OPTIMASI NUMERIK. Materi Kuliah: Pengantar; Optimasi Satu Variabel; Optimasi Banyak Variabel

OPTIMASI NUMERIK

Materi Kuliah:

Pengantar; Optimasi Satu Variabel; Optimasi Banyak Variabel PUSTAKA

James B. Riggs, 1988, “An Introduction to Numerical Methods for Chemical Engineers”, Texas: Texas Tech University Press, Chapter 6

Steven C. Chapra & Raymond P. Canale, 2003, “Numerical Methods for Engineers: With

Software and Programming Applications”, 4th edition, New York: McGraw-Hill Company Inc, Part Four

etc.

INTRODUCTORY EXAMPLE

Persoalan pemilihan diameter pipa untuk mengangkut fluida dari satu proses ke proses yang lain. Istilah diameter pipa optimum, didasarkan kepada: (1) Biaya investasi, dan (2) Biaya operasi, seperti diilustrasikan dalam tabel berikut ini:

$ / year Pipe diameter (in) Cost components

1 1,25 1,5 2 2,5

Operating costs 4697 660 312 164 56

Pipe capital costs 168 308 389 474 660

Pump capital costs 401 192 150 150 150

Total 5266 1160 852 788 866

Berdasarkan pertimbangan di atas, diameter pipa manakah yang akan Anda pilih?

PENGANTAR

(Definisi Optimasi, Jenis Optimasi, Fungsi Objektif, Decision Variables, dan Kendala)

Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari kondisi yang optimum, dalam arti paling

menguntungkan. Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasi. Jika berkaitan dengan masalah keuntungan, maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan keuntungan maksimum

(maksimasi). Jika berkaitan dengan masalah pengeluaran/pengorbanan, maka keadaan optimum

adalah keadaan yang memberikan pengeluaran/pengorbanan minimum (minimasi). Hal-hal penting dalam studi optimasi meliputi:

1 - fungsi objektif dan decision variables 2 - kendala (constraints)

Secara umum, fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif

(objective function), sedangkan harga-harga yang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel

(perubah) atau decision variable.

Secara analitik, nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan: y = f (x) dapat diperoleh pada

harga x yang memenuhi: 'y f x'( ) dy df 0

dx dx

= = = =

Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan atau mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya, proses optimasi dapat dilakukan secara numerik.

Contoh persoalan optimasi dalam bidang engineering:

• Design pump and heat transfer equipment for maximum efficiency

• Optimal planning and scheduling • Optimal pipeline network

• Inventory control

• Maintenance planning to minimize cost

Contoh kendala (constraints) yang menyertai persoalan optimasi dalam bidang Teknik Kimia:

• Maximum process temperature • Maximum flow rate limitation • Maximum conversion limitation • Product purity • Strength of materials • Environmental factor • Safety consideration • Availability of utilities • Corrosion considerations

• Availability and characteristics of feed stocks • Market demand for the product

• Space limitation

• An upper limit on the capital investment

Ilustrasi secara Grafik

Contoh maksimasi satu variabel:

Beberapa istilah:

• Maksimum lokal, maksimum global • Minimum lokal, minimum global • A unimodal function one hump or

one valley

Perbedaan antara persoalan optimasi dengan pencarian/ penentuan akar persamaan:

Contoh optimasi dua variabel (maksimasi):

OPTIMASI SATU VARIABEL

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb.: y = f (x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi). Dalam hal ini, x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi.

Beberapa metode yang akan dibahas meliputi: • Metode golden section

• Metode Newton

• Metode interpolasi kuadrat

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara atau metode optimasi numerik yang dapat diterapkan untuk fungsi yang bersifat unimodal. Kedua tipe optimasi, yaitu maksimasi dan minimasi dapat diselesaikan dengan cara ini. Golden-section (search) method merupakan metode optimasi satu variabel yang sederhana, dan mempunyai pendekatan yang mirip dengan metode bisection dalam penentuan akar persamaan tak linier.

Tinjaulah fungsi f(x) yang akan ditentukan maksimum-nya, pada rentang x = xl dan x = xu

(perhatikan gambar di bawah ini).

Mirip dengan bisection, ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baru, secara iteratif. Sebagai akibatnya, rentang/ interval awal variabel yang dipilih semakin lama akan semakin menyempit, karena ada sebagian sub-interval variabel yang dieliminasi, hingga diperoleh tingkat konvergensi yang diinginkan.

Berdasarkan grafik di atas, secara matematika berlaku:

Karena: 1 2

0 1

l l

l = l maka: l0 = + l1 l2

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan: 2

1 l R l = maka: 1 2 1 1 2 l l l l l + ₌ atau: 2 1 1 2 1 l l l l + = atau: 1 R 1 R + = sehingga: R2+ − = R 1 0

Nilai akar positifnya adalah sebesar: 5 1 0,61803...

2

R= − =

(Bilangan R ini selanjutnya biasa disebut sebagai golden ratio atau golden number)

ALGORITMA (Kasus Maksimasi):

1. Mulailah dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu, yang mengapit titik maksimum. (Perhatikan ilustrasi grafik berikut ini...)

2. Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang xl dan

xu, sesuai dengan golden ratio (R), yakni

sebesar: 1 l x = +x d 2 u x =x − d dengan: 5 1( ) ( ) 2 u l u l d = − x −x =R x −x

3. Berdasarkan harga f (x) pada 2 titik tersebut (x1

dan x2), maka diharapkan ada sebagian interval

yang dapat dieliminasi, sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya. Jadi hanya diperlukan 1 titik baru. Demikian seterusnya.

Ada 2 kemungkinan kasus, yaitu:

(a) Jika: f(x1) > f(x2), maka: domain x antara xl dan x2 dieliminasi

Dengan demikian: x2 lama = xl baru

x1 lama = x2 baru

xu lama = xu baru x1 baru ditentukan

(b) Jika: f(x2) > f(x1), maka: domain x antara x1 dan xu dieliminasi

Dengan demikian: x1 lama = xu baru

x2 lama = x1 baru

xl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

Perhatian: Algoritma untuk kasus minimasi merupakan kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi yang telah diuraikan tersebut di atas.

CONTOH SOAL 1#:

Gunakan metode golden-section search untuk menentukan maksimum dari fungsi: 10 sin 2 ) ( 2 x x x f = −

di dalam interval: xl = 0 dan xu = 4 Penyelesaian:

Secara grafik, fungsi f (x) pada interval x sebesar 0 s.d. 4 ditunjukkan pada gambar berikut. Perhatikanlah bahwa nilai maksimum fungsi teramati di sekitar harga x = 1,5.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x f (x )

Secara numerik, dengan metode golden-section search, dapat dilakukan langkah-langkah perhitungan sebagai berikut.

Iterasi pertama: xl = 0 : f (xl) = 0 xu = 4 : f (xu) = -3,1136 4721 , 2 ) 0 4 ( 2 1 5 ) ( 2 1 5 = − − = − − = x_u x_l d x1 = xl + d = 0 + 2,4721 = 2,4721 : f (x1) = 0,6300 x2 = xu – d = 4 – 2,4721 = 1,5279 : f (x2) = 1,7647

Karena kasus ini merupakan persoalan maksimasi, dan: f (x2) > f (x1), maka:

xl baru = xl lama

xu baru = x1 lama

Dengan kata lain, sub-interval x kanan (yakni antara x1 dan xu) dieliminasi. Iterasi kedua: xl = 0 : f (xl) = 0 xu = 2,4721 : f (xu) = 0,6300 5279 , 1 ) 0 4721 , 2 ( 2 1 5 ) ( 2 1 5 = − − = − − = x_u x_l d x1 = xl + d = 0 + 1,5279 = 1,5279 = x2 lama : f (x1) = 1,7647 x2 = xu – d = 2,4721 – 1,5279 = 0,9443 : f (x2) = 1,5310

Karena kasus ini merupakan persoalan maksimasi, dan: f (x2) < f (x1), maka:

xl baru = x2 lama

xu baru = xu lama

Dengan kata lain, sub-interval x kiri (yakni antara xl dan x2) dieliminasi.

Cara perhitungan yang sama/ analog dapat dilakukan pada langkah iterasi berikutnya. Perhitungan dapat dilakukan secara berulang-ulang hingga mencapai nilai toleransi yang diinginkan. Perhatikanlah bahwa penyelesaian ini konvergen menuju nilai maksimum yang sebenarnya (yakni pada x = 1,4276; dengan nilai maksimum f (x) = 1,7757). Hasil-hasil perhitungan selengkapnya (hingga langkah iterasi ke-17) disajikan pada tabel berikut ini:

Keterangan: Bagian yang diarsir merupakan nilai x dan f (x) terbesar pada setiap langkah iterasinya.

Catatan: Secara analitik, nilai maksimum fungsi dapat ditentukan dengan cukup mudah, karena f(x) berbentuk persamaan yang mudah diturunkan (atau ditentukan fungsi turunannya). Tentukan fungsi turunan pertama dari f(x), dan selanjutnya tentukan nilai x yang membuat f’(x) = 0. Untuk mengecek kebenaran kategori persoalan optimasinya (yakni apakah maksimum atau minimum) pada nilai x yang ditinjau, tentukan nilai fungsi turunan kedua dari f(x). Silakan Anda coba sendiri...!

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section:

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0,001 dari semula, maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah: (0,618)N ₌0,001

N = 14,3 ≈ 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N – 1) x 1 = 16

METODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama dengan metode Newton dalam penentuan akar persamaan tak-linier, melalui pendefinisian fungsi: g(x) = f’(x)

Karena pada kondisi optimum berlaku: '( *)f x =g x( *) 0=

(dengan x* menyatakan nilai x optimum)

maka, nilai x* dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut: 1

'( )

''( )

i i i i

f x

x

x

f x

+

= −

CONTOH SOAL 2#:

Gunakan metode Newton untuk menentukan maksimum dari fungsi: 10 sin 2 ) ( 2 x x x f = −

dengan nilai awal x sebesar x0 = 2,5 Penyelesaian:

Pada metode Newton, fungsi turunan pertama dan kedua harus dievaluasi terlebih dahulu. Untuk fungsi tersebut di atas:

5 cos 2 ) ( ' x x x f = − 5 1 sin 2 ) ( '' x =− x− f Iterasi pertama: x0 = 2,5 57194 , 0 10 ) 5 , 2 ( ) 5 , 2 ( sin 2 ) 5 , 2 ( ) (x₀ = f = − 2 = f 1023 , 2 5 5 , 2 ) 5 , 2 ( cos 2 ) 5 , 2 ( ' ) ( ' x₀ = f = − =− f 3969 , 1 5 1 ) 5 , 2 ( sin 2 ) 5 , 2 ( '' ) ( '' x₀ = f =− − =− f

Dengan demikian, x1 dapat dihitung dengan cara sbb.:

99508 , 0 3969 , 1 1023 , 2 5 , 2 ) ( '' ) ( ' 0 0 0 1 ₋ = − − = − = x f x f x x

Cara perhitungan yang sama/ analog dapat dilakukan pada langkah iterasi berikutnya. Perhitungan dapat dilakukan secara berulang-ulang hingga mencapai nilai toleransi yang diinginkan. Perhatikanlah bahwa penyelesaian ini konvergen menuju nilai maksimum yang sebenarnya (yakni pada x = 1,42755; dengan nilai maksimum f (x) = 1,77573). Hasil-hasil perhitungan selengkapnya (hingga langkah iterasi ke-5) disajikan pada tabel berikut ini:

Catatan: Berdasarkan hasil yang disajikan dalam tabel di atas, bagaimanakah komentar Anda, yang berkaitan dengan laju konvergensi metode Newton, jika dibandingkan dengan penggunaan metode sebelumnya...?

METODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode interpolasi kuadrat dapat digunakan untuk melakukan optimasi secara numerik. Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomial orde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f (x) di dekat titik optimumnya. (Perhatikan gambar di bawah ini…)

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0, x1, dan x2) yang mengapit

titik optimumnya, maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya. Diferensiasikan persamaan yang diperoleh, set hasilnya menjadi sama dengan nol, dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb.:

2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 0 2 0 1 3 0 1 2 1 2 0 2 0 1

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

2 ( ) (

) 2 ( ) (

) 2 ( ) (

)

f x

x

x

f x

x

x

f x

x

x

x

f x

x

x

f x

x

x

f x

x

x

−

+

−

+

−

=

−

+

−

+

−

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif, melalui strategi yang sama dengan metode golden section,

hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen.

CONTOH SOAL 3#:

Gunakan metode interpolasi kuadrat untuk menentukan maksimum dari fungsi: 10 sin 2 ) ( 2 x x x f = −

dengan nilai-nilai awal x: x0 = 0; x1 = 1; dan x2 = 4 Penyelesaian:

Iterasi pertama:

x0 = 0 : f (x0) = 0

x1 = 1 : f (x1) = 1,5829

x2 = 4 : f (x2) = -3,1136

Berdasarkan nilai-nilai x0, f (x0), x1, f (x1), x2, dan f (x2), maka x3 dapat dihitung sbb.:

) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 2 0 2 1 2 1 0 2 1 2 0 2 2 0 2 2 1 2 2 2 1 0 3 _{f x x x f x x x f x x x} x x x f x x x f x x x f x − + − + − − + − + − = 5055 , 1 ) 1 0 ( ) 1136 , 3 ( 2 ) 0 4 ( ) 5829 , 1 ( 2 ) 4 1 ( ) 0 ( 2 ) 1 0 ( ) 1136 , 3 ( ) 0 4 ( ) 5829 , 1 ( ) 4 1 ( ) 0 ( 2 2 2 2 2 2 3 _{− + − + − −} = − − + − + − = x Nilai f (x) pada x3: f (x3) = 1,7691

Karena kasus ini merupakan persoalan maksimasi, dan:

f (x0) < f (x1) < f (x3), serta: f (x3) > f (x2)

maka:

x0 lama dieliminasi

Dengan kata lain, sub-interval x kiri dieliminasi, atau 3 buah nilai x lama (yakni x1, x2, dan

x3) akan digunakan dalam perhitungan iterasi berikutnya.

Iterasi kedua:

x0 = 1 : f (x0) = 1,5829

x1 = 1,5055 : f (x1) = 1,7691

x2 = 4 : f (x2) = -3,1136

Berdasarkan nilai-nilai x0, f (x0), x1, f (x1), x2, dan f (x2), maka: x3 = 1,4903

Nilai f (x) pada x3: f (x3) = 1,7714

Karena kasus ini merupakan persoalan maksimasi, dan:

f (x0) < f (x3), serta: f (x3) > f (x1) > f (x2)

maka:

x2 lama dieliminasi

x0 baru = x0 lama

Dengan kata lain, sub-interval x kanan dieliminasi, atau 3 buah nilai x lama (yakni x0, x1,

dan x3) akan digunakan dalam perhitungan iterasi berikutnya.

Demikian seterusnya, untuk langkah iterasi berikutnya. Perhitungan dapat dilakukan secara berulang-ulang hingga mencapai nilai toleransi yang diinginkan. Perhatikanlah bahwa penyelesaian ini konvergen menuju nilai maksimum yang sebenarnya (yakni pada x = 1,4276; dengan nilai maksimum f(x) = 1,7757). Hasil-hasil perhitungan selengkapnya (hingga langkah iterasi ke-5) disajikan pada tabel berikut ini:

OPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb:

y = f (x1, x2, x3, ….., xn)

Ingin dicari harga x1, x2, x3, ….., xn yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau

minimum (minimasi). Pengelompokan metodenya secara garis besar adalah: (1) non-gradient

methods, dan (2) gradient methods.

Beberapa metode yang akan dibahas meliputi: • Metode Hooke-Jeeves

• Metode steepest ascent (ascending)/ descent (descending) • Metode langsung/ random search

METODE HOOKE-JEEVES

Prinsip penerapan metode Hooke-Jeeves meliputi 2 hal sebagai berikut:

(1) Eksplorasi nilai ∆xi (i menyatakan indeks variabel x)

(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan metode Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut. Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi:

y = (x1 – 4)2 + 0,5.(x2 – 9)2 + 3 = f (x1, x2)

Sebagai cek, dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4, x2 = 9, dan harga ymin

x1 x2 y Komentar 1 16 36,5 Basis Eksplorasi dengan Δx1 = 1, Δx2 = 2 2 16 31,5 Sukses 2 18 47,5 Gagal 2 14 19,5 Sukses

Mengulangi langkah sukses

3 12 8,5 Sukses 4 10 3,5 Sukses 5 8 4,5 Gagal Eksplorasi dengan Δx1 = 1, Δx2 = 2 5 10 4,5 Gagal 3 10 4,5 Gagal 4 12 7,5 Gagal 4 8 3,5 Gagal Eksplorasi dengan Δx1 = 0,2, Δx2 = 0,4 4,2 10 3,54 Gagal 3,8 10 3,54 Gagal 4 10,4 4,96 Gagal 4 9,6 3,18 Sukses

Mengulangi langkah sukses

4 9,2 3,02 Sukses 4 8,8 3,02 Gagal Eksplorasi dengan Δx1 = 0,2, Δx2 = 0,4 4,2 9,2 3,06 Gagal 3,8 9,2 3,06 Gagal 4,0 9,6 3,18 Gagal 4,0 8,8 3,02 Gagal Eksplorasi dengan Δx1 = 0,04, Δx2 = 0,08 4,04 9,2 3,021 Gagal 3,96 9,2 3,021 Gagal 4,00 9,28 3,039 Gagal 4,00 9,12 3,007 Sukses

Mengulangi langkah sukses

4,00 9,04 3,0008 Sukses 4,00 8,96 3,0008 Gagal

Demikian seterusnya. Proses dihentikan setelah eksplorasi gagal, serta Δx1 dan Δx2 cukup kecil. METODE STEEPEST ASCENT /DESCENT

• Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana. • Terminologi:

steepest ascent untuk pencarian maksimum fungsi

steepest descent untuk pencarian minimum fungsi

• Prinsip pencarian optimum:

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan

banyak variabel (multi-dimensional function) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function), berdasarkan gradien arah pencarian. Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif), hingga diperoleh tingkat konvergensi yang diinginkan.

PENCARIAN OPTIMUM:

Sebagai ilustrasi, tinjaulah fungsi dua variabel f(x,y) yang akan ditentukan titik maksimumnya.

x y

•

•

•

h2 h1 h0 x0 y0 2 1 0 Titik optimum f(x,y)

Berdasarkan nilai awal x = x0 dan y = y0, dapat ditentukan nilai gradien (atau arah steepest ascent)-nya, yakni sebesar h0. Berdasarkan nilai h0, nilai maksimum fungsi dapat ditentukan, yakni

pada titik “1”. Demikian seterusnya, proses ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh titik optimum sesungguhnya.

Secara numerik:

Misal, untuk sebuah fungsi dua variabel: f(x,y) yang akan dicari titik optimumnya, dengan nilai

awal: x = x0dan y = y0, maka pada langkah iterasi pertama, nilai x dan y yang baru dapat ditentukan

dengan: 0 0 0 , x y f x x h x ∂ = + ∂ dan 0 0 0 , x y f y y h y ∂ = + ∂ dengan: f x ∂ ∂ dan f y ∂

∂ merupakan turunan parsial fungsi f(x,y) masing-masing terhadap x dan y

Dalam hal ini, vektor gradien fungsinya dinyatakan sebagai: f f i f j

x y

∂ ∂

∇ = +

∂ ∂

(Pada kasus ini, sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan y, f(x,y), ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satu variabel dalam h, g(h).)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah

iterasi berikutnya. Demikian seterusnya.

CONTOH SOAL 4#:

Gunakan metode steepest ascending (atau ascent) untuk menentukan maksimum dari fungsi:

2 2 ₂ 2 2 ) , (x y xy x x y f = + − −

dengan nilai awal x dan y sebesar: x0 = -1 dan y0 = 1 Penyelesaian:

Turunan parsial fungsi di atas dapat dituliskan sebagai:

x y x f 2 2 2 + − = ∂ ∂ dan x y y f 4 2 − = ∂ ∂ Iterasi pertama: Nilai awal: x0 = -1; y0 = 1 Pada x0 dan y0: 7f(x,y)=2(−1)(1)+2(−1)−(−1)2−2(1)2 =−

Evaluasi nilai turunan parsial fungsi pada x0 dan y0:

6 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 0 0, = − − + = ∂ ∂ y x x f 6 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 0 0, − = − − = ∂ ∂ y x y f

maka, vektor gradiennya dapat dituliskan sebagai: ∇f =6i−6 j dan: h h x f x x y x 6 1 0 0, 0 _∂ =− + ∂ + = h h y f y y y x 6 1 0 0, 0 _∂ = − ∂ + =

Substitusikan nilai x dan y (sebagai fungsi h) ke dalam f (x,y) di atas:

2 2 ₂ 2 2 ) , (x y xy x x y f = + − − ) ( ) 6 1 ( 2 ) 6 1 ( ) 6 1 ( 2 ) 6 1 ( ) 6 1 ( 2 ) , (_{x y h h h h} 2 _h 2 _{g h} f = − + − + − + − − + − − = ) ( 7 72 180 ) , (_{x y h}2 _{h g h} f =− + − =

Fungsi turunan pertama dari g(h): g'(h)=−360h+72

Nilai h yang membuat g(h) maksimum dicapai pada saat g’(h) = 0, yakni sebesar: 0 72 360 ) ( ' h =− h+ = g 72 360h= 2 , 0 = h

Dengan demikian, nilai x baru dan y baru dapat dihitung sbb.: 2 , 0 ) 2 , 0 ( 6 1 6 1+ =− + = − = h x 2 , 0 ) 2 , 0 ( 6 1 6 1− = − =− = h y

Cara perhitungan yang sama dapat dilakukan untuk langkah-langkah iterasi berikutnya. Hasil perhitungan selengkapnya (hingga langkah iterasi ke-12) disajikan pada tabel berikut ini:

Berdasarkan hasil-hasil tersebut di atas, terlihat bahwa penyelesaian bersifat konvergen menuju ke nilai x optimum dan y optimum yang sebenarnya, yakni x = 2 dan y = 1, dengan nilai f (x,y) maksimum sebesar 2.

Catatan:

Anda dapat mengecek hasil ini secara analitik melalui telaah turunan fungsinya. Turunan parsial fungsi ini dapat dituliskan sebagai:

x y x f 2 2 2 + − = ∂ ∂ dan x y y f 4 2 − = ∂ ∂ Nilai optimum x dan y dicapai pada saat

x f ∂ ∂ = 0 dan y f ∂ ∂

= 0. Dapat ditentukan dengan mudah, nilai-nilai tersebut adalah: x = 2 dan y = 1. Kriteria optimumnya (local minimum,

local maximum, atau saddle point) dapat dicek melalui penggunaan turunan-kedua fungsi

(

2 2 2

)

2 2 2 − = − + ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ x y x x f x x f

(

2 4

)

2 2 = − ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ y x x y f x y x f

(

2 2 2

)

2 2 = − + ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ x y y x f y x y f

(

2 4

)

4 2 2 − = − ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ y x y y f y y f

Nilai determinan matriks Hessian (H) dari f:

det(H) = ( 2)( 4) (2)(2) 6 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − − − = − − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y f x y f y x f x f

Karena nilai det(H) > 0 dan ₂

2 x f

∂ ∂

< 0, maka terbukti bahwa titik (2, 1) merupakan titik maksimum lokal.

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

• Sesuai dengan namanya, metode random search secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak (randomly). Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi, maka kondisi optimumnya akan teramati, dan sebaliknya. Dengan demikian, metode ini tidak efisien…!

• Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun. • Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum

lokal)

CONTOH SOAL 5#:

Gunakan metode random search untuk menentukan maksimum dari fungsi:

2 2 ₂ 2 ) , (x y y x x xy y f = − − − −

jika domain nilai x dan y dibatasi pada: x = -2 hingga 2; dan y = 1 hingga 3. Catatan: Nilai maksimum fungsi ini adalah 1,25 pada x = -1 dan y = 1,5.

Penyelesaian:

Random number generator, yang dalam hal ini diwakili sebagai bilangan r, secara tipikal

dinyatakan dalam angka-angka di antara 0 dan 1.

Nilai x optimum di antara xl dan xu secara acak (random) dapat dinyatakan sebagai:

x = xl + (xu – xl) r

Karena dalam hal ini: xl = -2 dan xu = 2, maka: x = (-2) + (2 – (-2)) r = -2 + 4 r

Dengan cara yang sama, nilai y optimum di antara yl dan yu secara acak dapat dinyatakan

sebagai:

y = yl + (yu – yl) r

Karena dalam hal ini: yl = 1 dan yu = 3, maka: y = (1) + (3 – 1) r = 1 + 2 r

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai r yang memenuhi: 0 ≤ r ≤ 1 secara acak ke dalam: x = -2 + 4 r dan y = 1 + 2 r

Sebagai contoh, dengan mengambil nilai-nilai r sebesar 0; 0,25; 0,5; 0,75; dan 1; serta menerapkannya secara acak terhadap persamaan x dan y sebagai fungsi r tersebut di atas, maka diperoleh hasil-hasil perhitungan sbb.:

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIK (Sebuah Perbandingan)

Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel: f`(x,y)

Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori:

(1) f (x,y) mempunyai minimum lokal: jika det(H) > 0 dan

2 2 0 f x ∂ _> ∂

(2) f (x,y) mempunyai maksimum lokal: jika det(H) > 0 dan ₂ 0

2 < ∂ ∂ x f

(3) f (x,y) mempunyai titik belok (saddle point): jika det(H) < 0 det(H) merupakan nilai determinan matriks Hessian yang dinyatakan sebagai:

2 2 2 2 2 2 det( ) f f x x y H f f y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Contoh Aplikasi-1:

LOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xi,yi) menghasilkan limbah dengan

debit masing-masing sejumlah Qi. Akan dibangun suatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh

pabrik tersebut. Ongkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbah berbanding lurus dengan debit pangkat 0,6. Ingin ditentukan posisi (koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutan limbah minimum.

Analisis:

Harga =k jarak.

(

) (

. debit

)

0,6

Misal: Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP, yP)

Jarak pabrik (xi,yi) ke lokasi pengolah limbah:

(

) (

2

)

2

i P i P i

d = x −x + y −y

Ongkos transportasi dari pabrik (xi, yi): C_i =k Q. _i0,6.

(

x_P−x_i

) (

2+ y_P −y_i

)

2

Nilai-nilai x dan y optimum

Nilai f(x,y) maksimum

maka, ongkos transportasi total: 1 N T i i C C = =

∑

0,6

(

) (

2

)

2 1 N i P i P i i k Q x x y y = =

∑

− + −

=

f x y

(

P

,

P

)

Akan ditentukan nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimum.

Misal: nilai k = 1 dan posisi koordinat masing-masing pabrik adalah sebagai berikut:

i xi yi Qi 1 1 4 20 2 2 1 30 3 3 7 25 4 8 3 80 y x (1,4) (3,7) (2,1) (8,3)

(Silakan Anda coba untuk menyelesaikannya, dengan bantuan software yang Anda kuasai...)

Contoh Aplikasi-2:

EVALUASI NILAI PARAMETER PERSAMAAN NON-LINIER

Hubungan antara tekanan uap murni suatu cairan (Po, cm Hg) dengan suhu mutlak (T, K) didekati

dengan persamaan Clausius-Clapeyron:

exp o B P A T ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠

Jika tersedia data sebagai berikut:

T 280 300 320 340 360 380 400

Po 2 5 12 25 49 89 148

berapakah nilai A dan B yang memberikan hasil persamaan empirik yang paling mendekati data?

Analisis:

Persoalan ini dapat diselesaikan dengan metode linierisasi, kemudian dilanjutkan dengan regresi linier, namun di sini akan diselesaikan dengan least squares secara langsung dalam bentuk persamaan non-linier yang ditinjau.

Untuk data ke-i : _,o exp

i empirik i B P A T ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠

Error untuk data ke-i : _,o _,o i i empirik i data R =P −P exp o i i i B R A P T ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟− ⎝ ⎠

Sum of squares of errors :

(

)

2 2 1 1 exp , n n o i i i i i B S R A P f A B T = = ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ = = ⎜_⎜ ⎜ + ⎟− ⎟_⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∑

Akan dicari nilai A dan B yang memberikan nilai S minimum.

(Silakan Anda coba untuk menyelesaikannya, dengan bantuan software yang Anda kuasai... Jika Anda menggunakan metode Hooke-Jeeves, silakan coba dengan nilai awal: A = 12; B =

-4200; ΔA = 1,48; ΔB = 150; Toleransi A = 0,01; toleransi B = 1, rasio Δ = 0,6) atau:

SOAL-SOAL LATIHAN

(1) Employ the following methods to find the maximum of: 4 3 2 _{1,1 0,25} 75 , 1 2 ) (x x x x x f = − + −

(a) golden section search (xl = -2, xu = 4, εs = 1%)

(b) quadratic interpolation (x0 = 1,75; x1 = 2; x2 = 2,25; iterations = 5)

(c) Newton’s method (x0 = 2,5; εs = 1%)

(2) Consider the following function: _f(x)=6x+7,5x2 _+3x3_+x4

Use analytical and graphical methods to show the function has a minimum for some value of x in the range -2 ≤ x ≤ 1.

(3) Employ the following methods to find the maximum of the function from Prob. (2) above: (a) golden section search (xl = -2, xu = 1, εs = 1%)

(b) quadratic interpolation (x0 = -2; x1 = -1; x2 = 1; iterations = 5)

(c) Newton’s method (x0 = -1; εs = 1%)

(4) Consider the following function:

x x x

f( )= +1

Perform 10 iterations of quadratic interpolation to locate the minimum. Comment on the convergence of your results. (x0 = 0,1; x1 = 0,5; x2 = 5,0)

(5) Find the gradient vector and Hessian matrix for each of the following functions: (a) _{f x y( , ) 2= xy}2_+3ex y

(b) _f(x,y,z)=x2_{+ y}2_+2z2 (c) _f(_x,_y)₌ln(_x2₊2_xy+3_y2)

(6) Find the minimum value of:

_{f(x,y)=(x−2)}2_+(y−3)2

starting at x = 1 and y = 1, using the steepest descent method with a stopping criterion of εs =

1%.

(7) Perform one iteration of the steepest ascent method to locate the maximum of: 2 4 2 ₂ 2 5 , 3 ) , (x y x y x x xy y f = + + − − −

using initial guesses x = 0 and y = 0. Employ bisection to find the optimal step size in the gradient search direction.

(8) A temperature function is:

f(x,y)₌2x3y2₋6yx₊x2₊4y

Develop a one-dimensional function in the temperature gradient direction at the point (1,1). (9) Design the optimal cylindrical container (the radius, r, and the height, h) that is open at one

end and has walls of negligible thickness. The container is to hold 8 meter3. Design it so that the areas of its bottom and side are minimized. Perform 3 iterations (at least) by using:

(a) Newton method (Use the initial guess of r or h = 2 meter)

(b) golden section search method (Use the initial interval guess of r or h = 1 - 2 meter)

(10) A mixture of benzene and toluene are to be separated in a flash tank. At what temperature should the tank be operated to get the highest purity toluene in the liquid phase (maximizing xT). The pressure in the flash tank is 760 mm Hg. The units for Antoine’s equations are mm Hg

P P x P x sat T T sat B B + = 221 1211 905 , 6 ) ( log₁₀ + − = T Psat B 219 1344 953 , 6 ) ( log₁₀ + − = T Psat T

(11) A will be converted into B in a stirred tank reactor. The product B and un-reacted A are purified in a separation unit. Un-reacted A is recycled to the reactor. A process engineer has found that the initial cost of the system is a function of the conversion, xA. Find the conversion

that will result in the lowest cost system. C is a proportionality constant.

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 6 , 0 6 , 0 2 1 5 ) 1 ( 1 A A x x C Cost

(12) In the previous problem, only one reactor is used. If two reactors are used in series, the governing equation for the system changes. Find the conversions for both reactors (xA1 and

xA2) such that the total cost of the system is minimized.

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 6 , 0 2 6 , 0 2 2 2 1 6 , 0 2 1 2 1 ₅ 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( _{A A} A A A A A x x x x x x x C Cost

(13) The two-dimensional distribution of pollutant concentration in a channel can be described by: xy y x y x y x c( , )₌7,9₊0,13 ₊0,21 ₋0,05 2 ₋0,016 2 ₋0,007

Determine the exact location of the peak concentration given the function and the knowledge that the peak lies within the bounds -10 ≤ x ≤ 10 and 0 ≤ y ≤ 20.

☺☺☺

_{Good Luck…!!!}

☺☺☺

Catatan: 

Pustaka  lain  yang  digunakan  dalam  penyusunan  materi  kuliah  ini:  Wahyudi  Budi  Sediawan  dan  Agus  Prasetya,  “Pemodelan  Matematis  dan  Penyelesaian  Numeris  dalam  Teknik  Kimia”,  Diktat  Kuliah,  Yogyakarta:  UGM  Press;  dan  beberapa  materi  Pelatihan  Metode  Numerik  yang  disampaikan  oleh  Prof.  Wahyudi Budi Sediawan di dalam lingkup UPN “Veteran” Yogyakarta.