Matematika Keuangan Dan Ekonomi. Indra Maipita

Matematika Keuangan

Dan Ekonomi

Indra Maipita

Pendahuluan

™

Sebagai penabung setia Anda keluar sebagai

pemenang hadiah undian, dan dapat memilih

salah satu hadiah berikut:

™

Menerima uang sejumlah Rp 50.000.000 sekali

saja pada hari ini

™

Menerima Rp 1.000.000 setiap 3 bulan seumur

hidup mulai 3 bulan lagi

Definisi Anuitas

™

Anuitas adalah suatu rangkaian

pembayaran/penerimaan sejumlah uang,

umumnya sama besar, dengan periode waktu

yang sama untuk setiap pembayaran.

™

Jenis-jenis anuitas

‰ Anuitas biasa (ordinary annuity) Æ pembayaran dilakukan setiap akhir periode atau satu periode lagi

‰ Anuitas di muka (annuity due) Æ pembayaran dilakukan setiap awal periode atau mulai hari ini ‰ Anuitas ditunda (deferred annuity) Æ pembayaran

Persamaan Anuitas Nilai Sekarang

i

)

)

i

1

(

1

(

−

+

−n dengan

PV = present value atau nilai di awal periode atau nilai sekarang

i = tingkat bunga per periode

n = jumlah periode

A = anuitas atau pembayaran per periode

disebut faktor anuitas nilai sekarang dan dinotasikan dengan

A

i

)

)

i

1

(

1

(

PV

n −

+

−

=

Contoh 1

Hitunglah nilai sekarang dari uang Rp 1.000.000 yang diterima setiap tahun selama lima tahun mulai satu tahun lagi jika tingkat bunga yang relevan adalah 15% p.a. Jawab: i = 0,15 A = Rp 1.000.000 n = 5 tahun

10

,

155

.

352

.

3

Rp

PV

000

.

000

.

1

Rp

15

,

0

)

)

15

,

0

1

(

1

(

PV

A

i

)

)

i

1

(

1

(

PV

5 n

=

+

−

=

+

−

=

− −

Menghitung Besar Cicilan

i

)

)

i

1

(

1

(

PV

A

PV

A

n −

+

−

=

=

Contoh 2

Rina meminjam uang sebesar Rp 10.000.000 dengan bunga 12% p.a. Jika pinjaman tersebut harus ia lunasi dalam 24x cicilan bulanan, berapakah besarnya cicilan yang harus ia bayar setiap bulannya?

72,734.470RpAi))i1(1(PVAn =+−=−

Jawab:

PV

= Rp 10.000.000

n

= 24

i

=

1% 0,01 12 % 12 _{= =} 72 , 734 . 470 Rp A 01 , 0 ) ) 01 , 0 1 ( 1 ( 000 . 000 . 10 Rp i ) ) i 1 ( 1 ( PV A PV PV A 24 n = + − = + − = = = − −

Menghitung Jumlah Periode

)

i

1

(

log

A

i

PV

1

log

n

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

×

−

=

Contoh 3

KPR sebesar Rp 210.000.000 dikenakan bunga 18% p.a. Jika besarnya angsuran per bulan adalah Rp

3.783.889,18, dalam berapa lama KPR tersebut akan lunas? Jawab: PV = Rp 210.000.000 A = Rp 3.783.889,18 i = 1,5% 0,015 12 % 18 _{= =}

. 10 120 , 10 120 015 , 1 log 167523188 , 0 log ) 015 , 0 1 ( log 18 , 889 . 783 . 3 015 , 0 000 . 000 . 210 1 log ) 1 ( log 1 log tahun atau bulan dalam lunas akan tersebut KPR Jadi tahun atau bulan n n Rp Rp n i A i PV n = − = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ × − = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ × − =

Menghitung Tingkat Bunga

™

Pencarian nilai i dilakukan dengan metode

trial and error jika menggunakan scientific

calculator.

Contoh 4

™

Sebuah perhiasan bernilai Rp 30.000.000

tunai dapat dibeli dengan 12 kali angsuran

bulanan masing-masing sebesar Rp

2.758.973,49. Berapakah tingkat bunga

yang dikenakan?

Jawab:

A = Rp 2.758.973,49 PV = Rp 30.000.000 n = 12 i ) ) i 1 ( 1 ( 8736 , 10 i ) ) i 1 ( 1 ( 49 , 973 . 758 . 2 Rp 000 . 000 . 30 Rp 49 , 973 . 758 . 2 Rp i ) ) i 1 ( 1 ( 000 . 000 . 30 Rp A i ) ) i 1 ( 1 ( PV 12 12 12 n − − − − + − = + − = + − = + − =

Dengan metode trial and error, kita memperoleh i =

Anuitas Tak Terhingga (Perpetual Annuity)

Contoh : pertanyaan pada bagian awal presentasi dapat dijawab dengan membandingkan nilai sekarang dari kedua alternatif. Jika tingkat bunga relevan adalah 12% p.a., nilai sekarang dari Rp 1.000.000 setiap 3 bulan seumur hidup mulai 3 bulan lagi adalah:

i

A

PV

=

33 , 333 . 333 . 33 Rp % 3 000 . 000 . 1 Rp 4 % 12 000 . 000 . 1 Rp PV = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

Jadi, hadiah yang harus dipilih adalah hadiah Rp 50.000.000 sekali saja pada hari ini karena nilai sekarangnya lebih besar.

Persamaan Anuitas Nilai Akan Datang

i ) 1 ) i 1 (( + n −

A

i

)

1

)

i

1

((

FV

n

−

+

=

dengan

FV = future value atau nilai pada akhir periode atau nilai akan datang

disebut faktor anuitas nilai akan datang dan

Contoh 5

Hitunglah nilai akan datang (FV) dari tabungan Rp

1.000.000 yang disetorkan setiap tahun selama 5

tahun, mulai tahun depan, apabila tingkat bunga

adalah 10% p.a. diperhitungkan tahunan.

Jawab: n = 5 i = 10% = 0,1 A = Rp 1.000.000 100 . 105 . 6 Rp FV 000 . 000 . 1 Rp 1 , 0 ) 1 ) 1 , 0 1 (( FV A i ) 1 ) i 1 (( FV 5 n = − + = − + =

Menghitung Besar Tabungan Periodik

FV

A

atau

i

)

1

)

i

1

((

FV

A

_n

=

−

+

=

Contoh 6

Ibu Aisyah ingin memiliki uang sebesar Rp 500.000.000 pada saat ia pensiun nanti, tepatnya 20 tahun lagi. Untuk tujuan tersebut, ia menyisihkan gajinya setiap bulan untuk ditabung di Bank Pasti Jaya. Berapakah besarnya gaji

bulanan yang harus Ibu Aisyah sisihkan untuk ia tabung apabila tingkat bunga tabungan 9% p.a. perhitungan

Jawab:

FV = Rp 500.000.000 n = 20 x 12 = 240 periode i = 0,75% 0,0075 12 % 9 = =

78

,

629

.

748

Rp

A

0075

,

0

)

1

)

0075

,

0

1

((

000

.

000

.

500

Rp

A

i

)

1

)

i

1

((

FV

A

240 n

=

−

+

=

−

+

=

Menghitung Jumlah Periode Tabungan

)

i

1

(

log

A

i

FV

1

log

n

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

×

−

=

Contoh 7

Seorang pedagang kecil berencana untuk menabung Rp 1.000.000 setiap bulan agar dapat memperoleh uang

sebesar Rp 200.000.000. Jika tingkat bunga tabungan yang ditawarkan adalah 6% p.a., berapa lama dia harus menabung?

Jawab:

FV = Rp 200.000.000 A = Rp 1.000.000 i = 0,5% 0,005 12 % 6 = = bulan 139 atau bulan 976 , 138 n 005 , 1 log 2 log n ) 005 , 0 1 ( log 000 . 000 . 1 Rp 005 , 0 000 . 000 . 200 Rp 1 log n ) i 1 ( log A i FV 1 log n = − = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ × − = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ × − =

Menghitung Tingkat Bunga Tabungan

Pencarian nilai i dilakukan dengan metode trial and error jika

menggunakan scientific calculator, atau dengan tabel

anuitas.

Contoh 8

Delapan kali setoran masing-masing Rp 350.000 menjadi Rp 3.342.500, berapa tingkat bunga per periode?

Jawab: 55 , 9 000 . 350 Rp 500 . 342 . 3 Rp A FV = = =

Langkah selanjutnya kita lihat pada tabel anuitas nilai akan datang, pada baris n = 8 yang angkanya mendekati 9,55. Ternyata yang mendekati adalah 9,54910888 yaitu jika i = 5% per periode.

Pengaruh Pajak Tabungan

Jika ada pajak tabungan, maka tingkat bunga yang digunakan adalah tingkat bunga setelah pajak.

i = i_at = (1 – t) i_bt

dengan i_at = tingkat bunga sebelum pajak i_bt = tingkat bunga sesudah pajak

Contoh 9

Hitunglah nilai akan datang (FV) dari tabungan Rp 1.000.000 yang disetorkan setiap tahun selama 5 tahun, mulai tahun

depan, apabila tingkat bunga adalah 10% p.a. diperhitungkan tahunan dan terdapat pajak atas bunga tabungan sebesar 20%.

Jawab:

n = 5 A = Rp 1.000.000 i = i_at = (1 – t) i_bt i = (1 – 20%) 10% = 8% = 0,08

600

.

866

.

5

Rp

FV

000

.

000

.

1

Rp

8666

,

5

FV

000

.

000

.

1

Rp

08

,

0

)

1

)

08

,

0

1

((

FV

A

i

)

1

)

i

1

((

FV

5 n

=

×

=

−

+

=

−

+

=

Tingkat Bunga Flat Vs Tingkat Bunga Efektif

™ Kepada pemegang kartu kredit Visanya yang setia dan membayar tepat waktu, Bank Mandiri mulai akhir tahun 2004 menawarkan pinjaman sebesar Rp 60.000.000 (untuk mereka yang mempunyai credit limit di atas Rp 60.000.000) yang harus dilunasi dengan 12 angsuran bulanan sebesar Rp 5.300.000 dimulai satu bulan

setelah pinjaman diterima, dengan perincian Rp

5.000.000 untuk pelunasan pokok (Rp 60.000.000 / 12) dan Rp 300.000 untuk pembayaran bunga bulanan

(0,5% x Rp 60.000.000). Dalam promosinya, mereka menyebutkan tingkat bunga pinjaman hanya 0,5% flat per bulan.

™ Benarkah tingkat bunga pinjaman di Indonesia sudah sedemikian rendah? Apakah Bank Mandiri masih

memperoleh laba (sedangkan bunga deposito juga sekitar 6%)?

Tingkat bunga flat

adalah tingkat bunga yang dihitung

berdasarkan saldo pinjaman awal. Persamaan untuk

mendapatkan tingkat bunga efektif namun kurang

akurat:

1

n

r

n

2

i

+

=

dengan

i

=

tingkat bunga efektif

r

=

tingkat bunga

flat

n

=

lamanya periode angsuran

Untuk kasus Bank Mandiri di atas :

%

077

,

11

1

12

%)

6

)(

12

(

2

i

=

+

=

Sebenarnya, kita bisa mendapatkan tingkat bunga efektif

yang lebih akurat dengan melakukan trial and error

melalui persamaan anuitas nilai sekarang.

i ) ) i 1 ( 1 ( 3208 , 11 i ) ) i 1 ( 1 ( 000 . 300 . 5 Rp 000 . 000 . 60 Rp 000 . 300 . 5 Rp i ) ) i 1 ( 1 ( 000 . 000 . 60 Rp A i ) ) i 1 ( 1 ( PV 12 12 12 n − − − − + − = + − = + − = + − =

Dengan trial and error, kita akan mendapatkan i =

Thank you

for your attention