ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGUE ORDE-FRAKSIONAL SKRIPSI

(1)

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT

DEMAM BERDARAH DENGUE ORDE-FRAKSIONAL

SKRIPSI

ARTHA MERIKA INDAH PUSPITA SARI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA

2016

(2)

i

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT

DEMAM BERDARAH DENGUE ORDE-FRAKSIONAL

SKRIPSI

ARTHA MERIKA INDAH PUSPITA SARI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA 2016

ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

(3)

(4)

(5)

iv

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.

(6)

(7)

iii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamin. Segala puji syukur penulis panjatkan kepada

Allah SWT karena hanya dengan rahmat dan karunia-Nya, skripsi yang berjudul

“Analisis Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue

Orde-Fraksional” ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam bahagia semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus sebaik-baiknya suri tauladan bagi kehidupan umat manusia.

Ucapan terima kasih disampaikan kepada :

1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menuntut ilmu.

2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Kementerian Pendidkan dan

Kebudayaan yang telah memberikan Beasiswa Peningkatan Prestasi

Akademik (PPA) dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM).

3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

4. Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan masukan inspirasi dalam perkuliahan.

5. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat.

(8)

iv

6. Dr. M. Imam Utoyo, M.Si selaku dosen pembimbing II yang senantiasa penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat.

7. Yang Tercinta Kedua orang tuaku Sri Purwanti dan Karneni serta adik tercinta Artha Agung Alank Sigit Permadi Putra yang selalu memberikan dukungan, semangat, doa dan kasih sayangnya.

8. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Matematika, Sistem Informasi, Statistika angkatan 2012 atas dukungan dan kebersamaannya selama ini.

Penulis berharap semoga proposal ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas Airlangga. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan proposal ini, kemungkinan masih terdapat kekurangan sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk penulisan berikutnya.

Surabaya, Januari 2016 Penyusun,

Artha Merika Indah Puspita Sari ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

(9)

vii

Artha Merika Indah Puspita Sari, 2016, Analisis Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue Orde-Fraksional. Skripsi ini dibimbing oleh Dr. Fatmawati, M.Si dan Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.

ABSTRAK

Demam Berdarah Dengue (DBD) merupakan salah satu penyakit menular yang disebabkan oleh virus dengue. Penelitian mengenai penyakit DBD telah banyak dilakukan dalam berbagai bidang keilmuan, termasuk bidang matematika yaitu dengan menggunakan model matematika. Dengan model matematika, dinamika penyebaran penyakit DBD dapat diketahui dan dapat digunakan untuk memprediksi penyebarannya yaitu melalui simulasi numerik model matematika penyebaran penyakit DBD.

Pada skripsi ini, dibahas analisis model matematika penyebaran DBD orde fraksional yang berbentuk model host (manusia) – vector (nyamuk). Model tersebut merupakan modifikasi model Sistem Persamaan Differensial Biasa (SPDB) nonlinear yang ditulis oleh Pandey, dkk (2013) menjadi model Sistem Persamaan Differensial Fraksional (SPDF). Pada umumnya solusi dari SPDB nonlinier sulit dicari secara analitik. Terdapat pemodelan matematika yang solusinya dapat diselesaikan secara analitik yaitu Sistem Persamaan Differensial Fraksional (SPDF).

Salah satu metode untuk menyelesaikan SPDF adalah menggunakan Metode Perturbasi Homotopi (HPM) yaitu mengubah SPDF ke dalam Sistem Persamaan Differensial Homotopi dengan mengalikan setiap persamaan pada SPDF tersebut dengan parameter embedding (p). Hasil penyelesaiannya berbentuk deret tak hingga yang selanjutnya diselesaikan secara numerik. Semakin besar nilai dari orde turunan fraksional yang diberikan maka semakin cepat perubahan grafik pada populasi manusia yang rentan terinfeksi DBD, populasi manusia yang terinfeksi DBD, populasi manusia yang sembuh DBD, populasi nyamuk yang rentan DBD dan populasi nyamuk yang terinfeksi DBD.

Kata kunci: Model Matematika, Demam Berdarah Dengue, Orde Fraksional, Metode Pertubasi Homotopi.

(10)

viii

Artha Merika Indah Puspita Sari, 2016, Analysis of Mathematical Model In The Spread of Dengue Haemorrhagic Fever (DHF) Fractional Order. This final project is under advised by Dr. Fatmawati, M.Si and Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si, Mathematics Departement, Science and Technology Faculty, Airlangga University, Surabaya.

ABSTRACT

Dengue Hemorrhagic Fever (DHF) is an infection caused by the dengue virus. Research on dengue disease has been widely applied in many scientific fields, including mathematics by using a mathematical model. With a mathematical model, the dynamics of the spread of dengue disease is known and can be used to predict the spread from numerical simulation of mathematical model of the spread of dengue disease.

In this paper, we discuss a fractional-order of mathematical model in the spread of DHF that are the host-vector model aproach. The model a modification of Pandey,dkk model (2013). Here we modified an Ordinary Differential Equations System (ODES) nonlinear model from Pandey,dkk (2013) into a Fractional Differential Equation System (FDES). In general, the solution of ODES nonlinear is difficult in analytic. There are mathematical modeling that the solution can be solved in analytic is FDES.

One of methods to solve the FDES is using Homotopy Pertubation Method (HPM), it changes the FDES into Homotopy Differential Equations System by multiplying each equation in the FDES with embedding parameter (p). The result is infinite series, further resolved numerically. The greater the value of the fractional-order derivative given the faster change of state variables will be.

Keywords: Mathematical model, Dengue Hemorrhagic Fever, Fractional Order, Homotopy Perturbation method.

(11)

ix

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

LEMBAR PERSETUJUAN... LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI... PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI... BAB I PENDAHULUAN ... xiii

2.2 Model Matematika Penyebaran Penyakit DBD ... 7

(12)

x

2.3 Sistem Persamaan Differensial Fraksional Penyebaran Penyakit DBD ………

12

2.4 Metode Pertubasi Homotopi (HPM) ... 14 BAB III METODELOGI PENELITIAN ...

BAB IV PEMBAHASAN ... 4.1 Sistem Persamaan Differensial Fraksional pada Model

Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD)... 4.2 Metode Pertubasi Homotopi (HPM) pada Model

Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD)... 4.3 Simulasi Numerik dari Sistem Persamaan Differensial

Fraksional pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD)...

BAB V PENUTUP...

(13)

xi

DAFTAR TABEL

Tabel Judul Halaman

Tabel 2.1

Tabel 4.1

Notasi dan deskripsi parameter Model Penyebaran Penyakit DBD

Nilai Parameter dan Nilai Awal dari Model Penyebaran Penyakit DBD

9

30

(14)

xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar Judul Halaman

Gambar 2.1 Diagram Transmisi Penyebaran Penyakit DBD 10 Gambar 4.1 Perbandingan Simulasi Numerik SPDB Nonlinear

dengan SPDF dengan 𝛼₁ = 𝛼₂ = 𝛼₃ = 𝛼₄ = 𝛼₅ = 1 32 Gambar 4.2 Pengaruh 𝛼₁ Terhadap Dinamika Populasi Manusia

dan Nyamuk 33

Gambar 4.3 Pengaruh 𝛼₂ Terhadap Dinamika Populasi Manusia

dan Nyamuk 34

Gambar 4.4 Pengaruh 𝛼₃ Terhadap Dinamika Populasi Manusia

dan Nyamuk 35

Gambar 4.5 Pengaruh 𝛼₄ Terhadap Dinamika Populasi Manusia

dan Nyamuk 36

Gambar 4.6 Pengaruh 𝛼₅ Terhadap Dinamika Populasi Manusia

dan Nyamuk 37

(15)

xiii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran Judul Lampiran

1 Persamaan Differensial Fraksional Langkah c

2 Perhitungan nilai dari dan dengan

3 Kode Program Perbandingan Simulasi Numerik SPDB Nonlinear dengan SPDF dengan

4 Kode Program Pengaruh Terhadap Dinamika Populasi Manusia dan Nyamuk