PEMBAHASAN Ujian Tulis UM UGM 2017

∑

R

e

π

i

Ujian Tulis UM UGM 2017

Matematika IPA

Kode Naskah: 713

Disusun Oleh:

Muhamad Abdul Rosid

Website:

http://www.masrosid.com

A. 25

4

B. 25 9

C. 25 16 D. 1

E. 25 36

Jawab:

Misalkan3logx=adan2logy=b, sehingga

3_logx+22

logy2=5

3_logx+2_logy=5

a+b=5

b=5−a

Agar3logx·2_{logyatauabmaksimum, maka turunan pertamanya haruslah nol, yaitu}

ab=a(5−a) =5a−a2

(ab)′=5−2a=0

a= 5 2

Jikaa= 5

2, makab= 5

2 danab= 25

4

2. Dalam pemilihan pengurus kelas, terpilih 5 calon, 3 laki-laki dan 2 perempuan. Posisi yang tersedia ya-itu ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara I, dan bendahara II. Jika ketua kelas harus laki-laki, maka banyaknya susunan pengurus yang mungkin adalah . . . .

A. 5 B. 24 C. 48

D. 72

E. 120

Jawab:

Karena ketua harus laki-laki, maka terdapat 3 orang yang bisa dipilih. Sisanya sebagai wakil ketua, sekre-taris dan bendahara, seperti pada tabel berikut.

K W S B-I B-II

3 4 3 2 1

Jadi banyaknya susunan pengurus yang mungkin adalah 3×4×3×2×1=72

3. Diketahui f(0) =1 dan f′(0) =2. Jikag(x) = 1

(2f(x)−1)3, makag

′_{(0) =. . . .}

A. −12

Jawab:

g(x) = 1 (2f(x)−1)3 = (2f(x)−1)−3

g′(x) =−3·(2f(x)−1)−4·2f′(x)

g′(0) =−3·(2f(0)−1)−4·2f′(0) =−3(2·1−1)−4·2·2 =−12

4. Jika akar-akar persamaan suku banyak

x3−12x2+ (p+4)x−(p+8) =0 membentuk deret aritmetika dengan beda 2, makap−36=. . . A. −2

B. 0

C. 4

D. 8 E. 12

Jawab:

Misalkan akar-akar suku banyak tersebut adalaha−2,a, dana+2, maka

x1+x2+x3=−b

a a−2+a+a+2=12

3a=12

a=4

Jadi akar-akar suku banyak tersebut adalah 2, 4, dan 6. Kemudian

x1·x2·x3=−d

a

2×4×6=p+8 48=p+8

p=40

Dengan demikianp−36=4

5. Titik pusat lingkaranLterletak di kuadran I dan terletak pada garisy=2x+1. Jika lingkaranL menying-gung sumbuYdi titik(0, 11), maka persamaan lingkaranLadalah . . .

A. x2+y2−5x−11y=0 B. x2+y2+5x+11y−242=0

C. x2_+y2_{−10x−22y+121=0} D. x2_+y2_−5x+11y=0

E. x2_+y2_{+10x+22y−363=0}

Jawab:

Karena pusat lingkaran di kuadran I dan menyinggung sumbu-ydi titik(0, 11)maka lingkaran tersebut mempunai pusat(a, 11)dengan jari-jarir=a.

(x−5)2+ (y−11)2=52

x2+y2−10x−22y+121=0

6. Jika daerah yang dibatasi oleh kurvay=x2dan garisy= (2m−2)xmempunyai luas 11₃, makam=. . . . A. 21₂atau−12

B. 2 atau 0

C. 31₂atau−11₂ D. 4 atau₋2

E. 41₂atau₋21₂

Jawab:

Luas daerah yang dibatasi oleh garis dan kurva bisa ditentukan dengan rumusL= D

√

D

6a2 .

y=y

x2= (2m−2)x x2₋(2m₋2)x=0

D=b2−4ac

= (2m₋2)2

√

D=|2m−2|

Luas daerah yang dimaksud adalah

4 3 =

(2m−2)2_|2m−2|

6·12

4 3 =

|2m−2|3

6

|2m−2|3=8

|2m−2|=2 2m−2=±2

2m=2±2

m=1_±1

Jadim=2 ataum=0

7. Jika tiga bilangan berbedax,y, danzmembentuk barisan geometri, maka 1

x₋y −

1

y₋z =. . .

A. 1

x

B. −1_y

C. 1

z

D. 1

x+z

E. 1

Jawab:

Karena bilanganx,y, danzmembentuk barisan geometri, maka

1

x−y −

1

y−z =

1

x−xr−

1

xr₋xr2

= 1

x(1−r)− 1

xr(1−r)

= r−1

xr(1−r)

=−_xr1 =−1_y

8. Semua nilaixyang memenuhi√x2_{−7x+6≥2xadalah . . .}

A. −3≤x ≤ 1₃

B. −3≤x≤ 2₃

C. x≤ −3 ataux≥ 2₃

D. x≤1 ataux≥6

E. x_≤ 2

3

Jawab:

Syarat:x2−7x+6≥0 yaitux≤1 ataux≥6.

Kasus pertama, jikax ≤0 pertidaksamaan selalu benar, karena hasil akar suatu bilangan real selalu lebih besar dari 0 atau bilangan real negatif lainnya.

Kasus kedua, jikax>_{0, maka diperoleh}

p

x2_−7x+6≥2x

x2−7x+6≥4x2

3x2+7x₋6_≤0 (x+3)(3x−2)≤0

−3_≤x_≤ 2

3

Karenax>_{0 maka solusi untuk kasus kedua ini adalah 0}<_x≤ 2

3

Dengan menggabungkan dua kasus tersebut diperoleh solusi gabunganx ≤ 2₃

9. lim

x→−4

1−cos(x+4)

x2_+8x+16 =. . .

A. −2

B. −1₂

C. 1 3

D. 1

2

E. 2

−

lim

x→−4

1₋cos(x+4)

x2_+8x+16 =_xlim_→−4

2 sin1₂(x+4)sin1₂(x+4) (x+4)(x+4)

=2· 1₂·1₂

= 1 2

10. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

1

2log(2x−1) + 12log(2−x)≥2·12logxadalah

A. 2

3 ≤x≤1

B. x≤ 2₃ ataux≥1

C. 1

2 <x≤ 2

3 atau1≤x <2

D. 1 2 ≤x≤

2

3 atau 1≤x≤2

E. x≤ 1₂ ataux>₂

Jawab:

Syarat logaritma: numerus haruslah positif yaitu 2x−1>_{0 dan 2−x}>_{0, sehingga haruslahx} > 1

2 dan

x<_2.

Kemudian,

1

2log(2x−1) + 12log(2−x)≥2·12logx 1

2_log(2_x−1)(2−_x)≥ 12_logx2 1

2_log(−_2x2+_5x−2)≥ 12_logx2

−2x2+5x−2≤x2

3x2₋5x+2≥0 (3x−2)(x−1)≥0

Jadix_≤ 2

3 ataux≥1

Irisan dari himpunan tersebut dengan syarat di atas akan menghasilkan solusi1 2 <x≤

2

3 atau 1≤x<2

11. Jika panjang vektor~_u,~_vdan(~_u+~_{v)berturut-turut 12, 8, dan 4}√_{7, maka besar sudut antara}~_udan~_vadalah

. . .

A. 45◦ B. 60◦ C. 90◦

D. 120◦

E. 150◦

|~_u+~_v|2_=|~_u|2_+|~_v|2_{+2· |}~_{u| · |}~_v|cosθ

(4√7)2₌₁₂2₊₈2_{+2·12·8 cosθ}

112=144+64+192 cosθ

−96=192 cosθ

cosθ₌₋1

2

Jadi besar sudut antara~_udan~_{vadalah 120}◦

12. Jika proyeksi~_{u = (6, 1)pada}~_{p = (1, 1)sama dengan proyeksi}~_{v = (}α_,−5)pada~_{p, maka nilai}α_yang

memenuhi adalah . . . A. −12

B. −2 C. 2 D. 5

E. 12

Jawab:

Ingat kembali bahwa proyeksi vektor~_apada~_badalah

~_a·~_b |~b|2 ·

~_{b (1)}

Maka diperoleh,

~_u·~_p |~_p|2 ·~p=

~_v·~_p |~_p|2 ·~p

~_u·~_p=~_v·~_p

6+1=α₋₅ α₌₁₂

13. Misalkanx1dan x2merupakan akar-akar persamaan px2+qx−1 = 0, p 6= 0. Jika 1

x1

+ 1

x2 = −1 dan

x1=−3

2x2, makap+q=. . . A. −7

B. −5 C. 0

D. 5

E. 7

Jawab:

Karenax1danx2akar-akar persamaan kuadrat, makax1+x2=−q

p danx1x2=−

1

p.

1

x1+

1

x2 =−1

x1+x2

x1x2

=−1

x1+x2=−x1x2

−q_p = 1

Karenax1=−

14. Diketahui kubusABCD.EFGH. Jikaα_{adalah sudut antara bidangAHFdanCHF, maka sin}α₌

A. ₋2

Perhatikan gambar berikut.

A B

Untuk memudahkan perhitungan, anggap panjang sisi kubus 2 satuan. SehinggaAC =2√2 danOC =

Dengan menggunakan aturan cos diperoleh bahwa,

Misalkan cos 2x=p, maka diperoleh