• Tidak ada hasil yang ditemukan

B.1.2. Matematika - Materi pertemuan 1-2 : Vektor

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "B.1.2. Matematika - Materi pertemuan 1-2 : Vektor"

Copied!
16
0
0

Teks penuh

(1)

MODUL E-LEARNING

E-LEARNING MATEMATIKA

Oleh :

NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD.

NIP. 19721015 200212 1 002

Penulisan Modul e Learning ini dibiayai oleh dana DIPA BLU UNY TA 2010 Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan e Learning

Nomor 1993a.9/H34.15/PL/2010 Tanggal 1 Juli 2010

JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

FAKULTAS TEKNIK

(2)

18

BAB III VEKTOR

I. KOMPETENSI YANG DICAPAI

Mahasiswa dapat :

1. Menggambar vektor dengan sistem vektor satuan. 2. Menghitung perkalian vektor.

3. Menghitung penambahan vektor dengan aturan segitiga, aturan jajaran genjang, dan aturan poligon.

4. Menghitung pengurangan vektor.

5. Menghitung panjang vektor dalam ruang.

II. MATERI

A. PENGERTIAN

Vektor adalah suatu kuantita/besaran yang mempunyai besar dan arah. Secara

grafis suatu vektor ditunjukkan sebagai potongan garis yang mempunyai arah. Besar

atau kecilnya vektor ditentukan oleh panjang atau pendeknya potongan garis.

Sedangkan arah vektor ditunjukkan dengan tanda anak panah.

Dalam gambar vektor di samping, titik A disebut titik

awal (initial point) dan titik P disebut titik terminal

(terminal point). Pada gambar tersebut vektor dapat

ditulis dengan berbagai cara seperti,AB a, a atau a.

Panjang vektor juga dapat ditulis dengan berbagai cara

seperti |AB |, |AB |, |a|, |a |, atau a .

Disini kita akan memakai simbul AB atau a untuk menyatakan vektor dan

|AB | atau |a | untuk menyatakan besaran (modulus) dari vektor tersebut. Contoh

vektor misalnya lintasan, kecepatan, percepatan, dan gaya.

Skalar adalah suatu kuantita yang mempunyai besaran tetapi tidak

mempunyai arah. Suatu skalar adalah bilangan nyata dan secara simbolik dapat

ditulis dengan huruf kecil. Operasi skalar mengikuti aturan yang sama dengan aturan

operasi aljabar elementer. A

B

(3)

19 B. VEKTOR SATUAN

Untuk menggambarkan suatu vektor

pada sistem koordinat kartesean

diperlukan vektor satuan. Vektor

dari titik (0,0) sampai titik (1,0)

dengan titik awal P dan titik akhir Q diuraikan menjadi dua vektor yaitu vektor a1i

dan a2 j. Vektor a1 dan a2 disebut komponen vektor a . Besaran a1 dan a2

disebut komponen skalar a . Secara simbolis vektor a dan komponennya ditulis a

= a1i + a2 j

C. ALJABAR VEKTOR

Aljabar vektor adalah operasi pada dua atau lebih dari vektor yang meliputi

penambahan, pengurangan dan perkalian. Operasi vektor dapat dilakukan melalui

komponen-komponen skalarnya.

1. Kesamaan Dua vektor

Dua vektor dikatakan sama apabila panjang serta

(4)

20 2. Vektor Negatif

Vektor –a mempunyai ukuran sama dengan

vektor a tetapi arahnya berlawanan.

Jika vektor a = - b maka a  = -b .

Vektor negatif sering disebut sebagai vektor

invers.

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika k bilangan real yang positif, maka ku

adalah vektor yang panjangnya k u  dan mempunyai arah yang sama dengan u .

Sedangkan –ku adalah vektor yang panjangnya

(5)

21 c) Aturan Polygon

Penjumlahan tiga vektor atau lebih dapat dilakukan dengan menggunakan

aturan poligon.

5. Selisih Dua Vektor

Selisih dua arah vektor a dan b , dinyatakan sebagai a – b , dapat

dipandang sebagai penjumlahan vektor a dengan invers vektor b yaitu

vektor – b .

Misalkan a – b = c maka c = a +(–b )

Secara diagram selisih dua vektor tersebut seperti gambar berikut.

6. Vektor Nol

Jika vektor a = b maka a b = 0. 0 disebut vektor nol. Vektor nol tidak

mempunyai besar dan arahnya tak tentu.

b a

a

b b

a

c

c

c b a

a b

a

(6)

22

D. VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI

Vektor OP disefinisikan oleh

(7)

23

Contoh penyelesaian soal :

1. Diketahui vektor a = 3i + 4j dan vektor b = 2i + j. Hitunglah harga-harga : a +

b ; b + a ; a – b ; b – a ; a . b ; sudut a ; sudut b ; a .b dan b . a .

Jawab :

Dari vektor a dan b tersebut dapat diketahui bahwa a1 = 3 ; a2 = 4 ; b1 = 2

dan b2 = 1 , sehingga diperoleh :

a). a + b = (a1 +b1 ) i + (a2 + b2 ) j = ( 3 + 2 ) i + ( 4 + 1 ) j = 5i + 5j

b). b + a = (b1 + a1 ) i + (b2 + a2 ) j = ( 2 + 3 ) i + ( 1 + 4 ) j = 5i + 5j

c). a – b = (a1 – b1 ) i + (a2 – b2 ) j = ( 3 – 2 ) i + ( 4 – 1 ) j = i + 3 j

d). b – a = (b1 – a1 ) i + (b2 – a2 ) j = ( 2 – 3 ) i + ( 1 – 4 ) j = -i – 3j

e). a = a12 a22 = 2 2 4

3 = 9 16 25 = 5

f). b = b b 22 12 4 1

2

2 2

1 = 5

g). Sudut a adalah = arc tan (a2 /a1 ) = arc tan ( 4/3 ) = 53,1301 atau

= 53 748.36”

h). Sudut b adalah  = arc tan (b2 /b1 ) = arc tan ( ½ ) = 26,565051 atau  = 26 33 54,18”

i). a . b = a1 . b1 + a2 . b2 = 3 . 2 + 4 . 1 = 6 + 4 = 10

j).b . a = b1 . a1 + b2 . a2 = 2 . 3 + 1 . 4 = 6 + 4 = 10

Jawaban i). dan j). dapat juga menggunakan aturan

a . b = a . b cos .

dalam hal ini  adalah sudut antara a dan b .

Dengan aturan tersebut diperoleh :

a .b = a . b cos  = 5 5 cos ( - ) = 5. 5 cos (53,13 – 26,56) = 5. 5 cos 26,57 = 5. 5 . 0,894427191 = 10

(8)

24 2. Diketahui vektor-vektor a , b dan c seperti di bawah ini .

Lukislah secara grafis operasi vektor : a - b +2.c dan 3c - 0,5(2a -b ).

Jawab :

a - b +2.c = a + (-b ) + 2 . c

3c - 0,5(2a -b ) = 3c + [-0,5{2a + (-b )}]

a

c

b b

a

c 2 b a c 2

a

c

b

b

a 2 b

a 2

c 3

3c + [-0,5{2a + (-b )}]

(9)

25 Soal-soal vektor :

1. Gambarlah vektor-vektor dibawah ini pada koordinat kartesean.

a). a = 4i+5j b). b = -4i+5j c). c = -4i–5j d). d = 4i – 5j

2. Gambarlah dan tuliskan dalam bentuk vektor ai+bj yang memiliki ketentuan

sebagai berikut :

a. Dari titik sumbu ( 0 , 0 ) ke titik ( 2 ; -3 )

b. Dari titik ( 2 ; 3 ) ke titik ( 4 ; 2 )

c. Mempunyai besar 6 dengan arah 150

3. Diketahui vektor a = 1,5 i + 3 j dan vektor b = 2 - 5j

Hitunglah : a. a + b b. a – b c. a . b

4. Vektor a = 3i + 4j ; vektor b = 2i + 5j dan vektor c = -5i + 3j.

Hitunglah : a. a + b b. a + b + c c. a . b . c

5. Hitunglah kerja yang dilakukan vektor 6i + 8j pada vektor 2i + 3j.

6. tentukan besarnya sudut pada vektor-vektor i + j ; 2i – 3j dan 5j.

7. Vektor a = 1i + 5j, vektor b = -5i – 7j dan vektor c = 3i – 7j.

(10)

26

PERKALIAN SKALAR ANTARA DUA VEKTOR 2D

 Jika a dan b adalah dua buah vektor, maka perkalian skalar antara a dengan b didefinisikan sebagai  a .  b  cos 

Dimana  a  = besar vektor a

 b  = besar vektor b

a  = sudut yang diapit oleh vektor a dan b

b

 Perkalian skalar dinyatakan dengan a

.

b sehingga juga disebut sebagai

perkalian titik

Jadi a . b =  a  .  b  . cos 

=  a  . proyeksi b pada a

atau =  b  . proyeksi a pada b

 Hasil dari perkalian skalar antara dua vektor berupa besaran skalar

PERKALIAN SKALAR ANTARA DUA VEKTOR 3D

Jika a = a1i + a2j + a3k

b = b1i + b2 j + b3k

maka

a . b = ( a1i + a2j + a3k ) (b1 i + b2 j + b3k )

a . b = a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3

Rumus tersebut berasal dari perhitungan sebagaiberikut :

a .b = (a1i+a2j + a3k ) (b1 i + b2 j + b3k )

= (a1 . b1 .i.i ) + (a1 . b2 .i.j ) + a1 . b3. i.k ) + (a2. b1 . j.i ) + (a2 . b2. j.j ) + (a2 . b3 . j. k ) + (a3 . b1 k.i ) + (a3. b2 . k.j ) + (a3 . b3 k.k )

(11)

27 Sehingga

a .b = a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3

Contoh soal.

Jika a = 2i +3j +5k dan b = 4i +j +6k

Maka a .b = 2.4 + 3.1 + 5.6 = 8 + 3 + 30 = 41

PERKALIAN VEKTOR ANTARA DUA VEKTOR

 Perkalian vektor antara a dan b ditulis a

x

b sehingga juga disebut sebagai perkalian silang.

 a x b didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besar  a  .  b  sin 

 = sudut antara vektor a denganb

 Arah vektor hasil kali a x b tegak lurus dengan vektor a danb

Catatan :

Dalam perkalian vektor ( silang ) membentuk sistem kanan sehingga jika b x a hasilnya tegak lurus ke bawah.

 Jika  = 0 maka a x b = a x b sin 0 = 0

Jika  = 90 maka a x b = a x b sin 90 = a x b

Sehingga :

i x i = j x j = k x k = 1 . 1 sin 0 = 0 i x j = 1 . 1 sin 90 = 1

b

a

a xb

b xa

(12)

28 Dalam arah OZ maka i x j = k

Jadi i x j = k tetapi j x i = -k j x k = i k x j = -i k x i = j i x k = -j

jika : a =a1i + a2j + a3k

b =a1i + b2 j + b3k

maka :

a x b = (a1i + a2j + a3k ) x (b1 i + b2 j + b3k )

= a1 . b1 i x i + a1 . b2 i x j + a1 . b3 i x k + a2. b1 j x i + a2 . b2 j x j + a2 . b3 j x k + a3 . b1 k x i + a3. b2 k x j + a3 . b3 k x k

ingat rumus perkalian vektor satuan di depan, sehingga

= 0 + a1 . b1 k + a1 . b3 ( -j ) + a2. b1 ( -k ) + 0 + a2 . b3 i

+ a3 . b1 j + a3. b2 ( -i ) + 0

= (a2 . b3– a3. b2 ) i+ (a3 . b1– a1 . b3 ) j + (a1 . b2– a2. b1 ) k

Jika susunannya dibalik menjadi

a x b = (a2 b3– b2 a3 ) i – (a1 b3– b1 a3) j + (a1 b2– b1 a2) k

 Rumus diatas jika disusun dalam bentuk determinan sebegai berikut

a x b = i j k

a1 a2 a3 b1 b2 b3

= i a2 a3 - j a1 a3 + k a1 a2 b2 b3 b1 b3 b1 b2

Bahan Diskusi:

(13)

29 Contoh 1 :

Diketahui p = 2i + 4j + 3k q = i + 5j – 2k

Hitung p x q

Jawab :

p x q = i j k 2 4 3 1 5 -2

= i 4 3 -j 2 3 + k 2 4 5 -2 1 -2 1 5

= i ( - 8 – 15 ) – j ( -4 – 3 ) + k ( 10 – 4 )

= -23i + 7j + 6k

Contoh 2 :

Jika m = 3i - 4 j + 2k

n = 2i + 5j – k

(14)
(15)

31

Jika :

Cosinus arah padalah  l,m,n 

Cosinus arah 1

p adalah  1′,m′,n′  Maka :

Cos  = l.l1 + m.m1 + n.n1

Contoh 2 :

Jika cosinus arah vektor a adalah  l, m, n  =  ½ , 0,3, -0,4 

Cosinus arah vektor b adalah l1,m1,n1  =  0,25, 0,6, 0,2 

Maka sudut antara vektor a dengan b adalah

Cos  = l.l1 + m.m1 + n.n1

= (1/2)(0,25) + (0,3)(0,6) +(-0,4)(0,2) =0,125 + 0,18 – 0,08

= 0,225

Sehingga

 = arc cos 0,225

 = 77

θ

Y

X

Z

P

(16)

32

Soal latihan :

Diketahui vektor a = 5i + 4j + 2k b = 4i – 5j + 3k c = 2i – j -2k

Hitunglah :

Referensi

Dokumen terkait

Diharapkan dapat menindaklanjuti hasil penelitian ini dengan cara memberikan penyuluhan kepada responden yang diketahui tidak mendukung atau sangat tidak mendukung ibu

Pertama , auditor menggunakan materialitas dalam perencanaan audit, dengan membuat estimasi materialitas karena terdapat hubungan terbalik antara jumlah dalam laporan keuangan yang

Setelah mendengarkan dongeng yang disajikan melalui google meet, peserta didik mampu memahami isi teks berkaitan dengan kehidupan sosial di sekolah.. Setelah

Hasil penelitian menunjukkan sebagian besar anak usia 1-3 tahun berdasarkan BB/U mempunyai status gizi normal (97,6%) dan berdasarkan TB/U yang mempunyai status

Noor Cholis Idham, S.T., M.Arch., Ph.D NAMA MAHASISWA Syifaullinnas NIM 12512001 TASK DOKUMEN PENDADARAN.. JUDUL GAMBAR

Hubungan Secara Formal antara Pancasila dan Pembukaan UUD 1945: bahwa rumusan Pancasila sebagai dasar negara Indonesia adalah seperti yang tercantum dalam

Hujan rencana merupakan kemungkinan tinggi hujan yang terjadi dalam periode ulang tertentu sebagai hasil dari suatu rangkaian analisis hidrologi yang biasa disebut analisis

Antipsikotik konvensional juga disebut dengan tipikal antipsikotik. Neuroleptik yang termasuk golongan ini yaitu chlorpramazin, haloperidol, loxapine, dan