ANALISIS KESTABILAN REAKTOR DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN LIAPUNOV. Hasan, Didi Gayani, Sudjatmi, Deden *

(1)

ANALISIS KESTABILAN REAKTOR

DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN LIAPUNOV Hasan, Didi Gayani, Sudjatmi, Deden*

ABSTRAK

ANALISIS KESTABILAN REAKTOR DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN LIAPUNOV. Telah dilakukan analisis berdasarkan persamaan Liapunov untuk menguji kestabilan dari daya reaktor. Liapunov mengembangkan metode untuk menentukan stabilitas dari suatu sistem proses didasarkan dari energi yang disimpan. Sebelum dilakukan pengujian, maka terlebih dahulu diturunkan formulasi matematik dari daya reaktor, neutron precursor, temperatur pendingin dan temperatur bahan bakar. Dari formulasi matematik ini maka dapat disusun persamaan keadaan dinamika reaktor. Karena persamaan keadaan dari dinamika reaktor merupakan persamaan non linier, maka pengujian kestabilan reaktor dilaksanakan dengan menggunakan persamaan Liapunov kedua. Dari hasil perhitungan didapatkan, untuk reaktor yang beroperasi pada daya 1000 Watt, maka didapatkan harga determinan dari Fˆ x( ) = -48668. Jadi reaktor cukup stabil. Dengan stabilnya reaktor, maka pengendalian reaktor tersebut dapat dilakukan dengan lebih mudah.

ABSTRACT

STABILITY ANALYSIS OF REACTOR USING LIAPUNOV EQUATION. Stability analysis has been carried out, based on Liapunov Equation to test the stability of reactor power. Liapunov has developed a method to confirm the stability of a system process of that base on the energy preserved. Before any testing is performed, a mathematical formula is precedingly derived from reactor power, neutron precursor, cooling system and fuel temperature. From this mathematical formula, a state space equation is constructed devoted to reactor dynamics. As the state space equation of reactor dynamics is non linier, the stability test of reactor is performed using the second order of Liapunov equation. From yielded calculation, it is obtained that a reactor of that are operating at 1000 Watt, then yielded value of determinant Fˆ x( ) = -48668. Thus reactor is sufficiently stable. With this reactor stability, then the controlling of reactor can simply be performed.

*

(2)

NOTASI

X = Perubah keadaan. U = Masukan.

N = Jumlah neutron.

C = Konsentrasi neutron precursor.

ρ = Reaktivitas.

β = Fraksi neutron kasip.

Cc = Panas jenis Fluida pendingin. Cf = Panas jenis bahan bakar. Mc = Berat Fluida pendingin. Mf = Berat bahan bakar dalam teras. Tc = Temperatur rata-rata pendingin. Tf = Temperatur rata-rata teras. W = Laju alir massa fluida pendingin.

αf = Koefisien temperatur bahan bakar.

αm = Koefisien temperatur moderator air.

τc = Konstanta waktu fluida pendingin.

τf = Konstanta waktu teras.

Λ = Waktu generasi neutron.

λ = Konstanta peluruhan neutron. P = Daya reaktor

V = Fungsi Liapunov. F(x) = Matrik Jacobi.

PENDAHULUAN

Sistem kontrol merupakan sebuah sistem yang terdiri atas satu atau beberapa peralatan yang berfungsi untuk mengendalikan sistem lain yang berhubungan dengan sebuah proses. Dalam suatu industri, semua variabel proses seperti daya, temperatur dan laju alir harus dipantau setiap saat. Bila variabel proses tersebut berjalan tidak sesuai dengan yang diharapkan, maka sistem kontrol dapat mengendalikan proses tersebut sehingga sistem berjalan seperti yang diharapkan. Didalam reaktor nuklir, sistem kontrol dapat digunakan untuk mengendalikan fluks neutron dan daya. Sebelum dilakukan perancangan sistem kontrol, terlebih dahulu harus dilakukan pengujian sifat kestabilan ( stability ) terhadap sistem proses dalam reaktor nuklir.

(3)

Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk menguji kestabilan suatu sistem proses. Salah satu metode yang banyak digunakan untuk menguji kestabilan sistem proses adalah persamaan Liapunov. Liapunov mengembangkan metode untuk menentukan stabilitas dari sistem proses didasarkan dari pengamatan energi yang disimpan. Dengan menggunakan persamaan Liapunov, maka stabilitas dari sistem proses yang berbentuk linier maupun non linier dapat ditentukan.

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui kestabilan sistem proses dalam reaktor. Jika reaktor dalam keadaan stabil, maka pengontrolan sistem proses dalam reaktor nuklir lebih mudah dilaksanakan.

SISTEM KESTABILAN LIAPUNOV

A.M. Liapunov, seorang ilmuan dari Rusia, telah mengembangkan metode untuk menentukan stabilitas dari sistem proses didasarkan dari pengamatan energi yang disimpan. Menurut Liapunov, hubungan antara kestabilan dan energi adalah sebagai berikut:

1. Sistem stabil: bila energi yang disimpan makin lama makin kecil, maka osilasi yang terjadi juga semakin lama semakin kecil.

2. Sistem tidak stabil: bila energi yang disimpan makin lama makin besar, maka osilasi yang terjadi semakin lama juga semakin besar.

Supaya sistem proses tersebut dapat dianalisis kestabilannya, maka perlu dibuat model matematis yang menghubungkan antara input, proses dan output. Model yang banyak digunakan adalah model persamaan keadaan. Bentuk umum dari model persamaan keadaan adalah sebagai berikut:

)

(x

f

X

&

=

(1)

Transpose dari f(x) adalah t

(

_n

)

f f

f x

f ( ) = ₁ ₂ K

Menurut Liapunov, sistem akan stabil asimtotis secara uniform, bila: 1. Fungsi Liapunov atau V(x,t) pasti positif.

2. Turunan fungsi Liapunov atau V&( tx, ) pasti negatif.

Karena sistem dinamika reaktor nuklir merupakan persamaan non linier, maka untuk menentukan persamaan Liapunov dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.

Fungsi Liapunov di definisikan sebagai berikut: ) ( ). ( ) (x f x f x V = t (2)

Turunan dari fungsi Liapunov adalah sebagai berikut:

[

]

) ( ). ( ˆ ). ( ) ( ) ( . ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ). ( ) ( ). ( ). ( ) ( x f x F x f x V x f x F x F x f x V x f x F x f x f x F x f x V t t t t t t = + = + = & & & ( 3 )

(4)

Dimana: ) ( ) ( ) ( ˆ _x _F _x _F _x F = t + (4)

F(x) merupakan matrik Jacobi yang harganya adalah sebagai berikut:

                         

=

n

x

n

f

x

n

f

x

n

f

n

x

f

x

f

x

f

n

x

f

x

f

x

f

x

F

δ

L

M

L

2

1

2

1

2

1

2

1

1 )

(

(5)

Agar sistem proses stabil asimtotis, maka diperlukan syarat sebagai berikut: 1. V(x) pasti positif

2. V&( x)pasti negatif

Harga V(x) pasti negatif jika Fˆ x( ) juga berharga negatif

Dengan menggunakan kriteria Sylvester, maka dapat diketahui apakah suatu fungsi itu berharga negatif atau positif.

Menurut Sylvester, suatu fungsi Y(x) pasti berharga positif, bila determinan dari semua minor utamanya berharga positif.Dan suatu fungsi Y(x) pasti berharga negatif, bila determinan dari semua minor utamanya berharga negatif.

DINAMIKA REAKTOR NUKLIR

Pengertian dari dinamika reaktor nuklir terutama didasarkan pada studi populasi neutron dalam reaksi nuklir berantai. Neutron dibangkitkan oleh proses fisi, dan neutron hilang karena adanya serapan oleh inti dan adanya kebocoran. Dalam reaksi berantai, sekurang-kurangnya terdapat 45 isotop precursor neutron kasip yang berbeda. Dalam analisis reaktor, precursor ini dikelompokkan ke dalam 6 kelas yang dicirikan oleh pendekatan waktu paruh masing-masing.

Untuk mempermudah perhitungan, maka neutron kasip dapat diasumsikan berada dalam satu group. Maka persamaan dinamika reaktor dapat ditulis sebagai berikut. C P P ρ β. +λ. Λ − = & ₍₆₎

(5)

C P C β.. −λ. Λ = & ₍₇₎

DINAMIKA REAKTOR DALAM DAERAH DAYA TINGGI

Untuk operasi reaktor dalam daerah daya tinggi, maka umpan balik reaktivitas dan temperatur tidak boleh diabaikan. Representasi input-output reaktor merupakan lup tertutup. Umpan balik yang terjadi pada reaktor adalah sebagai berikut:

1. Umpan balik temperatur elemen bakar.

Koefisien temperatur elemen bakar dapat ditulis sebagai berikut:

f f f T T δ δρ α ( )= (8)

2. Umpan balik pada air pendingin yang juga berfungsi sebagai moderator. Koefisien temperatur air pendingin yang juga berfungsi sebagai moderator dapat ditulis sebagai berikut:

c m m

T

δ

δρ

α

(

)

=

(9)

3. Umpan balik peracunan Xenon.

Peracunan Xenon terjadi bila reaktor sudah beroperasi lebih dari 7 jam. Dalam makalah ini reaktor dianggap baru saja beroperasi sehingga pengaruh dari peracunan Xenon diabaikan. Pada kondisi demikian, reaktivitas yang masuk pada reaktor adalah reaktivitas eksternal dan reaktivitas dari umpan balik temperatur bahan bakar dan pendingin. Jadi reaktivitas dalam reaktor adalah:

ρ = ρeks + αf Tf + αm Tc

Dengan demikian persamaan perubahan daya reaktor dapat ditulis sebagai berikut: ) . . ( . . eks f Tf mTc P C P P β λ ρ +α +α Λ + + Λ − = & ₍₁₀₎

MODEL DINAMIKA PERPINDAHAN PANAS

Model dinamika perpindahan panas dilakukan dengan jalan memasukkan prinsip-prinsip kesetimbangan energi pada bahan bakar dan pada fluida pendingin. 1. Kesetimbangan energi dalam bahan bakar dapat ditulis sebagai berikut:

) ( ) ( . . P t P1 t dt dT C Mf f f = − (11)

(6)

2. Kesetimbangan energi pada fluida pendingin dapat ditulis sebagai berikut: ) ( ) ( . . P1 t P2 t dt dT C Mc c = − (12)

(

() ( )

)

1 ) ( 1 T t T t R t P = f − c (13)

(

() ( )

)

). ( 2 ) ( 2 t W t C T t T t P = c c − i (14)

Harga Ti (t) relatif kecil dan konstan sehingga dapat diabaikan. Konstanta waktu teras dan konstanta waktu fluida pendingin adalah sebagai berikut:

τf = R . Mf . Cf (15)

τc = R . Mc . Cc (16)

Karena ρeks merupakan sesuatu yang dimasukkan dari luar proses dinamika reaktor, maka ρeks merupakan input ( U ) dalam sistem dinamika reaktor. Harga daya, konsentrasi neutron precursor dan temperatur dari waktu ke waktu selalu berubah. Dengan menyatakan:

ρeks = U ; P = X1 ; C = X2 ; Tf = X3 ; Tc = X4

Maka persamaan dinamika reaktor dapat ditulis dalam bentuk persamaan keadaan sebagai berikut:

& & & & X X X X X X M C W M X X X X X U F m F F f f c c c 1 2 3 4 1 1 1 2 3 4 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 2 0 0 0                       = − ⋅ ⋅ − ⋅ − − +                                                +                       β _λ α α β _λ τ τ τ τ Λ Λ Λ Λ Λ Atau U B X A X& = . + . (17)

ANALISIS KESTABILAN REAKTOR

Persamaan dinamika reaktor merupakan persamaan non linier. Untuk menganalisis daya reaktor maka dapat digunakan persamaan Liapunov bagian kedua. Persamaan yang digunakan untuk menganalisis kestabilan daya reaktor adalah sebagai berikut:

1. Persamaan daya reaktor

Persamaan daya reaktor dapat dilihat pada persamaan (17). Untuk menganalisis kestabilan reaktor, maka cukup diperhatikan pada sistem tanpa

(7)

masukan ( U=0 ). Selanjutnya jika didefinisikan konstante-konstante sebagai berikut: Λ = β a ; b = λ Λ = f c α ; Λ = m d α f f C M e . 1 = ; f f τ 1 = c g τ 1 = ; c c M W h= 1 +2. τ

Maka persamaan dinamika reaktor dapat ditulis sebagai berikut: 1 X& = f1 = -a.X1 + b.X2 + c.X1.X3 + d.X1.X4 2 X& = f2 = a.X1 – b.X2 3 X& = f3 = e.X1 – f.X3 + f.X4 4 X& = f4 = g.X3 – h.X4

2. Persamaan Matrik Jacobi F(x)

Persamaan matrik Jacobi F(x) dapat diturunkan dengan menggunakan persamaan (5) dan persamaan (17). Hasil dari penurunan tersebut adalah sebagai berikut: F x a c X d X b c X d X a b e f f o g h ( ) ( ) = − + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − − −                 3 4 1 1 0 0 0 0 (18)

Transpose dari matrik Jacobi adalah sebagai berikut:

Ft x a c X d X a e b b c X f g d X f h ( ) ( . . ) . . = − + + − − −                 3 4 1 1 0 0 0 0 0 (19)

(8)

) ( ) ( ) ( ˆ _x _F _x _F _x F = t + $( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x a c X d X a b c X e d X a b b c X e f f g d X f g h = ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅                 2 2 0 0 0 2 0 2 3 4 1 1 1 1 (20)

HASIL DAN PEMBAHASAN

Harga konstanta dan perubah keadaan yang digunakan dalam reaktor TRIGA Mark II Bandung adalah sebagai berikut:

X1 = 1000 Watt ; X2 = 500 n / cm3 X3 = 31 0 C ; X4 = 27 0 C β = 0,0027 ; Λ =0,000028 detik λ = 0,0768 detik –1 ; Mf = 169.500 gram. Cf = 0,005899 ( cal / gr 0 C ) ; Mc = 19605.000 gram. αf = - 0,0000306 ∆k / k.C –1 ; αm = - 0,00054 ∆k / k.C -1 τf = 1,5 detik ; τc = 25,2 detik W = 9600 gr / detik

Maka besarnya Fˆ x( ) adalah:

$( ) , , , , , , , , , , F x = − − − − − − − −                 1630 24 260 78 1091 99 19280 260 78 0 1536 0 0 1091 99 0 1 333 0 705 19280 0 0 7056 0 081

Untuk mengetahui apakah Fˆ x( ) berharga positif, nol atau negatif, maka dapat digunakan kriteria Sylvester sebagai berikut.

P11 = -1630,24 < 0 Det P P P P Det 11 12 21 22 1630 24 260 78 260 78 0 1536 = − − , , , , = -67755 < 0 Det Fˆ x( )= -48668 < 0

(9)

Dari perhitungan diatas dapat dilihat, determinan semua minor utama dari )

( ˆ x

F berharga negatif. Maka menurut kriteria Selvester, Fˆ x( ) pasti negatif. Karena Fˆ x( ) berharga negatif, maka V&( x) juga berharga negatif

Fungsi Liapunov yang diperoleh adalah sebagai berikut. ) ( ). ( ) (x f x f x V = t V(x) = f1 2 + f2 2 + f3 2 + f4 2

V(x) > 0 atau V(x) pasti berharga positif.

Untuk harga-harga daya yang lain, maka besarnya harga determinan Fˆ x( ) dapat dilihat pada tabel sebagai berikut:

Tabel 1 : Hasil perhitungan Determinan Fˆ x( ) sebagai fungsi daya reaktor.

No Daya ( Watt ) _Det

_F

_{ˆ x}

₍

₎

1 2 3 5 1000 3000 4000 -48668 -167347,95 -271207,03

Dari tabel diatas dapat dilihat, semakin besar daya, maka harga determinan dari

F

ˆ x

(

semakin kecil dan selalu negatif. Karena

F

ˆ x

(

berharga negatif, maka

)

(x

V&

juga berharga negatif.

V(x) merupakan fungsi kwadrat dari f1, f2, f3 dan f4 . Jadi harga V(x) selalu positif.

KESIMPULAN

Dari uraian diatas maka dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. Dengan menggunakan persamaan Liapunov, maka didapatkan harga-harga sebagai berikut.

V(x) berharga positif V&( x) berharga negatif.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa reaktor yang dikaji dalam makalah ini adalah berada dalam keadaan stabil.

2. Untuk mengendalikan suatu sistem proses, maka sistem proses tersebut harus stabil. Dengan stabilnya reaktor, maka reaktor tersebut akan lebih mudah untuk dikendalikan.

(10)

DAFTAR PUSTAKA

1.

Brogan, W.L., Modern control theory, Prentice-Hall, Inc., New Yersey, (1985)

2.

Lewis, F.L., Optimal Control, John Wiley & Sons, Inc., New York, (1986)

3.

Weaver, L.E., Reactor Dynamics and Control, American Elsevier Publishing

Co., Inc., New York, (1968)

4.

Lewis, E.E., Nuclear Power Reactor Safety, John Wiley & Sons, Inc., New York, (1977)

5.

TRIGA Staff, Instruction Manual for the Torrey Pines TRIGA Reactors, General Atomic Co., California, (1976)

(11)

DISKUSI

HUDI HASTOWO

1. Apa yang dimaksud dengan energi yang disimpan? Dimana disimpan? Hal ini ditanyakan karena reaktor merupakan sistem pembangkit energi, sehingga secara teoritis selalu ada tenaga (dan daya) yang diproduksi.

2. Mohon diterangkan mengapa koefisien reaktivitas feedback semua diabaikan? Hal ini jauh dari kenyataan yang ada.

3. Maksud atau tujuan tulisan/penelitian ini untuk apa?

HASAN

1. Energi yang disimpan yaitu energi yang dihasilkan dari proses tersebut lalu input-nya dihilangkan.

2. Dalam makalah ini, koefisien reaktivitas feedback semuanya dihitung. Hanya saja perhitungannya dilakukan secara bertahap mulai dari daya rendah lalu feedback temperatur bahan bakar dan pendingin.

3. Tujuan penulisan ilmiah adalah selama ini sistem instrumentasi dan kontrol yang digunakan di reaktor selalu menggunakan kontrol PID (Proporsional, Integral, Diferensial). Kami ingin mengembangkan sistem kontrol PID menjadi sistem kontrol optimal. Dalam sistem kontrol optimal model yang dipakai adalah model persamaan keadaan. Untuk menganalisis kestabilannya digunakan persamaan Liapunov. Dalam makalah ini dianalisis apakah dengan menggunakan persamaan Liapunov, reaktor stabil apa tidak. Bila stabil, maka sistem kontrol optimal dapat diterapkan di reaktor.

WIRYADI

1. Apakah ada formulasi matematika yang menyatakan hubungan antara determinan dengan kecepatan tercapainya kestabilan? Kalau ada bagaimana formulasinya?

2. Dapatkah ditentukan variabel-variabel mana yang (dan besarnya) berpengaruh terhadap tercapainya kondisi stabil?

(12)

1. Dalam persamaan Liapunov, hanya dianalisis apakah sistem tersebut stabil kestabilan.

2.

reaktor, dari nilai F(x) maka yang paling besar pengaruhnya adalah:

α = koefisien temperatur moderator

Λ P = daya reaktor 1. : HASAN 2. : Solo, 10 Oktober 1958 3. : P3TkN - BATAN 4. :

-5. : (setelah SMA sampai sekarang)

• ITS, Jurusan Teknik Elektro (S1)

ITB, Jurusan Rekayasa Nuklir(instrumentasi & kontrol)

6. : - Staf Peneliti BATAN

- Dosen di STT Mandala, Bandung Organisasi Professional

p

m

dx

∧

=

.

1