I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. mandiri jika tidak mengandung t secara eksplisit di dalamnya. (Kreyszig, 1983)

1 I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Permasalahan kebijakan pemanenan ikan yang memberikan keuntungan maksimum dan berkelanjutan (tidak terjadi kepunahan dari populasi ikan yang dipanen) adalah hal yang sangat penting bagi industri perikanan. Para ilmuwan berusaha menyelesaikan permasalahan tersebut dengan berbagai cara, salah satunya adalah dengan memodelkan permasalahan tersebut secara matematis kemudian menyelesaikannya dengan menggunakan metode yang sesuai untuk model tersebut.

Dalam tulisan ini akan dipelajari dinamika populasi dari model pertumbuhan dua spesies ikan yang berkompetisi yang bergantung tidak hanya pada sumberdaya eksternal tetapi juga bergantung pada spesies ketiga, yaitu sumberdaya yang dapat memperbaharui dirinya sendiri. Selain itu, pertumbuhan dari dua spesies ikan yang berkompetisi juga dipengaruhi oleh usaha pemanenan terhadap kedua spesies ikan tersebut.

Permasalahan yang ditampilkan dalam tulisan ini diformulasikan dalam bentuk kontrol optimum untuk unit waktu takterbatas (infinite horizon). Calon solusi optimal diperoleh dengan menerapkan Prinsip Maksimum Pontryagin.

Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Chattopadhyay dan kawan-kawan yang berjudul A resource based competitive system in three species fishery.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah:

1. melakukan analisis kestabilan titik tetap dan mengamati dinamika populasi ikan, 2. menganalisis model kebijakan

pemanenan ikan yang dapat memberikan keuntungan maksimum dan

berkelanjutan.

1.3 Metode dan Sistematika Penulisan Metode penulisan karya ilmiah ini adalah studi literatur. Karya ilmiah ini terdiri atas delapan bagian. Bagian pertama menjelaskan latar belakang masalah, tujuan, dan sistematika penulisan. Bagian kedua menyajikan landasan teori yang membahas sistem dinamika, teori modal, dan kontrol optimum. Bagian ketiga menyajikan model-model dasar yang membangun model-model yang akan dianalisis. Bagian keempat menyajikan pembahasan masalah dengan merekonstruksi model yang akan dianalisis. Bagian kelima menyajikan analisis kestabilan. Bagian keenam membahas masalah pemanenan maksimum. Bagian ketujuh menyajikan formulasi kebijakan pemanenan optimal yang dibuat dalam bentuk formulasi masalah kontrol optimum dan pembahasan penentuan calon solusi optimal dengan menerapkan prinsip maksimum Pontryagin. Bagian terakhir menyajikan kesimpulan tentang hasil yang diperoleh dari pembahasan sebelumnya.

II LANDASAN TEORI

Beberapa landasan teori yang dibahas pada bab ini meliputi sistem persamaan diferensial (SPD), titik tetap, pelinearan dan konsep kestabilan, serta teori kontrol optimum yang disarikan dari berbagai sumber pustaka. 2.1 Sistem persamaan diferensial (SPD), nilai eigen, dan vektor eigen

Definisi 1. (SPD Mandiri)

Misalkan suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai

( ), n dx

x f x x

dt = = ∈

dengan f fungsi kontinu dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu. SPD tersebut disebut sistem persamaan diferensial

mandiri jika tidak mengandung t secara

eksplisit di dalamnya.

(Kreyszig, 1983) Definisi 2. (SPD Linear Orde Satu)

Jika suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai 0 , (0) , = + = ∈ n x Ax b x x x R (2.1.1) dengan A adalah matriks koefisien berukuran

n × n , maka sistem tersebut dinamakan SPD linear orde 1 dengan kondisi awal x(0)=x₀. Sistem (2.1.1) disebut homogen jika b= 0 dan takhomogen jika b≠ . 0

Definisi 3. (Vektor Eigen dan Nilai Eigen) Jika A adalah suatu matriks n × n , maka vektor taknol x pada n _{disebut suatu} vektor eigen dari A jika A x adalah suatu penggandaan skalar dari ;x yaitu,

λ

A x = x (2.1.2) untuk suatu skalar

λ

. Skalar

λ

disebut nilai eigen dari

A

, dan

x

disebut suatu vektor eigen dari

A

yang berpadanan dengan

λ

.

(Anton, 2000) Untuk mencari nilai λ dari matriks A, maka

persamaan (2.1.2) dapat ditulis kembali sebagai

(A−λI x) =0 (2.1.3) dengan I matriks identitas. Persamaan (2.1.3)

mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika

( ) det( ) 0

p λ = A−λI = A−λI = (2.1.4)

Persamaan (2.1.4) disebut persamaan karakteristik dari matriks A.

(Anton, 2000) 2.2 Titik tetap, pelinearan dan kestabilan

Definisi 4. (Titik Tetap dan Titik Biasa) Misalkan diberikan SPD taklinear berikut

( ) : n n

x= f x U⊂ → (2.2.1)

Titik x∗ dengan ( ) 0f x∗ = disebut titik kritis atau titik tetap atau titik keseimbangan. Titik

x pada bidang fase (2.2.1) yang bukan titik

tetap, yaitu f x

( )

≠0, disebut titik biasa atau

titik regular.

(Tu, 1994) Definisi 5. (Titik Tetap Stabil)

Misalkan x∗ adalah titik tetap sebuah SPD

mandiri dan x t

( )

adalah solusi yang

memenuhi kondisi awal x

( )

0 =x₀ dengan

0

x ≠x∗. Titik x∗ dikatakan titik tetap stabil

jika terdapat ε₀ >0 yang memenuhi sifat berikut:

untuk setiap ε , dengan ₁ 0<ε₁<ε₀, terdapat

0

ε> sedemikian sehingga jika x∗−x0 < ε maka x∗−x t

( )

< , untuk setiap ε₁ t> . t₀

(Szidarovszky & Bahill, 1998) Catatan:

Norm x = x₁2+x₂2+ +... xn2

Definisi 6. (Titik Tetap Stabil Asimtotik Lokal)

Titik x∗ _{dikatakan titik tetap stabil asimtotik} lokal jika titik x∗ stabil dan terdapat

0

ε > sedemikian sehingga jika x∗−x₀ < ε maka lim

( )

,

t x t x ∗

→∞ = dengan x

( )

0 =x0. (Szidarovszky & Bahill, 1998) Definisi 7. (Titik Tetap Stabil Asimtotik Global)

Titik x∗ _{dikatakan titik tetap stabil asimtotik} global jika titik x∗ stabil dan

0 n, x ∈ Ω ⊆R lim

( )

, t x t x ∗ →∞ = dengan

( )

0 0 x =x .

(Szidarovszky & Bahill, 1998)

Gambar 1 Konsep Kestabilan dari Definisi 5, 6, dan 7.

Definisi 8. (Titik Tetap Takstabil)

Misalkan x∗ _{adalah titik tetap sebuah SPD} mandiri dan x t

( )

adalah solusi yang

memenuhi kondisi awal x

( )

0 =x0 dengan 0

x ≠x∗. Titik x∗ dikatakan titik tetap takstabil jika terdapat ε > yang memenuhi 0 0 sifat berikut:

untuk sembarang ε , 0< < , terdapat ε ε₀ x ₀ sedemikian sehingga jika x∗−x₀ < maka ε

( )

0 x∗−x t ≥ε , untuk setiap t> . t0 (Velhurst, 1990)

ε

1

ε

0

ε

x

∗

Takstabil

Stabil Stabil asimtotik lokal Stabil asimtotik global

Definisi 9. (Titik Tetap Simple)

Suatu titik tetap SPD taklinear dikatakan simple jika pada sistem linearnya

( )

Ax tidak

mempunyai nilai eigen nol, yaitu jika detA≠0.

(Tu, 1994) Definisi 10. Titik Tetap Simple Hyperbolic Titik tetap simple dikatakan hyperbolic jika

A pada Ax tidak memiliki nilai-nilai eigen

λ dengan bagian-bagian real nol, berarti

( )

Re λ ≠ . 0

(Tu, 1994) Teorema 1. (Teorema Taylor untuk n variabel)

Misalkan : n

f Ω ⊂ → dan segmen garis yang menghubungkan x dan x berada pada 0

Ω. Jika x=

(

x1,...,xn

)

dan ( ) ( )

(

0 0

)

0 = x1 ,...,xn x maka

( )

( )

( )

(

( )0

)

0 0 1 n i i i i f f x x = = +

∑

− f x x x

( )

₀

(

( )0

)

(

( )0

)

1 1 1 2! n n ij i i j j i j f x x x x = = +

∑∑

x − −

( )

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

_{( )}

(

( )

)

1 2 1 1 1 2 0 0 0 0 0 , ,..., 0 , , 1 , ,..., 1 1 1 ... ... 3! ! m m n n ijk i i j j k k i i i i i i j k i i i f x x x x x x f x x m = = +

∑

x − − − + +

∑

x − ( )

(

)

(

( )

)

_{( )}

2 2 0 0 m m i i i i m x −x x −x +R x

(

2.2.2

)

dengan

( ) ( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 0 0 0 , ,..., 0 , ,..., 1 1 _... 1 ! m m m m n m i i i i i i i i i i i i R f c x x x x x x m + + + += = + − − − +

∑

x x h (2.2.3)

untuk nilai c pada

( )

0,1 dan h= −x x . 0

(Grossman, 1995) Dengan memerhatikan sistem taklinear

( )

x= f x pada (2.2.1) dan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap x∗,

misalkan di titik asal

( )

0,0 untuk penyederhanaan, diperoleh

( )

x=Ax+ϕ x (taklinear) (2.2.4) dengan

( )

( )

( )

( )

( )

1 1 1 11 1 1 1 n n n nn n n n A Df x f x f x x x a a a a f x f x x x ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ≡ ≡ ⎡∂ ∂ ⎤ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ≡_{⎢ ⎥≡ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢_{∂ ∂} ⎥ _{⎣ ⎦} ⎢ ⎥ ⎢ ∂ ∂ ⎥ ⎣ ⎦

dan ϕ

( )

x sedemikian sehingga

( )

0

lim 0

x→ ϕ x = . Ax pada (2.2.4) disebut pelinearan dari (2.2.4) atau sistem yang dilinearkan yaitu

.

x=Ax (linear) (2.2.5) Untuk sistem pada bidang, 2

U⊂R diperoleh

( )

( )

x= f x =Ax+ϕ x sebagai

( )

(

)

( )

(

)

1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 , , x f x ax bx x x x f x cx dx x x ϕ ϕ = = + + = = + + dengan 1 1 11 12 1 2 2 2 21 22 1 2 f f a a b a x x f f c a d a x x ∂ ∂ ≡ ≡ ≡ ≡ ∂ ∂ ∂ ∂ ≡ ≡ ≡ ≡ ∂ ∂ dan

(

)

(

)

1 1 2 2 1 2 0 0 , , lim lim r r x x x x r r ϕ ϕ → = → dengan 2 2 1 2 r= x +x ,

yaitu ϕ dan 1 ϕ menjadi sangat kecil dan bisa 2 diabaikan.

Secara umum, untuk setiap titik tetap

(

x y∗, ∗

)

≠

( )

0,0 , dapat didefinisikan variabel-variabel baru ξ ≡

(

x−x∗

)

dan η≡

(

y−y∗

)

, sehingga x= f x

( )

adalah

(

)

(

) (

)

1 2 , 2.2.6 , x a b x x y c d y y ϕ ξ η ξ ϕ ξ η η ∗ ∗ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ − ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ≡⎜ ⎟= ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ₋ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Persamaan (2.2.6) hanya menggambarkan perpindahan titik tetap dari

( )

0,0 ke titik tetap taknol

(

x y∗, ∗

)

.

Matriks A pada (2.2.4) disebut

sebagai matriks Jacobi atau biasa juga disebut sebagai matriks variasi.

(Abell & Braselton, 2004) Teorema 2. (Teorema Pelinearan dari

Hartman & Grobman)

Misalkan sistem dinamik taklinear x= f x( ) pada (2.2.1) mempunyai titik tetap simple hyperbolic x∗, dan misalkan titik tetap

tersebut berada pada

( )

0, 0 untuk penyederhanaan, maka pada U di sekitar

n

x∗∈ , bidang fase dari sistem taklinear

(2.2.4) dan sistem hasil pelinearannya (2.2.5) adalah ekuivalen.

(Tu, 1994)

Misalkan λ_j =α_j±iβ_j adalah nilai

eigen dari matriks Jacobi A dengan

( )

Re λj =αj dan Im

( )

λj =βj. Kestabilan titik tetap simple hyperbolic mempunyai beberapa perilaku sebagai berikut:

1. Stabil Attractor, jika :

a.Re

( )

λj =αj <0 dengan Im

( )

λj =0 untuk setiap j=1, 2,3. (2.2.7)

Lihat Gambar 2.

b. Terdapat Re

( )

λ_j =α_j <0 dengan Im

( )

λ_j =0 dan Re

( )

λ_k =α_k <0 dengan Im

( )

λ_k ≠0 untuk j=1, 2,3 dan

j≠k. (2.2.8)

Lihat Gambar 3. 2. Takstabil Repellor, jika :

a.Re

( )

λ_j =α_j >0 dengan Im

( )

λ = j 0 untuk setiap j=1, 2,3. (2.2.9)

Lihat Gambar 4.

b. Terdapat Re

( )

λ_j =α_j >0 dengan Im

( )

λ = dan _j 0 Re

( )

λ

_k =

α

_k>0

dengan Im

( )

λ_k ≠0 untuk j=1, 2,3 dan

j≠k. (2.2.10)

Lihat Gambar 5.

3. Titik Sadel, jika :

a. Terdapat Re

( )

λj =αj > dengan 0 Im

( )

λ_j =0 dan Re

( )

λ

_k =

α

_k<0 dengan Im

( )

λ_k ≠0 untuk j=1, 2,3 dan

j≠k. (2.2.11)

Lihat Gambar 6.

b. Terdapat Re

( )

λj =αj > dengan 0 Im

( )

λ_j =0 dan Re

( )

λ

_k =

α

_k<0

dengan Im

( )

λ_k = untuk 0 j=1, 2,3 dan j≠k. (2.2.12)

Lihat Gambar 7.

c. Terdapat Re

( )

λ_j =α_j <0 dengan Im

( )

λj =0 dan Re

( )

λk =αk > 0 dengan Im

( )

λk ≠0 untuk j=1, 2,3 dan

j≠k. (2.2.13)

Lihat Gambar 8.

d. Terdapat Re

( )

λ_j =α_j <0 dengan Im

( )

λj =0 dan Re

( )

λ

k =

α

k >0

dengan Im

( )

λk =0 untuk j=1, 2,3 dan

j≠k. (2.2.14)

Lihat Gambar 9.

(Tu, 1994)

Gambar 4 Repellor (takstabil).

Gambar 5 Repellor (takstabil).

Gambar 6 Titik Sadel.

Gambar 7 Titik Sadel.

Gambar 8 Titik Sadel.

Gambar 9 Titik Sadel.

Gambar 2 sampai 9 merupakan aliran-aliran hyperbolic dalam 3 dimensi.

2.3 Kestabilan Liapunov

Dalam Matematika, kestabilan Liapunov sering digunakan untuk mempelajari masalah dinamika sistem. Berikut ini adalah definisi-definisi formal yang digunakan untuk membangun kestabilan Liapunov.

Definisi 11. (Matriks Definit Positif)

Suatu matriks simetriks real A disebut definit

positif jika T 0

A >

x x untuk semua x taknol

dalam n_.

(Leon, 2001)

Teorema 3

Misalkan A adalah matriks simetrik real

berorde n × n . Maka A adalah definit positif

jka dan hanya jika semua nilai-nilai eigennya adalah positif.

(Leon, 2001) Definisi 12. (Fungsi Liapunov)

Suatu fungsi bernilai real dan terturunkan

( )

V x pada titik x di sekitar x, untuk

penyederhanaan misalkan x=0 , sedemikian sehingga V

( )

x ≥0, V

( )

0 =0 yaitu

( )

V x =0 jika dan hanya jika x=x

( )

=0 ,

disebut fungsi Liapunov.

(Tu, 1994) Definisi 13. (Fungsi Definit Positif/Negatif

dan Semidefinit Positif/Negatif) Misalkan V( )x adalah fungsi bernilai real dengan x adalah

(

x x₁, ,...,₂ x_n

)

.V x

( )

adalah definit positif (negatif) pada daerah S di sekitar titik asal jika

( )

( )

V x >0 (V x <0) untuk semua x≠0 pada S, dan V( ) 00 = .

( )

V x adalah semidefinit positif (negatif) pada daerah S di sekitar titik asal jika

( )

V x ≥0 (V

( )

x ≤0) untuk semua x≠0 pada S, dan V( ) 00 = .

( Smith, 1987) Teorema 4. (Stabil Seragam)

Misalkan x*

( )

t ,t≥t₀ adalah solusi nol dari

sistem x=X( )x , dan X( ) 00 = , maka x*

( )

t

adalah stabil seragam untuk t≥t₀ jika

terdapat fungsi bernilai real V

( )

x pada daerah di sekitar x=0 dengan :

(i) V

( )

x dan turunan-turunan parsialnya kontinu;

( ii ) V

( )

x adalah definit positif; ( iii ) V x adalah semidefinit negatif.

( )

Teorema 5. (Stabil Asimtotik Lokal dan Global)

Misalkan semua kondisi pada Teorema 4 dipenuhi, kecuali ( iii ) diganti oleh ( iii)’ V x adalah definit negatif

( )

maka solusi nol-nya adalah stabil asimtotik. Catatan:

1. Daerah di sekitar titik asal disebut domain kestabilan asimtotik, atau domain atraksi. 2. Ketika domain atraksinya adalah seluruh

bidang x , maka sistemnya disebut stabil asimtotik global.

3. Fungsi V

( )

x yang memenuhi Teorema 5 disebut fungsi Liapunov lemah, sedangkan fungsi yang memenuhi Teorema 6 disebut fungsi Liapunov kuat.

( Smith, 1987)

2.4 Keterbatasan, Kekontinuan, Kemonotonan Fungsi dan

Kekonvergenan Integral Takwajar

Definisi 14. (Fungsi Terbatas)

Suatu fungsi f :A→B disebut terbatas jika

terdapat bilangan real M >0 sedemikian

sehingga f x

( )

≤M untuk setiap x∈A.

(Zipse, 1987) Definisi 15. ( Fungsi Kontinu)

Suatu fungsi f dikatakan kontinu di c jika

1. lim

( )

x→c f x ada. 2. f c

( )

ada.

3. lim

( )

( )

x→c f x = f c .

Jika salah satu dari ketiga syarat tersebut takterpenuhi maka f dikatakan takkontinu.

Titik dimana fungsi f takkontinu disebut

titik ketakkontinuan (discontinuity) dari f.

(Stewart, 1991) Definisi 16. (Kontinu Bagian demi Bagian) Fungsi yang mempunyai sejumlah berhingga titik ketakkontinuan disebut fungsi yang kontinu bagian demi bagian (piecewise continuity).

(Stewart, 1991) Definisi 17. (Kemonotonan)

Misalkan f terdefinisi pada selang I

(terbuka, tertutup, atau tak satupun). Fungsi

f dikatakan

i. naik pada I jika untuk setiap pasang

bilangan x₁ dan x₂ dalam I ,

( )

( )

1 2 1 2

x <x ⇒ f x < f x

ii. turun pada I jika untuk setiap pasang

bilangan x1 dan x2 dalam I ,

( )

( )

1 2 1 2

x <x ⇒ f x > f x

(Purcell, 1999) Teorema 6

Misalkan fungsi f kontinu pada

[ ]

a b, dan

terturunkan pada

( )

a b, .

i. Jika f′

( )

x >0 untuk setiap x pada

( )

a b, , maka f naik pada

[ ]

a b, .

ii. Jika f′

( )

x <0 untuk setiap x pada

( )

a b, , maka f turun pada

[ ]

a b, .

Definisi 18. (Integral Takwajar) Jika

( )

t a

f x dx

∫

ada untuk setiap t≥a, maka

( )

lim

( )

t t a a f x dx f x dx ∞ →∞ =

∫

∫

(2.4.1) dengan syarat limitnya ada (sebagai bilangan berhingga).

Jika limitnya ada maka integral pada (2.4.1) disebut konvergen.

(Stewart, 1991) 2.5 Solusi Persamaan Diferensial Biasa dengan Metode Operator D

Persamaan diferensial berorde n dengan koefisien-koefisien konstan dapat dituliskan sebagai 1 1 1 0 n n n n a y +a₋ y − + +… a y+a =Q. (2.5.1) Misalkan D d dx ≡ sehingga persamaan (2.5.1) dapat dituliskan kembali sebagai persamaan (2.5.2) berikut

(

1

)

1 1 0 . n n n n a D +a−D − + +… a D+a y=Q

dengan Q adalah fungsi dari x . Solusi

umum dari persamaan (2.5.2) berbentuk

y=CF+PI

dengan CF (Complementary Function) mengandung n konstanta sembarang dan PI (Particular Integral) yang tidak mengandung konstanta sembarang. Persamaan (2.5.2) dapat ditulis dalam bentuk

( )

f D y=Q, (2.5.3)

dengan f D

( )

adalah polinomial berderajat

n . Untuk kasus Q=0, dengan menyusun

persamaan bantu (Auxiliary Equation) diperoleh solusi dari persamaan (2.5.3) yang biasa disebut CF. Sedangkan untuk

menentukan PI dimisalkan

( )

1 Q

f D adalah

fungsi dari x

(

Q≠0

)

sedemikian sehingga

( ) ( )

1 f D Q Q f D ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , (2.5.4) maka

( )

1 y Q f D = (2.5.5) adalah solusi PI dari persamaan (2.5.3).

( )

1

f D pada persamaan (2.5.5) bertugas

sebagai operator yang dioperasikan pada Q,

untuk menghasilkan PI.

Untuk kasus x

Q=eα dengan α adalah konstanta, aturan turunan memberikan hasil sebagai berikut x x DQ=Deα =αeα (2.5.6)

(

_{D+a e}

)

αx _=Deαx_+aeαx x x eα aeα α = +

(

)

x a eα α = + . (2.5.7) Dari (2.5.6) dan (2.5.7) dapat disimpulkan

( )

x

( )

x f D eα = f α eα , sehingga

( )

1 e x

( )

1 e x, f

( )

0 f D f α α _α α = ≠ . (Bajpai, 1970) Contoh.

Carilah solusi umum dari persamaan diferensial _{3 4 5} 2x y′′− −y′ y= e . (2.5.8) Jawab. CF diperoleh dari 3y′′− −y′ 4y=0

persamaan bantunya adalah 2

3β − − = β 4 0

dan ₁ 1, ₂ 4

3

β = − β = , adalah akar-akar persamaan bantu. Oleh karena itu diperoleh

1 2 1 2 CF =A eβ +A eβ 4 3 1 2 x x A e− A e = + , dengan A A₁, ₂

konstanta sembarang. Misalkan D d dx

≡ ,

maka persamaan (2.5.8) menjadi

(

₃ 2 ₄

)

₅ 2x D − −D y= e . PI diperoleh dari

(

)

2 2 5 3 4 x e y D D = − −

( ) ( )

2 2 1 5. 3 2 2 4 x e = − − 5 2 6 x e = .

Jadi solusi umum dari persamaan diferensial (2.5.8) adalah y=CF+PI 4 2 3 1 2 5 6 x x x A e− A e e = + + , dengan A A₁, ₂ konstanta sembarang.

2. 6 Kontrol Optimum

Dalam suatu masalah ekonomi yang berkembang menurut waktu, sistem pada waktu t dapat diungkapkan dengan peubah

keadaan (state variabel) x t₁

( )

,..., ( )x tn atau

dalam bentuk vektor x t

( )

∈ . Dengan nilai t yang berbeda, vektor x t

( )

menempati

posisi yang berbeda di ruang .

Dinamika sistem dapat dinyatakan secara matematik melalui persamaan diferensial:

x= f x t U t t

(

( ) ( )

, ,

)

(2.6.1) dengan x dx

dt

= . Misalkan diketahui keadaan sistem pada waktu t₀,x t

( )

₀ =x₀∈ . Jika

dipilih peubah kontrol U t

( )

∈ yang

terdefinisi untuk t≥t₀, maka diperoleh

persamaan diferensial orde satu dengan peubah taktentu x t

( )

. Karena x₀ diberikan

maka (2.6.1) mempunyai solusi tunggal. Solusi yang diperoleh merupakan respon terhadap kontrol U yang dilambangkan

dengan xU

( )

t . Dengan memiliki fungsi

kontrol yang sesuai, berbagai solusi dapat diperoleh. Agar solusi yang diperoleh adalah solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria bagi solusi yang diinginkan, artinya untuk setiap kontrol U t

( )

dan responnya state

( )

x t dihubungkan dengan fungsi

( )

(

( ) ( )

)

0 0 , , T t J U =

∫

f x t U t t dt (2.6.2)

dengan f₀ fungsi yang diberikan. T tidak

harus fixed (ditentukan) dan x T

( )

mempunyai

kondisi tertentu.

Di antara semua fungsi/peubah kontrol yang diperoleh ditentukan salah satu sehingga

J menjadi maksimum. Kontrol yang bersifat

demikian disebut kontrol optimum.

(Tu, 1993) Berikut ini akan dibahas prinsip maksimum Pontryagin untuk masalah kontrol optimum dengan horizon waktu takberhingga. Teorema 7.

Misalkan diberikan suatu permasalahan seperti berikut maks _{( ). 0}

(

)

0 , , , u f t x u dt ∞

∫

(2.6.3) terhadap kendala

( )

,

x= f x u v.e. (virtually everywhere),

, u∈U x

( )

0 =x0, (2.6.4)

( )

lim i i t→∞x t = , x i= …1, ,m. (2.6.5)

U adalah himpunan yang berada di m_,

: n , i f → i= … , 0, ,n fi dan , i f x ∂ ∂ 0, ,

i= … n, kontinu, demikian juga dengan

0_, f

t ∂

∂ dan v.e. (virtually everywhere) berarti terdefinisi di mana-mana, kecuali di sejumlah berhingga titik.

Diasumsikan bahwa

(

x t u∗

( ) ( )

, ∗ t

)

adalah solusi optimal di antara semua pasangan

(

x

( ) ( )

. , .u

)

yang memenuhi (2.6.4),

(2.6.5), dan integral pada (2.6.3) konvergen, dengan u

( )

. kontinu bagian demi bagian pada

setiap interval. Diasumsikan juga bahwa

( )

( )

(

)

0 0 , , ( ) f t σ x t u t d t ∞ ∗ ∗ +

∫

ada untuk

setiap σ pada interval

(

−ε ε,

)

, sehingga untuk fungsi α

( )

t yang kontinu bagian demi

bagian, berlaku

( ) ( )

(

)

_{( )}

0 , , f t x t u t t t σ α ∗ ∗ ∂ + ≤ ∂ untuk setiap

(

,

)

δ∈ −ε ε ,t∈

[

0,∞

)

dan

( )

0 t dt α ∞ < ∞

∫

.

Maka terdapat pasangan

(

p p t₀,

( )

)

, p0 ≥0,

( )

(

p p t0,

)

≠0 untuk setiap t, sedemikian

sehingga p t

( )

adalah solusi kontinu dari

persamaan adjoint

( ) ( ) ( )

(

, , ,

)

x p= −H t x∗ t u∗ t p t v.e., (2.6.6) dengan

(

)

( ) ( )

0 0 , , , . H =p f t x u +p t f x u Selanjutnya maksuH t x t u t

(

,

( ) ( ) ( )

, ,p t

)

∗ =H t x

(

, ∗

( ) ( ) ( )

t u, ∗ t ,p t

)

v.e. (2.6.7) dan

( ) ( ) ( )

(

)

lim , , , 0. t H t x t u t p t ∗ ∗ →∞ = (2.6.8) (Seierstad, 2002)