∑
R
e
π
i
Ujian Tulis UM UGM 2017
Matematika Dasar
Kode Naskah: 723
Disusun Oleh:
Muhamad Abdul Rosid
Website:
http://www.masrosid.com
1. Jikar= 20
√ 2−25
10+20√2(2−√2), maka(4r−2)
2=. . .
A. 5 B. 4 C. 3
D. 2
E. 1
Jawab:
r= 20
√ 2−25
10+20√2(2−√2)
= 5(4
√ 2−5)
10(2√2+1)(2−√2)
= (4
√ 2−5)
2(2√2+1)(2−√2)·
2√2−1 2√2−1 ·
2+√2 2+√2
= (16−4
√
2−10√2+5)(2+√2)
2(8−1)(4−2)
= (21−14
√
2)(2+√2)
2·7·2
= 7(3−2
√
2)(2+√2)
4·7
= 6+3
√
2−4√2−4 4
= 2−
√ 2 4
Dengan demikian,
(4r−2)2= 4· 2−
√ 2 4
!
−2
!2
2. Jika2log(a−b) =4, maka4log √ 2
3. Berdasarkan perkiraan kebutuhan ketela kotaPpadaxtahun setelah 2017 sebesarh(x) =180x2+540x+
1080 kuintal. Produk ketela kota tersebut pada tahun yang sama sebesar f(x) = 720x+20880 kuintal. Untuk mencukupi kebutuhannya, kota tersebut harus mendatangkan ketela dari luar kota mulai pada tahun . . . .
Kota tersebut mendatangkan ketela dari luar kota, ketika kebutuhan lebih besar dari produksi, yaitu
180x2+540x+1080>720x+20880
180x2−180x−1980>0
x2−x−110>0
(x−11)(x+10)>0
x>11
4. Selisih akar-akar persamaanx2+2ax+4
Selisih akar-akar persamaan kuadrat adalah|x1−x2|=
√
Sehingga 8(x+y) =8x+8y=2y+8y=10y=−25
6. Nilaipyang memenuhi pertidaksamaan(2p+4)(p−1)2>(p+2)2adalah . . . .
A. p> 2
5
B. 0< p< 5
2
C. p<0 ataup≥ 5
2 D. −2<p<0 ataup> 5
2 E. −2<p<0
Jawab:
(2p+4)(p−1)2
>(p+2)2
(p+2)·2·(p2−2p+1)>(p+2)2
(p+2)2p2−4p+2−(p+2)2>0
(p+2)2p2−4p+2−p−2>0
(p+2)(2p2−5p)>0
(p+2)p(2p−5)>0
Dengan menggunakan garis bilangan, maka diperoleh−2<p<0 ataup> 5
2
7. Nilai minimumz=6x+3ydi daerah yang diarsir adalah . . .
x y
−2 −1 1 2
−2
−1 1 2
A. 3 B. 6
C. 8
D. 10 E. 12
Jawab:
x Titik potong garis I dan II adalah titik
Titik potong garis I dan III adalah titik
Titik potong garis II dan III adalah titik(2, 2)
6x+3y
Jadi nilai minimumzadalah 8
8. Suku tengah deret aritmetika adalah 34. Jika suku pertamanya 4 dan suku ke-4 adalah 22, maka jumlah semua suku deret tersebut adalah . . .
A. 384
Karena suku tengahnya adalah suku ke-6, maka banyak suku deret tersebut adalah 11. Sehingga diperoleh,
Sn =n·Ut
S11=11·34=374
9. Ani memasak di dapur. Dia memiliki 10 liter air. Setiap 40 menit dia menuangkan 10% airnya ke dalam panci masakan. Jika proses memasak membutuhkan waktu selama 3 jam, maka selesai masak, sisa air Ani sebanyak . . . ml.
Perhatikan bahwa Ani mengambil air sebanyak 10% setiap 40 menit sekali. Menit ke Yang diambil Sisa air
0 0 10000
40 1000 9000
80 900 8100
Pada menit ke-160 sisa air adalah 6561 ml. Pada menit ke-180, selisih waktu dengan pengambilan terakhir belum ada 40 menit, sehingga Ani tidak mengambil sisa airnya. Jadi air yang tersisa tetap 6561 ml.
10. Jikaamemenuhi
denganATmenyatakan transpose matriks A, maka
a2+a=. . . .
Misalkan sinx =a. Kemudian,
12. A, B, C, D, dan E akan berfoto bersama. Peluang A dan B selalu berdampingan dan E selalu berada di ujung kanan adalah . . . .
A. 2 5
B. 1 5
C. 1
10
D. 1 20
E. 1 30
Jawab:
Karena E selalu di kanan, berarti kita tinggal menyusun 4 orang lainnya, yaitu A,B, C dan D. Akan tetapi A dan B harus berdampingan, maka dianggap sebagai satu objek. Sehingga sekarang kita tinggal menyusun 3 objek. Banyaknya cara menyusun 3 objek tersebut adalah 3!, sedangkan menyusun A dan B adalah 2!. Dengan demikian peluang kejadian ini adalah
P(A) = n(A)
n(S) = 3!2!
5!
= 1
10
13. Suatu desa berpenduduk 5000 jiwa, terdiri atas kelompok berpendidikan terakhir SD, SMP, SMA dan Per-guruan Tinggi (PT). Perbandingan jumlah penduduk berpendidikan terakhir SD, SMP, dan SMA sebesar 2 : 6 : 4. Jika persentase penduduk berpendidikan PT sebesar 4% dari total penduduk desa, maka jumlah penduduk berpendidikan terakhir SD sebesar . . .
A. 2400 B. 2000 C. 1600 D. 1000
E. 800
Jawab:
Karena persentase penduduk berpendidikan PT sebesar 4%, maka persentase penduduk berpendidikan terakhir SD, SMP dan SMA adalah 96%.
Sehingga persentase penduduk berpendidikan terakhir SD adalah
2
2+6+4×96%=16%
dan jumlah penduduk berpendidikan terakhir SD adalah
16
14. lim
x→1
x(2x2−3x+1)32
(x2−1)√x−1 =. . . .
A. −1 B. 0
C. 1
2
D. 1
E. 3 2
Jawab:
lim
x→1
x(2x2−3x+1)32
(x2−1)√x−1 =limx→1
x{(2x−1)(x−1)}32
(x+1)(x−1)√x−1
=lim
x→1
x(2x−1)32✘✘✘
✘
(x−1)32
(x+1)✘✘✘(x−1)✘32
=lim
x→1
x(2x−1)32
(x+1) = 1·1
2
15. Jika f(x+2) = x+1
x−2,x 6= 2 dang(x) = x+1, maka semua nilaiy = (f ◦g)(x)yang mungkin untuk
x≥6 adalah . . . A. y≥2
B. 1≤y≤2
C. 0<y≤2 D. −2≤y<0
E. y<−2
Jawab:
Misalkanx+2= p, makax=p−2. Dengan demikian
f(p) = p−2+1
p−2−2
= p−1
p−4
y= (f ◦g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = x+1−1
x+1−3
= x
x−3
Jikax =6, makay= 6
6−3 =2. Jikaxmendekati∞, maka
lim
x→∞
x x−3 =1
16. Fungsi dengan persamaan f(x) = 2x+a
x+2b memenuhi f′(1) =1 dan f(b) =−
2
3. Nilaibyang memenuhi adalah . . . .
A. −1
B. −45
C. −23
D. −14
E. 1
2
Jawab:
Karena f(b) =−23, maka
f(b) = 2b+a
b+2b
−2✁ 3 =
2b+a
✁
3b
−2b=2b+a a=−4b
Ingat kembali, bahwa jika f(x) = ax+b
cx+d, maka f′(x) =
ad−bc
(cx+2)2. Sehingga jikaa=−4b, maka
f(x) =2x−4b
x+2b
f′(x) =2·2b−(−4b)·1 (x+2b)2
= 8b
(x+2b)2
f′(1) = 8b (1+2b)2
1= 8b
4b2+4b+1
4b2+4b+1=8b
4b2−4b+1=0
(2b−1)2=0
b= 1
2
17. Fungsi f(x) =
√
x2+4
3 −
x
5 mencapai minimum relatif dix=. . . . A. 5
2
B. 3
2
Jawab:
Fungsi f(x)akan minimum jika f′(x) =0, yaitu
f(x) = 1
3
p
x2+4−1
5x
f′(x) = 1
3 2x
2√x2+4−
1 5
0= x
3√x2+4−
1 5 1
5 =
x
3√x2+4
5x=3px2+4
25x2=9x2+36 16x2=36
x2= 36
16
x= 6
4 = 3 2
18. Jika2log(x+3),2log(6x+2), dan2log(26x−2)membentuk barisan aritmetika, maka beda barisan
ter-sebut adalah . . . A. 1
B. 2
C. 3 D. 4 E. 5
Jawab:
Karena membentuk barisan aritmetika, maka
U2−U1=U3−U2
2U2=U1+U3
22log(6x+2) =2log(x+3) +2log(26x−2)
2log(6x+2)2=2log(x+3)(26x
−2)
36x2+24x+4=26x2+78x−2x−6 10x2−52x+10=0
5x2−26x+5=0
(5x−1)(x−5) =0
Jikax = 1
5, maka barisan tersebut menjadi
2log16
5 ,
2log16
5 ,
2log16
5 , sehingga beda 0
Jikax=5, maka barisan tersebut menjadi2log 8=3,2log 32=5,2log 128=7, sehingga bedanya adalah 2.
19. Diberikan bilangan aslia,b,c,dyang memenuhi 4 ≤ a≤ b≤ 6 ≤ c ≤d ≤8. Rata-rata 4,a,b, 6,c,d, 8 adalah 6. Banyaknya susunan(a,b,c,d)yang mungkin adalah . . .
A. 24 B. 12 C. 9
D. 8
Jawab:
Karena rata-rata 7 bilangan itu harus 6, maka 4+a+b+6+c+d+8=42, sehinggaa+b+c+d=24. Kemudian karena 4≤a≤b≤6≤c≤d≤8, susunan(a,b,c,d)yang mungkin adalah
1. (4, 4, 8, 8)
2. (4, 5, 7, 8)
3. (4, 6, 6, 8)
4. (5, 5, 6, 8)
5. (4, 6, 7, 7)
6. (5, 5, 7, 7)
7. (5, 6, 6, 7)
8. (6, 6, 6, 6)
Jadi terdapat 8 susunan yang mungkin.
20. Jika 2y+3x=32 danxlog(x+2)−3xlog 2=−1, maka 2x+y=. . . A. 1
B. 2
C. 3
D. 5 E. 9
Jawab:
Karena 2y+3x=32=25, makay+3x=5. Kemudian,
xlog(x+2)
−3xlog 2=−1
xlog(x+2)−xlog 23=xlogx−1
xlogx+2
8 =
xlog1
x x+2
8 = 1
x x2+2x =8
x2+2x−8=0
(x+4)(x−2) =0
