BAB II LANDASAN TEORI

(1)

BAB II : LANDASAN TEORI 5

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas beberapa teori aljabar linier yang mendukung dalam penurunan Teori Perron-Frobenius pada Bab III. Teori-teori yang akan dibahas berupa subruang invarian, proyektor, indeks matriks, dekomposisi core-nilpotent, serta norm dari vektor dan matriks. Teori tersebut merupakan teori yang mendukung mengenai properti dari nilai karakteristik, matriks Jordan, dan Cesaro Summable. Ketiga teori ini sangat erat kaitannya untuk mempelajari dan menurunkan Teori Perron-Frobenius. Untuk selanjutnya, notasi yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini merupakan notasi yang biasa digunakan dalam aljabar.

2.1 Subruang Invarian

Subruang invarian ini akan digunakan untuk menjabarkan dekomposisi

core-nilpotent pada Subbab 2.4. Namun, sebelum kita memasuki pada pembahasan

mengenai subruang invarian, kita akan mendefinisikan dulu mengenai matriks perubahan basis secara singkat. Misalkan adalah operator linier pada V . Misalkan pula dan adalah dua basis bagi V , maka matriks perubahan

basis dari ke diberikan oleh

A B B' B B'

[ ]

1

[ ]

' − = B A P A B P , dimana P=

[ ]

I BB'

(2)

BAB II : LANDASAN TEORI

Jika S adalah basis baku untuk n, maka kolom ke- pada j

[

A adalah

]

_S

[ ]

( ) _∗ _∗

⎡ ⎤ =⎡ ⎤ = ⇒ =

⎣A ej ⎦_S ⎣A j⎦_S A j A _S A.

Dengan kata lain, koordinat matriks terhadap adalah sendiri. Jadi, kita peroleh bahwa A S A

[ ]

= −1

[ ]

= −1 B S A P A P P AP , (2.1) dimana P=

[ ]

I _BS =

(

[ ] [ ]

x₁ _S | x₂ _S |…| x

[ ]

n _S

)

=

(

x | x |₁ ₂ …| xn

)

.

Selanjutnya, untuk suatu operator linier T pada ruang vektor V dan χ⊆ V ,

( )

χ =

{

( )

x | x χ

}

T T ∈ adalah himpunan semua hasil peta yang mungkin dari vektor di χ dibawah transformasi T . Perhatikan bahwa T

( )

V =R

( )

T . Jika χ

adalah subruang dari V , akibatnya T

( )

χ adalah subruang dari V dan biasanya

( )

χ

T tidak berhubungan dengan χ. Namun, dalam kasus-kasus tertentu

( )

χ

T bisa merupakan subruang dari χ.

Definisi 2.1 Untuk suatu operator linier T pada V , subruang χ ⊆V disebut

subruang invarian dibawah T jika T

( )

χ ⊆χ.

Subruang invarian untuk operator linier sangat penting karena subruang tersebut menghasilkan koordinat matriks representasi dari yang sederhana. Untuk membuktikan hal ini, kita misalkan bahwa

T

χ dan γ adalah subruang invarian dibawah T. Misalkan pula B_χ =

{

x , x ,₁ ₂ …, x_r

}

dan

{

y , y ,1 2 , y

}

γ = … q

B masing-masing merupakan basis bagi χ dan γ yang merupakan himpunan bagian dari B=

{

x , x ,₁ ₂ …, x , y , y ,r ₁ ₂ …, yq

}

, yaitu basis bagi V . Koordinat matriks terhadap basis B adalah

(3)

[ ]

T B = ⎡

(

⎣T

( )

x1 ⎤⎦B … ⎡⎣T

( )

xr ⎤⎦B ⎣⎡T

( )

y1 ⎦⎤B … ⎣⎡T

( )

yq ⎦⎤B

)

.

Karena setiap T

(

x_j

)

berada pada χ, maka hanya buah vektor pertama pada yang dapat merepresentasikan

r

B T

( )

x_j , sehingga untuk setiap j=1, 2,....,r

( )

1 x x r j ij i i T α = =

∑

dan

( )

1 x 0 0 j rj j B T α α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎡ _{⎤ = ⎜} _⎟ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ .

Karena setiap T

( )

yj berada pada γ, maka hanya q buah vektor akhir pada yang dapat merepresentasikan

B

( )

yj

T , sehingga untuk setiap j=1, 2,....,q

( )

1 y β y = =

∑

q j ij i i T dan

( )

1 0 0 y β β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎡ _{⎤ = ⎜} _⎟ ⎣ ⎦ _⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ j B j qj T .

Jadi, kita peroleh

[ ]

11 1 1 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 α α α α β β β β × × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎟ ⎛} ⎞ =⎜ ⎟ ⎜= ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … … … … … … … … r r rr r r B q q q qq P 0 T 0 Q _q , dimana / χ χ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦B P T dan / γ γ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦B Q T .

Secara umum, pernyataan mengenai subruang invarian dan matriks representasi tersebut diberikan oleh Teorema 2.2 berikut ini.

(4)

Teorema 2.2 Misalkan adalah operator linier pada ruang vektor V

berdimensi . Misalkan pula

T

n χ γ, ,...,Z adalah subruang V dengan dimensinya masing-masing adalah dan basisnya adalah

. Selanjutnya, misalkan 1, ,....,2 k r r r , ,...., χ γ B B B_Z

∑

_i = ir n dan B=Bχ ∪Bγ ∪ ∪ B.... Z

adalah basis bagi V . Subruang χ γ, ,...,Z invarian dibawah T jika dan hanya

jika

[ ]

T mempunyai bentuk matriks diagonal blok _B

[ ]

1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 × × × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ == ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … … … k k r r r r B r r P Q T R dimana _/ χ χ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦B P T , _/ γ γ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦B Q T , dan =

[ ]

_/ B R T g Z .

Akibat 2.3 Misalkan T adalah matriks n n× , maka

1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 × × − × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … … … k k r r r r r r P Q D TD R ⎟ ⎟ (2.2)

untuk D suatu matriks nonsingular jika dan hanya jika

(

1 2

= … _k

D D D D

)

dengan setiap kolom pada adalah span dari subruang invarian dibawah T .

i

D

Bukti. Berdasarkan persamaan (2.1), jika B=

{

q q₁, ₂,…,q_n

}

adalah basis bagi dan jika

n

(

1 2

= q q … qn

Q

)

adalah matriks yang memuat vektor di pada setiap kolomnya, maka

B

[ ]

= −1 B

T D TD . Bentuk persamaan (2.2) adalah

(5)

2.2 Proyektor

Pada subbab ini akan diuraikan beberapa sifat yang dimiliki oleh proyektor yang diberikan oleh Teorema 2.4 berikut.

Teorema 2.4 Misalkan χ dan γ adalah ruang bagian komplementer dari V

sehingga untuk setiap v V∈ secara tunggal bisa dituliskan sebagai v= +x y

dimana x∈ dan yχ ∈ . Operator linier tunggal didefinisikan sebagai γ , yaitu proyektor pada

P

x =

v

P χ sepanjang γ, dan mempunyai sifat sebagai berikut.

P

(a). I P− adalah proyektor pada γsepanjangχ. (b). R

( )

P =N

(

I−P

)

=χ dan R

(

I P−

)

=N

( )

P =γ . (c). Jika V = n atau n, maka P diberikan oleh

[

]

[

]

1 | ⎛ ⎞ | − = _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ I 0 P X Y X Y 0 0 ,

dimana setiap kolom dari dan , masing-masing menyatakan basis dari

X Y

χ dan γ. Formula lain untuk P dapat dilihat pada Teorema 2.9.

Bukti. Untuk (a), kita peroleh bahwa v= + =x y Pv+y

)v

. Akibatnya . Jadi,

y= −v Pv= −(I P I P adalah proyektor pada − γsepanjangχ. Untuk

(b) merupakan akibat dari definisi proyektor itu sendiri. Formula pada (c) diperoleh dengan memisalkan B_χ dan B_γ sebagai basis bagi χ dan γ , maka

{

x , x ,...., x , y , y ,...., y1 2 r 1 2

}

B=B_χ∪B_γ = _{n r}₋ adalah basis bagi V . Matriks P relatif terhadap basis B adalah

(6)

[ ] [

]

[

]

[

]

1 1 1 1 [ x ] | | [ x ] | [ y ] | | [ y ] [x ] | | [x ] | [0] | | [0] e | | e | 0 | | 0 − = = = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … … … … … … B r B B n r B B r B B B r r P P P P P I 0 0 0 B

Jika adalah basis baku, maka S

[ ]

P _B =Q−1

[ ]

P

SQ , dimana

[ ]

[

[x ] |1 | [x ] | [y ] |1 | [y − ]

] [

|

]

= _BS = _S … _{r S} _S … _{n r S} = Q I X Y . Akibatnya,

[ ]

=

[ ]

−1=

[

|

]

⎛_⎜ ⎞_⎟

[

|

]

−1 ⎝ ⎠ r S B I 0 P Q P Q X Y X Y 0 0 . 2.3 Indeks Matriks

Pada subbab ini akan diuraikan beberapa teorema yang berhubungan dengan indeks dari suatu matriks yang menunjang dalam pembahasan mengenai matriks Jordan.

Definisi 2.5 Bilangan bulat nonnegatif terkecil k yang memenuhi

( )

k ⊕

( )

k =

R A N A n disebut indeks dari A.

Akibat 2.6 Indeks dari matriks adalah bilangan bulat bulat nonnegatif

terkecil , maka pernyataan berikut ini benar.

A

k

(a). R

( ) ( )

Ak =R Ak+1 (b). N

( )

Ak =N

( )

Ak+1

Indeks matriks ini erat kaitannya mengenai matriks nilpoten. Suatu matriks disebut nilpoten jika

× n n

N Nk =0 untuk suatu bilangan bulat positif. k

( )

(7)

biasa disebut dengan indeks nilpotensi. Sebagai contoh, matriks

jika dipangkatkan maka akan diperoleh dan .

Jadi, Matriks N adalah matriks nilpoten dengan

0 1 0 0 0 1 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ N 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ N 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ N

( )

indeks N =3 karena N3 =0, tetapi 2 . 0 ≠ N 2.4 Dekomposisi Core-Nilpotent

Dengan teori dasar mengenai subruang invarian yang telah dibahas pada Subbab 2.1, berikut ini adalah teorema yang menjelaskan mengenai salah satu subruang yang invarian terhadap . Teorema ini akan digunakan untuk pembuktian teorema selanjutnya mengenai dekomposisi core-nilpotent yang diberikan pada Teorema 2.8.

A

Teorema 2.7 Misalkan k =indeks

( )

A , maka R

( )

Ak dan adalah

subruang invarian terhadap .

(

k

N A

)

A

Bukti.

(

k

)

invarian terhadapA karena A

(

R

( )

Ak

)

=R

( ) (

Ak+1 =R A

R A k

)

dan invarian terhadap karena

(

k N A A

( )

(

)

( ) ( )

( )

(

)

( )

1 1 1 x x untuk suatu x 0 x . + + + ∈ ⇒ = ∈ = ⇒ = = ⇒ ∈ ⇒ ⊆ k k k k k k k N w w N w N N N A A A A A A A A A A A k N

Teorema 2.8 Jika A_{n n}_× adalah matriks singular dengan indeks dimana k

( )

(8)

BAB II : LANDASAN TEORI 1 × − _{= ⎢}⎡ ⎤ ⎥ ⎣ ⎦ r r C 0 Q AQ 0 N

dimana adalah matriks nonsingular dan adalah matriks nilpoten dengan indeks k . Dengan kata lain, serupa dengan matriks blok diagonal

yang memuat matriks nonsingular core dan matriks nilpoten. Matriks blok diagonal tersebut dinamakan dekomposisi core-nilpotent dari .

× r r C N A 2 2× A

Bukti. Misal Q=

(

X Y dimana kolom dari |

)

X_{n r}_× dan Y_{n n r}_{× −} merupakan basis dari R

( )

Ak dan N

(

Ak

)

. Karena R

( )

Ak dan N

( )

Ak merupakan subruang invarian terhadap berdasarkan Teorema 2.7, maka dari Akibat 2.3, kita peroleh bentuk A

[ ]

1 × − ₌ _{= ⎢}⎡ ⎤ ⎥ ⎣ ⎦ r r B C 0 Q AQ A 0 N dengan dan . / ( ) ⎡ = ⎣ _R k X A C A ⎤_⎦ / ( ) ⎡ ⎤ = ⎣ _N k ⎦ Y A N A

Untuk menunjukkan bahwa N nilpoten, misalkan −1 = ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ U Q V , dan tulis

(

)

1 | − ⎡ ⎤ _{⎛ ⎞} ⎡ = = = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ k k k k k k C 0 U UA X 0 Q A Q A X Y V 0 N VA X 0 ⎤ ⎥ ⎦. Akibatnya, Nk =0 dan −1 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ k k C 0 Q A Q

0 0 . Karena berukuran dan

k

C r r×

( )

(

1

)

( )

rank rank − rank

= k = k =

r A Q A Q k

C . Hal ini menunjukkan bahwa nonsingular akibatnya C juga nonsingular.

k

C

Teorema 2.9 Misal A_{n n}_× mempunyai indeks dengan k rank

( )

Ak =r.

Misalkan pula −1 = ⎢⎡ × ⎤_⎥ ⎣ ⎦ r r C 0 Q AQ 0 N dengan Q=

(

Xn r× |Y dan

)

1 − _{= ⎜}⎛ × ⎞ ⎟ ⎝ ⎠ n r U Q V

(9)

(a). ⎡_⎢ ⎤_⎥ −1= adalah proyektor pada

⎣ ⎦ r I 0 Q Q 0 0 XU

( )

k R A sepanjang .

( )

k N A

(b). −1 adalah proyektor pada sepanjang

− ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ n r⎦ 0 0 Q Q 0 I YV

(

)

k N A

( )

k R A . Bukti. Karena

( )

k R A dan

( )

k

N A adalah subruang komplememter dan karena kolom X dan Y masing-masing merupakan basis untuk subruang

( )

k

R A dan , maka berdasarkan Teorema 2.4(c) diperoleh

merupakan proyektor pada

(

k N A

)

=

[

]

[

]

1 ₁ | ⎛ ⎞ | − − ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟ = _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r I 0 I 0 P X Y X Y Q Q XU 0 0 0 0

( )

k R A sepanjang N

( )

Ak . Selanjutnya, merupakan proyektor pada sepanjang

[

]

[

]

1 ₁ | | − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = _⎜ _⎟ = _⎜ _⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ n r⎠ 0 0 0 0 I P X Y X Y Q Q YV 0 I 0 I

(

k N A

)

R

( )

Ak .

2.5 Norm dari Vektor dan Matriks

Ukuran panjang dari suatu vektor disebut dengan norm. Untuk dimensi n, kita definsikan norm-p dari suatu vektor pada Definisi 2.10 berikut ini.

Definisi 2.10 Untuk p≥1, norm-p dari vektor x∈ n didefinisikan dengan

(

)

1/ 1 x =

∑

₌ p n p i p i x

(10)

Pada teorema berikut ini, kita akan melihat pembutikan dari Pertidaksamaan Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz (CBS) untuk kondisi dimana hanya persamaan yang muncul dalam CBS tersebut (Teorema 2.11). Hal ini dibutuhkan karena mendukung Teorema 2.12 yang akan bermanfaat dalam pembuktian salah satu teorema di Bab III. CBS ini melibatkan hasil kali dalam dan norm.

Teorema 2.11 Misalkan x, y∈Cn, x≠ , 0 x,y = x y jika dan hanya jika

dimana

y= xa x, y

x, x

a= .

Bukti. Jika y= xa maka x,y = a x 2 = x y . Sebaliknya, jika

x,y = x y maka 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x,y 0, karena x,y y,x x,y maka

x y x,y y,x x,y

0 y,y y,x ,dengan

x,x x y, x y x, x y x y, x y x y − = = − = = − = − − + − = − − = − a a a a a a a a = maka ax− =y 0 ⇒ y=ax

Teorema 2.12 Misalkan x, y∈Cn, vektor tak nol, x+y = x + y jika dan

hanya jika y= xa atau x=ay, untuk suatu a>0.

Bukti.

(

⇒

)

Misalkan x, y∈Cn,

(

) (

)

(

)

2 2 x y x y x y x y x x,y y,x y x 2 x y y x 2 Re x,y y x 2 x y y + = + + = + + + + = + + + + = + +

(11)

maka, Re

(

x,y

)

= x y . Kita tahu bahwa Re

(

x,y

)

≤ x,y , maka

(

)

x y =Re x,y ≤ x,y ≤ x y , maka x,y = x y . Dari Teorema 2.14 kita peroleh jika x,y = x y , maka y=ax, dimana x, y

x, x

a= . Selanjutnya, cukup dibuktikan bahwa bilangan real positif. Dengan mensubtitusikan kedalam persamaan

a y= xa x+y = x + y , maka

(

)

(

)(

)

( )

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 Re 1 2 Re a a a a a a a a a aa a aa a a + = + + = + + + = + + + + = + + =

Jadi, adalah bilangan real dan a a=Re

( )

a = a ≥ . Karena 0 y= xa dan y≠0 maka a≠0 akibatnya a>0.

( )

⇐ Misal y= xa , maka x y x x (1 )x (1 ) x , karena 0 maka 1 x x x x x y a a a a a a + = + = + = + > = + = + = +

Secara umum, misalkan x , x ,...., x₁ ₂ _p∈Cn, vektor tak nol,

1 1 x x = = =

∑

p i

∑

p i i i jika

dan hanya jika untuk suatu i∈

{

1, 2,....,s x

}

_j =π_jx_i dengan i≠ j dan π_j >0

(12)

Definsi 2.13 Unit p-sphere didefinisikan sebagai Sp =

{

x / x _p =1

}

, untuk

.

1, 2,

p= ∞

Sebagai contoh, unit 1-, 2-, dan ∞-sphere di ℜ3 adalah oktahedron, bola, dan kubus secara berturut-turut. Kita bisa perhatikan bahwa oktahedron akan termuat didalam bola dan kedua-duanya akan termuat didalam kubus.

Setelah kita mengenal norm vektor, selanjutnya kita akan membahas mengenai norm matriks. Norm matriks ini digunakan untuk membantu dalam pembuktian

beberapa teorema di Bab III. Misalkan 2 1

4 2 − ⎡ ⎤ = ⎢ ₋ ⎥ ⎣ ⎦ A . Dengan menguraikan

elemen dari menjadi empat elemen dari suatu vektor, norm Euclidean pada

, maka kita bisa menuliskan

A 4

( )

₂

( )

₂ 1/ 2 2 2 2 1 4 2 ⎡ ⎤ ₅ = −_⎣ + + + − _⎦ = A .

Ini merupakan salah satu cara sederhana untuk mendefinisikan norm matriks

dan hal ini biasa disebut dengan norm Frobenius. Norm Frobenius dari matriks

ini didefinisikan oleh × ∈ m n A 2 , =

∑

_ij i j

A a . Secara umum, norm matriks

merupakan suatu fungsi yang memenuhi sifat-sifat seperti yang ada pada definisi berikut ini.

Definsi 2.14 Norm matriks adalah suatu fungsi ∗ dari himpunan matriks

kompleks ke bilangan real yang memenuhi sifat-sifat berikut ini. (a). A ≥0 dan A = ⇔0 A=0

(b). αA =α A untuk setiap konstanta α

(c). A B+ ≤ A + B

(13)

Norm Frobenius memenuhi Definisi 2.14 diatas. Selain itu, kita bisa

mendefinisikan norm matriks selain norm Frobenius dengan cara norm matriks

tersebut dibangkitkan (induced) dari vektor seperti pada teorema berikut ini.

Teorema 2.15 Vektor x∈ p, p=m n membangkitkan norm matriks pada ,

dengan mendefinisikan × m n x 1 max x = = A A , untuk A∈ m n× dan x∈ n×1. Hal ini dikenal dengan norm matriks induced.

Bukti. Karena

x 1

max x

= A memenuhi Definisi 2.14, maka maxx 1= Ax adalah

norm matriks dari A.

Toerema 2.16 Norm matriks yang dibangkitkan dari vektor 1 dan

didefinisikan sebagai berikut.

∞ (a). 1 1=max_x ₌₁ x 1=max

∑

ij = j i

a nilai absolut jumlah kolom terbesar

A A . (b). x 1 max x max ∞ ∞ = ₌ ∞=

∑

ij = j i

a nilai absolut jumlah baris terbesar

A A .

Bukti (a) . Untuk setiap dengan x x₁= , pertidaksamaan segitiga 1

menghasilkan 1 x x maks maks . ∗ = = ≤ = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ≤_⎜ _⎟⎜ _⎟= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∑ ∑

∑∑

∑ ∑

∑

i ij j ij j j ij i i j i j j i j ij ij j j j i i a x a x x a x a a A A

(14)

Bentuk persamaan diatas dapat diperoleh karena jika A adalah kolom dengan _∗k

jumlah absolut terbesar, tulis x =e dan perhatikan bahwa _k e_k ₁=1 dan 1 = ∗ 1=maks

∑

k k j i e a A A _ij .

Bukti (b). Untuk setiap dengan x x _∞ = , 1

i i

x _∞ =maks

∑

_ij _j ≤maks

∑

_ij _j ≤maks

∑

_ij i j j a x a x a A j .

Bentuk persamaan diatas dapat diperoleh karena jika A adalah baris dengan _k_∗

jumlah absolut terbesar dan jika adalah vektor dimana x

x , untuk setiap 1, jika 0 maka 1, jika 0 _x _maks ∗ ∗ ⎧ ₌ _≤ ≥ ⎧ ⎪ = ⎨₋ _< ⎨ ⎩ _⎪⎩ = =

∑

i _j ij j _j ij kj j kj k _j kj i _j ij a x a i a x a _a _a A A ,

maka x _∞ =1 dan x _∞ =maks_i _i_∗x =maks_i

∑

_ij j a

A A .

2.6 Properti dari Nilai Karakteristik

Misalkan λ λ λ₁, ₂, ₃,...,λ_s adalah nilai-nilai karakteristik yang berbeda dari sebarang matriks A_nxn. Himpunan σ( )A =

{

λ λ λ1, 2, 3,...,λs

}

disebut spektrum dari , yaitu himpunan semua nilai karakteristik dari . Selain itu, kita mengenal istilah yang disebut dengan spectral radius

A A

(

ρ( )A

)

dari matriks , yaitu A

(

1 ( ) max

)

ρ λ ≤ ≤ = _i i s

A . Spectral radius ini merupakan lingkaran terkecil dalam bidang kompleks yang memuat semua nilai karakteristik dari matriks A.

Misalkan , maka kita mempunyai beberapa istilah lain seperti nilai karakteristik simple dan nilai karakteristik semisimple. Jika

( )

λ σ∈ A

( )

ma λ = maka 1 λ disebut dengan nilai karateristik simple. Nilai karakteristik yang memenuhi

(15)

( )

λ =

( )

λ

ma mg disebut dengan nilai karateristik semisimple. Selanjutnya, berikut ini diberikan definisi indeks dari suatu nilai karakteristik.

Definisi 2.17 Indeks nilai karakteristik λ dari matriks A∈ nxn didefinisikan

sebagai indeks dari matriks

(

A−λI yang memenuhi sifat pada Akibat 2.6.

)

Dengan kata lain, indeks

( )

λ adalah bilangan asli terkecil sehingga pernyataan berikut ekivalen.

k

(a). R

(

A−λI

)

k

)

=R

(

A−λI

)

k+1

)

(b). N

(

A−λI

)

k

)

=N

(

A−λI

)

k+1

)

Teorema 2.18 Misalkan A∈ nxn, maka ρ

( )

A ≤ A , untuk setiap norm

matriks.

Bukti. Misalkan

(

λ, x

)

adalah sebarang pasangan karakteristik dari A maka

[

x | x | ... | x

]

0

= _nxn

X ≠ dan λX=AX mengakibatkan

λ X = λX = AX ≤ A X . Jadi λ ≤ A untuk setiap λ σ∈

( )

A , artinya

( )

ρ A ≤ A .

Teorema 2.19 Misalkan A∈ nxn, maka untuk setiap norm matriks berlaku

( )

1 lim ρ →∞ = _k k k A A .

Bukti. Perhatikan bahwa ρ

( )

k =ρ

( )

k ≤

A A Ak (berdasarkan Teorema 2.18). Kita peroleh ρ

( )

A ≤ Ak 1k. Sekarang perhatikan bahwa

untuk setiap

( )

(

)

(

/

)

1 ρ A ρ A +ε < 0 ε > maka

(16)

( )

₍

_{( )}

₎

lim 0 lim 0 ρ ε _ρ _ε →∞ →∞ ⎛ ⎞ = ⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ₊ ⎟ ₊ ⎝ ⎠ k _k k k k A A A _A .

Akibatnya terdapat bilangan bulat positif N sehingga Ak /

(

ρ

( )

A +ε

)

k <1 untuk setiap k ≥N, maka Ak 1/k <

(

ρ

( )

A +ε

)

untuk setiap k≥N dan

( )

1/

( )

ρ ≤ _k k <ρ

A A A + untuk ε . Karena pertidaksamaan ini berlaku untuk setiap k≥N 0 ε > , maka 1

( )

lim ρ →∞ = k k k A A .

Teorema 2.20 Misalkan A∈ n n× dan misalkan A menyatakan matriks

dengan elemennya adalah a_ij . Untuk matriks ,B C∈ n n× , definisikan B≤C ,

yaitu b_ij <c_ij untuk setiap i dan . Jika j A ≤B maka ρ

( )

A ≤ρ

( )

A ≤ρ

( )

B .

Bukti. Ketaksamaan segitiga memberikan Ak ≤ Ak untuk setiap bilangan

bulat positif. Selanjutnya,

k

≤

A B mengakibatkan Ak ≤Bk. Dengan

menggunakan Teorema 2.19, maka

( )

1/

1/ 1/

1/

lim lim lim

ρ ρ ρ ∞ ∞ ∞ ∞ _∞ _∞ ∞ ∞ ∞ ∞ →∞ →∞ →∞ = ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ k k k k k k k k k k k k k k k k k k k A A A B A A B A A A A A B 2.7 Matriks Jordan

Bentuk Jordan dari A∈ nxn diperoleh dengan menggunakan dekomposisi

core-nilpotent yang akan diuraikan berikut ini. Misalkan, λ σ₁∈

( )

A dan

, maka terdapat matriks nonsingular sehingga

( )

1

(17)

(

)

1 1 1 1 1 1 λ − ₋ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ L 0 X A I X 0 C , (2.3)

dimana adalah matriks nilpoten dengan indeks dan adalah matriks nonsingular. Hal ini tidak menjadi masalah andaikan pada blok diagonal pertama adalah ataupun pada (2.3). Untuk kasus ini, kita posisikan blok nilpoten berada pada pada blok diagonal pertama. Berdasarkan hasil dari matriks nilpoten maka terdapat matriks nonsingular sehingga

1 L k1 C1 1 L C₁ 1 Y

( )

1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 λ λ λ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … … … _t N N Y L Y N

yang merupakan matriks blok diagonal yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

(a). Setiap blok di N1

( )

λ1 mempunyai bentuk

( )

1 . 0 1 1 0 λ ∗ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ N

(b). Terdapat t₁=dim

( )

L₁ =dim

(

N

(

A−λ₁I

)

buah blok pada N₁

( )

λ₁ . (c). Banyaknya blok berukuran i i dengan bentuk × N∗

( )

λ1 dalam N1

( )

λ1

adalah v_i

( )

λ₁ =r_i₋₁

( )

λ₁ −2r_i

( )

λ₁ +r_i₊₁

( )

λ₁ ⎟ dimana .

( )

λ1 =

(

−λ1

)

i i r rank A I

Selanjutnya, ₁= ₁⎛_⎜ 1 ⎞ adalah matriks nonsingular dan

⎝ ⎠ Y 0 Q X 0 I

(

)

( )

1 1 1 1 1 1 λ λ − ₋ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠ N Q A I Q 0 C ⎟ 0

(18)

( )

1 1

( )

1 1 1 1 1 1 1 λ λ λ λ − ₌⎛ + ⎞ ⎛₌ ⎜ ₊ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ A N I 0 J Q Q 0 C I 0 A ⎞ ⎟ ⎠ 0 1 . (2.4) Matriks J

( )

λ₁ =N

( )

λ₁ +λI pada (2.4) mempunyai bentuk blok diagonal

( )

1 1 1 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 λ λ λ λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … … … t J J J J dengan J_∗

( )

λ₁ =N_∗

( )

λ₁ +λ₁I .

Matriks J

( )

λ₁ disebut dengan segmen Jordan yang berkorespondensi dengan nilai karakteristik λ₁ dan setiap blok J∗

( )

λ1 yang termuat di J

( )

λ1 disebut dengan blok Jordan yang berkorespondensi dengan nilai karakteristik λ₁. Struktur segmen Jordan ini diturunkan dari struktur Jordan yang berkorespondensi dengan matriks nilpoten L₁.

Setiap blok Jordan mempunyai bentuk

( )

1 1 1 1 1 1 1 λ λ λ λ λ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + =_⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ J N I .

Terdapat t₁=dim

( )

L₁ =dim

(

N

(

A−λ₁I

)

buah blok Jordan pada segmen

( )

λ1

J . Banyaknya blok Jordan J_∗

( )

λ₁ berukuran i i dalam × J

( )

λ1 adalah

( )

λ1 = −1

( )

λ1 −2

( )

λ1 + +1

( )

1

i i i i

v r r r λ dimana r_i

( )

λ₁ =rank

(

A−λ₁I

)

i

)

.

Nilai karakteristik yang berbeda untuk A adalah σ

( ) {

A = λ λ1, 2,....,λs

}

, maka nilai karakteristik yang berbeda untuk A−λ₁I adalah

(

1

)

{

0,

(

2 1

) (

, 3 1

)

,....,

(

1

)

}

σ A−λI = λ λ− λ λ− λ_s−λ . Karena nilai karakteristik

untuk L₁ adalah nol maka kita peroleh bahwa

( ) (

1

{

2 1

) (

, 3 1

)

,....,

(

1

)

}

(19)

pada (2.4) adalah σ

( ) {

A₁ = λ λ₂, ₃,....,λ_s

}

. Hal ini berarti proses dekomposisi

core-nilpotent diatas bisa diulang untuk A₁−λ₂I untuk mendapatkan matriks

nonsingular Q₂ sehingga

( )

2 1 2 1 2 2 λ − _{= ⎜}⎛ ⎞ ⎟ ⎝ ⎠ J Q A Q 0 A 0 dimana σ

( ) {

A₂ = λ λ₃, ₄,....,λ_s

}

.

Proses tersebut terus diulangi sedemikian rupa sehingga semua nilai karakteristik hilang dan diperoleh matriks nonsingular P sehingga _s

( ) ( )

( )

(

)

1 1 2 diag λ , λ ,...., λ − _{= =} s s

P AP J J J J _s . Setiap J

( )

λ_j adalah segmen

Jordan yang memiliki t_j =dim

(

N A

(

−λ_jI

)

buah blok Jordan. Matriks J disebut dengan bentuk Jordan dari . Struktur Jordan dari didefinisikan sebagai banyaknya segmen Jordan di beserta dengan banyaknya dan ukuran dari blok Jordan untuk setiap segmen. Berikut ini merupakan ringkasan dari bentuk Jordan yang telah diuraikan diatas.

A A

J

Teorema 2.21 Untuk setiap A∈ n n× dengan nilai karakteristik yang berbeda

( ) {

1, 2,....,

}

σ A = λ λ λ_s , terdapat matriks nonsingular P sehingga

( )

1 2 1 0 0 0 0 0 0 λ λ λ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … … … s J J P AP J J

(a). J disebut matriks Jordan yang mempunyai satu buah segmen Jordan

( )

λj

J untuk setiap nilai karakteristik λ σ_j∈

( )

A .

(b). Setiap segmen J

( )

λj terdiri atas tj =dim

(

N A

(

−λjI

)

buah blok

(20)

( )

1 1 0 0 0 0 0 0 λ λ λ λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … … … j j j j t j J J J J dengan

( )

1 1 λ λ λ ∗ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ j j j J .

(c). Ukuran blok Jordan terbesar adalah k_j×k dimana _j k_j =indeks

( )

λ_j . (d). Banyaknya blok Jordan i i dalam × J

( )

λj diberikan oleh

( )

λ = −1

( )

λ −2

( )

λ + +1

( )

i j i j i j i j

v r r r λ dimana r_i

( )

λ_j =rank

(

A−λ_jI

)

i

)

.

Teorema 2.22 Indeks

( )

λ =1 jika dan hanya jika λ adalah nilai karakteristik

semisimple. Dengan kata lain mg

( )

λ =ma

( )

λ .

Bukti. jika dan hanya jika untuk setiap blok Jordan berukuran

, yang akan terjadi jika dan hanya jika banyaknya vektor karakteristik yang berkorespondensi dengan

( )

Indeks λ =1 1 1×

λ untuk P sehingga P AP−1 =J sama banyaknya dengan blok Jordan. Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa

( )

mg λ =ma λ atau λ adalah nilai karakteristik semisimple.

Selanjutnya, kita akan melihat fungsi pada matriks blok Jordan. Misalkan dengan 1 − = ∈ nxn A PJP σ( )A =

{

λ λ λ₁, ₂, ₃,...,λ_s

}

dan

( ) ( )

( )

(

λ1 , λ2 ,...,

)

=diag s

J J J J λ adalah bentuk Jordan dari dimana setiap segmen Jordan

A

(λ_j)

J adalah matriks blok diagonal yang memuat satu atau lebih blok Jordan. Dengan kata lain, kita bisa menuliskan suatu segmen Jordan sebagai berikut

(21)

( )

1 2 0 0 0 0 0 0 λ λ λ λ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ … … … j j j j t j J J J J dengan

( )

1 1 λ λ λ ∗ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_⎢ _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ j j j J .

Kita ingin mendefinisikan f J menjadi

( )

(

)

( )

(

)

1 λ λ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ s ⎦ f f f J J J dengan

(

( )

λ

)

(

_*

( )

λ

)

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ j j f J f J .

Untuk mendefinisikan tersebut, kita cukup bekerja pada f J

(

_*

( )

λ_j

)

. Agar notasi yang ada tidak membingungkan dalam proses pengerjaan, maka kita

dapat sederhanakan dengan memisalkan _*

1 1 λ λ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ J yang

merupakan blok Jordan berukuran k k× . Jadi kita dapat mendefinisikan f J

( )

dari f J

( )

_* .

Misalkan adalah fungsi yang dapat diekspansi dengan deret Taylor disekitar

:

f →

λ maka untuk suatu r>0,

( )

( )(

)

''

( ) ( )

2 '''

( ) ( )

3 ' .... 2! 3! f f f z = f λ + f λ z−λ + λ z−λ + λ z−λ + , dimana z− < . Maka, λ r

( )

( )(

)

( ) (

)

2

( ) (

)

3 * * * * '' ''' ' .... 2! 3! λ λ λ λ λ λ λ = + − + f − + f − + f J f I f J I J I J I

Namun, karena N=J_*−λI adalah matriks nilpoten dengan indeks , maka

deret ini menjadi deret berhingga,

(22)

( )

* 1 ( )

( )

0 ! λ − = =

∑

i k i i f f i J N (2.5)

artinya hanya nilai dari f

( ) ( )

λ , f ' λ ,..., f(k−1)

( )

λ yang terdefinisi dan

0 1 1 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ N , 2 0 0 1 1 0 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ N ,…., 1 . 0 0 1 0 0 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ k N

Jadi, representasi f J

( )

_* pada (2.5) bisa dituliskan seperti pada teorema berikut ini.

Teorema 2.23 Untuk blok Jordan berukuran dengan nilai

karakteristik

*

J k k×

λ. Suatu fungsi f z dimana

( )

f

( ) ( )

λ , f ' λ ,..., f(k−1)

( )

λ ada maka f J

( )

_* bisa dituliskan sebagai berikut.

( )

₍

( )

₎

( )

1 * '' ' 2! 1 ! 1 ' '' 1 2! ' λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎛⎡ ⎤⎞ _⎢ _⎥ ⎜⎢ ⎥⎟ _⎢ _⎥ ⎜⎢ ⎥⎟ = _⎜ _⎟_{= ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ _⎢ _⎥ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎜_⎣ _⎦_{⎟ ⎢} _⎥ ⎝ _{⎠ ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ k f f f f k f f f f _f f f f J

Teorema 2.24 Misal A=PJP−1 untuk suatu matriks nonsingular. Misalkan

pula, P

(

)

( )

1 1 1 1| 2| | , , dan λ λ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = =_⎜ _⎟ _⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ … s s = s Q J P P P P J P J _Q

(23)

Definisikan G_i =P Q_i _i. Jika k_i =indeks

( )

λ_i maka G_i adalah proyektor pada

(

)

(

−λ ki

)

i N A I sepanjang

(

−λ

)

ki

)

i R A I .

Bukti. Perhatikan bahwa L_i =J

( )

λ_i −λ_iI merupakan matriks nilpoten dengan

indeks k_i, tetapi J

( )

λi −λiI nonsingular jika i ≠ , maka j

(

)

( )

1 1 1 λ λ λ λ λ λ − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ i i i i s i J I A I P J I P P L P J I

adalah matriks core-nilpotent seperti yang telah diuraikan pada Teorema 2.8 dengan mengurutkan nilai karakteristik sehingga matriks blok nilpoten berada pada blok diagonal paling bawah. Berdasarkan Teorema 2.9(b) maka,

adalah proyektor pada

i L = i i i P Q G

(

−λ

)

ki

)

i N A sepanjang

(

−λ

)

ki

)

i R A .

2.8 Limit dari Matriks

Berikut ini terdapat dua teorema yang menyatakan mengenai limit dari suatu matriks berdasarkan nilai spectral radius dari matriks tersebut.

Teorema 2.25 Misalkan A∈ nxn dan ρ

( )

A adalah spectral radius, maka

jika dan hanya jika

lim 0

→∞ = k

k A ρ

( )

A <1.

Bukti.

( )

⇒ Misal

(

λ,v

)

adalah pasangan karakteristik untuk A. Karena

λ = k

v

A kv, maka

(

lim

)

lim limλ limλ 0

→∞ = →∞ = →∞ = →∞

k k k k

(24)

Karena v≠0, maka lim k 0

k→∞λ = , akibatnya λ < . Karena hal tersebut berlaku 1 untuk sebarang nilai karakteristik, maka ρ

( )

A <1.

( )

⇐ Jika P AP−1 =J adalah bentuk Jordan untuk A, maka

1 1 − − ∗ ⎛ ⎞ ⎜ = _{= ⎜} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ k k k A PJ P P J ⎟_⎟P dimana 1 ( ) λ λ λ ∗ ⎛ ⎞ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i J ⎟_{⎟ merupakan}

blok Jordan di . Selanjutnya, jika dan hanya jika untuk setiap blok Jordan. Jadi, kita hanya perlu membuktikan bahwa maka

J Ak →0 J_∗k →0

0 ∗k →

J

( ) 1

ρ A < . Dengan menggunakan fungsi f z

( )

=z pada Teorema 2.28 dengan n

syarat bahwa ⎛ ⎞_{⎜ ⎟}=0 untuk

⎝ ⎠ k j j>k, maka,

( )

1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ∗ − − − + − − − − × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ … k k k k k k k m m k k k k _k _k k k k k m m J .

Berdasarkan elemen diagonalnya, jelas bahwa jika J_∗k →0 maka λk →0. Jadi 1

λ < , artinya ρ

( )

A <1.

Sekarang kita akan melihat li ada tetapi nilainya tak nol. Sebelumnya, kita tahu bahwa ada jika dan hanya jika ada untuk setiap blok Jordan. Jika m →∞ k k A lim →∞ k k A lim→∞ * k k J 1

λ = dengan λ≠ (yaitu, 1 λ =eiθ , 0< <θ 2π ) maka diagonal dari blok Jordan, yaitu λ , nilainya akan terus berubah dan hal ini akan membuat k

tidak mempunyai limit. Jika

(

* dan k

(25)

BAB II : LANDASAN TEORI * 1 1 1 1 1 _× ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ _{⎝ ⎠} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ k m m k k m k J

mempunyai limit jika dan hanya jika m=1, artinya λ= adalah nilai 1 karakteristik semisimple. Tetapi λ= bisa ada sebanyak buah sehingga 1 terdapat blok Jordan dengan bentuk

p

p J* =

[ ]

1_{1 1}_x . Akibatnya, ada jika dan hanya jika bentuk Jordan untuk mempunyai bentuk

, dimana lim →∞ k k A A 1 − ⎡ = _{= ⎢} ⎣ ⎦ pxp I 0 J P AP 0 K ⎤

⎥ p=ma(1) dan ρ

( )

K <1. Berikut ini teorema yang menyajikan eksistensi dari limit suatu matriks yang dipangkatkan dengan suatu bilangan tertentu seperti yang telah diuraikan diatas.

Teorema 2.26 Untuk matriks A∈ n n× , lim ada jika dan hanya jika

→∞ k k A

(a). ρ

( )

A <1, atau

(b). ρ

( )

A =1, dimana λ= adalah satu-satunya nilai karakteristik pada 1

lingkaran satuan dan λ= adalah semisimple. 1

2.9 Cesaro Summable

Misal

{ }

α_n adalah barisan yang konvergen ke α . Misalkan pula terdapat barisan lain, yaitu

{ }

μ_n yang berkorespondensi dengan

{ }

α_n dimana

1 1 μ α= , 1 2 2 2 α α μ = + , ….. , 1 2 .... n n n α α α μ = + + + .

Barisan

{ }

μ_n ini disebut dengan barisan Cesaro yang berkorespondensi dengan

{ }

α_n . Jika lim _n

n→∞μ =α , maka

{ }

αn n 1 ∞

(26)

kata lain, kekonvergenan mengakibatkan summability tetapi summability tidak mengakibatkan kekonvergenan. Sebagai contoh, perhatikan barisan

{

1, 0,1, 0,.... . Barisan ini tidak konvergen, tetapi memiliki summability

}

, yang merupakan nilai rata-rata dari

1/ 2

{ }

0,1 .

Teorema 2.27 Jika

{ }

α_n _n∞₌₁ konvergen ke α maka

{ }

μ_n _n∞₌₁ konvergen ke α dimana 1 2 .... n

n

α α α

μ = + + + .

Bukti. Jika

{ }

α_n barisan yang konvergen ke α maka untuk setiap ε > 0

terdapat N bilangan bulat positif sehingga α α ε_n− < / 2 untuk setiap dan terdapat bilangan real

n≥N

β sehingga α α βn− < untuk setiap . Akibatnya, untuk setiap n N n ≥

(

)

(

)

1 2 1 1 1 1 .... 1 1 1 2 2 α α α μ α α α α α α β ε β α α α α = = + = = + + + + − = − = − + − − ≤ − + − < + ≤

∑

N n n n k k k N N n k k k k N n n N n N N n n n n n ε + k

Jika n cukup besar maka

2 N n β ε_{≤ , sehingga} n μ α ε− < . Jadi barisan

{ }

μn konvergen ke α . Hal ini berlaku pula untuk vektor dan matriks dengan mensubtitusikan ∗ dengan norm vektor dan norm matriks.

Kita katakan matriks A_{n n}_× konvergen jika ada dan matriks

summable jika ada. Seperti dalam bilangan, jika konvergen ke G maka summable ke G . Untuk menganalisis bahwa

lim →∞ k k A A

(

2 1 lim ... − / →∞ + + + + k k I A A A

)

k A A A

(27)

summable adalah dengan memperhatikan bahwa summable jika dan hanya

jika bentuk Jordan untuk juga summable. Dengan kata lain

setiap blok jordan di summable. Akibatnya, tidak mungkin summable

jika A 1 − = J P AP A ∗ J J A

( )

1 ρ A > , karena jika 1 λ λ ∗ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

J adalah blok Jordan dengan λ > , 1

maka setiap elemen diagonal dari lim

(

_∗ _∗2 ... _∗ −1

)

/ →∞ + + + + k k I J J J k adalah

(

)

(

)

2 1 1 ... _{1 1} ₁ ₁ , 1 1 k _k _k k k k k λ λ λ _λ δ λ λ λ − + + + + _⎛ ₋ _⎞ _⎛ = = _⎜ _⎟= _⎜ − − ⎝ ⎠ ⎝ k λ ⎞ − _⎟ ⎠

)

. (2.6) Nilai dari akan menjadi tidak terbatas jika . Dengan kata lain, kita bisa membatasi

(

,k

δ λ k→ ∞

( )

1

ρ A ≤ untuk A menjadi summable. Jika ρ

( )

A <1 maka konvergen (dan summable juga) ke nol. Jadi, kita hanya perlu

membuktikan untuk kasus

A

( )

1

ρ A = , dimana nilai karakteristiknya terletak pada lingkaran satuan dalam bidang kompleks. Jika λ σ∈

( )

A dimana

1, 1

λ = λ ≠ dan jika indeks

( )

λ > maka terdapat blok Jordan 1 1 λ λ ∗ ⎡ ⎤ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

J ⎥_{⎥ yang ukurannya lebih besar dari 1 1}× . Setiap elemen pada

superdiagonal pertama dari

(

I+J_∗+J_∗2+ +... J_∗k−1

)

/k adalah turuan ∂ ∂ δ λ/ dari (2.6). Turunan ini akan berosilasi tidak terbatas jika . Dengan kata lain, tidak summable jika terdapat nilai karakteristik

k→ ∞

A λ≠ pada lingkaran 1

satuan dan indeks

( )

λ > . 1

Jika λ= dan 1 indeks

( )

λ > , maka tidak summable karena elemen pada 1 superdiagonal pertama dari

A

(

2 1

)

... lim − ∗ ∗ ∗ →∞ + + + + k k _k I J J J adalah

(28)

(

)

(

)

1 2 ... 1 1 1 2 2 + + + k− ₌k k− ₌ k− _→ k k ∞.

Akibatnya, jika ingin ditunjukkan bahwa summable dan memiliki nilai

karakteristik

A

λ sehingga λ = , maka haruslah 1 indeks

( )

λ = . 1

Jika λ adalah nilai karakteristik untuk A dimana λ = , blok Jordan 1 11 × yang berkorespondensi dengan λ akan summable, karena (2.6) akan

mengakibatkan

(

2 1

)

1 1 1 ... 0, untuk 1, 1 1 1, untuk 1 k k k k k λ λ λ λ λ λ λ λ − ⎧ ⎛ ⎞ + + + + _⎪ _⎜ − _⎟→ = =⎨ − ⎝ ⎠ ⎪ ₌ ⎩ ≠ maka,

(

2 1

)

_{[ ]}

[ ]

_{1 1}

( )

_{( )}

1 1

1 , jika 1 dan indeks 1 ...

lim 0 , jika 1, 1 dan indeks 1

0, jika 1 λ λ λ λ λ λ − _× ∗ ∗ ∗ × →∞ ⎧ = = + + + + _⎪ =_⎨ = ≠ = ⎪ _< ⎩ k k _k I J J J

Akibatnya, jika A summable maka bentuk Jordan untuk A adalah

1 0 0 × − ⎡ ⎤ = _{= ⎢} _⎥ ⎣ ⎦ p p I J P AP C , dimana p=ma

(

λ= . 1

)

Nilai karakteristik untuk C adalah λ < atau 1 λ = , 1 λ≠ dengan 1

( )

indeks λ = , maka C summable ke 0, akibatnya summable ke 1 .

Misalkan dan J ⎡_⎢ × ⎤_⎥ ⎣ ⎦ p p I 0 0 0

(

1| 2

)

= P P P 1 1 2 − ⎛ ⎞ = ⎜⎜ ⎝ ⎠ Q P Q ⎟⎟ , maka

(

)

2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 ... ... 0 0 | 0 0 0 0 − − − ∗ ∗ ∗ × − × ⎛ + + + + ⎞ + + + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ → _⎢ _⎥ = _⎢ _{⎥ ⎜}_⎜ _⎟_⎟= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ k k p p p p k k I J J J I A A A P P Q I I P P P P P Q Q = G

(29)

Berdasarkan Teorema 2.9(b) maka G adalah proyektor pada sepanjang

(

−

)

N I A

(

−

)

R I A . Berikut ini adalah ringkasan singkat dalam Teorema 2.28

mengenai Cesaro Summable yang telah dijelaskan sebelumnya.

Teorema 2.28 A∈ n n× disebut Cesaro Summable jika dan hanya jika

(a). ρ

( )

A <1, atau

(b). ρ

( )

A =1 dengan setiap nilai karakteristik pada lingkaran satuan bersifat semisimple.

Jika ada, limit Cesaro, yaitu

(

2 1

)

... lim − →∞ + + + + = k k _k I A A A G