ii
Analisis
Analisis
Analisis
Analisis Ke
Ke
Ke
Keadaan Mantap
adaan Mantap
adaan Mantap
adaan Mantap
Rangkaian
Rangkaian
Rangkaian
Rangkaian Sistem
Sistem
Sistem Tenaga
Sistem
Tenaga
Tenaga
Tenaga
Sudaryatno Sudirham
BAB 9
Pembebanan Tak Seimbang
Pada pembebanan seimbang, model satu fasa mempermudah analisis sistem tiga fasa. Apabila beban tidak seimbang, sistem akan mengandung fasor-fasor tidak seimbang, baik arus maupun tegangannya. Apabila fasor-fasor tidak seimbang tersebut dapat diuraikan kedalam komponen-komponen yang seimbang maka masing-masing komponen seimbang dapat dianalisis menggunakan model satu fasa. Jadi kita memandang sistem tak seimbang sebagai superpoisi dari sistem seimbang. Komponen-komponen seimbang itu disebut komponen simetris. Dalam pembahasan komponen simetris ini kita hanya akan melihat sistem tiga fasa.Bahwa fasor tegangan (ataupun arus) dalam sistem tak seimbang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari fasor tegangan (atau arus-arus) yang seimbang dikemukakan oleh C.L. Fortesque memaparkan dalam papernya, pada 1918.
9.1. Pernyataan Komponen Simetris
Hanya ada tiga kemungkinan fasor tiga fasa seimbang yang dapat digunakan untuk menyatakan komponen-komponen dari fasor tiga fasa tak seimbang, yaitu:
a) Fasor tiga fasa seimbang urutan positif, ABC. b) Fasor tiga fasa seimbang urutan negatif, CBA.
c) Fasor tiga fasa tanpa beda sudut fasa yang disebut urutan nol
9-2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga a) Fasor urutan positif (ABC):
b) Fasor urutan negatif (CBA)
c) Fasor urutan nol
Operator a. Untuk menyatakan komponen simetris kita menggunakan operator a yaitu
o
120 1∠
=
a (9.1)
Operator semacam ini telah kita kenal yaitu operator j di mana
o
90 1∠
=
j .
Dengan menggunakan operator a maka fasor urutan positif dapat kita tuliskan
1 1 1 2 1 1 1 V ; V V ; V V VA = B =a C =a (9.2) o 2 2 o 2 2 o 2 2
240
120
0
+
∠
=
+
∠
=
∠
=
V
V
V
C B AV
V
V
A 2 V B 2 V C 2 V o 120 o 120 Im Re o 1 1 o 1 1 o 1 1240
120
0
−
∠
=
−
∠
=
∠
=
V
V
V
C B AV
V
V
A 1 V B 1 V C 1 V o 120 o 120 Im Re θ ∠ = θ ∠ = θ ∠ = 0 0 0 0 0 0 V V V C B A V V V Im V0A =V0B =V0C =V0 Redan fasor urutan negatif sebagai 2 2 2 2 2 2 2 V ; V V ; V V V A = B =a C =a (9.3)
Fasor Tak Seimbang. Fasor tak seimbang merupakan jumlah dari komponen-komponen simetrisnya.
2 2 1 0 2 1 0 2 1 2 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V a a a a C C C C B B B B A A A A + + = + + = + + = + + = + + = + + = (9.4)
yang dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks
= 2 1 0 2 2 1 1 1 1 1 V V V V V V a a a a C B A (9.5)
9.2. Mencari Komponen Simetris
Komponen-komponen simetris adalah besaran-besaran hasil olah matematik. Ia tidak diukur dalam praktek. Yang terukur dalam praktek adalah besaran-besaran yang tak seimbang yaitu
C B
A V V
V , , . Komponen simetris dapat kita cari dari (9.4) dengan menjumlahkan fasor-fasor dan dengan mengingat bahwa (1+a+a2) = 0, yaitu
(
VA VB VC)
V = + + 3 1 0 (9.6) 2 2 1 0 2 1 2 0 2 1 0 V V V V V V V V V V V V a a a a C B A + + = + + = + + = 0 2 1 2 0 (1 ) (1 ) 3 3V V V V V V VA+ B + C = + +a +a + +a+a = +9-4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga Jika baris ke-dua (9.4) kita kalikan dengan a dan baris ke-tiga kita kalikan dengan a2, kemudian kita jumlahkan, kita peroleh:
(
VA aVB a VC)
V1 2
3
1 + +
= (9.7)
Jika baris ke-dua (9.4) kita kalikan dengan a2 dan baris ke-tiga
kita kalikan dengan a, kemudian kita jumlahkan, kita peroleh:
(
VA a VB aVC)
V2 = + 2 +
3 1
(9.8)
Relasi (9.6), (9.7), (9.8) kita kumpulkan dalam satu penulisan matriks: = C B A a a a a V V V V V V 1 1 1 1 1 3 1 2 2 2 1 0 (9.9)
Dengan demikian kita mempunyai dua relasi antara besaran fasa dan komponen simetrisnya yaitu (9.5) dan (9.9) yang dapat kita tuliskan dengan lebih kompak sebagai berikut.
2 4 1 3 0 2 2 2 2 1 3 0 2 1 0 V V V V V V V V V V V V a a a a a a a a C B A + + = + + = + + = 1 2 2 1 0 2 2 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( V V V V V V VA+a B +a C = +a+a + + +a +a = + 2 3 1 2 0 2 3 1 4 0 2 2 2 1 0 V V V V V V V V V V V V a a a a a a a a C B A + + = + + = + + = 2 2 1 2 0 2 2V V (1 )V (1 )V 3V 3V VA+a B +a C = +a +a + +a+a + = +
[ ]
[ ]
ABC ABC V V V V ~ T ~ ~ T ~ 1 012 012 − = = (9.10) dengan[ ]
1 1 1 1 1 T 2 2 = a a a a dan[ ]
= − a a a a 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 T (9.10.a)Dengan cara yang sama kita dapat memperoleh relasi untuk arus = 2 1 0 2 2 1 1 1 1 1 I I I I I I a a a a C B A dan = C B A a a a a I I I I I I 1 1 1 1 1 3 1 2 2 2 1 0 (9.11)
sehingga secara keseluruhan kita dapatkan relasi untuk tegangan dan arus:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
ABC ABC ABC ABC I I I I V V V V ~ T ~ dan ~ T ~ ~ T ~ dan ~ T ~ 1 012 012 1 012 012 − − = = = = (9.12)CONTOH-9.1: Pada suatu pembebanan tak seimbang terukur arus-arus sebagai berikut:
A 0 A, 60 60 A, 60 90∠ o = ∠− o = = B C A I I I
Hitunglah arus-arus komponen simetrisnya. Penyelesaian:
(
)
(
90 60 60 60 0)
50 60 25 43,3A 3 1 3 1 o o o 2 1 j a a B C A + = ∠ = + ∠ + ∠ = + + = I I I I9-6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga
(
)
(
)
A 9 , 25 5 20 9 , 25 15 180 20 60 30 0 180 60 60 90 3 1 3 1 o o o o 2 2 j j a a B C A + − = − + = ∠ + ∠ = + ∠ + ∠ = + + = I I I I(
)
(
)
A 6 , 8 25 3 , 17 10 9 , 25 15 60 20 60 30 0 60 60 60 90 3 1 3 1 o o o o 0 j j j C B A + = − + + = − ∠ + ∠ = + − ∠ + ∠ = + + = I I I IDalam Contoh-9.1 ini, IC = 0. Dengan diperolehnya nilai arus
komponen simetris, kita dapat melakukan verifikasi dengan menghitung arus IC. Dari (9.11) kita peroleh
A 0 32 , 17 10 98 , 25 15 50 6 , 8 25 60 20 300 30 180 50 6 , 8 25 o o 2 2 1 0 = + + − + − + = ∠ + ∠ + ∠ + + = + + = j j j j a a C I I I I
Sesuai dengan yang diketahui. 9.3. Impedansi Urutan
Jika impedansi ZA, ZB, ZC merupakan impedansi seri dengan tegangan VA, VB, VC maka
[
]
[
ABC]
ABC ABC C B A ABC B B A Z Z I V I I I V V V ~ ~ atau = = (9.13)A
V~ adalah tegangan antar terminal impedansi dan Ia adalah arus yang melalui impedansi.
[
ZABC]
adalah matriks 3 × 3, yang elemen-elemennya merupakan impedansi total yang terdiri dari impedansi sendiri dan bersama. Matriks ini belum tentu diagonal tetapi memiliki simetri tertentu. Simetri ini adalah sedemikian rupa sehingga matrik impedansi urutan, yaitu[
Z012]
merupakan matriks diagonal atau hampir diagonal. Kita akan melihat sebuah contoh.CONTOH-9.2: Suatu saluran tiga fasa masing masing memiliki reaktansi sediri Xs sedangkan antar fasa terdapat reaktansi
bersama Xm. Tentukanlah impedansi urutan.
Perhatikan bahwa Xs adalah reaktansi sendiri dan Xm adalah
reaktansi bersama sehingga tegangan antara terminal impedansi adalah C s B m A m C C C m B s A m B B C m B m A s A A jX jX jX jX jX jX jX jX jX I I I V V I I I V V I I I V V + + = ′ − + + = ′ − + + = ′ −
yang dapat dituliskan dalam bentuk matriks
= ′ ′ ′ − C B A s m m m s m m m s B B A C B A X X X X X X X X X I I I V V V V V V
9-8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga dan dapat dituliskan dengan lebih kompak
[
ABC]
ABC ABCABC V Z I
V~ −~′ = ~
Dari (9.12) kita turunkan
[ ]
[ ]
[ ]
012 012 012 ~ T ~ ~ T ~ ~ T ~ I I V V V V = ′ = ′ = ABC ABC ABC sehingga[ ]
[ ]
[
][ ]
[ ] [
1][ ]
012 012 012 012 012 012 ~ T T ~ ~ dan ~ T ~ T ~ T I V V I V V ABC ABC Z Z − = ′ − = ′ −Pada relasi terakhir ini:
[ ] [
][ ]
− − + = + + + + − + + + + − + + + = = m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s m s s m m m s m m m s ABC X X X X X X j a a a a X a aX X a X a X X X a X a X a aX X X X X X X X X j a a a a X X X X X X X X X j a a a a Z 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 T T 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 -sehingga − − + = ′ ′ ′ − 2 1 0 2 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 1 I I I V V V V V V m s m s m s X X X X X X jyang dapat ditulis secara kompak
[
012]
012 012 012 ~ ~ ~ I V V − ′ = ZUntuk rangkaian dalam contoh di atas, dapat didefinisikan Impedansi urutan nol Z0 = j(Xs+2Xm)
Impedeansi urutan positif Z1= j(Xs−Xm)
Impedansi urutan negatif Z2 = j(Xs−Xm)
Rangkaian ekivalen urutan dari rangkaian dalam ini digambarkan sebagai berikut:
Urutan nol Urutan positif Urutan negatif Gb.9.1. Rangkaian ekivalen urutan.
9.3. Daya Pada Sistem Tak Seimbang
Daya pada sistem tiga fasa adalah adalah jumlah daya setiap fasa.
[
]
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = = + + = ABC ABCT C B A C B A C C B B A A f S I V I I I V V V I V I V I V 3 (9.14) Relasi (9.12) memberikan[ ]
[ ]
[ ]
⇒ ∗ =[ ]
∗ ∗ = = ⇒ = 012 012 012 012 ~ T ~ ~ T ~ T ~ ~ ~ T ~ I I I I V V V V ABC ABC T T ABCT ABC (9.15) sehingga (9.14) menjadi[ ] [ ]
∗ ∗ = 012 012 3 T T ~ I V T T f S (9.16) 0 Z 0 V V0′ 1 Z 1 V V1′ 2 Z 2 V V2′9-10 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga Pada (9.16) ini kita hitung
[ ] [ ]
TT T∗[ ] [ ]
= = = ∗ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 3 0 0 0 3 0 0 0 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T T 2 2 2 2 a a a a a a a a TDengan demikian (9.16) dapat dituliskan
(
∗ ∗ ∗)
∗ + + = = 2 2 1 1 0 0 012 012 3 3 atau ~ 3 I V I V I V I V T f S (9.17)CONTOH-9.3: Hitunglah daya tiga fasa pada kondisi tidak seimbang seperti berikut:
A 10 10 10 dan kV 0 10 10 − − = − = j ABC ABC I V Penyelesaian:
[
]
− − − = − = ∗ 10 10 10 dan 0 10 10 j ABC ABCT I VKita akan memperoleh daya tiga fasa langsung dengan mengalikan kedua matriks kolom ini
[
]
kVA ) 100 100 ( 0 100 100 10 10 10 0 10 10 3 j j j S f − = + + − = − − − − =Hasil ini kita peroleh dengan mengaplikasikan langsung formulasi daya dengan mengambil nilai-nilai tegangan dan arus yang tiadak simetris. Berikut ini kita akan menyelesaikan soal ini melalui komponen simetris.
[ ]
+ − + − = − = = − 0 10 10 0 10 10 0 3 1 0 10 10 1 1 1 1 1 3 1 ~ T ~ 2 2 2 1 012 a a a a a a ABC V VDari sini kita hitung V~012T
[
0 10 10 10 10]
3 1 ~ 2 012T = −a −a ⇒V Arus urutan adalah:[ ]
+ − + − = ⇒ + + = − − − − = − − = = ∗ − 10 10 10 10 0 3 1 ~ 10 10 10 10 0 3 1 10 10 10 10 10 10 0 3 1 10 10 10 1 1 1 1 1 3 1 ~ T ~ 012 2 2 2 2 1 012 j j j j a a j a a j j a a a a ABC I I IDaya tiga fasa adalah seperti dinyatakan oleh (9.17).
[
]
[
]
(
300 300)
(100 100) kVA 3 1 ) 10 10 )( 10 10 ( ) 10 10 )( 10 10 ( 0 3 1 10 10 10 10 0 10 10 10 -10 0 3 1 3 1 3 ~ 3 2 2 012 012 3 j j j a j a j j a a S f T − = − = + − − + + − − + = + − + − − × × = = V I∗Hasil ini sama dengan yang diperoleh pada perkalian langsung. (catatan: a+a2 =−1).
9-12 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 9.4. Sistem Per-Unit
Sistem per-unit sesungguhnya merupakan cara penskalaan atau
normalisasi. Besaran-besaran sistem dalam satuan masing-masing, tegangan dalam volt – arus dalam ampere – impedansi dalam ohm, ditransformasikan ke dalam besaran tak berdimensi yaitu per-unit
(disingkat pu). Pada mulanya transformasi ke dalam per-unit dimaksudkan untuk mempermudah perhitungan, namun dengan perkembangan penggunaan computer maksud penyederhanaan itu sudah tidak berarti lagi. Walaupun demikian, beberapa keuntungan yang terkandung dalam sistem per-unit (yang akan kita lihat kemudian) masih terasakan dan oleh karena itu kita akan pelajari. Nilai per-unit dari suatu besaran merupakan rasio dari besaran tersebut dengan suatu besaran basis. Besaran basis ini berdimensi sama dengan dimensi besaran aslinya sehingga nilai per-unit besaran itu menjadi tidak berdimensi
basis nilai ya sesungguhn nilai unit -per Nilai =
Nilai sesungguhnya mungkin berupa bilangan kompleks, namun nilai basis yang ditetapkan adalah bilangan nyata. Oleh karena itu sudut fasa nilai dalam per-unit sama dengan sudut fasa sesungguhnya.
Sebagai contoh kita ambil daya kompleks ) (α−β ∠ = = ∗ VI S VI (9.18) di mana α adalah sudut fasa tegangan dan β adalah sudut fasa arus. Untuk menyatakan S dalam per-unit kita tetapkan Sbasisyang berupa
bilangan nyata, sehingga
) ( ) ( β − α ∠ = β − α ∠ = pu basis pu S S S S (9.19)
Didefinisikan pula bahwa
basis basis
basis V I
Nilai Sbasis dipilih secra bebas. Oleh karena itu, kita dapat memilih
salah satu Vbasis atau Ibasis untuk ditentukan secara bebas, tetapi
tidak kedua-duanya.
Jika kita ambil rasio dari (9.18) dan (9.20) kita peroleh
∗ = β − ∠ α ∠ = = pu pu basis basis basis pu V I I V I V S S S (9.21)
Nilai basis untuk impedansi ditentukan menggunakan relasi
basis basis basis basis basis S V I V Z 2 = = (9.22) Dengan Zbasisini relasi arus dan tegangan
I V I V=Z atau Z= akan memberikan basis basis basis V I Z Z / /I V = atau pu pu pu V I Z = (9.23) Karena Z =R+ jX maka basis basis basis basis Z X j Z R Z jX R Z Z = + = + atau pu pu pu R jX Z = + (9.24) Jadi tidaklah perlu menentukan nilai basis untuk R dan X secara sendiri-sendiri. Selain itu tidak pula diperlukan menentukan nilai basis untu P dan Q secara sendiri-sendiri.
basis basis S jQ P S S = + atau pu pu pu P Q S = + (9.25)
9-14 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga COTOH-9.4: Nyatakanlah besaran-besaran pada rangkaian satu
fasa berikut dalam per-unit dengan mengambil Sbasis = 1000 VA
dan Vbasis = 200 V. Penyelesaian: V 200 VA; 1000 = = basis basis V S A 5 200 1000= = = basis basis basis V S I Ω = = = 40 5 200 basis basis basis I V Z Maka: 1 0 pu 200 0 200∠ o = ∠ o = pu V pu 1 , 0 40 4 = = pu R ; 0,1 pu 40 4 = = Cpu X ; pu 2 , 0 40 8 = = Lpu X
Transformasi rangkaian dalam per-unit menjadi
pu 45 2 1 , 0 1 , 0 1 , 0 2 , 0 1 , 0 1 , 0 − + = + = ∠ o = j j j Zpu pu 45 2 5 45 2 0,1 0 1 o o o − ∠ = ∠ ∠ = = pu pu pu Z V I pu 45 2 5 45 2 5 0 1∠ o× ∠ o = ∠ o = = pu ∗pu pu V I S V 0 200∠ o = V Ω 4 −j4Ω Ω 8 j pu 1 , 0 −j0,1pu pu 2 , 0 j pu 0 1∠ o ≈
Sistem Tiga Fasa.Sistem tiga fasa sangat luas dipakai dalam penyediaan energy listrik. Oleh karena itu dikembangkan pengertian nilai basis tambahan sebagai berikut.
3 / 3 3 3 3 basis basis basis Ybasis basis Lbasis basis basis basis Ybasis basis Lbasis basis f basis I I I I I I Z Z Z Z V V S S = = = = = = = ∆ ∆ (9.26)
Bagaimana implementasi dari nilai-nilai basis di atas, akan kita lihat pada contoh berikut ini.
COTOH-9.5: Sebuah sumber tiga fasa dengan tegangan fasa-fasa 6 kV mencatu dua beban seimbang yang tersambung parallel.
Beban-A: 600 kVA, factor daya 0,8 lagging. Beban-B: 300 kVA, factor daya 0,6 leading.
Tentukan nilai basis untuk sistem ini, hitung arus saluran dalam per-unit dan dalam ampere, dan impedansi beban A.
Penyelesaian: Penentuan nilai basis adalah sembarang. Kita pilih Sbasis3f = 600 kVA dan VLbasis= 6 kV, sehingga
Ω = = = = = = = = = = 60 74 , 57 3464 A 74 , 57 3 / 6 200 V 3464 3 6 kVA 200 3 600 basis basis basis basis basis basis basis basis I V Z V S I V S
Sumber ini terbebani seimbang sehingga hanya ada urutan positif. Besaran per fasa adalah:
9-16 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga Beban-A: 6 , 0 8 , 0 9 , 36 1 9 , 36 1 0 1 9 , 36 1 ; 0 1 3 / 6 3 / 6 9 , 36 1 200 9 , 36 200 kVA 9 , 36 200 ) (f.d. 9 , 36 ) 8 , 0 ( cos kVA; 200 3 600 o o o o o o o 1 j I V S I V S S S S lag S Apu Apu Apu Apu Apu basis A Apu A A A − = − ∠ = ⇒ ∠ = ∠ ∠ = = ∠ = = ∠ = + ∠ = = → ∠ = + = = ϕ = = ∗ − Beban-B: 4 , 0 3 , 0 1 , 53 5 , 0 1 , 53 5 , 0 0 1 1 , 53 5 , 0 0 1 1 , 53 5 . 0 200 1 , 53 100 kVA 1 , 53 100 ) (f.d. 1 , 53 ) 6 , 0 cos( kVA; 100 3 300 o o o o o o o o o j I V S I V V S S S S lead S Bpu Bpu Bpu Bpu Apu Bpu basis B Bpu B B B + = ∠ = ⇒ − ∠ = ∠ − ∠ = = ∠ = = − ∠ = − ∠ = = ⇒ − ∠ = − = = ϕ = = ∗ Arus saluran: 2 , 0 1 , 1 4 , 0 3 , 0 6 , 0 8 . 0 j j j I I Ipu = Apu+ Bpu = − + + = − A 3 , 10 55 , 64 55 , 11 51 , 63 74 , 57 ) 2 , 0 1 , 1 ( − × = − = ∠− o = j j I Impedansi beban-A: o o o 9 , 36 1 36 1 0 1 = ∠ − ∠ ∠ = = Apu Apu Apu I V Z ⇒ZA =60∠36,9o =(48+ j36) Ω
