ANALISIS KESTABILAN DAN KEBIJAKAN KEUNTUNGAN MAKSIMAL PADA MODEL POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA DENGAN TAHAPAN STRUKTUR

ANALISIS KESTABILAN DAN KEBIJAKAN

KEUNTUNGAN MAKSIMAL PADA MODEL

POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA

DENGAN TAHAPAN STRUKTUR

SYAMSUDDIN TOAHA

1

, JEFFRY KUSUMA

2

, KHAERUDDIN

3

, MAWARDI

4 1,2,3,4

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin

syamsuddint@yahoo.com, jeffry.kusuma@gmail.com, khaeruddin@gmail.com, mawardibahri@gmail.com

Abstract

Pada tulisan ini dibahas suatu model pertumbuhan populasi satu mangsa dan dua pemangsa. Model itu menyatakan laju pertumbuhan populasi mangsa, populasi pemangsa belum dewasa, dan populasi pemangsa sudah dewasa. Dinamika ketiga populasi tersebut dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan differensial. Dengan menganggap bahwa populasi yang ditinjau bernilai ekonomi, maka ketiga populasi tersebut dieksploitasi dengan melibatkan fungsi biaya dan fungsi penerimaan. Kewujudan titik ekuilibrium model beserta kestabilannya dianalisis dengan menggunakan metode linearisasi dan uji kestabilan Routh-Hurwitz. Kajian pada model ini bertujuan untuk menjamin ketiga populasi tidak akan punah dalam jangka waktu yang panjang dan juga diperoleh keuntungan maksimal dari usaha eksploitasi. Beberapa kasus dianalisis disertai dengan simulasi numerik untuk mengetahui kestabilan titik ekuilibrium dan keuntungan maksimal. Hasil analisis menunjukkan bahwa kewujudan dan kestabilan titik ekuilibrium interior pada model ditentukan oleh nilai-nilai paramater model dan usaha pemanenan. Ketiga populasi dapat tetap lestari meskipun dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan dan sekaligus memberikan keuntungan maksimal.

Kata-kata kunci: Model mangsa pemangsa, pemanenan, kestabilan, keuntungan

1. Pendahuluan

Model pertumbuhan populasi mangsa-pemangsa merujuk kepada model Lotka-Volterra merupakan salah model yang sangat populer dalam matematika ekologi. Luckinbill [1] menunjukkan bahwa populasi mangsa-pemangsa dapat hidup bersama untuk jangka waktu yang panjang jika kontak antara keduanya dikurangi. Martin & Ruan [2] menyarankan bahwa sangat ideal untuk mengkaji faktor pemanenan pada model populasi mangsa-pemangsa. Kar & Chauduri [3] mengkaji model mangsa-pemangsa dan kewujudan ekuilibrium bioekonomik serta pemanenan optimal. Holmberg [4] meneliti pengaruh pemanenan dengan usaha konstan dan ditunjukkan bahwa tangkapan dengan kuota konstan dapat mengakibatkan osilasi dan kacau serta menaikkan resiko ekploitasi yang berlebihan.Sistem satu mangsa dan satu pemangsa yang ditinjau dalam Hogart et.al. [5] dinyatakan bahwa kedua populasi mangsa dan pemangsa yang dipanen dengan hasil tangkapan konstan diperoleh suatu titik ekuilibrium yang stabil dan hasil maksimal yang lestari.

Model dinamika populasi mangsa-pemangsa memainkan peranan yang penting dalam bioekonomik, khususnya dalam manajemen sumberdaya yang terbarukan. Salah satu contoh

manajemen sumber daya terbarukan adalah populasi ikan. Tangkapan optimal berkelanjutan yang berdasarkan pada kriteria biaya bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan. Faktor-faktor yang perlu dipertimbangkan dalam membuat model dinamika populasi yang kompleks adalah ukuran populasi, laju pertumbuhan, kapasitas bawaan, kompetitor, biaya operasional pemanenan, harga tangkapan, dan sebagainya, Clark [6]. Sun et al. [7] mengembangkan model dengan tahapan struktur yang mempertimbangkan kebijakan pemanenan optimal. Kar & Chattopadhyay [9] mengkaji model dengan tahapan struktur dan menghubungkannya dengan kebijakan pemanenan optimal. Problem kombinasi pemanenan telah dikaji secara mendalam oleh Chauduri [9].

Tulisan ini bertujuan untuk menganalisis suatu model pertumbuhan populasi mangsa-pemangsa dengan struktur pada populasi pemangsa berdasarkan model Lotka-Volterra dengan melibatkan usaha pemanenan konstan. Analisis pada model ini difokuskan pada hubungan antara titik ekuilibrium interior model mangsa-pemangsa yang stabil dan keuntungan maksimal dari usaha ekploitasi.

2. Model Populasi Satu Mangsa dan Dua Pemangsa

Model yang ditinjau adalah model pertumbuhan populasi yang melibatkan tiga populasi, yaitu populasi mangsa, populasi pemangsa belum dewasa, dan populasi pemangsa sudah dewasa. Model dinamika populasi mangsa-pemangsa melibatkan dua populasi pemangsa dengan tahapan struktur telah ditinjau oleh Kar & Chattopadhyay [8] dengan beberapa asumsi yang berbeda. Model pertumbuhan populasi mangsa-pemangsa dinyatakan sebagai

. 1 3 1 1 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 N N m N N r dt dN N N N r dt dN N N K N N r dt dN











                 (1)

Model (1) merupakan model dinamika pada populasi mangsa dan pemangsa dengan tahapan struktur karena melibatkan populasi pemangsa belum dewasa dan populasi pemangsa sudah dewasa. Variabel N₁N₁

 

t menyatakan ukuran populasi mangsa pada saat t, N₂ N₂

 

t

menyatakan ukuran populasi pemangsa belum dewasa pada saat t, dan N₃N₃

 

t menyatakan ukuran populasi pemangsa dewasa pada saat t.

Dengan asumsi bahwa ketiga populasi yang ditinjau merupakan populasi (stok) yang bermanfaat, maka ketiga populasi tersebut selanjutnya dieksploitasi dengan laju penangkapan proporsional dengan masing-masing ukuran populasi. Dengan pertimbangan tersebut, model (1) dikembangkan menjadi . 1 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 N E q N N m N N r dt dN N E q N N N r dt dN N E q N N K N N r dt dN                    











(2)

Parameter q₁, q₂, dan q3 pada model (2) masing-masing menyatakan koefisien ketertangkapan untuk populasi mangsa, populasi pemangsa belum dewasa, dan populasi pemangsa dewasa. Parameter E1, E2, dan E3 masing-masing menyatakan usaha (effort) penangkapan yang memenuhi 0Ei Eimaks untuk i1,2,3.

Dengan memisalkan r₄ r₁ K, q₄ r₁q₁E₁, q₅r₂



₂q₂E₂, q₆r₃q₃E₃, dan 1

3





m , maka model (2) dinyatakan sebagai





. 3 1 3 2 2 3 3 3 3 2 2 5 2 1 1 1 4 4 1 1 N N N N q dt dN N N q dt dN N N r q N dt dN









          (3)

Titik ekuilibrium non negatif dari model (3) adalah T₁



0,0,0



, _

      ,0,0 4 4 2 r q T , dan



NE N E N E



T₃  ₁ , ₂ , ₃ dimana 5 3 5 1 q p N _E



 _, 1 2 5 3 6 2 2







q p N _E  , 1 2 5 3 6 2 3







q p N _E  , 2 2 6 5 5qq 





p , dan p₆q₄



₃q₅ p₅r₄. Titik ekuilibrium T₃ merupakan titik interior jika

0 2 2 6 5 5qq 







p _dan p₆q₄



₃q₅ p₅r₄ 0, yaitu keadaan dimana ketiga komponen titik tersebut bernilai positif.

3. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Interior

Pada model (3) hanya titik ekuilibrium interior, yaitu titik T3, yang akan dianalisis kestabilannya karena pada titik ekuilibrium ini keadaan ukuran populasi mangsa, populasi pemangsa belum dewasa, dan populasi pemangsa dewasa bernilai positif. Analisis kestabilan titik ekuilibrium dilakukan dengan metode pelinearan dan penentuan kestabilan dengan memperhatikan nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik T3. Dari model (3) diperoleh matriks Jacobian

               1 3 6 2 3 3 5 1 1 3 1 1 2 4 0 0 2 N q N q N N N r q J













. Dengan mengevaluasi matriks Jacobian J pada titik T₃ diperoleh

               E E E E E E N q N q N N N r q J 1 3 6 2 3 3 5 1 1 3 1 1 2 4 0 0 2













.

Persamaan karakteristik untuk matriks Jacobian J pada titik ekuilibrium T₃ diberikan oleh





, det ) ( I J_E f







 yaitu

 

1 0 2 2 3 a a a f















 , dimana 4 5 6 3 1 1 4 1 3 2 N 2r N N q q q a 



_E  _E 



_E   , , 2 2 2 2 2 5 1 4 6 1 4 6 4 6 4 1 3 4 3 2 1 4 5 4 5 3 1 6 3 1 1 3 5 5 6 1















            q N r q N r q q q q N q N r q q q N q N N q q q a E E E E E E E . 2 2 2 6 5 1 4 6 5 3 1 2 2 4 2 2 3 1 3 5 2 1 4 1 3 5 4 6 5 4 2 2 1 4 0 q q N r q q N q N q N r N q q q q q N r a E E E E E E        





















Titik ekuilibrium T3 stabil asimptot secara lokal jika memenuhi tes kestabilan Routh-Hurwitz, yaitu a₀0, a₂0, a₃0, dan a₂a₁a₀ 0, Jeffries, [10].

4. Kebijakan Keuntungan Maksimal pada Titik Ekuilibrium Interior

Titik ekuilibrium interior T3 yang stabil asimptotik dihubungkan dengan persoalan keuntungan maksimal. Fungsi biaya diasumsikan proporsional dengan usaha pemanenan yang dilakukan dan juga bergantung kepada biaya tetap, yaitu TCc₁c₂E dimana c1 dan c2 adalah suatu konstanta positif. Fungsi penerimaan didefinisikan sebagai TRPY(E), dimana P menyatakan fungsi harga per unit tangkapan dan Y(E,N)qEN menyatakan hasil pemanenan. Fungsi harga per unit tangkapan diasumsikan sebagai fungsi turun jika jumlah tangkapan meningkat, Chakraborty, et. al [11]. Untuk itu fungsi harga diasumsikan berbentuk

Y v p

P ₁ ₁ , dimana p₁ dan v₁ menyatakan suatu kostanta positif.

Fungsi keuntungan dinyatakan sebagai



TRTC. Titik ekuilibrium T₃ bergantung pada usaha pemanenan yang dilakukan. Dengan demikian fungsi keuntungan bergantung kepada usaha pemanenan, yaitu



(E)TR(E)TC(E). Pada keadaan ini, nilai-nilai usaha pemanenan (E) akan ditentukan sehingga memberikan keuntungan maksimal dan titik ekuilibrium yang bersesuaian dengan usaha pemanenan tersebut juga stabil asimptotik. Kasus yang ditinjau adalah kasus dimanaE₁E₂E₃, E₃E₂, dan E₁E₂ E₃.

Kasus 1 (

E



E

₁



E

₂



E

₃

)

Pada kasus 1, usaha pemanenan yang dikenakan pada setiap populasi adalah sama. Dengan demikian, titik T3 berada pada oktan pertama jika (i) p5q5q6



2



20 dan (ii)

0 4 5 5 3 4 6q q  pr 

p



. Syarat (i) dapat dinyatakan sebagai A₁E2B₁EC₁0 dengan

0

3 2 1q q 

A , B₁r₃q₂



₂q₃r₂q₃ 0, dan C₁r₂r₃r₃



₂



₂



₂. Syarat (ii) dapat dinyatakan sebagai A₂E2B₂EC₂0 dengan A₂ 



₃q₁q₂Kr₁q₂q₃0,

, )) ( ( ) ( _{2 2 3 21 1 3 2 3 2 2} 1 3 2



qK r 







q r r rq q r 



B dan C₂r₁(



₂



₂r₃(r₂



₂)).

Dengan asumsi bahwa terdapat nilai

E

yang memenuhi syarat (i) dan (ii) serta memenuhi

maks

E E 

0 maka titik T3 berada pada oktan pertama. Fungsi keuntungan yang bersesuaian dengan titik T₃ diberikan sebagai















 



, ) ( 32 22 12 31 21 11 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 E c c c c c c EN q EN q v p EN q EN q v p EN q EN q v p E E E E E E E            



dimana p1, p2, p3,v1,v2,danv3 menyatakan suatu konstanta positif yang berhubungan dengan harga stok. Konstantac11,c21,danc31 menyatakan biaya tetap dan konstanta

32 22

12,c ,danc

c menyatakan biaya variabel . Pada fungsi keuntungan tersebut nilai

, , ₂

1E N E

N dan N3E bergantung pada

E

. Selanjutnya akan ditentukan nilai

E

yang

memenuhi syarat (i) dan (ii) serta 0EEmaks yang memaksimalkan



(E) dan titik T3 stabil asimptotik.

Contoh 1. Diberikan parameter untuk model (3) dengan nilai r₁1,5, r₂0,2, r₃0,3,

000 . 10



K ,



₂0,3,



₁0,001, m0,5,



₂0,05, q₁0,1, q₂0,2, dan q₃0,3. Demikian pula diberikan nilai p11, p25, p35, v10,1, v20,1,v30,1, c112,

2

21



NE N E N E



T₃  ₁ , ₂ , ₃ , dengan





, 4 5 4 9 4 600 2 1 E E E N _E    





_, 16 40 25 76 469 714 60 2 2 2 E E E E N _E      dan





. 4 5 76 469 714 10 2 3 E E E N _E    

Titik T3 merupakan titik interior jika nilai

E

memenuhi (i) 0,06 0,135 0,06 0

2_{  }

E

E dan

(ii) 0,19E21,1725E1,78500. Dari syarat (i) diperoleh maks



0,0,6096



EEmaks

dan dari syarat (ii) diperoleh maks



0,1,2636



Emin



Emaks,7.4347



. Dengan mengambil nilai Emaks 1, maka diperoleh syarat 0E1 sehingga titik T3 merupakan titik interior. Fungsi keuntungan yang bersesuaian dengan titik T3 diberikan oleh

E c c c E N q p N q p N q p E) ( _{E E E}) ( ) (  _{1 1 1}  _{2 2 2}  _{3 3 3}  ₁ ₂ ₃



. Dengan nilai parameter yang

diberikan dan nilai pada titik ekuilibrium dan setelah disederhanakan diperoleh









. 500 . 12 10 0863 , 8 10 1090 , 4 10 2491 , 1 10 1733 , 1 10 5067 , 4 10 8023 , 3 10 7830 , 5 10 8445 , 5 4 5 3000 , 0 ) ( 6 2 7 3 8 4 8 5 7 6 6 7 5 8 5 4            E x E x E x E x E x E x E x E x E E



Plot kurva fungsi keuntungan



(E) diberikan pada Gambar 1. Dengan memperhatikan titik kritis fungsi keuntungan pada interval 0E1 diperoleh titik kritis E 0,06577 yang memaksimalkan fungsi keuntungan dengan



(E)118,78250.

Gambar 1. Fungsi keuntungan

Selanjutnya dengan mengambil nilai usaha pemanenan sebesar EE_*0,06577 diperoleh titik T₃



525,4553,1.612,6831,1.414,6054



. Persamaan karakteristik yang bersesuaian

dengan titik ekuilibrium tersebut diberikan oleh

09780 , 0 39689 , 0 39897 , 0 ) (







3



2





f dengan nilai eigen 0,064430,59827i

dan 0,27011. Hal ini bermakna bahwa dengan mengaplikasikan nilai usaha pemanenan sebesar EE*0,06577 maka ketiga populasi mangsa dan pemangsa yang dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan tetap akan lestari untuk waktu yang panjang dan juga memberikan keuntungan maksimal.

Kasus 2.

E

₃



E

₂

Pada kasus 2, usaha pemanenan yang dikenakan sama untuk populasi pemangsa belum dewasa dan populasi pemangsa dewasa. Dengan demikian, titik T₃



N_1E,N_2E,N_3E



berada pada

oktan pertama jika memenuhi (i) p₅q₅q₆



₂



₂0 dan (ii) p₆q₄



₃q₅ p₅r₄0. Syarat (i) dapat dinyatakan sebagai A₃E₂2B₃E₂C₃ 0 dengan A₃q₂q₃0,

0 3 2 3 2 2 3 3 rq  q rq 

B



, dan C₃r₂r₃r₃



₂



₂



₂. Syarat (ii) dinyatakan sebagai



₃



₂





₂



_{2 2}



₁



_{1 1}





1





r

₃



q

₃

E

₂



r

₂





₂



q

₂

E

₂







₂



₂





0

.

K

r

E

q

r

E

q

r

Dengan

asumsi bahwa terdapat pasangan



E₁, E₂



yang memenuhi syarat (i) dan (ii) serta memenuhi

maks

E

E_{1 1}

0  dan 0E₂E_2maks maka titik T₃ berada pada oktan pertama. Fungsi keuntungan yang bersesuaian dengan titik T3 diberikan sebagai





















, ) , ( 2 32 22 12 31 21 11 3 2 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 E c c E c c c c N E q N E q v p N E q N E q v p N E q N E q v p E E E E E E E E            



dimana p1, p2, p3,v1,v2,danv3menyatakan suatu konstanta positif yang berhubungan dengan harga stok. Konstantac₁₁,c₂₁,danc₃₁ menyatakan biaya tetap dan konstanta c₁₂,c₂₂,danc₃₂

menyatakan biaya variabel. Pada fungsi keuntungan tersebut nilai N_1E,N_2E, dan N3E

bergantung pada E₁ dan E₂. Selanjutnya akan ditentukan nilai E₁ dan E₂ yang memenuhi syarat (i) dan (ii) serta 0E₁E_1maks dan 0E₂E_2maks yang memaksimalkan nilai

) , (E₁ E₂



dan titik T₃ stabil asimptotik.

Contoh 2. Diberikan parameter untuk model (3) dengan nilai r11,5, r20,2, r30,3,

000 . 10



K ,



20,3,



10,001, m0,5,



20,05, q10,1, q20,2, dan q30,3. Demikian pula diberikan nilai p₁1, p₂5,p₃5, v₁0,1, v₂0,1,v₃0,1, c₁₁2,

2

21

c , c₃₁2, c₁₂1, c₂₂1, dan c₃₂1. Dengan nilai parameter tersebut diperoleh titik



NE N E N E



T₃  ₁ , ₂ , ₃ , dengan





, 4 5 4 9 4 600 2 2 2 2 1 E E E N_E    





, 16 40 25 40 50 36 519 714 60 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 E E E E E E E N _E        dan





. 4 5 40 50 36 519 714 10 2 1 2 1 2 2 2 3 E E E E E E N E      

Titik T₃ merupakan titik interior jika nilai E₁ dan E₂ memenuhi (i) 0 06 , 0 135 , 0 06 , 0 E₂2 E₂  dan (ii) 1,7851,2975E₂0,090E₂20,125E₁0,1E₂E₁0.

Dari syarat (i) diperoleh maks



0,0,6096



E2E2maks Dengan mengambil nilai E1maks 1

dan E2maks 1 , maka titik T3merupakan titik interior jika



E1,E2



D1, dimana









. 0 1 , 0 125 , 0 090 , 0 2975 , 1 785 , 1 , 1 0 , 1 0 : , 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1           E E E E E E E E E D

Dengan nilai parameter yang diberikan dan nilai pada titik ekuilibrium dan setelah disederhanakan diperoleh









. 10 147 , 4 10 152 , 1 10 603 , 7 10 071 , 2 10 928 , 2 10 440 , 1 10 238 , 2 10 784 , 8 10 424 , 4 10 806 , 2 10 214 , 6 10 305 , 6 10 866 , 1 10 914 , 4 10 876 , 1 10 681 , 1 10 926 , 3 10 900 , 3 10 397 , 2 10 938 , 2 10 402 , 2 10 125 , 3 10 215 , 1 500 . 37 4 5 1000 , 0 ) , ( 7 2 1 5 6 2 2 1 6 5 2 2 1 6 4 2 2 1 7 3 2 2 1 7 2 1 7 2 2 2 1 7 2 2 1 6 6 2 1 7 5 2 1 7 4 2 1 7 3 2 1 7 8 2 5 7 2 6 6 2 7 5 2 8 4 2 8 3 2 8 2 7 1 5 2 2 1 7 2 1 5 2 2 8 2 2 2 1 E E x E E x E E x E E x E E x E x E E x E E x E E x E E x E E x E E x E x E x E x E x E x E x E x E x E E x E E x E x E E E                          



Plot permukaan fungsi keuntungan



(E₁,E₂) diberikan pada Gambar 2. Dengan memperhatikan titik kritis fungsi keuntungan pada daerah D₁ diperoleh titik kritis



E₁,E₂







0,09324,0,06559



yang memaksimalkan fungsi keuntungan dengan

99321 , 188 ) , (E₁ E₂ 



.

Gambar 2. Permukaan fungsi keuntungan

Selanjutnya dengan mengambil pasangan nilai usaha pemanenan sebesar



E₁,E₂







0,09324,0,06559



diperoleh titik T3



525,3367,1.609,7818,1.411,8751



.

Persamaan karakteristik yang bersesuaian dengan titik ekuilibrium tersebut diberikan oleh

09758 , 0 39608 , 0 39893 , 0 ) (







3



2





f dengan nilai eigen 0,064420,59761i

dan 0,27009. Hal ini bermakna bahwa dengan mengaplikasikan nilai usaha pemanenan sebesar E₁0,09324 dan E₂0,06559 maka ketiga populasi mangsa dan pemangsa yang dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan tetap akan lestari untuk waktu yang panjang dan juga memberikan keuntungan maksimal.

Kasus 3 (

E

₁



E

₂



E

₃)

Pada kasus 3, usaha pemanenan yang dikenakan untuk ketiga populasi tidak sama. Dengan demikian, titik T3 berada pada oktan pertama jika memenuhi (i) p5q5q6



2



2 0 dan (ii)

0 4 5 5 3 4 6q q  pr 

p



. Selanjutnya syarat (i) dan (ii) dapat dinyatakan sebagai



r₃q₃E₃



r₂



₂q₂E₂







₂



₂ 0 dan







1





_{3 3 3}



_{2 2 2 2}



_{2 2}



0

.

1 1 1 2 2 2 2 3





























r

q

E

r

q

E

K

r

E

q

r

E

q

r

Dengan asumsi

imaks

i E

E 



0 untuk i1,2,3, maka titik T₃ berada pada oktan pertama. Fungsi keuntungan yang bersesuaian dengan titik T₃ diberikan sebagai

















, ) , , ( 3 32 2 22 12 31 21 11 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 E c E c E c c c c N E q N E q v p N E q N E q v p N E q N E q v p E E E E E E E E E            



dimana p1, p2, p3,v1,v2,danv3 menyatakan suatu konstanta positif yang berhubungan dengan harga stok. Konstanta c11,c21,danc31 menyatakan biaya tetap dan konstanta

32 22

12,c ,danc

c menyatakan biaya variabel. Pada fungsi keuntungan tersebut nilai

, , ₂

1E N E

N dan N3E bergantung pada E1, E2, dan E3. Selanjutnya akan ditentukan nilai E1, 2

E , dan E3 yang memenuhi syarat (i) dan (ii) serta 0Ei Eimaksuntuk i1,2,3 yang

memaksimalkan nilai



(E₁,E₂,E₃) dan titik T3 stabil asimptotik.

Contoh 3. Diberikan parameter untuk model (3) dengan nilai r₁1,5, r₂0,2, r₃0,3,

000 . 10



K ,



₂0,3,



₁0,001, m0,5,



₂0,05, q₁0,1, q₂0,2, dan q₃0,3. Demikian pula diberikan nilai p₁1, p₂5,p₃5, v₁0,1, v₂0,1,v₃0,1, c₁₁2,

2

21

c , c312, c121, c221, dan c321. Dengan nilai parameter tersebut diperoleh titik



NE N E N E



T₃  ₁ , ₂ , ₃ , dengan





2 3 2 3 2 1 4 5 4 5 4 4 600 E E E E E N_E      ,





2 2 2 1 2 1 3 2 3 2 2 16 40 25 40 50 36 45 564 714 60 E E E E E E E E E N _E         , dan





2 1 2 1 3 2 3 2 3 4 5 40 50 36 45 564 714 10 E E E E E E E E N _E        .

Titik T3 merupakan titik interior jika nilai E1, E2, dan E3 memenuhi (i) 0 06 , 0 075 , 0 06 , 0 06 , 0 E2E3 E2 E3  dan (ii)



0,125E₁1,410E₂0,1125E₃0,090E₂E₃0,01E₂E₁1,785



0. Dengan mengambil nilai E1maks 1, E2maks 1 dan E3maks 1 , maka titik T3 merupakan titik interior jika



E1,E2,E3



D2, dimana









60 36 30 24 5 4

 

0. , 0 06 , 0 075 , 0 06 , 0 06 , 0 , 1 0 , 1 0 , 1 0 : , , 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2 1 2                  E E E E E E E E E E E E E E E E E D

Dengan nilai parameter yang diberikan dan nilai pada titik ekuilibrium tersebut dan setelah disederhanakan diperoleh fungsi keuntungan



(E₁,E₂,E₃)seperti diberikan pada Lampiran 1. Dengan memperhatikan titik kritis fungsi keuntungan pada daerah D2 diperoleh titik kritis



E₁,E₂,E₃







0,09385,0,07833,0,05898



yang memberikan 26786 , 121 ) , , (E₁ E₂ E₃ 



. Matriks Hessian untuk fungsi keuntungan pada titik kritis diberikan sebagai             43429 , 637 . 35 58178 , 113 06443 , 91 58178 , 113 83453 , 991 . 17 79282 , 97 06443 , 91 79282 , 97 19327 , 547 H _,

dengan nilai eigen 35.638,39842, 17.991,65823, dan 546,40544. Dengan memperhatikan Matriks Hessian pada titik kritis



E₁,E₂,E₃



dan nilai-nilai eigen,

disimpulkan bahwa



(E₁,E₂,E₃)121,26786 merupakan nilai maksimum lokal.

Selanjutnya dengan mengambil pasangan nilai usaha pemanenan sebesar



E₁,E₂,E₃







0,09385,0,07833,0,05898



diperoleh titik



522,46586,1.594,75974,1.412,24504



3

T . Persamaan karakteristik yang bersesuaian

dengan titik ekuilibrium tersebut diberikan oleh

09801 , 0 39417 , 0 40050 , 0 ) (







3



2





f _{dengan nilai eigen} 0,063870,59603i

dan 0,27276. Hal ini bermakna bahwa dengan mengaplikasikan nilai usaha pemanenan sebesar E₁0,09385, E₂0,07833, dan E₃0,05898 maka ketiga populasi mangsa dan pemangsa yang dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan tetap akan lestari untuk waktu yang panjang dan juga memberikan keuntungan maksimal.

5. Kesimpulan

Dari model dinamika populasi mangsa-pemangsa dengan pemanenan usaha konstan pada masing-masing populasi diperoleh satu titik ekuilibrium interior jika berlaku q5q6



2



20_,

0 4 5 5 3 4 q pr 

q



dan 0Ei Eimaks untuk i1,2,3 dan titik ekuilibrium interior tersebut

stabil jika memenuhi syarat uji kestabilan Routh-Hurwitz.

Dari hasil simulasi dalam kasus E1E2E3, E3 E3, dan E1E2E3 diperoleh nilai usaha-usaha pemanenan yang optimal yang memberikan titik ekuilibrium interior



NE N E N E



T₃  ₁ , ₂ , ₃ stabil asimptotik dan memberikan keuntungan maksimal dari usaha ekploitasi populasi mangsa dan populasi pemangsa.

Dari hasil analisis teoritis dan numerik, disimpulkan bahwa kewujudan dan kestabilan titik ekuilibrium interior T3



N1E,N2E,N3E



ditentukan oleh besaran nilai usaha-usaha

pemanenan yang diberikan. Ketiga populasi dapat tetap lestari meskipun dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan dan juga memberikan keuntungan maksimal.

Daftar Pustaka

[1] Luckinbill, L.S. Coexistence in laboratory populations of paramecium aurelia and its predator didinium nasutum. Journal of Ecology. 54(6):1320-1327, 1973.

[2] Martin, A. and Ruan, S. Predator-prey models with time delay and prey havesting. J. Math.

Biol. 43:247-267, 2001.

[3] Kar, T.K. and Chauduri, K.S. On non-selective harvesting of a multispecies fishery. Int. J.

Math. Educ. Sci. Technol. 33(4):543-556, 2002.

[4] Holmberg, J. Socio-ecological principles and indicators for sustainability, PhD Thesis, Goteborg University, Sweden, 1995.

[5] Hogarth, W.L., Norbury, J., Cunning, I. and Sommers, K. Stability of a predator-prey model with harvesting. Ecological Modelling. 62:83-106, 1992.

[6] Clark, C.W. Mathematical Bioeconomics, The optimal management of renewable

resources, 2nd Ed., John Wiley & Sons, New York-Toronto, 1990.

[7] Sun, Z., Li, Y., Yang, H. and Lin, L. A stage-structure predator-prey model with functional response. Applied Mathematical Sciences. Vol.2 No.7, 333-339, 2008.

[8] Kar, T.K. and Chattopadhyay, S. K. A dynamic reaction model of a prey-predator system with stage-structure for predator. Modern Applied Science, 4, No.5: 183-195, 2010.

[9] Chaudhuri, K. S. Dynamic optimization of combined harvesting of two species fishery.

Ecological Modelling, 41, 17-25, 1998.

[11] Chakraborty, K., Chakraborty, M., and Kar, T.K. Optimal control of harvest and bifurcation of a prey-predator model with stage struktur, Applied Mathematics and