ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS. MODUL 10 Kalkulus Vektor. Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 30 日 ( 日 )

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS

MODUL 10

Kalkulus Vektor

Zuhair

Jurusan Teknik Informatika

Universitas Mercu Buana

Jakarta

Kalkulus Vektor

Kalkulus vektor (vector calculus) atau sering disebut analisis vektor dalam matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan fisikawan dalam menyelasikan masalah karena mengandung teknik-teknik dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor.

Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar, dimana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang skalar adalah temperatur udara di dalam suatu kamar. Kalkulus vektor juga fokus pada bidang vektor, dimana terdapat suatu vektor dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang vektor adalah aliran air di laut di mana dalam setiap titik arah aliran bisa berbeda-beda.

Ruang Lingkup

Kalkulus vektor melingkupi operasi vektor, diferensial vektor, integral vektor, dan teorema-teorema yang berhubungan dengan operasi nabla.

Nabla

Nabla (atau del) adalah salah satu operator yang digunakan dalam kalkulus vektor. Dinotasikan secara matematika sebagai .

Terdapat empat operasi penting dalam kalkulus vektor berhubungan dengan operator ini, yaitu: Gradien, Divergensi, Curl, Laplacian.

Gradien

Gradien (gradient) dalam matematika adalah salah satu operator dalam kalkulus vektor yang berguna untuk mencari perubahan arah dan kecepatan dalam bidang skalar. Dalam matematika, gradien didefinisikan sebagai:

Sebagai contoh dalam sistem kartesian tiga dimensi, gradien dari suatu vektor adalah:

CONTOH 1.

Carilah diferensial berarah (directional derivative) ∂ƒ / ∂s dari ƒ(x, y, z) = 1,5 x2 + 3 y2 + 2 z2 di titik P(3, 1, 2) dalam arah vektor a = 3 i – 4 k.

Penyelesaian:

Kita pereoleh ƒ = 3x i + 6y j + 4z k, dan dititik P(3, 1, 2) = 9 i + 6 j + 8 k. Karena

|

a

|

= 5, vektor satuan dalam arah a adalah,

b = a /

|

a

|

= (3 i – 4 k) / 5 = 0,6 i – 0,8 k.

Karena itu, ∂ƒ / ∂s = b • ƒ = (0,6 i – 0,8 k) • (9 i + 6 j + 8 k) = 5,4 – 6,4 = –1. Tanda minus menunjukkan ƒ menurun dalam arah yang dipertimbangkan.

CONTOH 2.

Carilah ƒ dari kurva level ƒ = konstan dari lingkaran konsentris ƒ(x, y) = ℓn(x2 + y2) di sekitar (0, 0).

Penyelesaian:

Kita pereoleh ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j = 2x / (x2 + y2) i + 2y / (x2 + y2) j, yang mempunyai arah normal pada lingkaran, dan arahnya berkorespondensi pada kenaikan maksimum ƒ. Sebagai contoh, di titik P(2, 1), kita mempunyai ƒ = 0,8 i + 0,4 j.

CONTOH 3.

Carilah vektor normal satuan n dari konus revolusi z2 = 4(x2 + y2) di titik P(1, 0, 2).

Penyelesaian:

Kita buat konus sebagai permukaan level ƒ = 0 dari ƒ(x, y, z) = 4(x2 + y2) – z2, maka ƒ = 8x i + 8y j – 2z k dan di titik P(1, 0, 2), ƒ = 8 i – 4 k. Karena itu, n =

ƒ /

|

ƒ

|

= 2/5 i

√

5 – 1/5 k

√

5 adalah vektor normal satuan dari konus di titik P, dan – n adalah vektor normal satuan lainnya.

Gambar 2. CONTOH 4.

Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = 2 xy.

Penyelesaian:

Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = 2y, ∂ƒ / ∂y = 2x, ∂ƒ / ∂z = 0, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = 2y i + 2x j.

CONTOH 5.

Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = sin (x2 + y2).

Penyelesaian:

Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = 2x cos (x2 + y2), ∂ƒ /∂y = 2y cos (x2 + y2), ∂ƒ / ∂z = 0, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = 2x cos (x2 + y2) i + 2y cos (x2 + y2) j.

Penyelesaian:

Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = 4x sin (x2 + y2) cos (x2 + y2), ∂ƒ /∂y = 4y sin (x2 + y2) cos (x2 + y2), ∂ƒ / ∂z = 0, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = 2x sin 2(x2 + y2) i + 2y sin 2(x2 + y2) j.

CONTOH 7.

Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = exy sin ez

Penyelesaian:

Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = y exy sin ez, ∂ƒ / ∂y = x exy sin ez, ∂ƒ / ∂z = ez exy cos ez, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = y exy sin ez i + x exy sin ez j + exy+z cos ez k.

CONTOH 8.

Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = x ey ℓn z.

Penyelesaian:

Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = ey ℓn z, ∂ƒ / ∂y = x ey ℓn z, ∂ƒ / ∂z = x ey / z, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = ey ℓn z i + x ey ℓn z j + x ey / z k.

CONTOH 9.

Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = x sin y arc sin z.

Penyelesaian:

Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = sin y arc sin z, ∂ƒ / ∂y = x cos y arc sin z, ∂ƒ / ∂z = x sin y /

√

(1 – z2), sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = sin y arc sin z i + x cos y arc sin z j + x sin y /

√

(1 – z2) k.

CONTOH 10.

Penyelesaian:

a. (ƒg) = (xyz ex cos y) = ∂(xyz ex cos y) / ∂x i + ∂(xyz ex cos y) / ∂y j + ∂(xyz ex cos y) / ∂z k = (yz ex cos y + xyz ex cos y) i + (xz ex cos y – xyz ex sin y) j + (xy ex cos y) k.

b. ƒ g = (xyz) (ex cos y) = (xyz) ∂(ex cos y) / ∂x i + (xyz) ∂(ex cos y) / ∂y j + (xyz) ∂(ex cos y) / ∂z k = (xyz) (ex cos y) i + (xyz) (–ex sin y) j + (xyz) (0) k = (xyz ex cos y) i + (–xyz ex sin y) j.

c. g ƒ = (ex cos y) (xyz) = (ex cos y) ∂(xyz) / ∂x i + (ex cos y) ∂(xyz) / ∂y j + (ex cos y) ∂(xyz) / ∂z k = (ex cos y) (yz) i + (ex cos y) (xz) j + (ex cos y) (xy) k = (yz ex cos y) i + (xz ex cos y) j + (xy ex cos y) k.

Dari hasil a, b dan c disimpulkan bahwa, (ƒg) = ƒ g + g ƒ. Beberapa formula gradien ditabulasikan disini,

1 (ƒg) = ƒ g + g ƒ 2 _{(ƒn) = n ƒn-1 ƒ} 3 (ƒ/g) = (1/g2)

[

g ƒ – ƒ g

]

4 _{2(ƒg) = g 2ƒ + 2 ƒ • g + ƒ 2g} ___________________________________________________________________ SOAL-SOAL

Tentukanlah gradien ƒ. Tuliskanlah beberapa kurva level ƒ = konstan dan tunjukkanlah ƒ dengan panah pada beberapa titik dari kurva level.

1. ƒ = 2 x2y2 2. ƒ = x2 – y2 3. ƒ = x2+ y2 4. ƒ = x / y

5. ƒ = 9 x2 + y2 6. ƒ = arc tan (y / x)

Tentukanlah dan luksikanlah vektor normal pada kurva bidang yang diberikan di titik P(x, y).

7. y = x, P(5, 5) 8. y = 2 x2, P(2, 8)

9. x2 + y2 = 100, P(6, 8) 10. x2 – y2 = 1, P(2,

√

3)

Tentukanlah dan lukiskanlah vektor normal satuan pada permukaan yang diberikan di titik P(x, y, z).

11. x + y + z = 1, P(4, 2, –5) 12. x2 + y2 + 2z2 = 26, P(2, 2, 3) 13. z = xy, P(2, –1, –2)

14. z =

√

(x2 + y2), P(3, 4, 5)

Tentukanlah diferensial berarah dari fungsi ƒ di titik P dalam arah a dimana, 15. ƒ = x2 – y2, P(2, 3), a = i + j 16. ƒ = 2x + 3y, P(0, 2), a = 3 j 17. ƒ = x2 + y2, P(1, 2), a = i – j 18. ƒ = x + 2y – z, P(1, 4, 0), a = j – k 19. ƒ = x2 + y2 + z2, P(1, 2, 3), a = i + j 20. ƒ = x2 + y2 + z2, P(2, 2, 2), a = i + 2j – 3k 21. ƒ = ex cos y, P(2, π, 0), a = 2i + 3k

22. ƒ = xyz, P(–1, 1, 3), a = i – 2j + 2k

23. ƒ = 1 /

√

(x2 + y2 + z2), P(3, 0, 4), a = i + j + k Tentukanlah gradien ƒ, jika:

24. ƒ = (x2 + y2 + z2)2 25. ƒ = sin xyz 26. ƒ = ex+2y-z 27. ƒ = cos (xy + yz + zx) 28. ƒ = ℓn(x2 + y2 + z2) 29. ƒ = sinh xyz

30. ƒ = arc sin xyz

31. ƒ = xyz arc tan (x + y + z) 32. ƒ = sin [arc sin (x2 + y2 + z2)] 33. ƒ = arc sin [sin (x2 + y2 + z2)] 34. ƒ = arc sech (x + 2y – z) 35. ƒ = x ey+z ℓn xyz 36. ƒ = x2 / (cos y + z) 37. ƒ = x2 / (cos y + xz) 38. ƒ = xyz / tan (x + 2y – z) 39. ƒ = (x + 2y – z) / ℓn (sin z) 40. ƒ = x2y3 sec (xy + 2z) 41. ƒ = xyz / sinh (xy + yz + zx)

43. ƒ = (x + 2y) / arc tan (x + 2y – z) 44. ƒ = 1 / arc sinh (x2y3 + y3z4 + z4x5) 45. ƒ = x + 2y – z

46. ƒ = x eyz / ℓn (x + 2y – z) 47. ƒ = xyz sin xyz

48. ƒ = x2y3z sin2 (x + 2y – 3z) 49. ƒ = exyz sin x cos y tan z 50. ƒ = tan2 (x2 + 2y2 – z2) 51. ƒ = ℓn [sec (x2y – z2x)] 52. ƒ = x esinh(y+z) 53. ƒ = x + 2y – z 54. ƒ = arc sin (π – xyz)

55. ƒ = arc tan (x2y – y2z + z2x) 56. ƒ = arc sin (xy sin z)

57. ƒ = sin (zx exy+yz)

58. ƒ = sin [ℓn (x2y – y2z + z2x)] 59. ƒ = sin [z2x ℓn (x2y – y2z)] 60. ƒ = sin [z ℓn (x ℓn y)]