Oleh : K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta Abstract

(1)

K a r y a t i

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta

Let X and Y be vector spaces over a field K, then be constructed a bilinear form . This paper discuss the properties of adjoin pairs with respect to the bilinear form B .

K Y

X

B: × ⎯⎯→

The result show that :

(

f,g

)

is an Adjoin pairs if and only if f oB_∗ =B_∗og∗,

( )

∗ ∗_∈

Y L

g defined as (t)g∗ = got , ∀t∈Y∗;

(

f,g

)

is Adjoin pairs if and only if , ∗ ∗ ∗₌ f B B go o f∗∈L

( )

X∗ defined as , ; If is a

non degenerate bilinear form and the dimension of X and Y are finite, then for every t f f t) ∗ = o ( ∀t∈X∗ B:X×Y→K

( )

X L

f ∈ there is g∈L

( )

Y such that

(

f,g

)

is Adjoin pairs, and . As the corollary , for every

( )

g = R

( )

∧f N

( )

∧

g

R = N

( )

f g∈L

( )

Y there is f ∈L

( )

X such that

(

f,g

)

is Adjoin pairs,

( )

and

∧ = R f g N

( )

∧ g R = N

( )

f .

Keywords: Bilinear form, non degenerate, adjoin pairs

1. Pendahuluan

Dari Aljabar Linear diperoleh beberapa pengertian dan sifat-sifat sebagai berikut (Lang :1970): Misalkan X dan Y ruang vektor berdimensi hingga atas lapangan K. Himpunan X ×Y =

{

(x,y)x∈X,y∈Y

}

membentuk ruang vektor atas lapangan K terhadap operasi jumlah dan pergandaan biasa.

Pemetaan disebut bentuk bilinear apabila linear terhadap setiap

variabelnya . Pemetaan ini menentukan dua pemetaan linear, yaitu: dan

yang masing-masing didefinisikan oleh

K Y X B: × ⎯⎯→ * *:X Y B → * * :Y X B → (x)B_* =(x,−)B dan .

Dalam tulisan ini fungsi dianggap sebagai operator kanan.

B y B

y) ( , )

( *= −

Selanjutnya yang dimaksud dengan L

( )

X adalah himpunan transformasi linear dari ruang vektor X ke dirinya sendiri. Transformasi f ∈L

( )

X dikatakan Adjoin dengan

Dipresentasikan dalam Seminar Nasional MIPA 2006 dengan tema "Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA serta Peranannya dalam Peningkatan Keprofesionalan Pendidik dan Tenaga Kependidikan" yang diselenggarakan oleh Fakultas MIPA UNY, Yogyakarta pada tanggal 1 Agustus 2006

(2)

( )

Y L

g∈ relatif terhadap bentuk bilinear B jika

(

(x)f,y

) (

B= x,(y)g

)

B untuk semua x∈X

dan y∈Y. Dalam hal demikian dikatakan juga g∈L

( )

Y Adjoin dengan f ∈L

( )

X relatif terhadap B . Selanjutnya pasangan

(

f,g

)

disebut pasangan Adjoin.

Dalam penulisan ini akan diselidiki beberapa sifat pasangan adjoin relatif terhadap bentuk bilinear B.

2. Ruang Dual

Misalkan X ruang vektor atas lapangan K; himpunan

{

f :X K ftransformasi linear

X∗= →

}

merupakan ruang vektor atas lapangan K terhadap

operasi jumlah dua fungsional biasa dan pergandaan skalar. Selanjutnya ruang vektor X∗

ini disebut ruang dual dari ruang vektor X. Salah satu sifat ruang dual X∗ adalah mempunyai dimensi yang sama dengan ruang vektor X .

3. Sifat Bentuk Bilinear

Bentuk bilinear menentukan dua pemetaan linear yaitu

dan yang didefinisikan oleh:

K Y X B: × ⎯⎯→ ∗ ∗ X →Y B : B∗:Y →X∗ (x)B_∗=

( )

x,− B dan .

Kernel dari adalah

( )

y B B y) , ( ∗= − ∗ ∗ X →Y

B : N

( )

B_∗ =

{

x∈X (x)B_∗=θ_∗

}

, dengan θ_∗ adalah fungsi nol dari Y ke K . Hal yang sama N

( )

B∗ =

{

y∈Y(y)B∗=θ∗

}

dan θ∗ adalah fungsi nol dari X

ke K. Bentuk bilinear B dikatakan non-degenerate jika N

( )

B_∗ = N

( )

B∗ =

{ }

0 .

Annihilator dari U( relatif terhadap B), dengan U suatu ruang bagian dari X,

adalah =

{

y∈Y

( )

u y = ∀u∈U

}

∧

, 0 , B

U . Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa adalah

ruang bagian ruang vektor Y , yaitu: untuk setiap , maka

^ U ∧ ∈U b a,

(

u,a+b

) ( ) ( )

B= u,a B+ u,b B=0+0=0 untuk setiap u∈U. Sehingga a+b∈U∧ . Untuk setiap

K

∈

α dan untuk setiap a∈U∧, maka

(

u,αa

)

B=α

( )

u,a B=α0=0. Sehingga αa∈U∧.

Seminar Nasional MIPA 2006

(3)

Hal yang sama didefinisikan annihilator ruang bagian V , dengan V ruang bagian

dari ruang Y , yaitu : =

{

x∈X

( )

x v B= ∀v∈V

}

∧

, 0 ,

V . Secara analog, dapat ditunjukkan

bahwa adalah ruang bagian ruang vektor

^

V X . Jika ruang vektor X dan berdimensi

hingga dan bentuk bilinear merupakan bentuk bilinear yang non degenerate, maka dimensi Y K Y X B: × →

X sama dengan dimensi Y ( Karyati: 2002 ).

Dalam bagian berikut akan dibicarakan syarat perlu dan cukup Pasangan Adjoin yang penulis kembangkan dari tulisan Rajendran dan Nambooripad (2000).

4. Sifat Pasangan Adjoin relatif terhadap Bentuk Bilinear

Lemma dan akibat berikut memberikan syarat perlu dan cukup agar

(

f,g

)

merupakan pasangan Adjoin:

Lemma 1. Jika

(

f,g

)

∈L

( ) (

X ×LY

)

maka kondisi berikut ekuivalen: a.

(

f,g

)

adalah pasangan adjoin

b. f oB_∗ =B_∗og∗, dengan g∗∈L

( )

Y∗ yang didefinisikan (t)g∗ =got , ∀t∈Y∗

Bukti: (⇒ )

Dari yang diketahui dipenuhi : (B_∗)g∗ = goB_∗.

(

f,g

)

pasangan adjoin ⇒

(

(x)f,y

) (

B= x,(y)g

)

B ( definisi padangan adjoin )

x B g y f x B y) ₍ ₎ (( ) ) ( = ⇒ ( ∀y∈Y, Bmenentukan dua pemetaan linear )

(

_x

)

f x y g B B y) ( ) o ( ₍ ₎ = ⇒ (∀y∈Y ) x B g f x B = o ⇒ ₍ ₎ ( ∀x∈X )

(

)

∗= ∗ ⇒ (x)f B go(x)B ( definisi ) B_∗

(

)

(

)

∗ ∗ ∗ = ⇒ (x)f B (x)B g ( definisi g∗ )

(

)

(

∗

)

∗ ∗ =

⇒(x) f oB (x)B og ( definisi komposisi fungsi )

⇒ ∗

∗ ∗ =B g

B

f o o .

(4)

(⇐ )

Dipenuhi f oB_∗ = B_∗og∗, dengan g∗∈L

( )

Y∗ yang didefinisikan , , sehingga: t g g t) ∗ = o ( ∀t∈Y∗ f oB_∗ =B_∗og∗ ⇒(x)

(

f oB_∗

)

=(x)

(

B_∗og∗

)

( ∀x∈X )

(

)

(

)

∗ ∗ ∗ =

⇒ (x)f B (x)B g ( definisi komposisi fungsi )

(

)

_∗= _∗ ⇒ (x)f B go(x)B ( definisi g∗ ) x B g f x B = o ⇒ ₍ ₎ (definisi B_∗)

(

x

)

f x y g B B y) ( ) o ( ₍ ₎ = ⇒ (∀y∈Y )

⇒(y)B₍_x₎_f =((y)g)B_x ( definisi komposisi fungsi )

(

(x)f,y

) (

B= x,(y)g

)

B

⇒

(

f,g

)

pasangan adjoin

■

Akibat 2. Lemma di atas berakibat pernyataan berikut juga ekuivalen: a.

(

f,g

)

adalah pasangan adjoin

b. goB∗ =B∗o f∗, dengan f∗∈L

( )

X∗ didefinisikan oleh: (t)f∗ = f ot , ∀t∈X∗

Bukti: (⇒ )

(

f,g

)

pasangan adjoin ⇒

(

(x)f,y

) (

B= x,(y)g

)

B ( definisi padangan adjoin )

(

(x)f

)

B_y =(x)B₍_y₎_g ⇒

(

f By

)

x B y g x) ( ) ₍ ₎ ( = ⇒ o g y y B B f = ₍ ₎ ⇒ o

(

)

∗ ∗₌ ⇒ f o(y)B (y)g B

(

∗

)

∗₌

(

∗

)

⇒ (y)B f (y)goB

(

∗ ∗

) (

₌ ∗

)

⇒(y)B o f (y)goB ∗ ∗ ∗ ₌ ⇒B o f goB

(5)

Dengan membalik arah buktyi tersebut dapat dibuktikan jika goB∗ =B∗o f∗, dengan

( )

∗

∗_∈

X L

f didefinisikan oleh: (t)f∗ = f ot , ∀t∈X∗, maka

(

f,g

)

pasangan adjoin . ■

Teorema dan akibat berikut merupakan konsekuensi dari Lemma 1 , Akibat 2 dan salah satu sifat ruang dual.

Teorema 3. Misalkan X dan Y ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Jika non degenerate, maka untuk setiap

K Y X B: × → f ∈L

( )

X terdapat sedemikian sehingga

( )

Y L g∈ g adjoin dengan f dan

( )

∧ = R f g

N serta R∧

( )

g = N

( )

f . Bukti:

Bentuk bilinear non degenerate, sehingga berlaku .

Sementara itu berlaku juga , sehingga . Diketahui

K Y X B: × → dimX =dimY ∗ = X X dim

dim dimY=dimX∗

( )

B∗ =

{ }

0

N , sehingga B∗ injektif. Berlaku juga dimY =dim

(

N(B∗)

)

+dim

(

R(B∗)

)

, sehingga

( )

_B∗ ₌ _X∗

R dim

dim . Akibatnya B∗ surjektif. Jadi B∗isomorphisma.

Ambil sebarang f ∈L

( )

X . Selanjutnya dibentuk g =B∗o f∗o

( )

B∗ −1, f∗∈L

( )

X∗ yang didefinisikan oleh: (t)f∗= f ot untuk semua t∈X∗, suatu ruang dual dari ruang X. Jelas bahwa g∈L

( )

Y dan goB∗=B∗o f∗o

( )

B∗ −1oB∗=B∗o f∗. Menurut Akibat 2 diperoleh g

Adjoin dengan f .

Ambil x∈N

( )

f , sehingga (x)f =0 dan

(

(x)f,y

)

B=(0,y)B=0, untuk semua y∈Y. Diketahui g Adjoin dengan f , sehingga:

(

(x)f,y

) (

B= x,(y)g

)

B=0, sehingga . Jadi

(1)

( )

∧ ∈R g x

( )

f ⊆R∧

( )

g N

(6)

Ambil x∈R

( )

∧g sehingga

(

x,(y)g

)

B=0 untuk semua y∈Y. Diketahui g Adjoin dengan , sehingga

f

(

(x)f,y

) (

B= x,(y)g

)

B=0, untuk semua y∈Y. Diketahui B non degenerate, sehingga(x)f =0 atau x∈N

( )

f .

Jadi R

( )

g ⊆N

( )

f (2)

∧

Dari persamaan (1) dan (2) terbukti bahwa R∧

( )

g = N

( )

f .

Ambil y∈N

( )

g , sehingga (y)g=0 dan

(

x,(y)g

) ( )

B= x,0 B=0, diketahui g Adjoin dengan ,sehingga

f

(

(x)f,y

) (

B= x,(y)g

)

B=0, untuk semua x∈X , sehingga . Jadi

(3)

( )

∧ ∈R f y

( )

g ⊆R

( )

∧f N

Ambil y∈R

( )

∧f maka

(

(x)f,y

)

B=0, untuk semua x∈X . Diketahui g Adjoin dengan , sehingga

f

(

(x)f,y

) (

B= x,(y)g

)

B=0 untuk semua x∈X. Diketahui B non degenerate, sehingga (y)g =0 atau y∈N

( )

g .

Jadi R

( )

f ⊆ N

( )

g (4)

∧

Dari persamaan (3) dan (4) terbukti bahwa N

( )

g = R

( )

∧f .

■

Akibat 4 . Misalkan X dan Y ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Jika non degenerate, maka untuk setiap

K Y X

B: × → B:X×Y→K terdapat f ∈L

( )

X

sedemikian sehingga f Adjoin dengan g dan N

( ) ( )

g =R∧f serta R

( )

∧g =N

( )

f . Bukti:

Bukti analog dengan lemma sebelumnya. Pemetaan juga isomorphisma, sehingga dapat

dibentuk . Bukti selanjutnya analog.

∗ B

( )

−1 ∗ ∗ ∗ =B g B f o o 5. Kesimpulan

Dari uraian di atas diperoleh beberapa sifat pasangan adjoin sebagai berikut:

(7)

Jika

(

f,g

)

∈L

( ) (

X ×LY

)

maka kondisi berikut ekuivalen berlaku:

(

f,g

)

pasangan adjoin jika dan hanya jikaf oB_∗ =B_∗og∗, dengan g∗∈L

( )

Y∗ yang didefinisikan ,

, sebagai akibatnya berlaku juga:

t g g t) ∗ = o ( ∗ ∈

∀t Y

(

f,g

)

pasangan adjoin jika dan hanya jika

, dengan ∗ ∗ ∗ ₌ f B B

go o f∗∈L

( )

X∗ didefinisikan oleh: , . Sifat lain

diperoleh : Jika non degenerate, maka untuk setiap

t f f t) ∗ = o ( ∀t∈X∗ K Y X B: × → f ∈L

( )

X terdapat sedemikian sehingga

( )

Y L

g∈ g adjoin dengan f dan

( )

∧ = R f g

N serta R∧

( )

g =N

( )

f . Sebagai akibatnya dipenuhi sifat: Jika B:X×Y→K non degenerate, maka untuk setiap

( )

X L

f ∈ terdapat g∈L

( )

Y sedemikian sehingga g adjoin dengan f dan

( )

∧ =R f g N serta R∧

( )

g = N

( )

f . Kepustakaan

Karyati, 2002. Semigrup yang dikonstuksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis. Program Pasca Sarjana, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta

Lang, S. 1970. Linear Algebra. Addison –Wesley Publishing Company, Inc, New York. Rajendran, D., Nambooripad, K.S.S., 2000. Bilinear Forms and a Semigrup of Linear

Transformations. Shoutheast Asian Bulletin of Mathematics 24:609-616.