Optimasi Numerik Materi Kuliah: Pengantar; Optimasi Satu Variabel; Optimasi Banyak Variabel

Optimasi Numerik

by: siti diyar kholisoh

Materi Kuliah:

Pengantar; Optimasi Satu Variabel;

Optimasi Banyak Variabel

dy/Analisis Numerik

JURUSAN TEKNIK KIMIA – FTI - UPN “VETERAN” YOGYAKARTA

PUSTAKA

„

James B. Riggs, 1988, “An Introduction to

Numerical Methods for Chemical

Engineers”, Texas: Texas Tech University

Press, Chapter 6

„

Steven C. Chapra & Raymond P. Canale, 2003,

“Numerical Methods for Engineers: With

Software and Programming Applications”, 4

th

edition, New York: McGraw-Hill Company Inc,

Part Four

„

etc.

OBJECTIVES

„

Understand why and where optimization occurs

in engineering problem solving.

„

Understand the major elements of the general

optimization problem: (1) objective function, (2)

decision variables, and (3) constraints.

„

Be able to distinguish between linear and

nonlinear optimization, and between

constrained and unconstrained problems.

INTRODUCTORY EXAMPLE

Persoalan pemilihan diameter pipa untuk mengangkut fluida dari satu proses ke proses yang lain.

Diameter pipa optimum, berdasarkan:

Biaya investasi, dan biaya operasi

866 788 852 1160 5266 Total 150 150 150 192 401 Pump capital costs

660 474 389 308 168 Pipe capital costs

56 164 312 660 4697 Operating costs 2,5 2 1,5 1,25 1

Pipe diameter (in) $ / year

Cost components Diameter _{pipa mana}

yang akan Anda pilih?

PENGANTAR-1

„

Definisi optimasi

„

Jenis optimasi: 1- maksimasi; 2- minimasi

„

Dua hal penting dalam studi optimasi: 1- fungsi

objektif dan decision variables; 2- kendala

(constraints)

„

Contoh-contoh persoalan optimasi dalam bidang

engineering

„

Contoh-contoh constraints yang menyertai

persoalan optimasi

Definisi dan Jenis Optimasi

Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari

kondisi yang optimum, dalam arti paling menguntungkan.

Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasi.

Jika berkaitan dengan masalah keuntungan, maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan keuntungan maksimum (maksimasi). Jika berkaitan dengan masalah pengeluaran/pengorbanan, maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan pengeluaran/pengorbanan minimum (minimasi).

Fungsi Objektif

Secara umum, fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif (objective

function), sedangkan harga-harga yang berpengaruh

dan bisa dipilih disebut variabel (perubah) atau

decision variable.

Secara analitik, nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan: y = f(x)

dapat diperoleh pada harga x yang memenuhi:

y’ = f’(x) = 0

Contoh Persoalan Optimasi dalam

Bidang Engineering

„

Design pump and heat transfer equipment

for maximum efficiency

„

Design waste water treatment system to

meet water-quality standards of least cost

„

Optimal planning and scheduling

„

Optimal pipeline network

„

Inventory control

Contoh Constraints yang Menyertai

Persoalan Optimasi

„ Maximum process temperature

„ Maximum flow rate limitation „ Maximum conversion limitation „ Product purity „ Strength of materials „ Environmental factor „ Safety consideration „ Availability of utilities „ Corrosion considerations

„ Availability and characteristics of feed stocks „ Market demand for the product

„ Space limitation

„ An upper limit on the capital investment

PENGANTAR-2

Ilustrasi maksimasi (secara grafik):

Beberapa istilah: Maksimum lokal Maksimum global A unimodal function One hump or one valley Catatan: Analog,

untuk kasus minimasi

PENGANTAR-3

Maksimum dan minimum lokal dan global:

PENGANTAR-4

Perbedaan antara persoalan optimasi dengan

pencarian/ penentuan akar persamaan:

PENGANTAR-5

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel:

optimum

OPTIMASI SATU VARIABEL

„ Metode golden section „ Metode Newton

„ Metode interpolasi kuadrat „ dsb.

Beberapa metode yang akan dibahas:

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb.:

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi). Dalam hal ini, x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi.

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara atau

metode optimasi numerik yang bisa dipakai untuk

fungsi yang bersifat unimodal. Kedua tipe

optimasi, yaitu maksimasi dan minimasi dapat

diselesaikan dengan cara ini.

Golden-section (search) method merupakan

metode optimasi satu variabel yang sederhana,

dan mempunyai pendekatan yang mirip dengan

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yang

akan ditentukan maksimum-nya, pada rentang x = x_ldan x = x_u(perhatikan gambar di samping).

Mirip dengan bisection, ide dasar metode ini adalah me-manfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baru.

METODE GOLDEN SECTION

Karena: 1 2 2 1 1

l

l

l

l

l

=

+

2 1 1 2 1

l

l

l

l

l

=

+

2 1 1 2

1

l

l

l

l =

+

R

R

1

1

+

=

0

1

2

_{+ R}

₋

₌

R

2 1 0

l

l

l

=

+

...

61803

,

0

2

1

5

−

₌

=

R

maka:

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan:

1 2

l

l

R

=

atau: atau: sehingga:

Nilai akar positifnya:

(R biasa disebut sebagai

golden ratio atau golden number)

ALGORITMA

(kasus maksimasi):

)

(

2

1

5

l u

x

x

d

=

−

−

d

x

x

₁

=

_l

+

1. Mulai dari 2 nilai tebakan awal xldan xu, yang mengapit

titik maksimum.

2. Tentukan nilai x1dan x2di

dalam rentang xldan xu, sesuai

dengan golden ratio (R)

d

x

x

₂

=

_u

−

ALGORITMA (kasus maksimasi):

3. Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x₁dan x₂), diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi, sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evalua-si langkah berikutnya. Jadi hanya diperlukan 1 titik baru.

Ada 2 kasus:

(a) Jika: f(x₁) > f(x₂)

Maka: domain x antara x_ldan x₂dieliminasi x2lama = xlbaru x1lama = x2baru x_ulama = x_ubaru x₁baru Æ ditentukan (b) Jika: f(x2) > f(x1)

Maka: domain x antara x1

dan xudieliminasi

x₁lama = x_ubaru x₂lama = x₁baru x_llama = x_lbaru

x2baru Æ ditentukan

METODE GOLDEN SECTION

Jumlah evaluasi = 2 + (N – 1) x 1 = 16 N = 14,3 ≈ 15

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section:

Algoritma untuk kasus minimasiÆkebalikan dari

algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0,001 dari semula, maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah:

001

,

0

)

618

,

0

(

N

=

METODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama dengan metode Newton dalam penentuan akar persamaan tak-linier, melalui pendefinisian fungsi: g(x) = f’(x)

0 *) ( *) ( ' x =g x = f

Karena pada kondisi optimum:

)

(

''

)

(

'

1 i i i i

x

f

x

f

x

x

₊

=

−

(x* menyatakan nilai x optimum)

maka, nilai x* dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut:

Silakan pelajari contoh soal #2…!

METODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat

digu-nakan untuk melakukan optimasi secara nume-rik. Hal ini disebabkan oleh penggunaan polino-mial orde-dua yang menghasilkan pende-katan cukup baik terha-dap bentuk f(x) di dekat titik optimumnya.

(Perhatikan gambar di samping…)

METODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x₀, x₁, dan x₂) yang mengapit titik optimumnya, maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya.

)

(

)

(

2

)

(

)

(

2

)

(

)

(

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 0 2 0 2 1 2 1 0 2 1 2 0 2 2 0 2 2 1 2 2 2 1 0 3

x

x

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

x

−

+

−

+

−

−

+

−

+

−

=

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh, set hasilnya men-jadi sama dengan nol, dan perkiraan x optimum dapat diten-tukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb.:

Penentuan x₃dilakukan secara iteratif, melalui strategi yang sama dengan metode golden section, hingga

dipero-OPTIMASI BANYAK VARIABEL

„ Metode Hooke-Jeeves

Beberapa metode yang akan dibahas:

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb:

y = f(x₁, x₂, x₃, ….., x_n)

Ingin dicari harga x1, x2, x3, ….., xnyang memberikan harga

y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi).

Pengelompokan metodenya secara garis besar: (1)

METODE HOOKE-JEEVES

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut. Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi:

y = (x₁– 4)2_{+ 0,5.(x}

2– 9)2+ 3

Sebagai cek, dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1= 4, x2= 9, dan harga ymin=

3. Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1= 1,

x2= 16, serta interval awal Δx1= 1 dan Δx2= 2.

Prinsip metode Hooke-Jeeves:

(1) Eksplorasi nilai ∆x_i (2) Mengulangi langkah sukses

HOOKE-JEEVES-2

Gagal 3,5 8 4 Gagal 7,5 12 4 Gagal 4,5 10 3 Gagal 4,5 10 5 Eksplorasi dengan Δx1= 1, Δx2=2 Gagal 4,5 8 5 Sukses 3,5 10 4 Sukses 8,5 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses 19,5 14 2 Gagal 47,5 18 2 Sukses 31,5 16 2 Eksplorasi dengan Δx1= 1, Δx2=2 Basis 36,5 16 1 Komentar y x2 X1 Hasil perhitungan:

HOOKE-JEEVES-3

Gagal 3,02 8,8 4,0 Gagal 3,18 9,6 4,0 Gagal 3,06 9,2 3,8 Gagal 3,06 9,2 4,2 Eksplorasi dengan Δx1= 0,2, Δx2= 0,4 Gagal 3,02 8,8 4 Sukses 3,02 9,2 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses 3,18 9,6 4 Gagal 4,96 10,4 4 Gagal 3,54 10 3,8 Gagal 3,54 10 4,2

Eksplorasi dengan Δx1= 0,2, Δx2= 0,4

HOOKE-JEEVES-4

Gagal 3,0008 8,96 4,00 Sukses 3,0008 9,04 4,00

Mengulangi langkah sukses

Sukses 3,007 9,12 4,00 Gagal 3,039 9,28 4,00 Gagal 3,021 9,2 3,96 Gagal 3,021 9,2 4,04 Eksplorasi dengan Δx₁= 0,04, Δx₂= 0,08

Proses dihentikan setelah eksplorasi gagal, serta Δx₁dan Δx₂cukup kecil.

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

„ Sesuai dengan namanya, metode ini secara

berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak. Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi, maka kondisi optimumnya akan teramati.

Ætidak efisien…!

„ Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun.

„ Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik

optimum global (bukan optimum lokal)

Silakan pelajari contoh soal #5…!

METODE STEEPEST ASCENT/DESCENT

„ Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana. „ Terminologi:

steepest ascent Æ untuk pencarian maksimum fungsi steepest descent Æ untuk pencarian minimum fungsi

„ Prinsip pencarian optimum:

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk

mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel

(multi-dimensional function) menjadi sebuah fungsi dengan

variabel tunggal (one-dimensional function), berdasarkan

gradien arah pencarian.

Langkah pencarian optimum ini

selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif).

PENCARIAN OPTIMUM

x y • • • h2 h1 h0 x0 y0 2 1 0 Titik optimum f(x,y) Sebagai ilustrasi, tinjaulah fungsi 2 variabel f(x,y) yang akan ditentukan titik maksimumnya. (lihat

gambar di samping)

Berdasarkan nilai awal x = x0& y = y0,

dapat ditentukan

nilai gradien (atau

arah steepest _{Berdasarkan h, nilai maksimum fungsi}

Secara Numerik:

Misal, untuk sebuah fungsi 2 variabel: f(x,y)

yang akan dicari titik optimumnya, dengan nilai awal:

x = x₀dan y = y₀

Pada langkah iterasi pertama, nilai x dan y yang baru dapat ditentukan dengan:

h

x

f

x

x

y x0, 0 0

_∂

∂

+

=

f

∂

dan

x

f

∂

∂

y

f

∂

∂

j

y

f

i

x

f

f

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

dan merupakan turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x dan y

Dalam hal ini, vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg:

Pada kasus ini, sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan y, f(x,y), ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satu variabel dalam h, g(h).

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x₀dan y₀pada langkah iterasi berikutnya. Demikian seterusnya.

Silakan pelajari contoh soal #4…!

Contoh Aplikasi:

LOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xi,yi)

menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi. Akan dibangun

suatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebut. Ongkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbah berbanding lurus dengan debit pangkat 0,6. Ingin ditentukan posisi (koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutan limbah minimum.

Analisis:

Misal: Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP, yP)

Jarak pabrik (xi,yi) ke lokasi pengolah limbah:

Ongkos transport dari pabrik (xi, yi):

(

)(

)

0,6

. .

arga k jarak debit

H = ( ) ( )2 i P 2 i P i x x y y d = − + − ( ) ( )2 i P 2 i P 6 , 0 i i k.Q . x x y y C = − + −

Ongkos transport total:

Dicari nilai xPdan yPyang memberikan nilai CTminimum.

Misal:

Dimisalkan pula: nilai k = 1

∑

= = N 1 i i T C C ( ) ( )

∑

= − + − = N 1 i 2 i P 2 i P 6 , 0 i x x y y Q k

(

xP,yP

)

f = 80 3 8 4 25 7 3 3 30 1 2 2 20 4 1 1 Qi yi xi i y x (1,4) (3,7) (2,1) (8,3)

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIK

(sebuah perbandingan)

„ Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel: f(x,y)

„ Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori:

2 2 2 2 2 2 ) det( y f x y f y x f x f H ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =

f(x,y) mempunyai minimum lokal: jika det(H) > 0 dan f(x,y) mempunyai maksimum lokal:

jika det(H) > 0 dan f(x,y) mempunyai titik belok (saddle point):

jika det(H) < 0

0

2 2

>

∂

∂

x

f

0

2 2

<

∂

∂

x

f

det(H) merupakan nilai

determinan matriks Hessian yang dinyatakan sebagai: