STATISTIKA DASAR. Oleh

STATISTIKA DASAR

Oleh

• cara penyajian data

-

tabel

-

grafik

• menghitung harga-harga penting :

-

ukuran lokasi

-

ukuran sebaran/penyimpangan

•

apabila data mempunyai observasinya cukup banyak perlu

disusun secara sistematik

Susunan data secara sistematik disebut distribusi atau

deretan (runtun)

data disusun menurut :

hasilnya disebut :

a. besarnya

(kuantitasnya)

b. kategorinya

(kualitasnya)

c. waktu

(terjadinya)

d. letak geografisnya

a. distribusi

frek. kuanti.

b. distribusi

frek. kualit.

c. runtun waktu

(time series)

d. distribusi

spasial

Penyusunan

distribusi frekuensi kuantitatif

- data dibagi menjadi

kelompok

yang biasa disebut

kelas interval

- banyaknya kelompok dipilih

antara 5 dan 15

- syarat :

antara satu kelompok dengan kelompok yang lain

tidak saling

overlap

artinya :

HARGA-HARGA TENGAH

Suatu harga yang dapat menggambarkan distribusi

khusunya ukuran letak (lokasi)

a) rata-rata (= mean)

b) median

c) modus

d) geometrik mean

e) Harmonic mean

UKURAN LETAK

a) Median

b) Kuartil

c) Desil

d) Persentil

e) Kuantil

87 66 28 67 51 34 47 61 108 49 20 37 56 75 52 73 59 37 55 58 54 63 47 54 57 59 72 57 34 66 64 54 25 82 27 47 71 42 85 77 56 55 33 69 72 52 69 21 73 49 62 51 44 42 26 66 41 44 48 72 61 37 47 61 56 52 51 22 48 35 44 67

Distribusi Frekuensi Penghasilan 84 keluarga di ABC

Penghasilan (dalam ribuan rupiah)

Banyak keluarga 20,0 – 29,9 7 30,0 – 39,9 40,0 – 49,9 50,0 – 59,9 60,0 – 69,9 70,0 – 79,9 80,0 – 89,9 90,0 – 99,9 100,0 – 109,9 9 16 21 14 9 4 3 1 84

Distribusi Frekuensi Penghasilan 84 keluarga di ABC

Penghasilan (dalam ribuan rupiah)

Banyak keluarga 19,5 – 29,5 7 29,5 – 39,5 39,5 – 49,5 49,5 – 59,5 59,5 – 69,5 69,5 – 79,5 79,5 – 89,5 89,5 – 99,5 99,5 – 109,5 9 16 21 14 9 4 3 1

5

3

6

.

.

.

6

5

6

6

7

5

.

.

.

4

5

9

7

8

6

.

.

.

7

8

5

6

5

3

.

.

.

3

5

8

4

6

5

.

.

.

4

8

3

10

2

9

7

8

9

7

18

6

16

5

11

4

6

3

1

2

Banyaknya

Mahasiswa

Nilai

Ujian Statistik

S

K

G

K

G

Ks

D

B

B

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

171531

S

B

.

.

.

D

Ks

Ks

D

D

D

.

.

.

S

G

K

K

Distribusi Frekuensi Kualitatif

171531

354

Keseran

4057

Dwico

3456

Becak

161206

Sepeda

873

Gerobag

1585

Kereta

Banyak

Terjual

Jenis Plombir

Kendaraan

a) Mean :

Jumlah data dibagi banyak data

n 2 1

,

X

,...,

X

X

angka,

n

n

X

...

X

X

X

=

1

+

2

+

+

n

∑

=

=

n 1 i i

X

n

1

notasi untuk mean sampel

x

μ

atau

μ

Contoh :

Ada 5 macam beras harganya per kilogram

Rp. 340, Rp. 525, Rp. 450, Rp. 210, Rp. 275

=> Mean harga beras per kilogram

5

275

210

450

525

340

X

=

+

+

+

+

360

=

Suatu sifat mean yang baik :

Dapat digunakan untuk menghitung mean kelompok

gabungan, jika mean masing-masing kelompok

1 1

,

X

f

6 6

,

X

f

5 5

,

X

f

4 4

,

X

f

3 3

,

X

f

2 2

,

X

f

n

6 2 1 6 6 2 2 1 1

...f

f

f

X

f

...

X

f

X

f

X

+

+

+

+

+

=

n X f f X f 6 1 i i i 6 1 i i 6 1 i i i

∑

∑

∑

= = = ₌ = => n

Seharusnya mudah dimengerti, sebab

1

kelompok

dalam

data

jumlah

X

,

f

_{1 1}

=

2

kelompok

dalam

data

jumlah

X

,

f

_{2 2}

=

. . .

dst

6 6 2 2 1 1

,

X

f

,

X

...

f

,

X

f

+

+

+

⇒

4638,0

84

JUMLAH

104,5

104,5

1

99,5 – 109,5

283,5

94,5

3

89,5 – 99,5

338,0

84,5

4

79,5 – 89,5

670,5

74,5

9

69,5 – 79,5

903,5

64,5

14

59,5 – 69,5

1144,5

54,5

21

49,5 – 59,5

712,5

44,5

16

39,5 – 49,5

310,5

34,5

9

29,5 – 39,5

171,5

24,5

7

19,5 – 29,5

f

_i

x

_i2

f

_i

x

_i

x

_i

f

_i

Penghasilan

f

_i

= frekuensi interval ke-i

x

_i

= titik tengah interval ke-i

84

0

,

4638

f

x

f

X

₉ 1 i i 9 1 i i i

=

=

∑

∑

= =

21

,

55

=

kalau dihitung dari data asli (= raw data = data kasar)

ribu rupiah

84

51

42

...

72

52

67

X

=

+

+

+

+

+

21

,

55

=

ribu rupiah

b) Median :

angka yang letaknya ditengah setelah data diurutkan

contoh :

- banyaknya data ganjil :

270, 210, 450, 340, 525

210, 270, 340, 450, 525 urutkan

median

- banyaknya data genap :

210, 275, 340, 450, 485, 525 median 395 2 450 340 = + =

Median untuk distribusi frekuensi dapat dicari dengan 2 cara

-

menggunakan gambar (histogram)

-

cara interpolasi

a = jarak antara 49,5 ke median 76 , 4 21 100 median int. frekuensi diarsir daerah luas = = = => median = 49,5 + 4,76 = 54,26

-

menggunakan cara interpolasi :

rumus

:

.c f F 2 n L Median md md − + =

-

L_md = batas bawah interval median

-

n = banyaknya data

- F = nomor urut data tertinggi sebelum interval median

(= jumlah frekuensi interval – interval sebelum interval median

- f_md = frekuensi interval median - c = lebar interval median

interval median adalah interval yang memuat median

untuk contoh 1, hal 8, modul 2 interval median adalah

49,5 – 59,5 => L_md = 49,5 => n = 84 => F = 7+9+16 = 32 => f_md = 21 => c = 10 .10 21 2 3 2 84 5 , 9 4 Median = + − =>

c) Modus :

anggota data yang paling sering muncul (mempunyai

frekuensi tertinggi

- data boleh kualitatif

contoh

* 4, 8, 5, 6, 8, 7, 6, 7, 9, 7, 6, 7,5

=> modus = 7

* 63, 65, 65, 65, 70, 72, 74, 79, 79, 79, 82, 82, 85

Untuk distribusi frekuensi

.c b L Modus _mo + + = a a

-

L_mo = batas bawah interval modus

-

a = beda antara interval modus dengan interval sebelumnya

-

b = beda antara interval modus dengan interval sesudahnya

-

c = lebar interval modul

interval modus adalah 49,5 – 59,5 => L_mo = 49,5 a = 21 – 16 = 5 b = 21 – 14 = 7 c = 10 .10 7 5 2 3 5 5 , 9 4 Modus + − + = => 67 , 52 12 50 5 , 9 4 + = = Catatan :

UKURAN LOKASI

Setelah data diurutkan

a) Median :

membagi data menjadi dua bagian yang sama

b) Kuartil :

membagi data menjadi empat bagian yang sama

c) Desil :

membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama

d) Persentil :

=> Suatu data akan mempunyai

•

1 Median

•

3 Kuartil

•

9 Desil

•

99 Persentil

•

(n-1) Kuantil/N-til

Menghitung Kuartil, Desil, Persentil atau Kuantil suatu distribusi

frekuensi sesuai dengan cara menghitung median

.c f F N i.n L Kuantil ki ki

i

ke-− + =

rumus :

- i = 1, 2, …, (N-1) - N = banyaknya kelompok

jika akan dihitung kuartil

(Q

₁

, Q

₂

, Q

₃

)

dicari dulu interval yang memuat masing-masing Kuartil

untuk

Q

₁ adalah interval yang memuat observasi bernomor 21

4 84 4 1.n = =

untuk

Q

₃ adalah interval yang memuat observasi bernomor 63

4 84 . 3 4 3.n = =

=> Interval yang memuat

Q

₁ adalah : 39,5 – 49,5 sehingga

10

.

16

16

21

5

,

39

Q

₁

=

+

−

HARGA-HARGA DEVIASI

Adalah ukuran yang menunjukkan sebaran/penyimpangan tiap observasi data terhadap suatu harga tengah

a) Rentang/Range b) Deviasi rata-rata

c) Variansi dan Deviasi Standar d) Deviasi kuartil

a) Rentang/Range

beda antara maksimum data dengan minimum data

R = max. – min.

Contoh : * 60, 60, 61, 63, 65, 65, 66, 67, 68, 90 => R = 90 – 60 = 30 * 60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 85, 88, 90 => R = 90 – 60 = 30

b) Deviasi rata-rata :

adalah harga rata-rata sebaran tiap observasi data terhadap meannya

n 2 1

,

x

,...,

x

x

;

data

n

∑

=

=

n 1 i i

X

n

1

X

:

mean

∑

=

−

=

n 1 i i

X

X

n

1

d.r.

Contoh 340, 525, 450, 210, 275 1

510

0

165

165

525

90

90

450

20

-20

340

85

-85

275

150

-150

210

i

X

(X

i

−

X

)

X

_i

−

X

102

5

510

d.r

=

=

=>

1175,62 84 JUMLAh 49,29 49,29 104,5 1 99,5 – 109,5 117,87 39,29 94,5 3 89,5 – 99,5 117,16 29,29 84,5 4 79,5 – 89,5 173,61 19,29 74,5 9 69,5 – 79,5 130,06 9,29 64,5 14 59,5 – 69,5 14,91 0,71 54,5 21 49,5 – 59,5 171,36 10,71 44,5 16 39,5 – 49,5 186,39 20,71 34,5 9 29,5 – 39,5 214,97 30,71 24,5 7 19,5 – 29,5 f_i |X_i –X| |X_i –X| X_i f_i Penghasilan

f_i = frekuensi interval ke-i X_i = titik tengah interval ke-i

X f

9

∑

c) Variansi dan standar Deviasi

n angka, X₁, X₂, … , X_n

(

) (

)

(

)

1 n X X ... X X X X S 2 n 2 2 2 1 2 − − + + − + − =

notasi untuk variansi sampel

(

)

1

n

X

X

n 1 i 2 i

−

−

=

∑

=

(

)

N

μ

X

σ

atau

σ

n 1 i 2 x i 2 x 2

∑

₌

−

=

Standar deviasi = akar positif variansi

Notasi :

s

dan

σ

untuk sampel

untuk populasi

Contoh :

210, 340, 525, 450, 275 ) 275 210 450 525 340 ( 1 X = + + + +

65450

0

37225

165

525

8100

90

450

400

-20

340

7225

-85

275

22500

-150

210

i

X

(X

i

−

X

)

(X

_i

−

X

)

2

5

,

16362

4

65450

s

:

Variansi

2

=

=

=>

916

,

127

5

,

16362

s

:

standar

deviasi

=

=

untuk distribusi frekuensi

(

)

∑

=

−

=

k 1 i 2 i i 2

_f

_X

_X

n

1

s

∑

∑

= =

₌

=

k 1 i i k 1 i i i

f

n

,

n

X

f

X

1)

-(n

n

X

f

X

f

n

s

2 k 1 i i i k 1 i 2 i i 2









−

=

∑

=

∑

=

84

x

83

(4638,0)

-283441,00

x

84

s

2 2

₌

=>

6041

,

329

=

155

,

18

6041

,

329

s

=

=

=>

d) Deviasi kuartil :

2

Q

Q

d.k.

=

3

−

1 d.k. = deviasi kuartil

0075

,

12

2

42,625

66,64

d.k.

=

−

=

Q₁ = kuartil 1 Q₃ = kuartil 3 Contoh :