5
5..11..11 PPEERRAAMMAALLAANNPPAASSUUTTDDEENNGGAANNMMEETTOODDEELLEEAASSTTSSQQUUAARREE
Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Linear Regression Method) merupakan metode analisis
harmonik pasang surut. Dengan metode ini kita bisa menentukan amplitudo (a) dan fasa (
)konstituen pasang surut dari data time series y(t) (elevasi muka air laut). Dengan diketahuinya amplitudo dan fase untuk setiap komponen pasang surut kita bisa memprediksi pasang surut untuk jangka waktu tertentu, serta menentukan elevasi muka air penting misalnya MSL, LLWL, MHWL, dsb.
Prinsip analisis harmonik pasang surut bertujuan untuk menghitung pasang surut yakni amplitudo dan fase komponen‐komponen pasang surut, sehingga dari keseluruhan konstanta ini akan dapat dibentuk grafik yang mendekati data pengukuran. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk analisis harmonik pasang surut adalah metode Least Square. Dalam Perhitungan Pasut ini, metoda Least Square digunakan untuk peramalan pasang surut. Pada bagian di bawah ini akan diuraikan metode Least Square untuk analisis harmonit pasang surut.
K k k k k k o iA
A
t
B
t
y
1sin
cos
ˆ
(1) dimana Ak, Bk = koefisien yang dihitung dengan metode Least Square. K = jumlah konstituen yang diperhitungkan. k = nomor konstituen.
k = kecepatan sudut (frekuensi) komponen pasut k Dari model pasang surut di atas dapat dijabarkan sebagai berikut.
K k k k K k k k o iA
A
t
B
t
y
1 1sin
cos
ˆ
(2) dengan A0 = harga elevasi muka air rata‐rata. =N
y
N i i i
Ak, Bk = harga yang dicari. K = jumlah konstituen yang diperhitungkan. k = konstituen ke‐k. k = frekuensi sudut konstituen ke‐k. t = waktu (data lapangan). Berdasarkan metoda Least Square, error didefinisikan sebagai el datay
y
mod
(3)atau i i
y
y
ˆ
(4) Jika dinytakan dalam bentuk kuadrat, maka
y
y
s
N i i i N i
1 2 1 2ˆ
(5) Dengan mensubstitusikan Persamaan II.5, maka
N i K k i k k K k i k k o iA
A
t
B
t
y
s
1 2 1 1sin
cos
(6)
N i K k i k k K k i k k o iA
A
t
B
t
y
s
1 2 1 1sin
cos
(7)Kondisi yang diperlukan agar jumlah kuadrat selisihnya minimum adalah turunan parsial Persamaan 7 terhadap komponen Ak dan Bk harus sama dengan nol. Dengan demikian maka
0
kA
s
(8)0
cos
sin
cos
2
1 1 1
N i t k K k i k k K k i k k o i kt
t
B
t
A
A
y
A
s
(9) dan0
kB
s
(10)0
sin
sin
cos
2
1 1 1
N i t k K k i k k K k i k k o i kt
t
B
t
A
A
y
B
s
(11) Dua persamaan terakhir dapat diuraikan sebagai berikut.
N i i k i N i i k N i K k i k N i t k k K k i k t k k t t B t t A t y t A 1 1 0 1 1 1 1 cos cos sin cos cos cos
(12)
N i i k i N i i k N i K k i k N i t k k K k i k t k kt
t
B
t
t
A
t
y
t
A
1 1 0 1 1 1 1sin
sin
sin
sin
cos
sin
(13)Dalam bentuk matrik
K k i k N i t k K k i k N i i k K k i k N i i k K k i k N i i k t t t t t t t t 1 1 1 1 1 1 1 1 sin sin cos sin sin cos cos cos k k B A
N i i k i N i i k N i i k i N i i k t y t A t y t A 1 1 0 1 1 0 sin sin cos cos (13) untuk 1 buah konstituen, K=1
N i i i N i i N i i i N i i t t t t t t 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 sin cos sin sin cos cos
1 1 B A
N i i i N i i N i i i N i i t y t A t y t A 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 sin sin cos cos
(14) Untuk 2 buah konstituen, K=2, jika dinyatakan dalam persamaan matrik
C X D (15) Maka
N i i i N i i N i i i i N i i N i i t N i t N i i t N i i i N i i i i N i i N i i i N i i N i i t N i i t N i i t N i i t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t C 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 sin cos sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos cos sin cos cos (16)
2 2 1 1 B A B A X (17) = =dan
N i i i N i i N i i i N i i N i i i N i i N i i i N i i t y t A t y t A t y t A t y t A D 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 sin sin cos cos sin sin cos cos (18) Untuk jumlah konstituen yang lain ditentukan dengan cara yang sama. Ukuran matrik dengan N buah konstituen adalah Matrik 2N x 2N. Berikut adalah langkah‐langkah untuk menyesaikan Persamaan 15. Akan dihitung
C D C X 1 1 (19) dimana C = determinan Matrik C. Menentukan Matrik C Masukkan data k,ti. Tentukan nilai komponen Matrik C.
N i K i i k i k K i i k N i i k N i K i i k i k K i i k N i i k N i K i i k t k N i K i i k i k N i K i i k t k N i K i i k i k N i K i i k i k K i i k N i i k i N i i i N i i N i K i i k t k N i K i i k i k N i i i N i i i t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin sin cos sin . ... sin sin cos sin sin cos cos cos . ... sin cos cos cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin sin cos sin . ... sin sin cos sin sin cos cos cos . ... sin cos cos cos (20) Misal untuk K=1.C11 = i N i i t t 1 1 1 cos cos
(21) C12 = i N i i t t 1 1 1 sin cos
(22) C21 = i N i i t t 1 1 1 cos sin
(23) C22 = i N i t t t 1 1 1 sin sin
(24) Sehingga Matrik C C =
N i i i N i i N i i i N i i t t t t t t 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 sin cos sin sin cos cos (25) Membentuk Matrik C, Matrik N x N Menentukan Matrik X Membentuk Komponen Matrik X Komponen Matrik X terdiri dari konstanta konstituen Ak dan Bk Membentuk Matrik {X}, Matrik N x 1
N N B A B A B A X . . . . . . 2 2 1 1 (26) Menentukan Matrik D Masukkan Data k ti yi N y A N i i
1 0 (27) Tentukan nilai komponen Matrik D. D =
N i i k i N i i k N i i k i N i i k N i i i N i i N i i i N i i t y t A t y t A t y t A t y t A 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 sin sin cos cos . . . . . sin sin cos cos (28)Misal untuk K=1 D11 =
N i i i N i i y t t A 1 1 1 1 0 cos cos (29) D21 =
N i i i N i i y t t A 1 1 1 1 0 sin sin (30) Membentuk Matrik D, Matrik N x 1 Menghitung Konstanta Konstituen Matrik Sasaran
C X D Dihitung
C D C X 1 1 , dimana C = determinan Matrik C Menghitung Determinan Matrik C. Menghitung Invers Matrik C. Menghitung Konstanta Konstituen {X}. Substitusi Konstituen kedalam Model Pasang Surut Memasukkan Konstanta Ao, A1, B1, A2,B2, ... AN,BN kedalam Model Pasang Surut
K k k k k k o i A A t B t y 1 sin cos ˆ (31) Analisis pasang surut selanjutnya adalah menentukan phasa komponen pasang surut k (
k, lihatPersamaan II.3). Misalkan Ak dan
k pada Persamaan 1 masing‐masing disimbolkan dengan Edan F. Kemudian Ak dan Bk pada Persamaan 31 dinyatakan dalam A dan B, maka hubungan E dan F dengan A dan B secara sederhana dapat dinyatakan sebagai berikut. E cos (t + F) = A cos t + B sin t (32) Bentuk cos (t+F) dapat dijabarkan sebagai berikut. cos (t+F) = cos t cos F – sin t sin F (33) Sehingga
E cos (t+F) = E cos t cos F – E sin t sin F (34) E cos (t+F) = E cos F cos t + (‐ E sin F) sin t (34) Maka Persamaan II.36 dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai berikut. E cos F cos t + (‐ E sin F) sin t = A cos t + B sin t (35) Dari persamaan di atas E cos F = A (36) Hubungan E dengan F dinyatakan sebagai berikut E = F A cos (37) (‐ E sin F) = B (38) Hubungan F dengan B dinyatakan sebagai berikut. F = Arc sin E B (39) atau sin F = ‐ E B = ‐ A B cos F (40) Jika kedua ruas dibagi dengan cos F, maka: A B F F cos sin (II‐46) atau tan F = A B (II‐47) Jadi F = arc tan A B (II‐48) dimana F adalah phasa komponen pasang surut (