Zona Fisika | Blogger Lampung Tengah

Peluruhan Pion Berdasarkan Teori Perturbasi

Chiral

Skripsi

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains

Nofirwan

0398020493

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Indonesia

Lembar Persetujuan

Judul Skripsi : Peluruhan Pion Berdasarkan Teori Perturbasi Chiral

Nama : Nofirwan

NPM : 0398020493

Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui

Depok, 7 Juni 2004 Mengesahkan

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Terry Mart

Penguji I Penguji II

Kata Pengantar

Alhamdulillah, puji syukur ke hadirat Allah SWT, atas selesainya penyusunan

skrip-si ini sebagai syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains.

Skripsi ini merupakan rangkaian terakhir dari sekian banyak tugas yang penulis

harus jalani ketika menempuh pendidikan di Departemen Fisika UI. Topik penelitian

yang penulis angkat pada kesempatan kali ini adalah mengenai neutrino. Topik ini

cukup menarik karena beberapa tahun belakangan ini banyak dibicarakan mengenai neutrino bermassa yang tentu berlawanan dengan konsep dalam Standard Model.

Pada kesempatan kali ini penulis tak lupa mengucapkan terima kasih kepada Dr.

L. T. Handoko dan Dr. Terry Mart yang telah dengan sabar membimbing penulis

dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis menyampaikan apresiasi yang

setinggi-tingginya kepada mereka berdua. Juga kepada penguji penulis, Dr. Na Peng Bo dan

Dr. Muhammad Hikam atas masukannya, dan kepada Dr. Anto Sulaksono dan Dr.

Chairul Bahri untuk diskusi-diskusi yang menarik dan juga untuk bantuan literatur.

Penulis menyadari bahwa tidak ada kesuksesan yang diraih tanpa dukungan

dari rekan-rekan penulis. Oleh karena itu penulis tak lupa mengucapkan terima kasih kepada para kolega penulis di grup fisika nuklir dan partikel dan teman-teman

penulis lainnya di Departemen Fisika UI, khususnya angkatan ’99 untuk saat-saat

menyenangkan selama kuliah.

Pada akhirnya, penulis mengucapkan terima kasih kepada kedua orang tua dan

adik-adik penulis atas dukungan dan doanya selama ini. Semoga Allah SWT

mem-balas kebaikan kalian semua.

Tiada diskusi melainkan pengayaan pemikiran dan perenungan. Terus berpikir

berarti terus hidup. Sedangkan terus berpikir dan berbuat berarti hidup dalam

Abstrak

Diberikan elemen-elemen utama dan metode-metode dari teori perturbasichiral

(ChPT), teori medan efektif dari Standard Model menurut skala kerusakan simetri

chiral secara spontan. Dasar teori ini adalah simetri global SU(3)L×SU(3)R×U(1)V

dari Lagrangian QCD dalam batas quark u, d,dan s tak bermassa, diasumsikan se-cara spontan rusak ke SU(3)V×U(1)V yang menghasilkan delapan boson Goldstone

tak bermassa. Teori medan efektif memperkenalkan Lagrangian efektif dengan orde

terendah yang akan digunakan untuk menerangkan proses pada peluruhan pion.

Kata kunci: chiral.

Abstract

The main elements and methods of chiral perturbation theory, the effective field

theory of the Standard Model below the scale of sponaneous chiral symmetry

break-ing, are summarized. The basis of ChPT is the global SU(3)L×SU(3)R×U(1)V

symmetry of the QCD Lagrangian in the limit of massless u, d, and s quarks, is assumed to be spontaneously broken down to SU(3)V×U(1)V giving rise to eight

massless Goldstone bosons. The effective field theory, introducing to the effective

Lagrangian at lowest order is used to describe pion decay processes.

Daftar Isi

Kata Pengantar iii

Abstrak v

Daftar Isi vi

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang . . . 2

1.2 Perumusan Masalah . . . 3

1.3 Metode Penelitian . . . 3

1.4 Tujuan . . . 4

2 Tinjauan Pustaka 5 2.1 Quantum Electrodynamics (QED) . . . 5

2.2 Quantum Chromodynamics (QCD) . . . 6

2.2.1 Beberapa Sifat pada SU(3) . . . 6

2.2.2 Lagrangian QCD . . . 9

2.3 Simetri Chiral . . . 13

2.3.1 Medan quark Left-Handed dan Right-Handed . . . 13

2.3.2 Teorema Noether . . . 18

2.3.3 Arus Simetri Global dari Sektor Quark Ringan . . . 19

2.3.4 Aljabar Chiral . . . 22

3 Kerusakan Simetri Spontan dan Lagrangian Efektif 30

3.1 Kerusakan Simetri Chiral Karena Suku Massa Quark . . . 30

3.2 Kerusakan Spontan Dari Simetri Global, Kontinu, Non-Abelian . . . 33

3.3 Teorema Goldstone . . . 35

3.4 Kerusakan Simetri Spontan Dalam QCD . . . 41

3.4.1 Spektrum Hadron . . . 41

3.4.2 Condensate Quark skalar _hqq¯ _i . . . 44

3.5 Lagrangian Efektif Orde Terendah . . . 47

3.6 Konstruksi Lagrangian Efektif . . . 53

4 Hasil dan Pembahasan 57 4.1 Peluruhan Pion π+ _→µ+_ν µ . . . 57

4.2 Pembahasan . . . 59

5 Kesimpulan dan Saran 61 A Mekanika Kuantum Relativistik 62 A.1 Notasi . . . 62

A.2 Aljabar Dirac . . . 62

B Transformasi Grup U(1),U(3) dan SU(3) 66

Daftar Tabel

2.1 Konstanta struktur anti-simetrik dari SU(3) yang seluruhnya tidak nol. 8

2.2 Simbol d dari simetri SU(3) yang seluruhnya tidak nol. . . 9 2.3 Flavor-flavor quark, muatan dan massa-massanya. Besar mutlakms

ditentukan menggunakan aturan jumlah QCD. Hasil tersebut diberikan

untuk massa berlari MS pada skala µ = 1 GeV. Massa quark-quark ringan dihasilkan dari rasio massa yang ditemukan menggunakan teori perturbasi chiral, menggunakan massa quark strange sebagai

ma-sukan. Massa quark-quark berat mc dan mb masing -masing

diten-tukan oleh massa charmonium dan D, dan massa bottomium dan B. . 10 2.4 Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac Γ terhadap paritas. 25

2.5 Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac terhadap

konju-gasi muatan. . . 26

3.1 Perbandingan kerusakan simetri spontan. . . 47

Daftar Gambar

1 Foto Tunangan . . . iii

3.1 Potential dua dimensi yang invarian terhadap rotasi: _V(x, y) =₋(x2₊

y2_{) +} (x2_+y2₎2

4 . . . 35

4.1 Peluruhan Pion π+ _→µ+_ν

Bab 1

Pendahuluan

Sampai sekarang orang masih mencari tahu apa yang menjadi penyusun alam

semes-ta ini. Secara garis besar, partikel yang menyusun alam semessemes-ta dibagi menjadi dua

golongan, yaitu quark dan lepton. Quark dibedakan menjadi enam citarasa (

fla-vor) yaitu, u (up), d (down), s (strange), c (charm), t (top), dan b (bottom) yang datang dengan tiga derajat kebebasan warna (color) dan bertransformasi sebagai

tripletmenurut transformasi fundamental SU(3). Lepton terdiri atas elektron (νe, e),

muon (νµ, µ), dan tau (ντ, τ). Lepton terbagi menjadi dua kelas menurut muatan

listriknya, neutrino netral νe, νµ, ντ dan yang bermuatan negatif e−, µ−, τ−. Selain

lepton ada juga yang dinamakan meson dan baryon. Meson memiliki massa yang

terletak di antara massa lepton dan massa baryon. Partikel-partikel di atas dapat

saling berinteraksi melalui empat interaksi dasar, yaitu interaksi elektromagnetik,

lemah, kuat, dan gravitasi. Meson memiliki spin nol atau satu sedangkan baryon

memiliki spin kelipatan 1/2. Meson dan baryon dapat mengalami interaksi kuat, karena itu mereka termasuk dalam golongan hadronik. Saat ini hanya interaksi

elek-tromagnetik yang benar-benar dapat dimengerti, yang tercantum dalam Quantum

Electrodynamics (QED). Interaksi elektromagnetik dan interaksi lemah tergabung

dalam interaksi elektro lemah (electroweak). Sedangkan untuk interaksi kuat

terda-pat dalamQuantum Chromodynamics (QCD). Keseluruhan teori mengenai partikel

dan interaksinya di atas (tidak termasuk gravitasi), merupakan kesatuan teori yang

disebut Standard Model (SM). SM adalah teori yang mampu menjelaskan hampir

1.1

Latar Belakang

Pada tahun 1950-an, gambaran tentang interaksi kuat dalam kerangka teori medan kuantum nampaknya gagal karena menimbulkan konstanta kopling yang terlalu

be-sar pada energi tingkat rendah. Spektrum hadron yang kaya bersama dengan

uku-rannya merupakan petunjuk awal terhadap substruktur dalam unsur-unsur pokok

yang lebih fundamental.

Saat ini, hadron adalah obyek-obyek kompleks yang dibangun dari banyak

dera-jat kebebasan yang fundamental. Banyak hasil-hasil empiris dari fisika medium dan

fisika energi tinggi seperti produksi hadron dalam pemusnahan elektron-positron,

berhasil diterangkan menggunakan metode gangguan dalam kerangka kerja dari

teori gauge SU(3) yang mengacu pada Quantum Chromodynamics (QCD). Masih belum ada metode analitik yang menjelaskan QCD pada jarak yang jauh, yaitu

pa-da energi-energi renpa-dah. Sebagai contoh, bagaimana hadron-hadron diamati secara

asimtotik, termasuk spektrum resonansinya yang kaya, yang diciptakan oleh QCD

masih belum secukupnya dipahami. Ada tiga masalah QCD pada level kuantum,

yaitu, ”masalah gap”,”quark confinement”, dan ”kerusakan simetri chiral secara

spontan”.

Pada energi sangat rendah (cenderung ke nol), konstanta kopling QCD akan

sangat besar. Namun pada energi tinggi, didapat konstanta kopling yang rendah

dan lebih rendah lagi. Inilah yang biasanya dikenal sebagai asymptotic freedom. Hanya terhadap masalah asymptotic freedom teori perturbasi dapat dilakukan.

Masih ada usaha lain dalam mengatasi hal ini, yakni dengan teori simetri, yang

terdiri dari simetri chiralSU(3)_L×SU(3)_Rdan realisasinya, yaitu kerusakan simetri spontan ke SU(3)_V pada apa yang dinamakan kerapatan Lagrangian efektif. Hal ini kemudian ditulis dalam suku-suku dari medan boson Goldstone pseudoskalar yang

diamati secara asimtotik dan menjelaskan sifat energi rendah dari QCD. Sekarang

boleh dilakukan perturbasi non-konvensional, yaitu perturbasi bukan lagi dalam

pangkat konstanta kopling tapi dalam pangkat momentum boson Goldstone

ekster-nal (rendah) dan massa quark (kecil). Metode ini yang dikeekster-nal sebagai mesonic

1.2

Perumusan Masalah

Pada energi rendah, perturbasi tidak dapat dilakukan karena adanya konstanta ko-pling yang besar sehingga dibutuhkan suatu teori dimana perturbasi masih dapat

dilakukan. Teori tersebut dikenal sebagai teori perturbasi chiral. Spektrum hadron

yang diamati dalam percobaan masih belum dapat dimengerti. Ternyata derajat

kebebasan hadronik pada energi rendah muncul sebagai keadaan asimtotik yang

dapat diamati. Timbul pertanyaan bagaimana keadaan ini dapat dijelaskan secara

teoritik? Keadaan ini hanya dapat diperiksa melalui teori perturbasi chiral yang

diperkenalkan oleh Gasser dan Leutwyler [16, 17]. Karena dasar teori ini memeriksa

proses-proses interaksi kuat QCD pada tingkat energi rendah atau keadaan dengan

suku massa quark sama dengan nol yang biasa disebut sebagai batas chiral. Pa-da batas ini, mePa-dan quark left- dan right-handed dipisahkan satu sama lain dalam

Lagrangian efektif QCD. Pada tingkat klasik, Lagrangian efektif memperlihatkan

simetri global SU(3)_L×SU(3)_R. Namun, pada tingkat kuantum arus aksial vektor singlet mengembangkan suatu anomali [1, 2, 3, 4, 5] sehingga perbedaan bilangan

quark left- dan right-handed bukanlah suatu konstanta gerak. Dengan kata lain,

dalam bataschiral, Hamiltonian QCD mempunyai simetri SU(3)_L×SU(3)_R×U(1)_V. Dengan ini orang dapat mempelajari lebih dalam tentang struktur hadron yang

sam-pai saat ini masih hangat dibicarakan.

1.3

Metode Penelitian

Penelitian yang dilakukan di sini sifatnya hanya teoritik. Karena itu diperlukan

suatu kerangka kerja yang sistematis dalam menerangkan proses-proses fisika yang

terjadi. Kerangka kerja teoritik yang digunakan adalah teori Medan Kuantum

Efek-tif (Effective Quantum Field Theory) yang di dalamnya tercakup teori perturbasi

chiral. Teori ini dikembangkan oleh Gasser dan Leutwyler [16, 17] yang menganalisis

konsekuensi simetri SU(3)_L×SU(3)_R dari _LQCD dengan memperkenalkan kopling

dari sembilan arus vektor dan delapan arus aksial vektor dan juga kerapatan quark skalar dan pseudoskalar ke dalam Lagrangian QCD dan mempromosikan simetri

1.4

Tujuan

Pada energi rendah QCD terdapat konstanta kopling yang besar sehingga tidak memungkinkan untuk dilakukannya teori gangguan. Sementara itu pada energi

tinggi terdapat kopling yang kecil dan makin kecil yang biasa dikenal sebagai

asymp-totic freedom (kebebasan asimtotik). Hanya pada daerah asimtotik teori perturbasi

(gangguan) dapat dilakukan. Namun, agar teori perturbasi dapat dilakukan pada

energi rendah, maka ekspansi pangkat dalam perturbasi bukan dilakukan terhadap

kopling melainkan terhadap momentum boson Goldstone dan massa quark. Metode

ini yang dikenal sebagai chiral perturbation theory (teori perturbasichiral). Dengan

teori ini akan dilihat bagaimana menjelaskan dinamika boson Goldstone (termasuk

Bab 2

Tinjauan Pustaka

Teori perturbasi chiral memberikan suatu kerangka kerja yang sistematis untuk

memeriksa proses-proses interaksi kuat pada energi rendah. Dasar teori perturbasi

chiral adalah simetri global SU(3)_L×SU(3)_R×U(1)_V dari Lagrangian QCD dalam batas quark tak bermasau,d, dans yang diasumsikan rusak ke SU(3)_{V ×}U(1)_V se-cara spontan dan menimbulkan delapan boson Goldstone. Sebelumnya akan

diperke-nalkan prinsip gauge. Prinsip gauge adalah metode yang amat sukses dalam

fisi-ka partikel elementer untuk membangkitfisi-kan interaksi antara medan-medan materi

melalui pertukaran boson-boson gauge (tera) tak bermassa.

2.1

Quantum Electrodynamics

(QED)

Quantum Electrodynamics (QED) adalah teori gauge yang menerangkan

interaksi-interaksi elektromagnetik antar partikel, dihasilkan dari promosi simetri global U(1) dari Lagrangian yang menggambarkan elektron bebas ke dalam bentuk simetri

lokal.1

Ψ_7→exp (₋iΘ) Ψ : _Lfree = ¯Ψ (iγµ∂µ−m) Ψ 7→ Lfree, (2.1)

Dalam proses ini parameter 0 _≤Θ _≤2π menggambarkan sebuah elemen dari U(1) yang diperbolehkan untuk bervariasi secara mulus dalam ruang-waktu, Θ _→Θ(x), yang menunjuk kepada menterakan grup U(1). Untuk menjaga keinvarianan La-grangian menurut transformasi lokal, diperkenalkan potensial-empat _Aµ ke dalam

teori yang bertransformasi menurut transformasi gauge _{Aµ 7→ Aµ−}∂µΘ/e. Agar

diperoleh suku kinetik dalam _Aµ harus juga dimasukkan suku interaksi berupa

ten-sor kuat medan _Fµν. Oleh karena itu dengan merujuk pada menterakan Lagrangian

yang berkenaan dengan U(1) diperoleh Lagrangian QED:

LQED = ¯Ψ [iγµ(∂µ−ieAµ)−m] Ψ−

1 4FµνF

µν_{, (2.2)}

dimana_Fµν =∂µAν−∂νAµ. Kemudian turunan kovarian∂µ dari Ψ diganti dengan

Dµ,

Dµ≡(∂µ−ieAµ) Ψ,

didefinisikan sedemikian hingga menurut transformasi gauge jenis kedua

Ψ(x)_7→exp [₋iΘ(x)] Ψ(x), _Aµ(x)7→ Aµ(x)−∂µΘ(x)/e, (2.3)

turunan kovarian bertransformasi dengan cara yang sama, yaitu hanya bekerja pada

Ψ sendiri:

DµΨ(x) 7→ D

′

µΨ

′

(x)

= h∂µ−ieA

′

µ(x)

i

exp [₋iΘ(x)] Ψ′(x)

= [∂µ−ie(Aµ(x)−∂µΘ/e)] exp [−iΘ(x)] Ψ(x)

= exp[₋iΘ(x)][∂µ−ieA(x)]Ψ(x)

= exp[₋iΘ(x)]DµΨ(x) (2.4)

Suku massa M2_A2_{/2 tidak dimasukkan ke dalam Lagrangian karena suku ini akan}

melanggar invarian gauge dan oleh karena itu prinsip gauge membutuhkan

boson-boson gauge tak bermassa.2 _{Dalam hal ini dikenal A}

µ sebagai potensial-empat

elektromagnetik dan_Fµνsebagai tensor kuat medan yang mengandung medan listrik

dan medan magnet. Prinsipgaugeini (secara alami) telah mengembangkan interaksi

medan elektromagnetik dengan materi.

2.2

Quantum Chromodynamics

(QCD)

2.2.1

Beberapa Sifat pada SU(3)

Grup SU(3) memainkan peranan penting dalam konteks interaksi kuat, karena SU(3)

adalah grup tera (gauge) dari QCD. Pada sisi lain flavor SU(3) kira-kira

direalisa-sikan sebagai simetri global dari spektrum hadron [6, 7, 8], supaya hadron-hadron

(massa rendah) yang diamati dapat disusun kira-kira dalammultiplet-multipletyang

terdegenerasi dengan mencocokkan dimensi dari representasi irredusibel SU(3).

Pa-da akhirnya, hasil kali langsung Pa-dari SU(3)L× SU(3)R adalah grup simetri chiral

untuk menghilangkan massa-massa quark u, ddan s. Grup SU(3) ditentukan seba-gai himpunan matriks unitari, unimodular, 3_×3U, yakniU†_{U = 1 dan det(U)=1.}

Dalam hal matematika, SU(3) adalah delapan parameter yang secara sederhana

dihubungkan dengan grup Lie yang compact.

Elemen-elemen SU(3) dapat ditulis dalam bentuk

U(Θ) = exp

dengan Θa bilangan-bilangan riil, dan delapan matriks λa disebut matriks-matriks

Gell-Mann, yang memenuhi

Representasi eksplisit dari matriks Gell-Mann adalah

λ1 =

Himpunan _{iλa} merupakan basis aljabar Lie su(3) dari SU(3), yakni, himpunan

semua matriksskew Hermitian3_×3 yang tidak mempunyaitrace. Hasil dari grup Lie

kemudian ditentukan dalam suku-suku perkalian matriks biasa sebagai komutator

dua elemen dari su(3). Definisi seperti itu secara alami memenuhi sifat-sifat

anti-komutatif Lie

abc 123 147 156 246 257 345 367 458 678

fabc 1 1₂ −1_{2 2}1 1₂ 1₂ −1₂ 1₂

√ 3 1

2

√ 3

Tabel 2.1: Konstanta struktur anti-simetrik dari SU(3) yang seluruhnya tidak nol.

dan juga identitas Jacobi

[A,[B, C]] + [B,[C, A]] + [C,[A, B]] = 0. (2.12)

Struktur dari grup Lie diberi kode dalam hubungan komutasi dari

matriks-matriks Gell-Mann, _·

λa

2 ,

λb

2

¸

=ifabc

λc

2, (2.13)

dimana fabc adalah konstanta struktur riil yang sepenuhnya anti-simetrik.

[λa, λb] = 2ifabcλc

[λa, λb]λc = 2ifabcλ2c

Tr ([λa, λb])

(2.8)

= 2ifabcTr

¡

λ2_c¢

Tr ([λa, λb]) = 4ifabc

fabc =

1

4iTr ([λa, λb]λc) (2.14)

Lebih jelasnya, konstanta-konstanta stuktur ini adalah sebuah pengukuran

non-komutatif dari grup SU(3). Hubungan anti-komutasi memberikan

{λa, λb}=

4

3δab+ 2dabcλc, (2.15) dimana simetri dabc sepenuhnya diberikan oleh

dabc=

1

4Tr ({λa, λb}λc) (2.16)

Selain itu, ada baiknya memperkenalkan matriks ke-sembilan

λ0 =

r

2

3diag(1,1,1),

agar persamaan (2.7) dan (2.8) masih dipenuhi oleh sembilan matriks λa.

abc 118 146 157 228 247 256 338 344

dabc √1₃ 1₂ 1₂ √1₃ −1₂ 1₂ √1₃ 1₂

abc 355 366 377 448 558 668 778 888

dabc 1₂ −1₂ −1₂ −₂√1₃ −₂√1₃ −₂√1₃ −₂√1₃ −√1₃

Tabel 2.2: Simbold dari simetri SU(3) yang seluruhnya tidak nol.

kumpulan dari semua matriks 3_×3 skew Hermitian kompleks. Akhirnya, sebuah

matriks sembarang 3_×3 dapat ditulis sebagai

M =

8

X

a=0

λaMa, (2.17)

dimana Ma adalah bilangan-bilangan kompleks yang diberikan oleh

λbM =

8

X

a=0

λbλaMa

Tr (λbM) =

8

X

a=0

Tr (λbλa)Ma

Tr (λbM) =

8

X

a=0

2δbaMa

Tr (λbM) = 2Mb

Mb =

1

2Tr (λbM)

Ma =

1

2Tr (λaM)

2.2.2

Lagrangian QCD

QCD adalah teori gaugedari interaksi-interaksi kuat [9, 10, 11] dengancolor SU(3) yang mendasari grup gauge. Medan materi QCD adalah quark-quark yang

meru-pakan fermion spin-1/2, dengan enamflavorberbeda untuk tiga warna yang mungkin

(lihat tabel 2.3). Karena quark tidak diamati sebagai keadaan bebas secara

asim-totik, pengertian massa quark dan nilai-nilai numeriknya sangat dekat dihubungkan

dengan metode dimana massa quark diekstrak dari sifat-sifat hadronik.

Berke-naan dengan apa yang dinamakan nilai-nilai massa current-quark dari quark-quark

ringan, seharusnyalah memandang suku-suku massa quark semata-mata hanya

flavor u d s

muatan[e] 2/3 ₋1/3 ₋1/3

massa[MeV] 5.1_±0.9 9.3_±1.4 175_±25

flavor c b t

muatan[e] 2/3 ₋1/3 2/3

massa[GeV] 1.15₋1.35 4.0₋4.4 174.3_±3.2_±4.0

Tabel 2.3: Flavor-flavor quark, muatan dan massa-massanya. Besar mutlak ms

ditentukan menggunakan aturan jumlah QCD. Hasil tersebut diberikan untuk massa berlari MS pada skala µ = 1 GeV. Massa quark-quark ringan dihasilkan dari rasio massa yang ditemukan menggunakan teori perturbasi chiral, menggunakan massa quark strange sebagai masukan. Massa quark-quark berat mc dan mb masing

-masing ditentukan oleh massa charmoniumdan D, dan massa bottomium dan B.

tersebut memberikan pengukuran secara luas untuk simetri chiral yang telah rusak.

Sebagai contoh,rasiodari massa-massa quark ringan dapat diduga dari massa-massa

oktet psudoskalar ringan [12]. Perbandingan antara massa proton, mp = 938 MeV,

dengan jumlah dua massa current-quark up dan down (lihat tabel 2.3)

mp À2mu+md, (2.18)

menunjukkan bahwa interpretasi massa proton dalam suku-suku parameter massa

current-quark harus sangat berbeda dari, katakan saja keadaan atom hidrogen,

di-mana massa secara esensial diberikan oleh jumlah massa proton dan elektron yang

dikoreksi oleh sejumlah kecil energi ikat.

Lagrangian QCD dihasilkan dari prinsipgauge yaitu [13, 14]

LQCD=

X

f=u,d,s_c,b,t

¯

qf(iD/−mf)qf −

1 4Gµν,aG

µν

a . (2.19)

Untuk setiapflavorquarkf, medan quarkqf terdiri dari triplet warna (indeks bawah

r, g, dan b untuk ”red”, ”green”, dan ”blue”),

qf =

 

qf,r

qf,g

qf,b



, (2.20)

him-punan parameter-parameter Θ(x) = [Θ1(x),· · ·,Θ8(x)] menurut3

Secara teknis, setiap medan quark qf bertransformasi menurut representasi

funda-mental dari warna SU(3). Karena SU(3) adalah delapan parameter grup, turunan

kovarian persamaan (2.19) mengandung delapan parameter potensial gauge_Aµ,a,

Dµ

Perlu dicatat bahwa interaksi antara quark dan gluon tidak bergantung padaflavor

quark. Dengan menuntut adanya invarian gauge _LQCD, memaksa sifat transformasi

berikut dari medan-medan gauge

λC

Sekali lagi, dengan syarat ini turunan kovarianDµqf bertransformasi pada qf, yakni

Dµqf 7→D

Menurut transformasi gauge jenis pertama, yakni transformasi global SU(3), suku

kedua pada sisi sebelah kanan pers. (2.23) akan menghilang dan medan-medan

gauge akan bertransformasi menurut representasiadjoint.

3_{Demi kejelasan, matriks-matriks Gell-Mann mengandung indeks atas C yang menjelaskan}

Sejauh ini hanya bagian medan materi _LQCD yang dipertimbangkan termasuk

interaksinya dengan medan-medan gauge. Persamaan (2.19) juga berisi generalisasi

dari tensor kuat medan untuk kasus non-Abelian,

Gµν,a =∂µAν,a−∂νAµ,a+gfabcAµ,bAν,c, (2.24)

dengan fabc konstanta struktur SU(3) yang diberikan dalam tabel 2.1. Seperti

pers. (2.23) tensor kuat medan bertransformasi menurut SU(3) sebagai

Gµν ≡

λC a

2 Gµν,a 7→U[g(x)]GµνU

†_{[g(x)]. (2.25)}

Dengan menggunakan pers. (2.8) bagian gluonic murni _LQCD dapat ditulis

Tr

µ

λC a

2 Gµν,a

λC b

2 G

µν b

¶

= Tr¡U_GµνU†UGµνU†

¢

Gµν,aGbµνTr

µ

λC a

2

λC b

2

¶

= Tr(_GµνGµνU†U)

1

2Gµν,aδabG

µν

b = Tr(GµνGµν)

Gµν,aGaµν = 2Tr(GµνGµν)

maka

−1₄Gµν,aGaµν =−

1

2TrC(GµνG

µν₎

yang diperoleh dengan menggunakan sifat trace, Tr(ABCD)=Tr(BCDA), bersama

dengan U U† _{= U}†_{U = 1, dengan mudah dapat dilihat Lagrangian QCD invarian}

terhadap transformasi pers. (2.25).

Perbedaannya terhadap kasusAbelianQED, tensor kuat medan yang dikuadrati

menimbulkan interaksi diri medan gauge yang melibatkan verteks dengan tiga dan

empat medan gaugemasing-masing dengan kekuatan g dan g2_{. Suku-suku}

interak-si seperti ini merupakan karakteristik dari teori gauge non-Abelian dan suku-suku

2.3

Simetri

Chiral

Enam flavor quark secara umum dibagi menjadi tiga kuark ringan u, d, dan s, dan tiga flavor berat c, b, dan t.

 

mu = 0.005 GeV

md = 0.009 GeV

ms= 0.175 GeV



¿1 GeV≤  

mc = (1.15−1.35) GeV

mb = (4.0−4.4) GeV

mt= 174 GeV



, (2.26)

dimana skala ΛCSB = 1 GeV dikaitkan dengan massa-massa hadron paling ringan

yang berisi quark-quark ringan, contohnya mρ = 770 MeV, yang bukan merupakan

boson Goldstone yang diakibatkan dari kerusakan simetri spontan. Skala yang

dikaitkan dengan kerusakan simetri spontan, 4πFπ ≈ 1170 MeV, memiliki besar

orde yang sama. Berikutnya, akan diperkirakan Lagrangian QCD lengkap dengan

versi flavorquark ringan, yakni, mengabaikan efek pasangan quark-antiquark berat

hh¯. Secara khusus, persamaan (2.18) memberi kesan bahwa Lagrangian_L0

QCDhanya

mengandung flavor quark-quark ringan di dalam apa yang dinamakan batas chiral

mu, md, ms→0, menjadi awal yang baik dalam membicarakan QCD energi-rendah:

L0QCD =

X

l=u,d,s

¯

qliD/ql−

1 4Gµν,aG

µν

a (2.27)

Turunan kovarian D/ ql hanya bekerja pada color (warna) dan indeks Dirac, tetapi

tidak bergantung flavor.

2.3.1

Medan quark

Left-Handed

dan

Right-Handed

Agar selengkapnya simetri-simetri global dari persamaan (2.27) terlihat,

dipertim-bangkanlah suatu matriks chirality γ5 = γ5 = iγ0γ1γ2γ3,{γµ, γ5} = 0, γ52 = 1, dan

memperkenalkan operator-operator proyeksi

PR =

1

2(1 +γ5) = P

†

R, PL=

1

2(1−γ5) = P

†

L (2.28)

dimana indeks R dan L mengacu pada right-handed dan left-handed, seperti akan menjadi lebih jelas di bawah ini. Nampak jelas bahwa matriks 4_×4 PR dan PL

memenuhi hubungan kelengkapan

P_R2 =PR, PL2 =PL (2.30)

dan hubungan ortogonalitas

PRPL=PLPR=

1 4(1−γ

2

5) = 0 (2.31)

Sifat-sifat gabungan dari persamaan (2.28) - (2.31) menjamin bahwa PR dan PL

sungguh-sungguh operator proyeksi yang memproyeksikan variabel medan Dirac q

ke komponen-komponen chiral-nyaqR dan qL.

qR=PRq, qL =PLq. (2.32)

Kita ingat dalam konteks ini variabel (medan)chiral adalah variabel yang terhadap paritas ditransformasikan menjadi varabel asal maupun variabel negatifnya.

Ter-hadap paritas, medan quark ditransformasikan menjadi konjugate paritasnya,

P :q(t, ~x)_7→γ0q(t,−~x),

maka

qR(t, ~x) =PRq(t, ~x)7→PRγ0q(t,−~x) = γ0PLq(t,−~x) =γ0qL 6=±qR(t,−~x),

dan serupa untuk qL.

PRγ0 =

1

2(1 +γ5)γ0 = 1

2(γ0+γ5γ0)

= 1

2(γ0−γ0γ5) =γ0 1

2(1−γ5) =γ0PL

qL(t, ~x) =PLq(t, ~x)7→PLγ0q(t,−~x) =γ0PRq(t,−~x) = γ0qR6=±qL(t,−~x)

Istilah medanright-handed danleft-handed dengan mudah dapat divisualisasikan di

dalam suku-suku dari solusi untuk persamaan Dirac partikel bebas. Untuk

mak-sud tersebut, akan dipertimbangkan solusi energi-positif relativistik ekstrim dengan

momentum-tiga ~p4

u(~p,_±) = √E+M

µ

χ±

~σ·~p E+Mχ±

¶

E _ÀM

→ √E

µ

χ±

±χ_±

¶

≡u±(~p),

4_{Disini penulis mengadopsi normalisasi kovarian dari spinor-spinor, u}(α)†_(~p)u(β)†_{(~p) = 2Eδ}

αβ,

dimana telah diasumsikan bahwa spin dalam kerangka diam sejajar terhadap yang

lain atau antiparalel terhadap arah momentum

~σ_·~p χ± =~σ·pˆ|~p| χ±=|~p|~σ·p χˆ ±

jika momentum diambil arah ~z

ˆ

Dalam representasi standar matriks-matriks Dirac kita dapatkan

PL u+ =

Dalam batas relativistik ekstrim (atau lebih baik, dalam batas massa nol), operator

PRdanPLmelakukan proyeksi ke keadaan eigen dengan helisitas positif dan negatif,

yaitu dalam batas ini chirality sama dengan helicity.

Di sini tujuannya adalah untuk menganalisis simetri dari lagrangian QCD dengan

mematuhi sifat transformasi global yang independen dari medan left-handed dan right-handed. Untuk mengkomposisikan 16 bentuk kuadratik menjadi proyeksinya

masing-masing terhadap medan left-handed dan right-handed, dibuatlah

menggu-nakan

Persamaan (2.33) dengan mudah dibuktikan dengan memasukkan hubungan

ke-lengkapan dari persamaan (2.29) sekaligus ke sebelah kiri dan kanan dari Γi,

∴_qγ¯ µ_{q = ¯qRγ}µ_{qR+ ¯qLγ}µ_qL

dengan cara yang sama dapat dibuktikan untuk Γi yang lain. Bersama dengan

hubungan orthogonalitas dari persamaan (2.31) kemudian dihasilkan

PRΓ1PR =

Sekarang dengan menggunakan persamaan (2.33) untuk suku yang mengandung

kontraksi dari turunan kovarian dengan γµ_{, bentuk kuadratik quark ini memisah}

menjadi jumlah dua suku yang hanya menghubungkan medan quark left-handed

dan right-handed. Maka lagrangian QCD dapat ditulis dalam batas chiral sebagai

berikut

Karena flavortidak saling bergantung, turunan kovarian invarian terhadap



L0

QCD mempunyai simetri global klasik U(3)L×U(3)R. Dengan mempergunakan

teorema Noether dari invarian semacam itu, diharapkan seluruhnya ada 2_×(8+1) =

18 arus yang kekal.

2.3.2

Teorema Noether

Teorema Noether : Simetri-simetri kontinu _⇔ Kuantitas-kuantitas yang kekal.

Teorema Noether menentukan hubungan antara simetri-simetri kontinu dari

sis-tem yang dinamis dan kuantitas-kuantitas yang kekal (konstanta gerak). Untuk

memeriksa kekekalan arus yang diasosiasikan dengan invarian di atas, digunakan metode dari acuan [15] dan mempertimbangkan variasi dari pers. (2.34). Agar

lebih sederhana hanya dipertimbangkan simetri-simetri internal dimulai dengan

se-buah lagrangian _L yang bergantung pada n medan bebas Φi dan turunan-turunan

parsial pertamanya,

L =_L(Φi, ∂µΦi), (2.36)

dimana akan dihasilkan n persamaan gerak

∂_L ∂Φi −

∂µ

∂_L ∂∂µΦi

= 0, i= 1,_{· · ·}, n. (2.37)

Andaikata dipertimbangkan transformasi yang bergantung pada r parameter-parameter lokal yang riil ²a(x). Untuk masing-masing r generator dari

transfor-masi infinitesimal yang merepresentasikan dasar grup simetri, dipertimbangkan

su-atu transformasi infinitesimal lokaldari medan.

Φi(x)7→Φ′i(x) = Φi(x) +δΦi(x) = Φi(x)−i²a(x)Fia[Φj(x)], (2.38)

dan dengan mengabaikan suku kedua (orde²2_{), kita menghasilkan variasi lagrangian}

δ_L = _L(Φ′

i, ∂µΦ′i)− L(Φi, ∂µΦi)

= ∂L

∂φi

δΦi+

∂_L ∂∂µΦi

∂µδΦi

= ²a(x)

µ

−i∂L ∂Φi

F_ia₋i ∂L ∂∂µΦi

∂µFia

¶

+∂µ²a(x)

µ

−i ∂L ∂∂µΦi

F_ia

¶

Teorema Noether: Untuk setiap transformasi simetri global kontinu, yang memberikan Lagrangian dan persamaan gerak invarian akan menimbulkan suatu kekekalan arus Jµ,a _{dan suatu konstanta gerak Q}a_.

Di sini didefinisikan kerapatan arus-empat

Jµ,a =₋i ∂L ∂∂µΦi

F_ia. (2.40)

Dengan menghitung divergensi ∂µJµ,a dari persamaan (2.40)

∂µJµ,a = −i

µ

∂µ

∂_L ∂∂µΦi

¶

F_ia₋i ∂L ∂∂µΦi

∂µFia

= ₋i∂L ∂Φi

F_ia₋i ∂L ∂∂µΦi

∂µFia,

dimana telah digunakan persamaan gerak (2.37). Dari persamaan (2.39) dihasilkan

persamaan arus-empat dan divergensinya sebagai berikut

Jµ,a = ∂δL

∂∂µ²a

, (2.41)

∂µJµ,a =

∂δ_L ∂²a

. (2.42)

Untuk arus yang kekal,∂µJµ,a = 0, muatan

Qa(t) =

Z

d3xJ0a(t, ~x) (2.43)

dan

dQa_(t)

dt = 0

adalah tidak bergantung waktu, artinya sebuah konstanta gerak.

2.3.3

Arus Simetri Global dari Sektor Quark Ringan

Metode acuan [15] sekarang dapat dengan mudah dipergunakan pada Lagrangian QCD untuk menghitung variasi menurut bentuk lokal yanginfinitesimal. Lagrangian

dari persamaan (2.34) dapat ditulis

L0QCD = ¯qRiγµ(∂µ−igAµ)qR+ ¯qLiγµ(∂µ−igAµ)qL−

1 4Gµν,aG

Bentuk lokal infinitesimalpersamaan (2.35)

Untuk medan quark right-handed

δ_L0_QCDR = ∂L

dengan cara yang sama untuk medan quark left-handed

dari sini dengan memakai sifat persamaan (2.41) dan (2.42) akan dihasilkan

arus-arus yang dikaitkan dengan transformasi quark left-handed dan right-handed

Lµ,a = ∂δL

0 QCD

∂∂µΘLa

= ¯qLγµ

λa

2 qL, ∂µL

µ,a _{= 0,}

Rµ,a = ∂δL

0 QCD

∂∂µΘRa

= ¯qRγµ

λa

2 qR, ∂µR

µ,a _{= 0 (2.45)}

Delapan arus Lµ,a _{bertransformasi menurut SU(3)}

L×SU(3)R sebagai multiplet

(8,1), yaitu masing-masing sebagai oktet dan singlet menurut transformasi medan

left-handed dan right-handed. Hal yang sama, arus right-handed bertransformasi

sebagai multiplet (1,8) menurut SU(3)L×SU(3)R. Sebagai pengganti arus chiral

lebih sering digunakan kombinasi linear,

Vµ,a = Rµ,a+Lµ,a

= ¯qRγµ

λa

2 qR+ ¯qLγ

µλa

2 qL = ¯qγµ(PR+PL)

λa

2 q = ¯qγµλa

2 q (2.46)

dan

Aµ,a _{= R}µ,a_−Lµ,a

= ¯qRγµ

λa

2 qR−q¯Lγ

µλa

2 qL = ¯qγµ(PR−PL)

λa

2 q = ¯qγµγ5

λa

2 q (2.47)

masing-masing bertransformasi terhadap paritas sebagai kerapatan arus vektor dan

kerapatan arus aksial-vektor,

P :Vµ,a(t, ~x)_7→V_µa(t,₋~x), (2.48)

P :Aµ,a_{(t, ~x)7→ −A}a

µ(t,−~x) (2.49)

Dari persamaan (2.41) dan (2.42) juga diperoleh arus vektor singlet yang

fase yang sama,

Lµ= ∂δL

∂∂µΘL

= ¯qLγµqL

Rµ= ∂δL

∂∂µΘR

= ¯qRγµqR

Vµ = Rµ+Lµ

= ¯qRγµqR+ ¯qLγµqL

= ¯qγµ(PR+PL)q

= ¯qγµq, ∂µVµ =∂µRµ+∂µLµ= 0. (2.50)

karena

∂µRµ=

∂δ_L

∂ΘR = 0, ∂µL

µ₌ ∂δL

∂ΘL = 0

Arus aksial-vektor singlet,

Aµ = Rµ₋Lµ

= ¯qRγµqR−q¯LγµqL

= ¯qγµ(PR−PL)q

= ¯qγµγ5q (2.51)

berasal dari transformasi semua medan quark left-handed dengan fase sama dan

semua medan right-handed dengan fase berlawanan. Bagaimanapun juga, arus

aksial-vektor singlet hanya kekal pada tingkatan klasik. Simetri ini tidak

diperta-hankan oleh kuantisasi dan akan ada suku-suku ekstra, yang merujuk pada keanehan

(anomali), yang menghasilkan

∂µAµ =

3g2

32π2 ²µνρσG

µν

a Gaρσ, ²0123 = 1, (2.52)

dimana faktor 3 berasal dari jumlah flavor.

2.3.4

Aljabar

Chiral

Invarian _L0

QCD menurut transformasi global SU(3)L×SU(3)R×U(1)V juga

menya-takan secara tidak langsung bahwa operator Hamilton QCD, H0

QCD, dalam batas

”operator-operator muatan” didefinisikan sebagai integral ruang dari kerapatan

mu-atan,

Qa_L(t) =

Z

d3x L0,a =

Z

d3x q¯Lγ0

λa

2 qL=

Z

d3x q†_Lγ0γ0λa

2 qL =

Z

d3x q_L†(t, ~x)λa

2 qL(t, ~x), a= 1,· · ·,8, (2.53)

Qa_R(t) =

Z

d3x R0,a =

Z

d3x q¯Rγ0

λa

2 qR =

Z

d3x q_R†γ0γ0λa

2 qR =

Z

d3x q_R†(t, ~x)λa

2 qR(t, ~x), a= 1,· · ·,8, (2.54)

QV(t) =

Z

d3x V0 =

Z

d3x q¯Rγ0qR+ ¯qLγ0qL=

Z

d3x q_R†γ0γ0qR+q†Lγ0γ0qL

=

Z

d3x q_R†(t, ~x)qR(t, ~x) +q†L(t, ~x)qL(t, ~x). (2.55)

untuk arus simetri yang kekal, operator-operator ini tidak bergantung waktu, yaitu

operator-operator tersebut komutatif dengan Hamiltonian,

[Qa_L, H_QCD0 ] = [Qa_R, H_QCD0 ] = [QV, HQCD0 ] = 0. (2.56)

Hubungan komutasi dari operator muatan dengan yang lainnya dihasilkan dengan

menggunakan hubungan komutasi kesamaan waktu (equal-time) dari medan-medan

quark dalam gambaran Heisenberg,

{qα,r(~x, t), q_β,s† (~y, t)} = δ3(~x−~y)δαβδrs, (2.57)

{qα,r(~x, t), qβ,s(~y, t)} = 0, (2.58)

{q†

α,r(~x, t), qβ,s† (~y, t)} = 0, (2.59)

dimana α dan β adalah indeks-indeks Dirac dan r dan s indeks-indeksflavor. Ko-mutator equal-time dari dua bentuk quark berbentuk

[q†(~x, t)Γ1F1q(~x, t), q†(~y, t)Γ2F2q(~y, t)] =

Γ1,αβΓ2,γδF1,rsF2,tu[qα,r† (~x, t)qβ,s(~x, t), qγ,t† (~y, t)qδ,u(~y, t)], (2.60)

dimana Γi dan Fi berturut-turut adalah matriks-matriks Dirac 4×4 dan

matriks-matriks flavor 3_×3. Dengan memakai

ekspresi komutator dari medan-medan Fermi dalam suku-suku anti-komutator dan

dengan memakai hubungan komutasi pers. (2.57)-(2.59) menjadi

[q†

α,r(~x, t)qβ,s(~x, t), qγ,t† (~y, t)qδ,u(~y, t)] =

q_α,r† (~x, t)qδ,u(~y, t)δ3(~x−~y)δβγδst−qγ,t† (~y, t)qβ,s(~x, t)δ3(~x−~y)δαδδru.

Dengan hasil ini pers. (2.60)

[q†(~x, t)Γ1F1q(~x, t), q†(~y, t)Γ2F2q(~y, t)] =

δ3(~x₋~y)£q†_{(~x, t)Γ}

1Γ2F1F2q(~y, t)−q†(~y, t)Γ2Γ1F2F1q(~x, t)

¤

. (2.62)

Setelah memasukkan proyektor-proyektor yang cocok PL/R, pers.(2.62) dengan

mu-dah dipergunakan untuk operator-operator dari pers.(2.53), (2.54), dan (2.55), me-nunjukkan bahwa operator-operator ini sungguh-sungguh memenuhi hubungan

ko-mutasi yang berkorenpondensi dengan aljabar Lie dari SU(3)_L×SU(3)_R×U(1)_V,

£

2.3.5

QCD Dalam Kehadiran Medan-medan Eksternal

Mengikuti prosedur dari Gasser dan Leutwyler [16, 17], diperkenalkan ke dalam

Lagrangian QCD kopling dari sembilan arus vektor dan delapan arus aksial-vektor

dan juga kerapatan quark skalar dan pseudoskalar untuk medan-medan eksternal

Γ 1 γµ _σµν _γ

5 γµγ5

γ0Γγ0 1 γµ σµν −γ5 −γµγ5

Tabel 2.4: Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac Γ terhadap paritas.

Medan-medan eksternal adalah color-netral, matriks Hermitian 3_×3, dimana

vµ=

8

X

a=1

λa

2 v

µ

a, aµ=

8

X

a=1

λa

2 a

µ

a, s=

8

X

a=1

λasa, p=

8

X

a=1

λapa, (2.68)

Biasanya tigaflavor lagrangian QCD diperoleh dengan memasangvµ _=vµ

(s)=aµ=

p= 0 dan s= diag(mu, md, ms) di dalam pers. (2.67).

Lagrangian yang dibutuhkan dari pers. (2.67) adalah Hermitian dan

invari-an terhadap P, C, dan T yang menimbulkan batasan-batasan pada sifat transfor-masi dari medan-medan eksternal. Kenyataannya, keadaan ini hanya cukup dengan

memikirkan P dan C karena T kemudian secara otomatis memperlihatkan peng-gabungan ke teorema CP T.

Terhadap paritas, medan-medan quark bertransformasi sebagai

qf(t, ~x)7→P γ0qf(t,−~x), (2.69)

dan syarat kekekalan paritas

L(t, ~x)_{7→ L}P (t,₋~x), (2.70)

dengan memakai hasil-hasil dari tabel 2.4, medan-medan eksternal bertransformasi

terhadap paritas seperti

vµ _7→P vµ, v₍µ_s) 7→P vµ(s), aµ

P

7→ −aµ, s7→P s, p7→ −P p. (2.71)

Pada pers.(2.71) tersebut, dipahami bahwa argumen-argumen berubah dari (t, ~x) ke (t,₋~x). Hal yang sama, terhadap konjugasi muatan medan-medan quark bertrans-formasi sebagai

qα,f 7→C Cαβq¯β,f, q¯α,f 7→ −C qβ,fCβα−1, (2.72)

dimana indeks bawah α dan β adalah indeks-indeks spinor Dirac,

C = iγ2_γ0 _=i

µ

0 σ2

−σ2 ₀

¶ µ

1 0

0 ₋1

¶

=i

µ

0 ₋σ2

−σ2 ₀

Γ 1 γµ _σµν _γ

5 γµγ5

−CΓT_{C 1 −γ}µ _−σµν _γ

5 γµγ5

Tabel 2.5: Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac terhadap konjugasi muatan.

adalah matriks konjugasi muatan danf merujuk padaflavor. Dengan menggunakan

¯

dengan kombinasi dalam tabel 2.5 secara langsung ditunjukkan bahwa invarian dari

Lext terhadap konjugasi muatan membutuhkan sifat-sifat transformasi

vµ C

→ −vT_µ, v_µ(s)_{→ −}C v(_µs)T, aµ C

→aT_µ, s, p_→C sT, pT, (2.73)

Akhirnya, pers. (2.67) dapat ditulis dalam suku-suku medan quark left-handed

dan right-handed. Disamping sifat-sifat dari pers. (2.29) - (2.31) dan, menggunakan

dan juga memisalkan

Hal yang sama, dapat ditulis kembali bagian kedua yang berisi medan skalar dan

pseudoskalar eksternal,

¯

q(s₋iγ5p)q = ¯q(PR+PL)(s−iγ5p)(PR+PL)q

= ¯qLsqR+ ¯qRsqL−iq¯LpqR+iq¯RpqL

= ¯qL(s−ip)qR+ ¯qR(s+ip)qL,

yang Lagrangian (2.67) menjadi

L = _LQCD₀ + ¯qγµ

Persamaan (2.75) tetap invarian terhadap transformasi lokal

qR 7→ exp

dimana VR(x) and VL(x) adalah matriks-matriks SU(3) yang bergantung

ruang-waktu yang bebas, asalkan medan-medan eksternal tunduk pada transformasi

rµ 7→ VRrµV_R†+iVR∂µV_R†,

lµ 7→ VLlµVL†+iVL∂µVL†,

v(_µs) _7→ v_µ(s)₋∂µΘ,

s+ip _7→ VR(s+ip)V_L†,

Suku-suku turunan di dalam pers. (2.77) menyajikan maksud yang sama seperti

dalam konstruksi teori gauge, yaitu, suku-suku tersebut membatalkan suku-suku

analog yang berasal dari bagian kinetik dari Lagrangian quark.

Pada penggambaran interaksi-interaksi semileptonik seperti π− _{→ µ}−_ν¯

µ, π− →

π0_e−_ν¯

e, atau peluruhan neutron n → pe−ν¯e, diperlukan interaksi quark dengan

boson lemah bermuatan dan massive _W±

µ = (W1µ∓iW2µ)/

dimana h.c. mengacu pada konjugat Hermitian dan

T+ =

Disini, Vij merupakan elemen-elemen matriks quark-mixing

Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM) yang menggambarkan transformasi antara keadaan eigen QCD

dan keadaan eigen lemah

|Vud|= 0.9735±0.0008, |Vus|= 0.2196±0.0023.

Pada orde paling rendah dalam teori perturbasi, konstanta Fermi dihubungkan ke

kopling gaugeg dan massa W sebagai

GF =

dengan memasukkan pers. (2.78) ke dalam pers. (2.75) menimbulkan interaksi

lemah arus muatan standar dalam sektor quark ringan,

−q¯R(s+ip)qL−q¯L(s−ip)qR

= ¯qLγµlµqL

= ₋q¯Lγµ

g

√ 2

¡

W+T++h.c

¢

qL

= ₋ g

2√2

©

Wµ+[Vuduγ¯ µ(1−γ5)d+Vusuγ¯ µ(1−γ5)s] +h.c.

ª

Bab 3

Kerusakan Simetri Spontan dan

Lagrangian Efektif

3.1

Kerusakan Simetri

Chiral

Karena Suku Massa

Quark

Persamaan (2.42) memperbolehkan untuk mendiskusikan divergensi dalam

kehadi-ran massa-massa quark. Untuk mencapai maksud tersebut, sekakehadi-rang

dipertim-bangkan matriks massa quark dari tiga quark ringan dan proyeksinya pada sembilan

matriks λ dari persamaan (2.17),

M =

 

mu 0 0

0 md 0

0 0 ms

 

= mu +_√md+ms

6 λ0 +

(mu+md)/2−ms

√

3 λ8+

mu−md

2 λ3 (3.1)

Pada khususnya, menggunakan pers. (2.33) dapat dilihat bahwa suku massa quark

mencampur medan left-handeddan right-handed,

L=₋qM q¯ =₋(¯qRM qL+ ¯qLM qR) (3.2)

Dari_LM dihasilkan variasi δLM terhadap transformasi pers. (2.35)

δ_LM =

∂_LM

∂qR

δqR+

∂_LM

∂∂µqR

∂µδqR

| {z }

0

+δq¯R

∂_LM

∂q¯R

+∂µδq¯R

∂_LM

∂∂µqR

| {z }

0

∂_LM

∂qL

δqL+

∂_LM

∂∂µqL

∂µδqL

| {z }

+δq¯L

∂_LM

∂q¯L

+∂µδq¯L

∂_LM

∂∂µqL

= ₋q¯LM

yang menghasilkan divergensi-divergensi berikut

∂µLµ,a =

Anomali masih belum dipikirkan. Mempergunakan pers. (2.33) untuk masalah arus

vektor dan memasukkan operator-operator proyeksi dalam penurunan pers. (2.51)

untuk arus aksial-vektor, divergensi yang sesuai adalah

= iq¯

½

λa

2 , M

¾

γ5q,

∂µVµ = ∂µRµ+∂µLµ

= ₋i(¯qRM qL−q¯LM qR)−i(¯qLM qR−q¯RM qL)

= 0

∂µAµ = ∂µRµ−∂µLµ

= ₋i(¯qRM qL−q¯LM qR) +i(¯qLM qR−q¯RM qL)

= 2iqM¯ (PR−PL)q

= 2iqM γ¯ 5q+

3g2

32π²µνρσG

µν

a Gaρσ, ²0123 = 1, (3.5)

dimana anomali aksial juga diambil ke dalam hitungan. Kesimpulan yang diperoleh

dalam variasi simetri dari interaksi kuat dalam kombinasi arus-arus terkait dan

divergensinya adalah sebagai berikut.

• Di dalam batas quark tak bermassa, 16 arusLµ,a _{dan R}µ,a_{, atau dengan}

alter-natifVµ,a _danAµ,a _{adalah kekal. Hal yang sama juga benar untuk arus vektor}

singlet Vµ_{, sedangkan arus aksial-vektor A}µ _{mempunyai anomali.}

• Untuk beberapa nilai dari massa-massa quark, arusflavorindividu ¯uγµ_u,dγ¯ µ_d,

dan ¯sγµ_{s selalu kekal dalam interaksi kuat yang mencerminkan kebebasan}

flavordari kopling kuat dan diagonalitas dari matriks massa quark. Tentunya,

arus vektor singlet Vµ _{adalah jumlah dari tiga arus flavor, selalu kekal.}

• Disamping anomali, arus aksial-vektor singlet mempunyai divergensi eksplisit karena massa-massa quark.

• Untuk massa quark sama, mu = md = ms, delapan arus vektor Vµ,a kekal,

karena [λa,1] = 0. Skenario semacam itu adalah awal dari simetri SU(3)

yang mula-mula diajukan oleh Gell-Mann dan Ne’eman. Delapan arus aksial

Aµ,a _{tidak kekal. Divergensi dari arus aksial-vektor oktet dari pers. (3.5)}

se-banding dengan bentuk kuadratik pseudoskalar. Ini dapat diartikan sebagai

asal mula mikroskopik dari hubungan PCAC (partially conserved axial-vector

current) yang menyatakan bahwa divergensi dari arus aksial-vektor sepadan

terhadap operator-operator medan ternormalisasi yang mewakili oktet

3.2

Kerusakan Spontan Dari Simetri Global,

Kon-tinu, Non-Abelian

Sekarang akan dibahas masalah kerusakan simetri yang nantinya akan menimbulkan

massa boson Goldstone. Untuk tujuan tersebut akan diperhatikan sistem dengan

simetri SO(3) yang kontinu, non-Abelian dan mempertimbangkan suatu lagrangian

berikut

L(Φ~, ∂µΦ) =~ L(Φ1,Φ2,Φ3, ∂µΦ1, ∂µΦ2, ∂µΦ3)

= 1

2∂µΦi∂

µ_Φ i−

m2

2 ΦiΦi−

λ

4(ΦiΦi)

2_{, (3.6)}

dimana m2 _{<0, λ >0, dengan medan-medan Hermitian Φ}

i. Lagrangian dari pers.

(3.6) adalah invarian terhadap rotasi ”isospin” global ,1

g _∈SO(3) : Φi →Φ′i =Dij(g)Φj = (e−iαkTk)ijΦj. (3.7)

Untuk Φ′

ijuga Hermitian,Tkharus Hermitian yang murni imajiner dan anti-simetrik.

iTkmemberikan basis dari sebuah representasi aljabar Lie so(3) dan yang memenuhi

hubungan komutasi [Ti, Tj] = i²ijkTk.2 Di sini akan dipakai representasi dengan

elemen-elemen matriks yang diberikan oleh ti

jk = −i²ijk. Potensial minimum yang

tidak bergantung pada x adalah

V(Φ) = m

2

2 Φ

2₊λ

4Φ

4

∂_V

∂Φ = m

2_{Φ +λΦ}3 _{= 0}

Φ(m2+λΦ2) = 0 Φ2 = ₋m

2

λ

|~Φmin|=

r

−m2

λ ≡v, |Φ~|=

q

Φ2

1+ Φ22+ Φ23. (3.8)

Perturbasi eksternal yanginfinitesimaldan tidak invarian terhadap SO(3) akan

dip-ilih pada satu arah tertentu, dengan orientasi yang tepat dari kerangka koordinat

internal, yaitu arah-3,

~

Φmin =vˆe3. (3.9)

1_{Tentunya, Lagrangian invarian terhadap grup lengkap O(3) yang dapat diuraikan menjadi dua}

komponennya : rotasi sebenarnya yang dihubungkan terhadap identitas, SO(3), dan rotasi-refleksi. Maksud kita adalah cukup membicarakan SO(3).

Jelas, ~Φmin dari pers. (3.8) tidak invarian menurut grup lengkap G= SO(3) karena

rotasi melalui sumbu-1 dan sumbu-2 mengubah Φ~min. Untuk kasus tertentu, jika

~

Catatan bahwa himpunan transformasi yang tidak membiarkan Φ~min invarian tidak

membentuk sebuah grup, karena transformasi tidak berisi identitas. Pada sisi lain,

~

Φmin invarian terhadap subgrup H dari G, yaitu, rotasi melalui sumbu-3 :

h_∈H : ~Φ′ _{=D(h)Φ =~ e}−iα3T3_Φ~_{, D(h)Φ}~

min =~Φmin. (3.11)

Sekarang dengan menambahkan suatu medan disekitar Φmin yaitu v, maka

Φ3 =v +η, (3.12)

dan menghasilkan ekspresi baru untuk potensial

-2 -1

0 1

2 -2 -1

0 1

2

0 2 4

-2 -1

0 1

2

Gambar 3.1: Potential dua dimensi yang invarian terhadap rotasi: _V(x, y) = ₋(x2₊

y2_{) +} (x2

+y2

)2

4 .

Dengan memeriksa suku-suku kuadratik dalam medan-medan, setelah kerusakan

simetri spontan, diperoleh dua boson Goldstone tak bermassa dan satu boson yang

massive:

m2_Φ1 =m

2

Φ2 = 0,

m2_η = ₋2m2. (3.14)

Ciri-ciri model bebas dari contoh di atas diberikan oleh kenyataan bahwa untuk

setiap generator T1 dan T2 yang tidak memusnahkan keadaan dasar, dihasilkan

bo-son Goldstone tak bermassa. Dengan memakai penyederhanaan dua dimensi

(li-hat potensial “topi orang Meksiko” yang ditunjukkan Gb. 3.1) mekanisme yang

ada dapat dengan mudah dibayangkan. Variasi-variasi infinitesimalyang ortogonal (tegak lurus) terhadap lingkaran dari potensial minimum menghasilkan suku-suku

kuadratik, yaitu, “gaya-gaya pemulih yang linear terhadap pergeseran,” mengingat

variasi-variasi tangensial mengalami gaya-gaya pemulih hanya pada orde-orde yang

lebih tinggi.

3.3

Teorema Goldstone

Her-mitian yang mengalami transformasi sebagai sebuah vektor pada G,

g _∈G: ~Φ(x)_7→~Φ′_{(x) = e}iP3

k=1αkQk_Φ(~ _x)e−iP3l=1αlQl

=e−iP3k=1αkTk~_Φ(x)6=~_{Φ(x), (3.15)}

dimanaQi adalah generator-generator dari SO(3) yang bertransformasi pada ruang

Hilbert yang memenuhi [Qi, Qj] =i²ijkQkdan danTi = (tijk) adalah matriks-matriks

dari representasi tiga dimensi yang memenuhi ti

jk =−i²ijk. Diasumsikan satu

kom-ponen dari multiplet memperoleh sebuah harga ekspektasi vakum yang tidak nol:

h0_|Φ1(x)|0i=h0|Φ2(x)|0i= 0, h0|Φ3(x)|0i=v 6= 0. (3.16)

Maka dua generatorQ1 danQ2tidak memusnahkan keadaan dasar, dan untuk setiap

generator seperti itu berhubungan dengan sebuah boson Goldstone tak bermassa.

Untuk membuktikan dua pernyataan ini, diekspansikan pers. (3.15) untuk orde pertama dalam αk:

~

Φ′ _{=Φ +}~ _i

3

X

k=1

αk[Qk, ~Φ] = (1−i

3

X

k=1

αkTk)~Φ =~Φ +α~×Φ~.

Dengan membandingkan suku-suku linear di dalam αk

i

3

X

k=1

αk[Qk, ~Φ] = ~α×~Φ

i[αkQk,Φl] = ²lkmαkΦm

dan dengan memperhatikan semua αk diperoleh

i[Qk,Φl] =²lkmΦm =−²klmΦm,

yang secara sederhana menyatakan fakta bahwa operator-operator medan Φi

bertrans-formasi sebagai sebuah vektor. Dengan memakai ²klm²kln = 2δmn, didapatkan

i²kln[Qk,Φl] = −i²klm²klnΦm =−2δmnΦm

−i

2²kln[Qk,Φl] = δmnΦm = Φn. Khususnya, untuk Φ3

Φ3 = −

i

2²123[Q1,Φ2]−

i

2²213[Q2,Φ1]

Untuk membuktikan bahwaQ1danQ2 tidak memusnahkan keadaan dasar, pers.

Dari baris pertama diperoleh

Φ3 =ei

Dengan mengambil harga ekspektasi vakum

v =_h0_|Φ3|0i=h0|ei

dan dengan menggunakan pers. (3.16) jelas Q2|0i 6= 0. Argumen yang serupa

me-nunjukkan Q1|0i 6= 0.

Pada poin ini, ada dua rangkuman. ”Keadaan-keadaan” Q1(2)|0i tidak dapat

dinormalisasi. Dalam penurunan yang lebih tepat digunakan integral dengan bentuk

Z

d3x_h0_|[J0,b(~x, t),Φc(0)]|0i,

dan mula-mula ditentukan dahulu komutator sebelum menghitung integral.

untuk membicarakan kerusakan simetri spontan dalam kerangka kerja QCD, adalah

menguntungkan untuk menetapkan hubungan antara keberadaan boson-boson

Gold-stone dan harga ekspektasinya yang tidak nol.

Kemudian dengan mengambil harga ekspektasi vakum dari pers. (3.17)

0₆=v =_h0_|Φ3(0)|0i=−

i

2h0|([Q1,Φ2(0)]−[Q2,Φ1(0)])|0i ≡ −

i

2(A−B). Mula-mula akan ditunjukkanA =₋B. Untuk hal itu maka dilakukan sebuah rotasi pada medan dan juga generator dengan π/2 melalui sumbu-3 [lihat pers. (3.15) dengan ~α= (0,0, π/2)]:

dan analog untuk operator-operator muatan

maka diperoleh

dimana telah dibuat menggunakanQ3|0i= 0, yaitu, vakum invarian terhadap rotasi

sumbu-3.

Oleh karena itu, harga ekspektasi vakum v yang tidak nol dapat juga ditulis seperti

0₆=v = _h0_|Φ3(0)|0i=−i(A−B) =−iA=−ih0|[Q1,Φ2(0)]|0i

= ₋i

Z

d3x_h0_|[J₀1(t, ~x),Φ2(0)]|0i. (3.18)

Jika dimasukkan himpunan kelengkapan dari keadaan-keadaan 1 = PR_n|n_ihn_| ke dalam komutator 3

dan dengan memakai invarian translasi

Integrasi terhadap momentum, menghasilkan ekspresi berbentuk

=₋i(2π)3

dimana menyatakan bahwa hanya keadaan dengan P~ = 0 yang perlu dipertim-bangkan. Karena sifat Hermitian dari operator-operator arus simetri Jµ,a _{dan juga}

Φl, terdapat

Dari pers. (3.19) terdapat kesimpulan sebagai berikut:

1. Karena asumsi awal tidak menghilangkan harga ekspektasi vakum v, maka harus ada keadaan _|n_i untuk _h0_|J0

1(2)(0)|ni dan hn|Φ1(2)(0)|0i yang keduanya

tidak menghilang (nol). Vakum sendiri tidak dapat memberikan kontribusi ke

pers. (3.19) sebab _h0_|Φ1(2)(0)|0i= 0.

2. Keadaan-keadaan denganEn >0 memberikan kontribusi (ϕnadalah fase dari

ke dalam sumasi. Namun, v tidak bergantung pada waktu dan oleh karena itu keadaan-keadaan dengan (En >0,~0) harus hilang.

3. Sisi kanan dari pers. (3.19) oleh karena itu harus berisi kontribusi dari

keadaan-keadaan dengan energi nol dan juga momentum nol, maka akibatnya timbul suku massa nol. Keadaan-keadaan dengan massa nol inilah yang merupakan

boson-boson Goldstone.

3.4

Kerusakan Simetri Spontan Dalam QCD

Dari bagian 3.2, suatu model mainan dengan suatu konstruksi telah menimbulkan

kerusakan simetri spontan, namun hal ini tidak sepenuhnya dipahami secara teori

mengapa QCD seharusnya memperlihatkan fenomena ini. Di sini, mula-mula akan

diperhatikan mengapa suatu input eksperimen, yaitu spektrum hadron dari dunia ”nyata” mengindikasikan bahwa tidak menghilangnya singletcondensatequark skalar

adalah kondisi yang cukup untuk kerusakan simetri spontan dalam QCD.

3.4.1

Spektrum Hadron

Lagrangian QCD memiliki simetri SU(3)_L×SU(3)_R×U(1)_V yang dalam batas chi-ralmassa-massa quark ringan menghilang (nol). Dari pemikiran simetri yang hanya

melibatkan HamiltonH0

QCD, diharapkan bahwa hadron-hadron menyusun dirinya ke

dalam multiplet-multiplet terdegenerasi yang dimensinya cocok dari representasi

ir-redusibel dari grup SU(3)_L×SU(3)_R×U(1)_V. Simetri U(1)_V menghasilkan kekekalan bilangan baryon4 _{dan menimbulkan pengelompokan hadron menjadi meson (B = 0)}

dan baryon (B = 1). Kombinasi linear Qa

V = QaR+QaL dan QaA = QaR−QaL dari

operator-operator muatanleft-dan right-handedkomutatif denganH0

QCD,

mempun-yai paritas yang berlawanan, dan oleh karena itu untuk beberapa keadaan dari

paritas positif diharapkan adanya keadaan terdegenerasi dari paritas negatif

(pari-tas ganda) yang dapat dilihat sebagai berikut. Misalkan_|i,+_imenunjukkan sebuah

4_{Lihat D.E Groom et al. [Particle Data Group Collaboration], Eur. Phys. J. C 15, (2000)}

keadaan eigen dari H0

QCD dengan harga eigen Ei,

H_QCD0 _|i,+_i=Ei|i,+i,

mempunyai paritas positif,

P_|i,+_i= +_|i,+_i,

seperti contohnya, anggota dari keadaan dasar baryon oktet (dalam batas chiral).

Dengan mendefinisikan _|φ_i=Qa

A|i,+i, karena [HQCD0 , QaA] = 0, maka diperoleh

H_QCD0 _|φ_i=H_QCD0 Qa_A|i,+_i=Qa_AH_QCD0 _|i,+_i=EiQaA|i,+i=Ei|φi,

yaitu, keadaan baru _|φ_i juga merupakan keadaan eigen dari H0

QCD dengan harga

eigen yang sama Ei tapi paritas berlawanan:

P_|φ_i=P Qa_AP−1_P

|i,+_i=₋Qa_A(+_|i,+_i) = _−|φ_i.

Keadaan _|φ_i dapat diekspansikan dalam suku-suku dari anggota multiplet dengan paritas negatif,

|φ_i=Qa_A|i,+_i=₋ta_ij|j,_−i.

Akan tetapi, spektrum energi rendah dari baryon tidak berisi baryon oktet terdegen-erasi dari paritas negatif. Secara alami timbul pertanyaan apakah rangkaian

argu-men di atas tidak lengkap. Sungguh, diam-diam telah diasumsikan bahwa keadaan

dasar QCD dimusnahkan oleh Qa A.

Misalkan a†_i secara simbolik menunjukkan sebuah operator yang mengkreasikan kuanta dengan bilangan kuantum dari keadaan _|i,+_i, sedangkan b†_j mengkreasikan kuanta terdegenerasi dari paritas yang berlawanan. Asumsi bahwa keadaan-keadaan

|i,+_idan _|j,_−i adalah anggota sebuah basis representasi irredusibel dari SU(3)_L× SU(3)_R. Diasumsikan bahwa terhadap SU(3)_{L ×}SU(3)_R operator-operator kreasi dihubungkan oleh

[Qa_A, a†_i] =₋ta_ijb†_j.

Jika Qa

A dikerjakan pada keadaan |i,+i maka didapat

Qa_A|i,+_i = Qa_Aa†_i|0_i=³[Qa_A, a†_i] +a†_i Qa_A

|{z}

֒_→0

´

Akan tetapi, jika kedaan dasar tidakdimusnahkan oleh Qa

A, alasan dari pers. (3.20)

tidak lagi dipergunakan.

Dua fakta empiris tentang spektrum hadron bahwa kerusakan simetri spontan

terjadi dalam batas chiral QCD. Pertama, SU(3) sebagai SU(3)_{L ×}SU(3)_R kira-kira disadari sebagai simetri dari hadron. Kedua, oktet dari meson pseudoskalar

adalah istimewa, dalam pengertian bahwa massa dari anggota-anggotanya lebih kecil

dibandingkan dengan meson vektor 1− _{yang terkait. Mereka adalah calon-calon}

untuk boson Goldstone dari kerusakan simetri spontan.

Untuk mengerti asal mula dari simetri SU(3), dipertimbangkan muatan-muatan

vektor Qa

V = QaR+QaL [lihat pers. (2.46)]. Mereka memenuhi hubungan komutasi

dari aljabar Lie SU(3) [lihat pers. (2.63) - (2.66)],

[Qa_R+Qa_L, Qb_R+Qb_L] = [Qa_R, Qb_R] + [Qa_L, Qb_L] =ifabcQcR+ifabcQcL =ifabcQcV. (3.21)

Dalam acuan [18] telah ditunjukkan bahwa, dalam bataschiral, keadaan dasar perlu

invarian terhadap SU(3)_{V ×} U(1)_V, yaitu, delapan muatan vektor Qa

V operator5

bilangan baryon QV/3 yang memusnahkan keadaan dasar,

Qa

V|0i=QV|0i= 0. (3.22)

Jika vakum invarian terhadap SU(3)_{V ×}U(1)_V, maka Hamiltonian juga [19] (tetapi tidak sebaliknya). Selain itu invarian dari keadaan dasar dan Hamiltonian

menya-takan secara tidak langsung bahwa keadaan fisik dari spektrum H0

QCD dapat

dis-usun menurut representasi irredusibel SU(3)_{V ×}U(1)_V. Indeks V (untuk vektor) mengindikasikan bahwa generator-generator berasal dari integral komponen ke nol

dari operator-operator arus vektor dan oleh karena itu mereka bertransformasi

de-ngan paritas negatif. Kombinasi linear Qa

A =QaR−QaL memenuhi hubungan

komu-tasi [lihat pers. (2.63) - (2.66)]

[Qa_A, Qb_A] = [Qa_R−Qa_L, Qb_R−Qb_L] = [Qa_R, Q_Rb ] + [Qa_L, Qb_L] = ifabcQcR+ifabcQcL =ifabcQcV,

[Qa_V, Qb_A] = [Qa_R+Qa_L, Qb_R−Qb_L] = [Qa_R, Qb_R]₋[Qa_L, Qb_L]

= ifabcQcR−ifabcQcL =ifabcQcA. (3.23)

Catatan bahwa operator-operator muatantidakmembentuk aljabar tertutup, artinya

komutator dari dua operator muatan aksial tidak lagi sebuah operator muatan

ak-sial. Karena paritas ganda tidak diamati pada keadaan rendah, maka diasumsikan

bahwa Qa

A tidak memusnahkan keadaan dasar,

Qa_A|0_{i 6}= 0, (3.24)

yaitu, keadaan dasar QCD tidak invarian terhadap transformasi “aksial”. Menurut

teorema Goldstone [20, 21, 22, 23, 24], untuk setiap generator aksialQa

A, yang tidak

memusnahkan keadaan dasar, terkait dengan sebuah medan boson Goldstone tak

bermassaφa_{(x) dengan spin 0, mempunyai sifat simetri yang sangat dekat generator}

yang dibicarakan. Boson-boson Goldstone mempunyai sifat transformasi yang sama

terhadap paritas,

φa_{(~x, t)7→ −}P _φa_{(−~x, t), (3.25)}

yaitu, mereka adalah pseudoskalar, dan bertransformasi terhadap subgrup H = SU(3)_V, yang membiarkan vakum invarian, sebagai suatu oktet [lihat pers. (3.23)]:

[Qa

V, φb(x)] =ifabcφc(x). (3.26)

Masalah saat ini, G= SU(3)_L×SU(3)_R dengan nG = 16 dan H = SU(3)V dengan

nH = 8, diharapkan adan =nG−nH delapan boson Goldstone.

3.4.2

Condensate

Quark skalar

_h

qq

¯

_i

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa tidak menghilangnya condensate quark skalar

dalam batas chiral adalah kondisi yang cukup untuk kerusakan simetri spontan

dalam QCD.6

Sa(y) = ¯q(y)λaq(y), a= 0,· · ·,8, (3.27)

Pa(y) = iq¯(y)γ5λaq(y), a = 0,· · ·,8. (3.28)

Relasi komutasiequal-timedari dua operator quark membentukAi(x) =q†(x) ˆAiq(x),

dimana ˆAi menunjukkan matriks Dirac- danflavor, yang dapat ditulis sebagai [lihat

pers. (2.62)]

[A1(~x, t), A2(~y, t)] = δ3(~x−~y)q†(x)[ ˆA1,Aˆ2]q(x). (3.29)

6_{Pada bagian ini semua kuantitas fisika seperti keadaan dasar, operator-operator quark dan}

Dengan definisi

Qa_V(t) =

Z

d3xq†(~x, t)λ

a

2 q(~x, t), dan menggunakan

[λa

2 , γ0λ0] = 0, [λa

2 , γ0λb] = γ0ifabcλc,

setelah mengintegrasi pers. (3.29) terhadap ~x, kerapatan quark skalar dari pers. (3.27) bertransformasi terhadap SU(3)_V sebagai sebuah singlet dan sebagai oktet,

[Qa_V(t), S0(y)] = 0, a= 1,· · ·,8, (3.30)

[Qa_V(t), Sb(y)] = i

8

X

c=1

fabcSc(y), a, b= 1,· · ·,8, (3.31)

hasil yang analog diperoleh untuk kerapatan quark pseudoskalar. Dengan

menggu-nakan

8

X

a,b=1

fabcfabd = 3δcd (3.32)

untuk konstanta struktur SU(3), komponen oktet dari kerapatan quark skalar dapat ditulis sebagai

Sa(y) = −

i

3

8

X

b,c=1

fabc[QbV(t), Sc(y)], (3.33)

Dalam batas chiral, keadaan dasar perlu invarian terhadap SU(3)_V [18], yaitu,

Qa

V|0i= 0, dan dari pers. (3.33) diperoleh

h0_|Sa(y)|0i=h0|Sa(0)|0i ≡ hSai= 0, a= 1,· · ·,8, (3.34)

diman telah digunakan invarian translasi dari keadaan dasar. Dengan kata lain,

komponen oktet daricondensate quark skalarharushilang dalam bataschiral. Dari

pers. (3.34), untuk a= 3

huu¯ _{i − h}dd¯ _i= 0,

yaitu, _huu¯ _i=_hdd¯ _i dan untuka = 8