PELABELAN PRIME CORDIAL UNTUK GRAF BUKU DAN GRAF MATAHARI YANG DIPERUMUM

(1)

JIMT

Vol. 14 No. 1 Juni 2017 (Hal 56 - 69)

56 ISSN : 2450 – 766X

PELABELAN

PRIME CORDIAL

UNTUK GRAF BUKU DAN GRAF MATAHARI

YANG DIPERUMUM

S.Pranata1_{, I. W. Sudarsana}2_{dan S.Musdalifah}3

1,2,3_{Program Studi Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Tadulako}

Jalan Soekarno-Hatta Km. 09 Tondo, Palu 94118, Indonesia.

1_{[email protected],}2_{[email protected],}3_{[email protected]}

ABSTRACT

A prime cordial labeling of a graph G with the vertex set V(G) is a bijection f: V(G) ⟶ {1,2,3, ⋯ , p}, where p is the number of vertex in the graph G and the induced f∗_{: E(G) → {0,1} is defined by}

f∗_{(e = uv) = {}1; if gcd (f(u), f(v)) = 1,

0; otherwise.

satisfies the condition |ef∗(0) − e_f∗(1)| ≤ 1, where e_f∗(i) is the number of edges having label i = 0 and 1. A graph

that contains prime cordial labeling is called prime cordial graph. The results of the study showed that book graph K1,n× Pm for m ∈ {3,4,5,6,7} and sun graph Cn⊙ K̅̅̅̅m for m ∈ {2,3,5} satisfy prime cordial labeling.

Keywords : Book Graph, Prime Cordial Labeling, Sun Graph

ABSTRAK

Pelabelan prime cordial dari suatu graf G dengan himpunan titik V(G) adalah bijeksi f: V(G) ⟶ {1,2,3, ⋯ , p}, dimana p adalah banyaknya titik di graf G dan fungsi induksi f∗_{: E(G) → {0,1} yang didefinisikan oleh}

f∗_{(e = uv) = {}1; jika gcd (f(u), f(v)) = 1,

0; lainnya.

dan memenuhi syarat |ef∗(0) − e_f∗(1)| ≤ 1, dimana e_f∗(i) adalah banyaknya sisi yang mempunyai labell i = 0 dan

1. Sebuah graf yang memuat pelabelan prime cordial disebut graf prime cordial. Hasil penelitian menunjukkan bahwa graf buku K1,n× Pm untuk m ∈ {3,4,5,6,7} dan graf matahari Cn⊙ K̅̅̅̅m untuk m ∈ {2,3,5} memenuhi

pelabelan prime cordial.

(2)

57 I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg yang sangat terkenal di Eropa. Banyak yang dapat dipelajari dari suatu graf, salah satu di antaranya adalah mengenai pelabelan graf.

Pelabelan graf adalah suatu pemberian nilai (dengan bilangan bulat positif) pada titik atau sisi dari graf atau keduanya sehingga memenuhi kondisi tertentu. Bilangan-bilangan tersebut disebut label. Jika yang diberi label hanya titik (vertex) saja, maka pelabelannya disebut pelabelan titik (vertex). Jika yang diberi label hanya sisi (edge) saja, maka pelabelannya disebut pelabelan sisi (edge). Sedangkan jika keduanya, titik dan sisi diberi label, maka pelabelannya disebut pelabelan total (Cahayani,dkk., 2013).

Pelabelan prime cordial merupakan suatu bentuk pelabelan pada titik yang label sisinya mengikuti (induced) label titiknya, yang didefinisikan sebagai f: V(G) ⟶ {1,2,3, ⋯ , p}, dimana p adalah banyaknya titik di graf G dengan sifat f∗_{(e = uv) = 1 jika gcd(f(u), f(v)) = 1}

dan f∗_{(e = uv) = 0 untuk yang lainnya, dan memenuhi |e}

f∗(0) − e_f∗(1)| ≤ 1.

Kajian graf terkait pelabelan prime cordial antara lain Sundaram, dkk (2005) yang mengkaji graf siklus Cn (untuk n ≥ 6), graf lintasan Pn (untuk n ≠ 3 atau 5), graf naga, graf

mahkota dan graf tangga, Babujee dan Shobana (2009) yang mengkaji graf matahari C_n⊙ K1, Vaidya dan Vihol (2010) yang mengkaji graf total lintasan T(Pn) (untuk n ≥ 5), graf total

siklus T(C_n) (untuk n ≥ 5), dan komposisi P₂(P_m) (untuk m ≥ 5), serta Rohman (2011) yang mengkaji graf buku K1,n× P2.

1.2 Rumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana formula pelabelan

prime cordial untuk graf buku dan graf matahari yang diperumum.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan formula pelabelan prime cordial pada graf buku dan graf matahari yang diperumum.

(3)

58 1.4 Batasan Masalah

Penelitian ini terbatas pada dua graf berikut :

1. Graf buku diperumum (K1,n× Pm) untuk m ∈ {3,4,5,6,7}, dimana :

1) untuk m = 3,4 maka n ≥ 3; 2) untuk m = 5, maka n ≥ 6; 3) untuk m = 6, maka n ≥ 10; 4) untuk m = 7, maka n ≥ 18;

2. Graf matahari diperumum (Cn⊙ K̅̅̅̅) untuk n ≥ 3 dan m ∈ {2,3,5}. m

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Sebagai referensi dan tambahan ilmu pengetahuan dalam mengembangkan penelitian-penelitian di bidang teori graf, khususnya tentang pelabelan prime cordial.

2. Untuk mengaplikasikan dan mengembangkan ilmu yang selama ini menjadi bidang minat yang dipelajari.

II. METODE PENELITIAN

Adapun prosedur yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Memulai penelitian

2. Melakukan studi literatur

3. Menotasikan titik dan sisi pada graf buku dan graf matahari yang diperumum 4. Melabeli titik dan sisi pada graf sesuai dengan syarat pelabelan prime cordial

5. Menganalisa pola untuk merumuskan pelabelan prime cordial

6. Membuat formula pelabelan prime cordial

7. Membuktikan formula pelabelan untuk setiap titik. Jika terbukti maka diperoleh hasil penelitian. Jika tidak terbukti maka kembali ke langkah 4 yaitu melabeli titik dan sisi pada graf sesuai dengan syarat pelabelan prime cordial

8. Memperoleh hasil 9. Kesimpulan 10. Selesai

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dibahas mengenai pelabelan prime cordial pada graf buku (K1,n×

P3, K1,n× P4, K1,n× P5, K1,n× P6 dan K1,n× P7) dan graf matahari (Cn⊙ K̅̅̅̅, C2 n⊙ K̅̅̅̅3 dan Cn⊙ K̅̅̅̅) 5

dengan n bilangan asli. Untuk menunjukkan pelabelan prime cordial pada graf buku dan graf matahari yang diperumum, maka langkah-langkah yang akan dilakukan yaitu menotasikan titik dan sisi pada graf, melabeli graf dan membuat formula dengan menganalisa pola pelabelan.

(4)

59 Definisi 1 :

Graf buku diperumum adalah graf yang diperoleh dari hasil perkalian graf bintang K1,n dan graf

lintasan Pm, atau dapat ditulis sebagai K1,n× Pm. Penotasian graf buku K1,n× Pm tersaji dalam

Gambar 1. v0,1 v0,2 v0,3 v2,1 v2,2 v2,3 v1,1 v1,2 v1,3 v4,1 v4,2 v4,3 v3,1 v3,2 v3,3 v6,1 v6,2 v6,3 v5,1 v5,2 v5,3 v8,1 v8,2 v8,3 v7,1 v7,2 v7,3 vn,1 vn,2 en,1 e8,1 e6,1 e4,1 e2,1 en,2 e8,2 e6,2 e4,2 e2,2 en,3 e8,3 e6,3 e4,3 e2,3 e7,1 e5,1 e3,1 e1,1 en-1,1 e7,2 e5,2 e3,2 e1,2 en-1,2 e7,3 e5,3 e3,3 e1,3 en-1,3 e02 e01 e11 e12 e31 e51 e71 en-11 en1 e81 e61 e41 e21 vn,3 e1m-2 e3m-2 _e 5m-2 e7m-2 en-1m-2 enm-2 e8m-2 e6m-2 e4m-2 e2m-2 e0m-2 e1,m-1 e3,m-1 e5,m-1 e7,m-1 en-1,m-1 en,4 e8,4 e6,4 e4,4 e2,4 v0,m v2,m v1,m v4,m v3,m v6,m v5,m v8,m v7,m vn,m en,m e8,m e6,m e4,m e2,m e7,m e5,m e3,m e1,m en-1,m e1m-1 e3m-1 _e 5m-1 e7m-1 e9m-1 enm-1 e8m-1 e6m-1 e4m-1 e2m-1 e0m-1 v0,m-1 vn-1,1 vn-1,2 vn-1,3 vn-1,m-1 vn-1,m vn,m-1 v1,m-1 v3,m-1 v5,m-1 v7,m-1 v2,m-1 v4,m-1 v6,m-1 v8,m-1 e32 _e 52 e72 en-12 en2 e82 e62 e42 e22

Gambar 1 : Penotasian titik dan sisi pada graf buku K1,n× Pm

Berdasarkan Gambar 1, maka graf buku K1,n× Pm dapat dinotasikan sebagai berikut :

Himpunan titik

V(K1,n× Pm) = {vi,j|i = 0,1, … , n; j = 1,2, … , m} ...(1)

Himpunan sisi

E(K1,n× Pm) = {eit= vi,tvi,t+1|i = 0,1, … , n|t = 1,2, … , m − 1}

∪ {ei,j= v0,jvi,j|i = 1,2, … , n; j = 1,2, … , m} ...(2)

Graf buku K1,n× Pm mempunyai m(n + 1) titik dan (2m − 1)n + (m − 1) sisi ...(3)

Selanjutnya pada penelitian ini akan dibahas graf buku K_1,n× Pm untuk m ∈ {3,4,5,6,7}.

Definisi 2 :

Graf matahari diperumum adalah graf yang dibentuk dari graf siklus Cn korona komplemen graf

lengkap K̅̅̅̅_m, atau dapat ditulis sebagai C_n⊙ K̅̅̅̅m . Derajat titik pada graf siklus Cn akan menjadi m +

2, sedangkan derajat titik lainnya adalah 1. Penotasian graf matahari Cn⊙ K̅̅̅̅m tersaji dalam Gambar

(5)

60 v4,m v4 v4,3 v4,m-1 v4,2 v4,1 e4,m e4,m-1 e4,3 e4,2 e4,1 v3,m v3 v3,3 v3,m-1 v3,2 v3,1 e3,1 e3,2 e3,3 e3,m-1 e3,m v1,m v1 v1,3 v1,m-1 v1,2 v1,1 e1,1 e1,2 e1,3 e1,m-1 e1,m e 1,m v2,m v2 v2,3 v2,m-1 v2,2 v2,1 e2,1 e2,2 e2,3 e2,m-1 e2,m vn,1 vn vn,3 vn,2 vn,m-1 vn,m en,m en,m-1 en,3 en,2 en,1 vn-1,1 vn-1 vn-1,3 vn-1,2 vn-1,m-1 vn-1,m en-1,m en-1,m-1 en-1,3 en-1,1 e4 en en-1 e1 e2 e3 en-1,2

Gambar 2 : Penotasian titik dan sisi pada graf matahari Cn⊙ K̅̅̅̅m

Berdasarkan Gambar 2, maka graf matahari C_n⊙ K̅̅̅̅m dapat dinotasikan sebagai berikut :

Himpunan titik

V(Cn⊙ K̅̅̅̅) = {vm i|i = 1,2, … , n} ∪ {vi,j|i = 1,2, … , n; j = 1,2, … , m} ...(4)

Himpunan sisi

E(Cn⊙ K̅̅̅̅) = {em i= vivi+1, en= v1vn|i = 1,2, … , n − 1} ∪ {ei,j= vivi,j

|i = 1,2, … , n; j = 1,2, … , m} ...(5) Graf matahari Cn⊙ K̅̅̅̅m mempunyai n(m + 1) titik dan sisi ...(6)

Selanjutnya pada penelitian ini akan dibahas graf matahari C_n⊙ K̅̅̅̅m untuk m ∈ {2,3,5}.

Teorema 1 :

Graf buku K1,n× Pm adalah prime cordial untuk m ∈ {3,4,5,6,7}, dimana :

1) untuk m = 3, 4 maka n ≥ 3; 2) untuk m = 5, maka n ≥ 6; 3) untuk m = 6, maka n ≥ 10; 4) untuk m = 7, maka n ≥ 18;

(6)

61 Bukti :

Kasus 𝐊𝟏,𝐧× 𝐏𝟑 :

Subkasus 1 : 𝐧 ganjil

Akan ditunjukkan bahwa graf buku K1,n× P3 untuk n ≥ 3 adalah prime cordial dalam bentuk fungsi

sebagai berikut : f1(vi,1) = { 2 i2 ; i = 0 ; i = 1,2 3i + 1 3i − 1 ; 3 ≤ i ≤ n (i ganjil) ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ...(7) f1(vi,2) = { 6 3i + 2 ; i = 0 ; i = 1,2 3i + 3 ; 3 ≤ i ≤ n − 2 (i ganjil) 3i + 1 3i + 2 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = n ...(8) f1(vi,3) = { 3 2i + 5 ; i = 0 ; i = 1,2 3i + 5 ; 3 ≤ i ≤ n − 2 (i ganjil) 3i + 3 3i + 3 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = n ...(9) Subkasus 2 : 𝐧 genap

sebagai berikut : f2(vi,1) = { 2 i2 ; i = 0 ; i = 1,2 3i + 1 3i − 1 ; 3 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ; 4 ≤ i ≤ n (i genap) ...(10) f2(vi,2) = { 6 3i + 2 ; i = 0 ; i = 1,2 3i + 3 3i + 1 ; 3 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ; 4 ≤ i ≤ n (i genap) ...(11) f2(vi,3) = { 3 2i + 5 ; i = 0 ; i = 1,2 3i + 5 3i + 3 ; 3 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ; 4 ≤ i ≤ n (i genap) ...(12) Kasus 𝐊_𝟏,𝐧× 𝐏𝟒 : Subkasus 1 : 𝐧 ganjil

sebagai berikut : f1(vi,1) = { 2 − i ; i = 0,1 i + 3 ; i = 2,3 4i + 1 4i − 2 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; 5 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(13) f1(vi,2) = { 4 − i ; i = 0,1 3i + 1 ; i = 2,3 4i + 3 4i ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; 5 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(14)

(7)

62 f1(vi,3) = { i + 8 ; i = 0,1 i + 9 ; i = 2,3 4i + 5 4i + 2 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; 5 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(15) f1(vi,4) = { 16 − i ; i = 0,1 i + 11 ; i = 2,3 4i + 7 4i + 4 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; 5 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(16) Subkasus 2 : 𝐧 genap

sebagai berikut : f2(vi,1) = { 2 − i ; i = 0,1 i + 3 ; i = 2,3 4i + 1 4i − 2 ; 4 ≤ i ≤ n (i genap) ; 5 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ...(17) f2(vi,2) = { 4 − i ; i = 0,1 3i + 1 ; i = 2,3 4i + 3 4i ; 4 ≤ i ≤ n (i genap) ; 5 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ...(18) f2(vi,3) = { i + 8 ; i = 0,1 i + 9 4i + 5 ; i = 2,3 ; 4 ≤ i ≤ n − 2 (i genap) 4i + 2 4i + 4 ; 5 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ; i = n ...(19) f2(vi,4) = { 16 − i ; i = 0,1 i + 11 4i + 7 ; i = 2,3 ; 4 ≤ i ≤ n − 2 (i genap) 4i + 4 4i + 2 ; 5 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ; i = n ...(20) Kasus 𝐊𝟏,𝐧× 𝐏𝟓 : Subkasus 1 : 𝐧 genap

sebagai berikut : f1(vi,1) = { i + 2 5i − 9 ; i = 0,1 ; i = 2,3 4i + 1 5(i − 1) 5i + 1 ; i = 4 ; i = 5,7 ; 6 ≤ i ≤ n (i genap) 5i − 3 ; 9 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ...(21) f1(vi,2) = { 5i + 4 5(i − 1) ; i = 0,1 ; i = 2,3 3i + 7 5i + 3 5i − 1 ; i = 4,5 ; 6 ≤ i ≤ n (i genap) ; 7 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ...(22) f1(vi,3) = { 7i + 8 5i − 3 ; i = 0,1 ; i = 2,3 i + 19 5(i + 1) 5i + 1 ; i = 4,5 ; 6 ≤ i ≤ n (i genap) ; 7 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ...(23)

(8)

63 f1(vi,4) = { 5i + 16 3i + 5 ; i = 0,1 ; i = 2,3 i + 21 5i + 7 5i + 3 ; i = 4,5 ; 6 ≤ i ≤ n − 2 (i genap) ; 7 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) 5i + 4 ; i = n ...(24) f1(vi,5) = { 32 − 5i ; i = 0,1 5i + 3 5i + 9 5(i + 1) ; i = 2,3,5 ; 4 ≤ i ≤ n − 2 (i genap) ; 7 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) 5i + 2 ; i = n ...(25) Subkasus 2 : 𝐧 ganjil

Akan ditunjukkan bahwa graf buku K_1,n× P5 untuk n ≥ 7 adalah prime cordial dalam bentuk fungsi

sebagai berikut : f2(vi,1) = { 2 − i i + 3 ; i = 0,1 ; i = 2,3 5i − 1 5(i − 1) 5i + 1 ; i = 4 ; i = 5,7 ; 6 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) 5i − 3 ; 9 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(26) f2(vi,2) = { 4 − i 3i + 1 ; i = 0,1 ; i = 2.3 5i + 3 5i − 3 5i − 1 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = 5 ; 7 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(27) f2(vi,3) = { i + 8 i + 9 ; i = 0,1 ; i = 2,3 5(i + 1) 5i − 1 5i + 1 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = 5 ; 7 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(28) f2(vi,4) = { 16 − i i + 11 ; i = 0,1 ; i = 2,3 5i + 7 5i + 1 5i + 3 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = 5 ; 7 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(29) f2(vi,5) = { 32 − 11i i + 15 ; i = 0,1 ; i = 2,3 5i + 9 5i + 3 5(i + 1) ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = 5 ; 7 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(30) Kasus 𝐊𝟏,𝐧× 𝐏𝟔 : Subkasus 1 : 𝐧 genap

(9)

64 f1(vi,1) = { 2 6i − 5 8i − 18 ; i = 0 ; i = 1,2 ; i = 3,5 6i + 1 6(i − 1) 6i − 4 ; 4 ≤ i ≤ n (i genap) ; 7 ≤ i ≤ 11 (i ganjil) ; 13 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ...(31) f1(vi,2) = { 4 6i − 1 7i − 11 ; i = 0 ; i = 1,2 ; 3 ≤ i ≤ 7 (i ganjil) 6i + 3 6i − 4 6i − 2 ; 4 ≤ i ≤ n (i genap) ; i = 9,11 ; 13 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ...(32) f1(vi,3) = { 8 10i − 7 7i − 9 ; i = 0 ; i = 1,2 ; 3 ≤ i ≤ 7 (i ganjil) 6i + 5 6i − 2 6i ; 4 ≤ i ≤ n (i genap) ; i = 9 ; 11 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ...(33) f1(vi,4) = { 16 8i + 1 7(i − 1) ; i = 0 ; i = 1,2 ; 3 ≤ i ≤ 7 (i ganjil) 6i + 7 6i 6i + 2 ; 4 ≤ i ≤ n − 2 (i genap) ; i = 9 ; 11 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) 6(i + 1) ; i = n ...(34) f1(vi,5) = { 32 4i + 11 6i ; i = 0 ; i = 1,2 ; i = 3,5 6i + 9 6i + 2 6i + 4 ; 4 ≤ i ≤ n − 2 (i genap) ; i = 7,9 ; 11 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) 6i + 4 ; i = n ...(35) f1(vi,6) = { 64 ; i = 0 43−i 2 ; i = 1,3 6i + 11 ; 2 ≤ i ≤ n − 2 (i genap) 6i + 4 ; 5 ≤ i ≤ 9 (i ganjil) 6(i + 1) ; 11 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) 6i + 2 ; i = n ...(36) Subkasus 2 : 𝐧 ganjil

(10)

65 f2(vi,1) = { 2 6i − 5 8i − 18 ; i = 0 ; i = 1,2 ; i = 3,5 6i + 1 6(i − 1) 6i − 4 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; 7 ≤ i ≤ 11 (i ganjil) ; 13 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(37) f2(vi,2) = { 4 6i − 1 7i − 11 ; i = 0 ; i = 1,2 ; 3 ≤ i ≤ 7 (i ganjil) 6i + 3 6i − 4 6i − 2 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = 9,11 ; 13 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(38) f2(vi,3) = { 8 10i − 7 7i − 9 ; i = 0 ; i = 1,2 ; 3 ≤ i ≤ 7 (i ganjil) 6i + 5 6i − 2 6i ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = 9 ; 11 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(39) f2(vi,4) = { 16 8i + 1 7(i − 1) ; i = 0 ; i = 1,2 ; 3 ≤ i ≤ 7 (i ganjil) 6i + 7 6i 6i + 2 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = 9 ; 11 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(40) f2(vi,5) = { 32 4i + 11 6i ; i = 0 ; i = 1,2 ; i = 3,5 6i + 9 6i + 2 6i + 4 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = 7,9 ; 11 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(41) f2(vi,6) = { 64 ; i = 0 43−i 2 ; i = 1,3 6i + 11 ; 2 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) 6i + 4 ; 5 ≤ i ≤ 9 (i ganjil) 6(i + 1) ; 11 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(42) Kasus 𝐊𝟏,𝐧× 𝐏𝟕 : Subkasus 1 : 𝐧 genap

sebagai berikut : f1(vi,1) = { 2 − i i + 3 29 − i ; i = 0,1 ; i = 2,3 ; i = 4,5 7i + 1 7i − 9 7(i − 1) ; 6 ≤ i ≤ n (i genap) ; i = 7,9 ; 11 ≤ i ≤ 19 (i ganjil) 7i − 5 ; 21 ≤ i ≤ n − 1(i ganjil) ...(43)

(11)

66 f1(vi,2) = { 4 4i − 1 8i − 14 7i + 1 ; i = 0 ; i = 1,2 ; 3 ≤ i ≤ 7 (i ganjil) ; i = 4 7i + 3 6i + 2 7i − 5 7i − 3 ; 6 ≤ i ≤ n (i genap) ; i = 9 ; 11 ≤ i ≤ 17 (i ganjil) ; 19 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ...(44) f1(vi,3) = { 8 2i + 7 8i − 12 7i + 3 ; i = 0 ; i = 1,2 ; 3 ≤ i ≤ 7 (i ganjil) ; i = 4 7i + 5 6i + 4 7i − 3 7i − 1 ; 6 ≤ i ≤ n (i genap) ; i = 9 ; 11 ≤ i ≤ 17 (i ganjil) ; 19 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ...(45) f1(vi,4) = { 16 17 − 2i 8i − 10 ; i = 0 ; i = 1,2 ; 3 ≤ i ≤ 7 (i ganjil) 7(i + 1) 6(i + 1) 7i − 1 ; 4 ≤ i ≤ n (i genap) ; i = 9 ; 11 ≤ i ≤ 17 (i ganjil) 7i + 1 ; 19 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ...(46) f1(vi,5) = { 32 25 − 4i 8i − 6 7i + 9 ; i = 0 ; i = 1,2 ; i = 3,5 ; 4 ≤ i ≤ n − 2 (i genap) 7i − 1 7i + 1 7i + 3 7i + 6 ; i = 7,9 ; 11 ≤ i ≤ 17 (i ganjil) ; 19 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ; i = n ...(47) f1(vi,6) = { 64 35 − 8i 8i − 4 7i + 11 ; i = 0 ; i = 1,2 ; i = 3,5 ; 4 ≤ i ≤ n − 2 (i genap) 7i + 1 7i + 3 7i + 5 7i + 4 ; i = 7 ; 9 ≤ i ≤ 17 (i ganjil) ; 19 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ; i = n ...(48) f1(vi,7) = { 128 43 − 10i 8i − 2 7i + 13 ; i = 0 ; i = 1,2 ; i = 3,5 ; 4 ≤ i ≤ n − 2 (i genap) 7i + 3 7i + 5 7(i + 1) 7i + 2 ; i = 7 ; 9 ≤ i ≤ 17 (i ganjil) ; 19 ≤ i ≤ n − 1 (i ganjil) ; i = n ...(49) Subkasus 2 : 𝐧 ganjil

(12)

67 f2(vi,1) = { 2 − i 9 − i 7i + 1 ; i = 0,1 ; i = 2,3 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) 8(i − 2) 8i − 18 7(i − 1) ; i = 5,7 ; i = 9,11 ; 13 ≤ i ≤ 19 (i ganjil) 7i − 5 ; 21 ≤ i ≤ n(i ganjil) ...(50) f2(vi,2) = { 4 6i − 1 8i − 14 ; i = 0 ; i = 1,2 ; 3 ≤ i ≤ 7 (i ganjil) 7i + 3 8(i − 2) 7i − 5 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = 9,11 ; 13 ≤ i ≤ 17 (i ganjil) 7i − 3 ; 19 ≤ i ≤ n(i ganjil) ...(51) f2(vi,3) = { 8 10i − 7 8i − 12 ; i = 0 ; i = 1,2 ; 3 ≤ i ≤ 7 (i ganjil) 7i + 5 8i − 14 7i − 3 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = 9,11 ; 13 ≤ i ≤ 17 (i ganjil) 7i − 1 ; 19 ≤ i ≤ n(i ganjil) ...(52) f2(vi,4) = { 16 8i + 1 8i − 10 ; i = 0 ; i = 1,2 ; 3 ≤ i ≤ 7 (i ganjil) 7(i + 1) 8i − 12 7i − 1 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = 9,11 ; 13 ≤ i ≤ 17 (i ganjil) 7i + 1 ; 19 ≤ i ≤ n(i ganjil) ...(53) f2(vi,5) = { 32 − 17i 21 − i ; i = 0,1 ; i = 2,3 7i + 9 7i − 1 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; 5 ≤ i ≤ 9 (i ganjil) 7i + 1 7i + 3 ; 11 ≤ i ≤ 17 (i ganjil) ; 19 ≤ i ≤ n (i ganjil) ...(54) f2(vi,6) = { 64 2i + 19 8i − 4 ; i = 0 ; i = 1,2 ; i = 3,5 7i + 11 8i − 6 7i + 3 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = 7,9 ; 11 ≤ i ≤ 17 (i ganjil) 7i + 5 ; 19 ≤ i ≤ n(i ganjil) ...(55) f2(vi,7) = { 128 29 − 2i 8i − 2 ; i = 0 ; i = 1,2 ; i = 3,5 7i + 13 8i − 4 7i + 5 ; 4 ≤ i ≤ n − 1 (i genap) ; i = 7,9 ; 11 ≤ i ≤ 17 (i ganjil) 7(i + 1) ; 19 ≤ i ≤ n(i ganjil)

...(56)

Teorema 2 :

(13)

68 Bukti :

Kasus 𝐂𝐧⊙ 𝐊̅̅̅̅𝟐 :

Akan ditunjukkan bahwa graf matahari Cn⊙ K̅̅̅̅2 untuk n ≥ 3 adalah prime cordial dalam bentuk

fungsi sebagai berikut :

f(vi) = {_{31 − 2}3i − 1 ;i genap;i ganjil ...(57) f(vi,j) = { 3i − 2 3i − 1 3i ; i ganjil, j = 1 ; i genap, j = 1 ; 1 ≤ i ≤ n, j = 2 ...(58) Kasus 𝐂𝐧⊙ 𝐊̅̅̅̅𝟑 :

Akan ditunjukkan bahwa graf matahari Cn⊙ K̅̅̅̅3 untuk n ≥ 3 adalah prime cordial dalam bentuk

f(vi) = 4i − 2 ; 1 ≤ i ≤ n ...(59) f(vi,j) = { 4i − 3 4i − 1 4i ; 1 ≤ i ≤ n, j = 1 ; 1 ≤ i ≤ n, j = 2 ; 1 ≤ i ≤ n, j = 3 ...(60) Kasus 𝐂𝐧⊙ 𝐊̅̅̅̅𝟓 :

Akan ditunjukkan bahwa graf matahari C_n⊙ K̅̅̅̅ untuk n ≥ 3 adalah 5 prime cordial dalam bentuk

f(vi) = 4i − 2 ; 1 ≤ i ≤ n ...(61) f(vi,j) = { 6i − 5 6i − 3 ; 1 ≤ i ≤ n, j = 1 ; 1 ≤ i ≤ n, j = 2 6i − 2 ; 1 ≤ i ≤ n, j = 3 6i − 1 6i ; 1 ≤ i ≤ n, j = 4 ; 1 ≤ i ≤ n, j = 5 ...(62) IV. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan : 1. Graf buku K1,n× P3 untuk setiap n ≥ 3 adalah pelabelan prime cordial.

2. Graf buku K1,n× P4 untuk setiap n ≥ 3 adalah pelabelan prime cordial.

3. Graf buku K_1,n× P5 untuk setiap n ≥ 6 adalah pelabelan prime cordial.

4. Graf buku K1,n× P6 untuk setiap n ≥ 10 adalah pelabelan prime cordial.

5. Graf buku K_1,n× P7 untuk setiap n ≥ 18 adalah pelabelan prime cordial.

6. Graf matahari Cn⊙ K̅̅̅̅2 untuk setiap n ≥ 3 adalah pelabelan prime cordial.

7. Graf matahari C_n⊙ K̅̅̅̅3 untuk setiap n ≥ 3 adalah pelabelan prime cordial.

(14)

69 DAFTAR PUSTAKA

[1] Babujee, J.B., dan Shobana, L, 2009, Prime Cordial Labelings, Int. Review on Pure and Appl. Math.

[2] Cahayani, K.P., Soelistyo, R.H., dan Zaki, S, 2013, Pelabelan Cordial dan Graceful

pada Arbitrary Supersubdivision Graf Path dan Star, Universitas Diponegoro,

Semarang.

[3] Gallian, J.A, 2013, A Dynamic Survey of Graph Labeling, University of Minnesota Duluth, USA.

[4] Rohman, A.S, 2011, Pelabelan Cordial pada Graf Tangga 𝑃𝑛× 𝑃2 dan Graf Buku

𝐾1,𝑛× 𝑃2, Universitas Jember, Jember.

[5] Sundaram, M., Ponraj, R., dan Somasundram, S, 2005, Prime Cordial Labeling of Graphs, J. Indian Acad. Math.

[6] Vaidya, S.K., dan Vihol, P.L, 2010, Prime Cordial Labeling for Some Graphs, Modern Applied Science.