HW week 4 solution
1. Setelah anda mempelajari empat jenis ensambel, cobalah untuk membuat ensambel baru yang terkait dengan suatu sistem, yang mana sistem da-pat: bertukar energi dengan lingkungan dan berada pada kesetimbangan termal pada suhu T , partikel dapat keluar masuk ke dalam sistem dan be-rada pada kesetimbangan potensial kimia µ, volume dapat berubah-ubah dan berada dalam kesetimbangan mekanik dengan tekanan P . Tunjukkan bahwa tidak ada besaran potensial termodinamik yang terkait dengan ‘fungsi partisi’ yang anda peroleh dari ensambel semacam ini.
Jawaban:
Ditinjau suatu sistem banyak partikel dalam wadah terbuka yang berada dalam kesetimbangan termal dengan lingkungan pada suhu T , kesetim-bangan potensial kimia dengan lingkungan pada nilai potensial kimiaµ, dan volumenya dapat berubah-ubah pada kesetimbangan tekanan p. Tinjau suatu ensambel terdiri dari N kopi sistem dengan keadaan makro yang identik, yaitu pada T , p dan µ tertentu. Masing-masing sistem ini memiliki sejumlah partikel N dalam wadah bervolume V (untuk semua kemungkinan nilainya) dan berada pada titik ruang fase tertentu. Semua ruang fase untuk setiap N = 1, 2, . . . dan V kemudian dibagi menjadi sel-sel yang sama besarnya ∆ωi,N,V yang dilabeli dengan i, N dan V .
Indeks i, N, V menunjukkan sel ruang fase i dalam ruang fase dengan jumlah partikel N dan volume V tertentu. Di dalam setiap sel ruang fase ini akan terdapat sejumlah ni,N,V kopi sistem, dan kita akan mencari
distribusi yang paling terbolehjadi {ni,N,V∗} bagi keseluruhan ensambel.
Distribusi ni,N,V ini harus memenuhi empat kondisi.
X
i,N,V
ni,N,V = N (1)
Kedua, untuk nilai termperatur tertentu, terdapat energi rerata Z V dV X i,N,V ni,N,VEi= N < Ei >= N U (2) Z V dV X i,N,V ni,N,VN = N N (3) Z V dV X i ni,N,VV = N < V > (4)
Dengan logika yang sama seperti pada enjabaran ensambel-ensambel se-belumnya, akan kita dapatkan bahwa total probabilitas untuk suatu dis-tribusi diberikan oleh
W {ni,N,V} = N ! Y i,N,V (ωi,N,V)ni,N ni,N,V! (5)
hanya saja sekarang sel-sel ruang fase dilabeli dengan tiga indeks, dan ωi,N,V adalah probabilitas mendapatkan satu keadaan mikro di dalam sel
∆ωi,N,V. Untuk mendapatkan distribusi yang paling terbolehjadi, dicari
nilai ekstrim dari logaritma pers. (5), ln W {ni,N,V} = N ln N −N −
Z
V
dV X
i,N
[(ni,N,V ln ni,N,V)−ni,N,V ln ωi,N,V]
(6) yaitu d ln W {ni,N,V} = − Z V dV X i,N
[ln ni,N,V − ln ωi,N,V]dni,N,V = 0. (7)
Karena ni,N,V saling terkait dengan pers. (1) - (4), maka dipakai metode
pengali Lagrange, dengan pengali Lagrangenya λ, −β, α, dan γ λ Z V dV X i,N dni,N,V = 0 (8) −β Z V dV X i,N Eidni,N,V = 0 (9) α Z V dV X i,N N dni,N,V = 0 (10) γ Z V dVX i,N V dni,N,V = 0 (11)
Bila keseluruhanya dijumlah, diperoleh Z
V
dVX
i,N
[ln ni,N,V − ln ωi,N,V − λ + βE − αN − γV ]dni,N,V = 0 (12)
Sekarang semua dni,N,V saling independen, sehingga koefisien dalam
ku-rung siku di atas harus lenyap. Sehingga diperoleh kondisi untuk distribusi yang paling terbolehjadi sebagai berikut
n∗i,N,V = ωi,N,Veλexp[−βEi+ αN + γV ] (13)
Nilai eλ ditentukan melalui (1), sedangkan probabilitas ωi,N,V untuk sel
ruang fase yang seukuran dianggap sama. Sehingga dari pers. (1) diper-oleh pi,N,V = n∗i,N,V N = exp(−βEi+ αN + γV ) P i,N,V + exp(−βEi+ αN + γV ) , (14)
yang diinterpretasikan sebagai probabilitas ruang fase. Untuk kasus den-gan spektrum energi kontinu, persamaan ini menjadi rapat ruang fase makrokanonik ρM k(N, V, qi, pi) = exp(−βH(qi, pi) + αN + γV ) R V dV P∞ N =1 1 h3N R d3Nqd3Np exp[−βH(qi, pi) + αN + γV ) (15) Kita sebut saja bagian penyebut persamaan di atas sebagai fungsi ‘partisi’
Z = Z V dV ∞ X N =1 1 h3N Z d3Nqd3Np exp[−βH(qi, pi) + αN + γV )] (16)
Nilai β, α dan γ dapat ditentukan melalui formulasi entropi sebagai rerata ensambel dari logaritma rapat ruang fase S =< −k ln ρ >. Dari pers. (15), kita peroleh S(β, γ, α) = Z V dV ∞ X N =1 1 h3N Z d3Nqd3Np ρM k[k ln Z+kβH(qi, pi)−kαN −kγV ] (17) Suku pertama dalam kurung segi di atas tidak bergantung pada titik di ruang fase, dan juga tidak bergantung pada jumlah partikel, sehingga bisa ditarik keluar dari integral ruang fase dan penjumlahan jumlah partikel, dan yang tersisa adalah integral normalisasi. Suku kedua dalam kurung persegi tidak lain adalah rerata dari energi, suku kedua adalah rerata jumlah partikel, dan suku terkahir adalah rerata volume. Sehingga kita peroleh
S(β, V, α) = k ln Z(β, γ, α) + kβU − kα < N > −kγ < V > (18) Perlu diperhatikan bahwa karena pers. (2), β dapat merupakan fungsi dari U dan α, demikian pula karena pers. (3), α dapat merupakan fungsi dari < N > dan β, serta karena pers. (4), γ dapat merupakan fungsi dari < V > dan β. Sehingga derivatif dari S terhadap U menghasilkan
∂S ∂U = ∂β ∂U ∂ ∂βk ln Z(β, γ, α) + k ∂β ∂UU + kβ (19)
Dengan memakai ∂ ln Z∂β = −kU , maka
∂S ∂U =
1
T = kβ (20)
sehingga β = 1/kT .
Derivatif S terhadap jumlah partikel menghasilkan ∂S ∂ < N > = ∂α ∂ < N > ∂ ∂αk ln Z(β, γ, α) − k ∂α ∂ < N > < N > −kα (21)
Dengan memakai ∂k ln Z∂α = k < V >, maka ∂S ∂ < N > = µ T = −kα (22) sehingga α = µ/kT .
Derivatif S terhadap volume menghasilkan ∂S ∂ < V >= ∂γ ∂ < V > ∂ ∂γk ln Z(β, γ, α) − k ∂γ ∂ < V >< V > −kγ (23) Dengan memakai ∂k ln Z ∂γ = k < V >, maka ∂S ∂ < V > = P T = −kγ (24) sehingga γ = −P/kT .
Bila hasil untuk β, α dan γ kita kembalikan ke pers. (18), dan menyusun ulang hasilnya agar sesuai dengan bentuk yang dikenal dalam termodi-namika, akan kita peroleh
U − T S − µ < N > +P < V >= −kT ln ZM k(T, P, µ) (25)
Tetapi sisi kiri persamaan di atas lenyap, sehingga sisi kanan tidak ada artinya, atau dengan kata lain fungsi partisi tersebut tidak terkait dengan besaran potensila termodinamika apapun.
2. Sistem N buah osilator harmonik memiliki Hamiltonan yang diberikan oleh H = 3N X i=1 p2i 2m+ mω2 2 q 2 i
Sistem ini berada dalam keadaan kesetimbangan termal dengan lingkun-gan pada suhu T . Ensambel apa yang cocok digunakan untuk menlingkun-ganalisa sistem ini? Hitunglah entropi dan panas jenis pada volume konstan untuk sistem ini.
Jawaban:
Karena jumlah partikel tetap sedangkan energi dapat bertukar dengan lingkungan, maka ensambel yang cocok adalah ensambel kanonik. Fungsi partisinya adalah Z(T, V, N ) = 1 h3N 3N Y i Z ∞ −∞ dpiexp(−β p2i 2m) Z ∞ −∞ dqiexp(−β( mω2qi2 2 )
Integral terhadap momentum tidak lain adalah integral gaussian Z ∞ −∞ dpiexp(−β p2 i 2m) = 2mπ β 1/2
Integral posisi juga integral gaussian Z ∞ ∞ dqiexp(−β( mω2q2 i 2 ) = 2π mω2β 1/2 sehingga Z(T, V, N ) =2π ωβ 3N
dan energi bebas Helmoltz
F (T, V, N ) = −3N kT ln2π ωβ
Entropi diberikan oleh S = −∂F ∂T V,N= 3N k h ln2π ωβ + 1i Energi dalamnya U = F + T S = 3N kT dan kapasitas panas pada volume konstan
CV =
∂U
∂T = 3N k
3. Dengan menggunakan ensambel makrokanonik, hitunglah Entropi, poten-sial kimia, dan kapasitas panas volume konstan, untuk gas ultrarelativistik yang berada dalam wadah bervolume V . Ingat bahwa setiap partikel gas ultrarelativistik memiliki energi kinetik yang diberikan oleh E = |~p|c, den-gan ~p adalah momentum dan c adalah kecepatan cahaya.
Jawaban:
Fungsi partisi makrokanoniknya
Z(T, V, µ) = ∞ X N =1 eβµN h3N Z 3N Y i dpidqiexp(−β N X i |~pi|c)
Integral terhadap posisi bebas dan hanya memberikan sumbangan volume
Z(T, V, µ) = ∞ X N =1 eβµNVN h3N N Y i Z ∞ 0 4πp2idpiexp(−βpic)
Integral ini dapat dikonversikan ke fungsi gamma, dan hasilnya
Z(T, V, µ) = ∞ X N =1 8V πeβµ (βch)3 N
Fungsi grand potensialnya diberikan oleh Φ = −kT ln ∞ X N =1 8V πeβµ (βch)3 N
Entropinya diberikan oleh
S = −∂Φ ∂T V,µ= k h ln ∞ X N =1 8V πeβµ (βch)3 N − µ kT + 3 i
Jumlah rerata partikel diberikan oleh
N = −∂Φ ∂µ V,T = −N kT ln ∞ X N =1 8V πeβµ (βch)3 Energi dalamnya U = Φ + T S + µN = 3N kT dan kapasitas panas pada volume konstan
CV =
∂U
∂T = 3N k
Silahkan bekerja sama/berkelompok dalam mengerjakan tugas, tapi jangan bekerja sama ketika ujian!!!
