MAKALAH
“ELEMEN DALAM BUKU PERTAMA EUCLID”
OLEH
NAMA : SHINDY MELINIA KOTTE
NPM : 34170051
SEMESTER : I A
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS TIMOR KEFAMENANU
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan segala rahmat, karunia dan anugerah dari-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah tentang “Elemen dalam Buku Pertama Euclid” dengan baik meskipun banyak kekurangan didalamnya.
Selama pembuatan makalah “Elemen dalam Buku Pertama Euclid” telah kami usahakan semaksimal mungkin dan tentunya dengan bantuan dari banyak pihak, sehingga dapat memperlancar proses pembuatan makalah ini. Oelh sebab itu, kami juga ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu makalah ini.
Akhirnya penulis mengharapkan semoga dari makalah “Elemen dalam Buku Pertama Euclid” ini dapat diambil manfaatnya sehingga dapat memberikan inspirasi terhadap pembaca. Selain itu, kritik dan saran yang membangun dari para pembaca sangat dibutuhkan untuk perbaikan makalah ini kedepannya. Demikian, dan jika terdapat banyak kesalahan penulis memohon maaf yang sebesar-besarnya.
Kefamenanu, September 2017
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Sejarah matematika dimulai sejak 3.000 tahun Sebelum Masehi dalam wilayah kebudayaan-kebudayaan besar di dunia seperti Mesir, Babylonia, Yunani, Romawi, India, Persia, dan Cina. Matematika Yunani ditulis diantara tahun 600 SM sampai 300 SM. Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota yang tersebar di sekitaran Laut Tengah bagian Timur, mulai dari Italia hingga ke Afrika Utara, namun dibersatukan oleh budaya dan baha Yunani. Matematika Yunani pada periode setelah Iskandar Agung kadang-kadang disebut matematika helenistik. Kata “matematika” itu sendiri diturunkan dari kata Yunani Kuno
áa (mathema), yang artinya “pelajaran tentang instruksi”. Matematika Yunani lebih berbobot daripada matematika yang dikembangkan oleh kebudayaan-kebudayaan pendahuluannya. Semua naskah matematika pra-Yunani yang masih terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran indukti, yakni pengamatan yang berulang-ulang yang digunakan untuk mendiirkan aturan praktis. Sebaliknya, matematikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan simpulan dari definisi dan aksioma.
Kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada textbooknya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama “The Elements”. Buku itu terdiri dari 13 bagian buku. Arti penting buku “The Elements” tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Sebagian besar teorema muncul dalam The Element tidak ditemukan oleh Euclid sendiri, tetapi merupakan sebagian besar teorema muncul dalam The Element tidak ditemukan oleh Euclid sendiri, tetapi merupakan hasil karya matematikawan sebelumnya Yunani seperti Pythagoras, Hippocrates Chios, Theaetetus Athena, dan Eudoxus dari Cnidos. Namun, Euclid biasanya terkenal dengan pengaturan teorema secara logis, sehingga dapat menunjukkan (diakui, tidak selalu dengan ketelitian yang dituntut oleh matematika modern) bahwa mereka harus mengikuti dari lima aksioma sederhana. Euclid terkenal dengan rancangan sejumlah bukti cerdik terutama teorema sebelumnya ditemukan: misalnya, Teorema 48 pada Buku 1. Untuk mengetahui secara terperinci tentang matematikawan Euclid, akan dijelaskan dan dipaparkan dalam pembahasan makalah ini.
1.2 RUMUSAN MASALAH
1. Siapakah sosok Euclid yang sebenarnya?
2. Apa saja isi buku Euclid yang berjudul“The Elements”?
3. Apa saja pengaruh matematikawan Euclid terhadap matematika? 1.3 TUJUAN
Adapun tujuan dalam pembuatan makalah ini, sebagai berikut: 1. Memberikan informasi mengenai tokoh Euclid.
2. Menjelaskan isi buku Euclid yang berjudul “The Elements”.
3. Memberitahukan pengaruh matematikawan Euclid terhadap matematika. 1.4 MANFAAT
1. Agar pembaca lebih mengenal sosok Euclid yang merupaka Bapak geometri.
2. Agar pembaca memahami setiap pembahasan yang terdapat dalam buku “The Elements”.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 TOKOH EUCLID
Euclide adalah nama dari Arabisasi dari kata Eùĸλείδ ς Yunani, yang berartiƞ “kemuliaan baik”. Euclide adalah tokoh ilmu ukur dari Yunani. Dia juga penyusun buku pelajaran yang terbesar sepanjang abad. Euclide dikenal juga sebagai Euclid atau Euclid of Alexandria. Euclid ini adalah salah satu murid dari akademi Plato di Athena. Selain kemasyhurannya, hampir tidak ada keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Dia pernah aktif sebagai guru di Iskandaria, Mesir sekitar 300 SM, tetapi kapan ia lahir dan meninggal benar-benar tidak diketahui dengan pasti. Bahkan, sulit diketahui di benua dan di kota mana dia dilahirkan. Yang jelas Ia hisup pada zaman Ptolemaeus I (305-285 SM) yang merupakan Raja Mesir bekas jenderal kesayangan Alexander Agung. Ptolemaeus I membuat kota Alexandria menjadi ibu kota. Ia juga membuat perpustakan yang terbesar di dunia pada zaman itu. Perpustakaan itu menyimpan 700.000 gulungan naskah kuno.
Euclid adalah orang pertama di dunia yang mendirikan sekolah matematika di Alexandria. Menurut Proclus pada suatu hari Ptolemaeus I ingin sekali belajar geometri dari Euclid. Ia mengundang Euclid ke istananya dan mulai mendengarkan pelajaran geometri dari Euclid. Tapi kemudian Ptolemaeus I merasa geometri sangat susah dan terlalu lama untuk dimengerti. Maka ia meminta agar pelajaran dipercepat. Aeuclid menjawab, “Bagi raja pun tak ada jalan pintas ke geometri”. Meskipun demikian, di bidang geometri Euclid memberikan warisan penting bagi dunia. Maka tidak salah jika Euclid disebut “Bapak” geometri.
cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan.
Sejak penemuan mesin cetak, buku tersebut langsung diterbitkan dalam ribuan edisi dengan beragam corak. Buku The Elements jauh lebih berpengaruh ketimbang semua rislah Aristoteles tentang logika. Buku ini adalah contoh komplit perihal struktur deduktif dan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia.
Pada umumnya orang-orang Eropa tidak beranggapan bahwa geometri Euclid hanyalah sebuah system abstrak. Mereka justru sangat yakin bahwa gagasan Euclid benar-benar merupakan kenyataan yang sesungguhnya. Pengaruh Euclid terhadap Isaac Newton juga sangat terlihat. The Principia karya Newton mirip dengan The Elements. Selain itu, berbagai ilmuwan juga mencoba menyamakan dirinya dengan Euclid. Caranya dengan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal dari asumsi asli. Itulah antara lain yang dilakukan oleh ahli-ahli matematika seperti Bertand Russel, Alfres North Whitehead, dan Filosof Spinoza
2.2 BUKU EUCLID “THE ELEMENTS”
Euclide banyak menulis buku sebagai hasil karyanya, salah satu karya Euclid yang terkenal adalah bukunya yang berjudul “Stoicheia” atau The Elements tentang geometri yang menjadi buku pelajran yang dipakai di sekolah menengah di seluruh dunia selama 20 abad lebih. Buku tersebut terdiri dari 13 jilid, sebagai berikut:
1. BUKU JILID I
Dalil 47 adalah mengenai teorema phytagoras dan dalil 48 mengenai kebalikaan teorema itu.
2. BUKU JILID II
Mengupas hubungan antara persegi-panjang dan persegi. Sifat aljabar seperti hukum distributif (P + Q)·L = PL + QL dijelaskan secara geometris. Persegi-panjang yang panjangnya P + Q dan lebarnya L mempunyai luas (P + Q)·L. Namun, persegi-panjang ini terdiri dari dua persegi-panjang: yang pertama panjangnya P dan lebarnya L, se-hingga luasnya PL; sementara yang kedua panjangnya Q dan lebarnya L, sehingga luasnya QL (buat sendiri gambarnya). Jadi luas persegi-panjang tersebut sama dengan PL+QL. Karena itu mestilah (P + Q)·L = PL + QL. Terdapat mengenai trasformasi aljabar, seperti perhitunngan a(b+c) atau (a+b)² dan hal tersebut memberikan penyeleaian pada persamaaan kuadrat secara umum yang dimisalkan dengan x²= a(a-x), dan beberapa dalil mengenai aljabar geometri dan identitas aljabar. Pythagoras dan para muridnya merupakan tokoh utama di balik buku “Elemen” Jilid I dan II.
3. BUKU JILID III
Dalam buku ini terdapat dalil-dalil mengenai lingkaran, tali busur, garis singgung dan pengukur sudut. Buku Jilid III membahas sifat-sifat lingkaran. Bagi orang Yunani Kuno, lingkaran merupakan bangun datar yang paling sempurna. Salah satu sifat lingkaran yang diulas dalam Jilid III adalah bahwa garis singgung pada lingkaran di suatu titik P akan tegak lurus pada jari-jari lingkaran OP.
4. BUKU JILID IV
Didalam buku ini dibahas mengenai lukisan geometri menggunakan alat Euclid. Dengan alat Euclid melukis segitiga, segilima, sigiempat, segienam, dan segi limabelas beraturan dengan membagi-bagi busur lingkaran, melukis segi (n) beraturan. Segi-15 dibuat dengan terlebih dahulu membuat segitiga dan segi-lima beraturan di dalam lingkaran, dengan salah satu titik sudut yang berimpit (P). Menggunakan fakta bahwa 2/5 – 1/3 = 1/15, panjang busur AB mestilah sama dengan 1/15 keliling lingkaran. Dengan menggunakan jangka, titik-titik sudut lainnya dari segi-15 beraturan tersebut dapat diper-oleh. Sehingga, sampai abad ke delapan belas dianggap bahwa semua segi banyak dapat ditulis dengan alat Euclid, tetapi pada tahun 1796, Carl Frederich Gauss membuktikan suatu segi banyak beraturan yang banyak sisinya bilangan prima dapat dilukis bila bilangan prima itu f(n) = n + 1. Untuk n = 0, 1, 2, 3, 4 berturut-turut didapat segi 3, 5, 17, 257, 65.537. Matematikawan yang bertanggungjawab di balik Jilid III dan IV adalah Hippocrates. 5. BUKU JILID V
dapat dipecahkan. Perbandingan dua besaran A dan B yang sejenis (sama-sama ruas garis, luas dan sebagainya) sama dengan perbandingan dari besar C dan D yang sejenis. Jika terdapat bilangan positif m dan n yang bulat sehingga untuk mA nB sesuai dengan mC nD atau A: B = C: D = m: n. teori Eudox ini kemudian dikembangkan oleh Dedekind dan Weierstass.
6. BUKU JILID VI
Buku ini mengulas konsep kesebangunan dua bangun datar, yang telah diketahui oleh Pythagoras dan para muridnya. Sebagai contoh, dua segitiga dikatakan sebangun jika perbandingan panjang sisi-sisi yang berpadanan sama. Dua segitiga sebangun yang berukuran sama dikatakan sama dan sebangun. Selanjutnya, kesebangunan dua segi-banyak dapat diperiksa melalui kesebangunan segitiga-segitiga yang mem-bentuknya. Buku ini juga berisi tentang bentuk kesamaan yang disajikan dengan sempurna dan homogeny. Penggunaan fakta/ keterangan penting seperti pada persamaan kuadrat yang diaplikasikan untuk menghitung luas. Dan metode ini digunakan untuk menentukan luas dari jajaran genjang sehingga diketahui bahwa suduut yang saling berhadapan memiliki besar yang sama. Serta dibahas juga mengenai teori-teori tentang proporsi-proporsi dalam geometri.
7. BUKU JILID VII – IX
Buku ini membahas tentang teori bilangan yang berisi tentang landasan fakta sederhana dari teori bilangan phytagoras yang sekarang disebut Algoritma Euclid. Yang dapat diketahui dengan pembagian silang untuk menentukan FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil). Dalam hal ini juga ditambahkan bukti mengenai keunikan faktorisasi prima menjadi factor prima, perhitungan pangkat dan akar, penjumlahan deret geometri terhingga dan bukti teori eksistensi pada bilangan prima yang tak terhingga. Selanjtnya telah dijelaskan pada teorema phytagoras menegnai bilangan ganjil dan bilangan genap. Dalam buku ke IX ditemukan dalil menegnai pembentukan bilangan genap sempurna, seperti 6 = 1+2+3 = jumlah factor-faktornya. Jika Sn = 2ⁿ-1 adalah bilangan prima maka 2ⁿˉ¹. Sn adalah bilangan sempurna.
8. BUKU JILID X
Buku ini berdasarkan pada studi sebelumnya pada Theaetetus, studinya dimulai denga penelitian yang lama, sulit sekali untuk dapat meliat secara keseluruhan karena bentuk yang tidak praktis dan tujuan akhir yang berupa jenis bilangan irrasional.
Buku ini berisi tentang bebrapa data yang melibattkan prinsip dualitas yang mengasu pada garis lurus dan bidang. Selanjutnya teorema yang paling penting pada trigonometri dan yang terakhir teorema permukaan yang sejajar.
10. BUKU JILID XII
Buku ini tentang perhitungan volume, dilanjutkan dengan membandingkan lingkaran dengan kuadrat diameternya sedangkan bola dengan pangkat tiga denga diameternya. Kemudian hubungan antara tabung dengan garis tegak pada keucut, yang semuanya dibuktikan dalam teori Eudoxian. Namun yang terpenting adlah keberhasilan Euclid dalam menentukan volume pyramid.
11. BUKU XIII
Buku ini berdasarkan studi dari Eudoxus yang mengupas fakta mengeani penyelesaian bentuk-bentuk umum pada bangun ruang.
Apa yang penting tentang Euclid’s Elemen adalah paradigm yang ditetapkannya untuk cara bahwa matematika harus dipelajari dan dicatat. Dia mulai dengan beberapa definisi dan terminology dan ide untuk geometri, dan kemudian ia mencatat lima postulat penting (atau aksioma) dari geometri. Sebuah versi dari postulat ini adalah sebagai berikut:
a. P1 : Melalui setiap pemasangan titik berbeda disana melewati garis
b. P2 : Untuk setiap pemasangan segmen ada titik E unik (pada baris yang ditentukan oleh A dan B) sehingga E adalah antara A dan B dan segmen AE dengan segmen EB adalah kongruen.
c. P3 : Untuk setiap titik C dan masing-masing titik A berbeda dari C, terdapat lingkaran dengan pusat C dan CA radius.
d. P4 : Semua sudut kanan adlah kongruen. Ini adlah empat standar aksioma yang memberikan konsepsi kita tentang Euclidean geometri. Aksioma kelima, topic studi intensif selama dua ribu tahun, adalah parallel yang disebut postulat (dalam Formulasi Playfair’s)
P5 :Untuk setiap l line dan setiap titik P yang tidak terletak pada I ada m garis melalui P yang unik sehingga m sejajar dengan l.
Gauss, pertama kali menemukan kesalahan postulat kelima tapi malu untuk mempublikasikannya sehingga kehormatan diberikan kepada dua matematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara penemuan Gauss. Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky secara terpisah mampu membuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda pula.
Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuai kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid. Setelah banyak ditemukan cacat pada doktrin Euclid, banyak pengikutnya mulai “menyerang” Euclid dengan menyebut dia terlalu arogan dan memaksakan suatu pembuktian yang dibuatnya selalu benar, misalnya: salah satu sisi segitiga tidak akan lebih panjang daripada jumlah kedua sisi lainnya. Matematikawan modern mengkritik Euclid dari sudut pandang lain, yaitu: Euclid tidak cermat dalam melakukan pembuktian. Terdapat beberapa kesalahan dan ide-ide yang tidak dapat dipertanggungjawabkan. Yang paling mencolok adalah postulat kelima yang juga lazim disebut dengan postulat kesejajaran.
Para matematikawan berikutnya tidak dapat menerima pernyataan-pernyataan (postulat) yang tidak dapat dibuktikan itu. Kemudian, muncul geometri non-Euclidian yang menggantikan postulat-postulat itu dengan pernyataan yang dapat diterima umum.
Setelah 700 tahun, Theon dari Alexandria membuat perbaikan dari karya Euclide itu. Karya Theon inilah yang diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa. Pada tahun 1220, sarjana inggris yaitu Adelard membuat terjemahan dalam bahasa latin dari terjemahan bahasa arab buku itu. Cetakan pertama dari buku Elemen Euclide itu dalam bahasa latin dibuat di Venesia pada tahun 1482 oleh Campanus. Terjemahan pertama dari bahasa Yunani ke dalam bahasa latin dibuat oleh Commadino pada tahun 1572. Terjemahan lengkap ke dalam bahasa Inggris dilakukan oleh Bringsley pada tahun 1570.
Ia juga mengarang buku-buku lain sebagai berikut:
a. The Data, berhubungan dengan sifat dan implikasi dalam masalah geometris; dan terkait dengan jilid ke-4 buku The Elements
c. Catoptrics, menyangkut teori matematika cermin, yaitu bentuk gambar pada cermin cekung.
d. Phaenomena, sebuah risalah astronomi bola.
e. Optik adalah perspektif awal yang masih bertahan Yunani. Yaitu Euclid mengikuti tradisi Platonis dimana Vision atau pandangan tersebut disebabkan oleh sinar diskrit yang berasal dari mata. Hal-hal yang dilihat di bawah sudut yang lebih besar tampak lebih besar, di bawah sudut yang lebih rendah tampak lebih kecil, sementara yang di bawah sudut yang sama adalah sama.
Karya – karya lain yang dipercaya merupakan karya dari Euclid tetapi telah hilang adalah sebagai berikut :
1. Conics adalah sebuah karya tentang kerucut yang kemudian diperluas oleh Apollonius dari Perga. Kemungkinan bahwa empat buku pertama karya Apollonius berasal dari Euclid.
2. Porisms membahas mengenai kerucut.
3. Pseudaria, atau Kitab Fallacies, adalah teks dasar tentang kesalahan dalam penalaran. Kita tahu dari laporan orang lain, misalnya laporan Proclus, ahli filsafat Yunani, yang menulis tentang Euclide kira-kira 700 tahun sesudah Euclide meninggal.
Selain mencetuskan pemikiran-pemikiran mengenai permasalahan geometri, Euclid juga mempelajari bilangan prima, mencari untuk menentukan bilangan mana yang masuk kategori prima atau bukan. Euclid tidak pernah dapat menentukan bilangan prima, tetapi dia mampu memberikan jawaban tentang bilangan prima: bilangan prima itu tidak terhingga.
Euclid membuat pernyataan: jika bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti ada bilangan > n, di mana dapat dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 dan seterusnya sampai n, kemudian ditambah 1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbol matematika untuk mengekspresikan adalah n! + 1 (n faktorial ditambah 1).
2.3 Pengaruh Euclid Terhadap Matematika
dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teori proporsi, bilangan prima, bilangan sempurna, integer positif, bilangan irrasional, gambar tri-matra (tiga dimensi). Euclid meninggalkan warisan yang berguna bagi pengembangan matematika.Kompilasi hasil-hasil karya matematikawan sebelumnya lewat buku Elements, menunjukkan “benang merah” bahwa pengembangan matematika tidak lepas dari peran pemikir Yunani. Kritik terhadap Euclid justru memicu munculnya non-Euclidian yang melengkapi bahasan Euclid. Bentuk parabola, hiperbola dan elips mulai mendapatkan perhatian dari para matematikawan.
Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan.
Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan. Dikatakan adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak.
teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada seorang matematikus Cina pun yang punya hubungan dengan Euclid. Orang-orang Cina menguasai pengetahuan yang bagus tentang ilmu geometri praktis, tetapi pengetahuan geometri mereka tak pernah dirumuskan dalam suatu skema yang mengandung kesimpulan.
Bagi orang-orang Eropa, anggapan bahwa ada beberapa dasar prinsip-prinsip fisika yang dari padanya semuanya berasal, tampaknya hal yang wajar karena mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka. Pada umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah sistem abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Euclid --dan dengan sendirinya teorinya-- memang benar-benar merupakan kenyataan yang sesungguhnya.
BAB III
PENUTUP
2.3 KESIMPULAN
Euclid adalah tokoh ilmu ukur Yunani, dia juga merupakan guru di Iskandaria, Mesir sekitar 300 SM. Seorang matematikawan yang sangat berpengaruh bagi perkembangan matematika dan pemikiran matematikawa lainnya. Karya Euclid yang sangat dikenal salah satunya adalah “The Elements”. Dari buku “Elemen” lah kita me-ngetahui karya-karya Pythagoras dan para penerusnya, khususnya Hippasus dan Archytas, serta para matematikawan kondang lainnya, terutama Antiphon, Hippocrates (~430 SM), dan dua murid Plato yang cerdas, yaitu Eudoxus, dan Theaetetus (~375 SM). Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan. Dikatakan adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern.
2.4 SARAN
DAFTAR PUSTAKA
http://dhiiashintapratiwi.blogspot.co.id/2013/05/euclid-of-alexandria.html?m=1
https://www.slideshare.net/lisa_3/sejarah-geometri-euclid-70011715
