (4.17)
( ) ( ( ) ( ) ( )
menyatakan tingkat kecelakaan yang dipengaruhi oleh usia, jenis kelamin dan jumlah klaim, dan
( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )
commit to user
Dari Tabel 4.3, hanya variabel usia yang signifikan karena nilai probabilitas yang kurang dari . Sehingga variabel yang masuk dalam model hanya USIA.
4.4.3 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Pada Klaim Asuransi
untuk Kecelakaan Bermotor di Perusahaan Asuransi di Kota Kendari
dengan Seluruh Variabel Independen Berpengaruh
Setelah diketahui bahwa variabel independen yang memiliki pengaruh signifikan
terhadap model adalah usia dan jenis kelamin, selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter model yang mengandung variabel independen berpengaruh saja. Nilai estimasi parameter pada lampiran 5, memberikan nilai yang disajikan pada Tabel 4.4.
Tabel 4.4. Nilai estimasi parameter model regresi ZIGP dengan variabel independen berpengaruh.
Variabel Estimasi Parameter Intercept -0,06735 0,6983
USIA 0,01641 0,0019
-1,88220 0,0010 -6,51272 0,8883
Berdasar nilai estimasi pada Tabel 4.4, maka estimasi model regresi zero inflated generalized Poissonnya adalah
( | ) ( ) ( ) dengan (4.18)
( ( ))
menyatakan tingkat kecelakaan yang dipengaruhi oleh usia dengan
( ( )) ( ( ))
menyatakan probabilitas tidak terjadinya tingkat kecelakaan yang dipengaruhi oleh usia dan jenis kelamin.
commit to user
32
0,01641, artinya setiap kenaikan 1 satuan unit usia akan menjadikan rata-rata tingkat cacat fungsional yang dialami oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor menjadi sebesar kali lebih besar dan probabilitas terjadinya tingkat cacat fungsional yang dialami oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor dipengaruhi oleh usia sebesar .
4.4.4 Uji Kecocokan Model
Untuk menguji kecocokan regresi zero inflated generalized Poisson dengan data, digunakan statistik uji deviance dan Pearson chi-square dengan hipotesis adalah
commit to user
33
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut,
1. Model regresi zero inflated generalized Poisson adalah ( | ) ( ) ( )
dengan ( )
( ) dan ( ) ( ).
2. Estimasi parameter model regresi zero inflated generalized Poisson menggunakan MLE menghasilkan persamaan non-linier, sehingga untuk mengestimasi parameter dilakukan bersamaan dengan menggunakan metode Newton-Raphson.
5.2 Saran
