matematika modul 8

Penggunaan Turunan dalam

Ekonomi

Dalam ilmu ekonomi konsep turunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mendapatkan ongkos marjinal, pendapatan marjinal, elastisitas, hasrat menabung marjinal, hasrat mengkonsumsi marjinal, dll.

Perilaku Konsumen

• Kepuasan marjinal adalah tambahan kepuasan yang diperoleh konsumen karena ada tambahan konsumsi satu unit barang.

• Kepuasan marjinal adalah turunan pertama dari kepuasan total

MU = dTU

dQ

• Jika P menunjukkan harga barang, maka

konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum apabila dipenuhi syarat

• Asumsi:

1. Kepuasan yang diperoleh konsumen dari

berkonsumsi dapat diukur dengan satu satuan (uang atau unit)

2. Konsumen berusaha memaksimalkan kepuasan total (total utility-TU) dari produk yang dikonsumsinya

3. Berlaku Hukum Gossen the law of

deminishing marginal utility yaitu setiap tambahan jumlah produk yang dikonsumsi akan menambah kepuasan yang semakin rendah

Matematika Ekonomi

• Kepuasan total (total utility) yang diperoleh konsumen dari mengkonsumsi satu produk merupakan penjumlahan kepuasan yang

diperoleh dari setiap unit mengkonsumsi produk tersebut

• TU = f (X)

• Marginal utility (MU) adalah tambahan

kepuasan yang diakibatkan dari penambahan satu unit konsumsi (∂ TU/ ∂ X)

Matematika Ekonomi

Contoh kasus

• TU = 16X - X² • Maka MU =16 – 2X X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TUx 0 15 28 39 48 55 60 63 64 63 60 MUx 15 13 11 9 7 5 3 1 -1 -3

Kurva kepuasan total (TU) dan kepuasan marjinal (MU) TU =16X – X² T U 8 0 8 1 6 X X 0 MU MU = 16 – 2X

Perilaku Konsumen

Contoh:

Berapakah jumlah barang yang akan diminta oleh

konsumen apabila harga barang per unit Rp 20,- dan kepuasan total konsumen ditunjukkan oleh fungsi TU = 120Q – 0.25Q2 – 100



Kepuasan total akan diperoleh konsumen bila syarat P = MU MU = turunan dari TU MU = 120 – 0.5Q P = MU 20 = 120 – 0.5Q 0.5Q = 100 Q = 200

Jadi konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum jika ia membeli barang sebanyak 200 unit pada harga Rp 20,-/unit

Fungsi produksi

Seorang produsen dalam teori ekonomi paling tidak harus mengambil dua keputusan apabila dilandasi oleh suatu asumsi produsen berusaha memperoleh profit maksimum, adalah:

a. Jumlah produk yang yang akan diproduksi

b. Menentukan kombinasi input-input yang digunakan dan jumlah tiap input tsb.

•Landasan teknis dari produsen dalam teori

ekonomi disebut dengan FUNGSI PRODUKSI. Matematika Ekonomi

8

Perilaku Produsen

• Fungsi produksi adalah suatu fungsi atau

persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat output yang dihasilkan dan penggunaan input-input.

• Tambahan output yang dihasilkan karena ada penambahan pemakaian satu unit input disebut dengan produksi marjinal (MP)

MP = dQ

dx

• Produksi rata-rata adalah output rata-rata per unit:

AP = Q

x

• Untuk menghasilkan keuntungan maksimum:

MP = Harga input (Px)

Harga output (Pq)

• Tingkat penggunaan input harus pada daerah

dimana produksi marjinal menurun atau m = MP’ = negatif

dx

dMP

m



x

AP

TP



.

dx dTP MP 

• The “Law” of Diminishing Return

Increases in the amount of any one input, holding the amounts all other inputs constant, would eventually result in decreasing marginal product of the variable input.

Matematika Ekonomi

Perilaku Produsen

Contoh:

Suatu perusahaan memproduksi suatu barang dengan input x.  Output yang dihasilkan pada berbagai tingkat penggunaan

ditunjukkan dengan fungsi Q = 75 + 5x2 _{– 1/3 x}3_.

 Jika harga input adalah Rp 2.100,-/unit dan harga output per unit Rp 100

 Berapa unit yang harus diproduksi oleh perusahaan agar keuntungan yang diperoleh maksimum?

 Berapakah produksi rata-rata?

1. Syarat keuntungan maks  MP = Px / Pq

MP = turunan dari fungsi Q = Q’ = 10x – x2 10x – x2 = 2100 / 100

10x – x2 = 21

x2 – 10x + 21 = 0

(x – 7)(x – 3)  x1 = 7 atau x2 = 3

Penggunaan input harus pada daerah dimana produksi marjinal menurun sehingga: m = MP’ = 10 – 2x

x1  m = -4 (menurun) x2  m = 4 (menaik) Jadi input yang digunakan adalah 7 unit.

2. Q = 75 + 5x2 _{– 1/3 x}3

x = 7  Q = 205 2/3 = 205 unit

Q = 205, x = 7 maka AP = Q/x = 205/7 = 29 2/7 = 29 unit

Artinya pd tkt penggunaan input x=7 unit, setiap unit input digunakan utk menghasilkan rata-rata 29 unit output

Elastisitas

• Elastisitas merupakan ukuran kepekaan jumlah permintaan terhadap perubahan faktor yang

mempengaruhinya (harga).

εh = %Perubahan jumlah yang diminta % Perubahan harga barang tsb

Matematika Ekonomi

Elastisitas

• Apabila terjadi perubahan harga dari P₀ menjadi P₁, maka konsumen hanya bersedia membeli sebanyak Q₁. • Persentase perubahan harga: P₁ – P₀ . 100% P₀ • Persentase perubahan jumlah barang: Q₁ – Q₀ . 100% Q0 Q1 Q0

%

100

.

%

100

.

0 0

P

P

Q

Q

h p













Elastisitas

ε_p = ε_h = ΔQ . P₀

ΔP Q₀

Dengan demikian, apabila diambil limit dari ΔQ/ΔP sehingga akan menjadi:

ε_p = ε_h = dQ . P₀

dP Q₀

Hasil perhitungan ini merupakan elastisitas di suatu titik, yaitu titik A

pada tkt hrg P0 dan jumlah yg diminta Q0

dP

dQ

P

Q

P







 

lim

0

Elastisitas permintaan

Elastisitas permintaan adalah persentase perubahan jumlah

komoditi diminta apabila terdapat perubahan harga.

Jika q = komoditi yg diminta, Δq = perubahannya

p = harga komoditi; Δp = perubahannya

Matematika Ekonomi

Contoh Soal

Bila fungsi permintaan seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan P = 50 – 2Q, berapakah elastisitas permintaannya pada harga (P) = 20?

P = 50 – 2Q dP = -2

dQ

dQ = -1 dP 2

Bila P = 20, maka Q = 15 sehingga elastisitasnya: Ε_h = dQ . P₀

dP Q₀ Ε_h = -1 . 20 2 15 Ε_h = -2/3

• Dalam elastisitas tidak diperhatikan apakah nilainya negatif atau positif, sehingga apabila Ε_h = |-2/3| = 2/3  permintaan inelastis karena < 1

Jenis-jenis Elastisitas

Nilai elastisitas yang terkecil adalah 0 dan yang terbesar adalah ∞.

• ε_h > 1  permintaan elastis

• ε_h = 1  unitary elastis (elastisitas tunggal)

• ε_h < 1  permintaan inelastis (tidak elastis)

%Δp = %Δq

%Δp > %Δq %Δp <% Δq

Elastic demand > 1

Inelastic demand < 1

Unit elastic demand = 1

Matematika Ekonomi

Cth. 8.8: Pada fungsi permintaan P=100-1/2Q, hitunglah berapa elastisitas permintaannya pada:

Q=0; Q=50; Q=100; Q=150; Q=200

Gambar fungsi permintaannya dan titik2 yg dihitung elastisitasnya Jadi, Untuk Q=0, maka P=100-1/2(0)=100 Untuk Q=50, maka P=100-1/2(50)=75 Untuk Q=100, maka P=100-1/2(100)=50 Untuk Q=150, maka P=100-1/2(150)=25 Untuk Q=200, maka P=100-1/2(200)=0 19 2 2 1 1 _{ }  dP dQ     0 100 . 2 p



3 3 50 75 . 2      p  1 1 100 50 . 2      p  3 1 3 1 150 25 . 2      p  0 200 0 . 2    p 

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi

21

Slope =curam fungsi permintaan

Inverse of slope = BD DC dQ dP dP dQ sehingga DC BD dQ dP    1

Elastisitas harga di titik B :

OD DC OD BD BD DC Q P dP dQ B B h    .  

Karena BD sejajar dgn AO maka scr ilmu ukur

AB BC OD DC  AB BC Jadi, _h  AB BC atau AB BC h 1 1   AB BC atau AB BC h 1 1   AB BC atau AB BC h 1 1   0

Sumber-sumber ekonomi yg digunakan utk menghasilkan barang jumlahnya terbatas.

Biaya produksi bagi suatu perusahaan adalah nilai dari faktor-faktor produksi.

Dari segi sifat biaya dalam hubungannya dgn

tingkat output, biaya produksi total dapat dibagi mjd :

Matematika Ekonomi

22

Biaya Produksi dan Penerimaan

1. Biaya Produksi:

• Biaya Tetap Total (Total Fixed Cost) = TFC atau FC  adalah jumlah biaya-biaya yang

besarnya tetap, berapapun tingkat output yang dihasilkan.

• Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost) = TVC atau VC  adalah biaya yang besarnya

tergantung dari jumlah output yang dihasilkan.

• Biaya Total (Total Cost) = TC  adalah jumlah dari biaya tetap dan biaya variabel.

Matematika Ekonomi

Biaya Produksi

• Biaya Tetap Rata-Rata (Average Fixed Cost) =

AFC  adalah ongkos tetap yang dibebankan pada setiap unit output. AFC = TFC / Q

• Biaya Variabel Rata-Rata (Average Variable Cost) = AVC  adalah semua biaya-biaya lain, selain AFC yang

dibebankan pada setiap unit output. AVC = TVC / Q

• Biaya Total Rata-Rata (Average Total Cost) = ATC  biaya total yang dibebankan pada setiap unit output yang diproduksi.

ATC = TC / Q

• Biaya Marjinal (Marginal Cost) = MC  tambahan biaya total karena ada tambahan biaya produksi 1 unit output.

MC = dTC = dTVC

dQ dQ

- Jumlah output yang diproduksi pada saat AC atau MC minimum terjadi bila turunan pertama bernilai nol dan turunan kedua bernilai lebih dari 1.

Matematika Ekonomi

Cth. 8.11: Bila fungsi biaya total ditunjukkan oleh persamaan: TC=10-aQ^3+3Q^4

Tentukan TFC dan TVC, serta berapa MC pd saat Q=2

• Dari sifat TFC yg tdk tergantung pd jumlah Q yg diproduksi dan TVC tergantung pd jumlah Q yg diproduksi, maka:

• TFC= 10

• TVC= -4Q^3 + 3Q^4

Untuk Q=2, maka MC= -12(2)^2 + 12(2)^3 = 48

Kurva MC dan kurva AC

didapat dari kurva TC yg sama Apabila AC dgn ∆ output, MC<AC

Bila AC dgn ∆ output, MC>AC

Pada output dimana AC min,

MC=AC {kurva MC memotong AC}

27 3 2 4 3 12 12 ) 3 10 ( Q Q dQ Q aQ d dQ dTC MC        

_





Hubungan Total Cost, Average cost and marginal cost

TC = f(q),

merupakan fungsi biaya dimana TC = total cost, dan q = produk yang dihasilkan.

TC/q = f(q)/q merupakan fungsi biaya rata-rata. MC = dTC/dq

merupakan derivatif dari TC, sebagai biaya mar-ginal.

Biaya marginal adalah tambahan biaya yg dibutuhkan per satuan tambahan produk.

Matematika Ekonomi

q FC VC TC AC MC 1 75 10 110 110.00 - 2 75 16 116 58.00 6.0 3 75 21 121 40.33 5.0 4 75 26 126 31.50 5.0 5 75 30 130 26.00 4.0 6 75 36 136 22.67 6.0 7 75 45.5 145.5 20.78 9.5 8 75 56 156 19.50 10.5 9 75 72 172 19.10 16 29

Matematika Ekonomi

30

AC

Hubungan TC, AC dan MC, seperti kurva dibawah ini. MC VC TC q Rp 0 0 ₂ 2   dQ MC d dan dQ dMC syarat 0 0 ₂ 2   dQ AC d dan dQ dAC syarat

Contoh Soal 8.12

Bila kurva biaya rata-rata ditunjukkan oleh

persamaan: AC = 25 – 8Q + Q2_{, tentukan jumlah}

output yang diproduksi pada saat AC minimum. 

Turunan pertama AC = 0  -8 + 2Q = 0  Q = 4 Turunan kedua AC = 2  AC > 1, sehingga pada Q

Penerimaan

• Penerimaan (revenue) adalah penerimaan produsen dari hasil penjualan outputnya.

a. Penerimaan Total (Total Revenue) = TR 

penerimaan total produsen dari hasil penjualan outputnya. TR = P . Q

b. Penerimaan Rata-Rata (Average Revenue) = AR  penerimaan produsen per unit outputnya yang

dijual. AR = TR / Q = P

c. Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue) = MR  tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu unit output.

MR = dTR dQ

Jadi jika q = kuantitas diminta dan p = harga dengan q = f(p) maka: TR = qp = f(p).p Marginal Revenue (MR) = dTR/dq. Matematika Ekonomi 33 Contoh: Fungsi Permintaan; 3q + 2p = 9; 2p = 9 – 3q atau p = 9/2 – (3/2)q TR = p.q atau TR = (9/2)q – (3/2)q2 MR = dTR/dq = 9/2 – 3q MR p q TR, MR, p 0 3 4

Jenis Pasar

1. Pasar Persaingan Sempurna

 ditandai oleh banyaknya produsen dan

konsumen sehingga masing-masing pihak baik itu produsen dan konsumen tidak dapat

2. Pasar Monopoli

 ditandai dengan hanya ada satu penjual dalam pasar sehingga tidak ada orang lain yang menyaingi sehingga produsen dapat mempengaruhi harga di pasar dengan cara menjual barangnya lebih banyak atau sedikit dari yang diproduksi.

Matematika Ekonomi

Cth.2.25 Fungsi permintaan P= a-bQ (dgn a dan b

positif) memotong sb.Q d titik D. Benarkah bahwa kurva MR memotong sb.Q tepat ditengah-tengah OD?

Matematika Ekonomi

Penerimaan dan Elastisitas

• Konsep penerimaan seringkali dihubungkan

dengan konsep elastisitas. Sifat-sifatnya adalah:

1. TR menaik selama elastisitas harga ε_h dari kurva permintaan D lebih besar dari satu.

2. TR mencapai maksimum pada saat elastisitas harga sama dengan satu.

3. TR menurun pada daerah dimana kurva

permintaan mempunyai elastisitas harga lebih kecil dari satu

Contoh Soal

Bila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P = 20 – 0.4Q, berapkah penerimaan maksimum yang dapat diperoleh oleh produsen?



TR = P . Q = (20 – 0.4Q) Q = 20Q – 0.4Q2

TR maksimum apabila turunan pertamanya = 0 dan turunan keduanya < 0

TR’ = MR = 20 – 0.8Q = 0  Q = 25

Turunan kedua = -0.8  < 0, sehingga pada Q = 25, penerimaan total maksimum sebesar 250.

Cth. 8.22. Pada suatu fungsi permintaan 2P +3Q=120, berapakah total tambahn/penurunan penerimaan total bila harga berubah dari Rp 42 mjd Rp 45/unit. Berapa elastisitas pd tkt hrg Rp 42/unit. • Pd tkt hrg Rp 42/unit, jlh brg yg diminta: 2(42)+3Q=120 3Q=36 Q=12 • Penerimaan total pd P=42 : TR1=P.Q =42.12 = 504 • Pd tkt hrg Rp 45/unit, jlh brg yg diminta: 2(45)+3Q=120 3Q=30 Q=10 • Penerimaan total pd P=45 : TR1=P.Q =45.10 = 450

• Jadi dgn naiknya hrg dr Rp 42 mjd Rp 45/unit jumlah penerimaan total berkurang dr Rp 504 mjd Rp 450 (TR turun Rp 54,-)

Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi

• Tugas Mandiri Tes Formatif 1, 2 dan 3

• (no:1,2,3 dan 4)

• (jawaban beserta penjelasan)

• Dikirim via email

Matematika Ekonomi