TINJAUAN PUSTAKA Tingkat Keberhasilan Mahasiswa Regresi Logistik

TINJAUAN PUSTAKA

Tingkat Keberhasilan Mahasiswa

Secara garis besar, faktor-faktor yang mempengaruhi keberhasilan mahasiswa dalam pendidikan (Munthe 1983, diacu dalam Halim 2009) adalah:

1. Faktor intelektual seperti masalah belajar, bakat, dan kecerdasan.

2. Faktor nonintelektual seperti sosial, emosional, jenis kelamin, kesehatan, keuangan, pengembangan pribadi, keluarga, pemanfaatan waktu luang, agama, dan akhlak.

Menurut (Munandar 1987, diacu dalam Sampoerno 2002), kualitas mahasiswa banyak dipengaruhi oleh berbagai faktor, antara lain:

1. Latar belakang keluarga; dukungan orang tua, taraf sosial ekonomi orang tua.

2. Lingkungan belajar di rumah; sarana dan prasarana yang tersedia. 3. Lingkungan kampus dan dosennya; mampu bersosialisasi.

4. Motivasi; minat untuk berprestasi, keuletan.

Motivasi merupakan keseluruhan daya penggerak psikis didalam diri mahasiswa yang menimbulkan kegiatan belajar dan memberikan arahan pada kegiatan belajar demi mencapai tujuan. Motivasi dapat menentukan baik tidaknya pencapai tujuan sehingga semakin besar motivasi akan semakin besar peluang mahasiswa untuk memperoleh keberhasilan.

Regresi Logistik

Regresi logistik adalah suatu analisis statistika yang mendeskripsikan hubungan antara peubah respon yang memiliki dua kategori atau lebih dengan satu atau lebih peubah penjelas berskala kategori atau interval (Hosmer & Lemeshow 2000). Pendekatan model persamaan regresi logistik digunakan karena dapat menjelaskan hubungan antara X dan π

( )

x yang bersifat tidak linear, ketidaknormalan sebaran dari Y, keragaman respon yang tidak konstan dan tidak dapat dijelaskan oleh model regresi linear biasa (Agresti 2007).

Jika data hasil pengamatan memiliki p peubah bebas yaitu x₁,x₂,...,x_pdengan peubah respon Y, dengan Y mempunyai dua kemungkinan nilai 0 dan 1, Y = 1 menyatakan bahwa respon memiliki kriteria yang ditentukan dan sebaliknya Y = 0 tidak memiliki kriteria, maka peubah respon Y mengikuti sebaran Bernoulli dengan parameter

π

( )

x

_i sehingga fungsi sebaran peluang:

( )

[

( )

]

i

[

( )

]

yi i y i i x x y f = π 1−π 1− ,

y

_i

=

0

,

1

(1)

Model umum regresi logistik dengan p peubah penjelas yaitu: π

( )

x

(

₍

( )

_{( )}

)

₎

x x g g exp 1 exp + = (2)   dimana π(x) = E(Y|x) adalah kondisi rataan bersyarat dari Y jika x diketahui apabila regresi logistik digunakan, dengan melakukan transformasi logit diperoleh

( )

( )

_{( )}

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = x x x π π 1 ln g (3) dengan g

( )

x =

β

₀ +

β

₁x₁+...+

β

_px_p , g(x) merupakan penduga logit yang berperan sebagai fungsi linear dari peubah penjelas, karena fungsi penghubung yang digunakan adalah fungsi penghubung logit maka sebaran peluang yang digunakan disebut sebaran logistik (McCullagh & Nelder 1989).

Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter βi pada model logit dilakukan dengan metode penduga

kemungkinan maksimum, karena asumsi kehomogenan ragam galat tidak dipenuhi. Jika antara amatan yang satu dengan amatan yang lain diasumsikan bebas, maka fungsi kemungkinan maksimumnya adalah:

( )

_∏

(

)

= = n i i i y f l 1 π β (4) parameter βi diduga dengan memaksimumkan persamaan diatas. Untuk

memudahkan perhitungan dilakukan pendekatan logaritma, sehingga fungsi log-kemungkinan sebagai berikut, menurut (McCullagh & Nelder 1989):

( )

[

l β

]

ln

∑

[

(

) (

)

]

∑

(

)

= = ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − − + = n i i i i i n i i i i i y y y 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln π π π π π (5)

Substitusi _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − _i i π π 1

ln dengan

β

0 +

β

1xi1+...+

β

pxip dan

π

i dengan

(

)

(

i p ip

)

ip p i x x x x β β β β β β + + + + + + + ... exp 1 ... exp 1 1 0 1 1 0

sehingga fungsi log kemungkinan menjadi

( )

[ ]

_∑

(

)

(

₍

)

₎

= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + + − + + + + = n i i p ip ip p i ip p i i x x x x x x y l 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 ... exp 1 ... exp 1 ln ... ln β β β β β β β β β β (6)

Nilai dugaan βi dapat diperoleh dengan memaksimumkan ln

[ ]

l

( )

β yaitu dengan

membuat turunan pertama ln

[

l

( )

β

]

terhadap βi dengan i = 0, 1, 2, …, p. Secara

analitik penurunan ini sangatlah tidak mudah, oleh karena itu secara teknis pendugaan βi diperoleh dari proses iterasi yaitu dengan menggunakan algoritma Iteratively Reweighted Least Square (IRLS) (McCullagh & Nelder 1989).

Pengujian Parameter

Pengujian terhadap parameter model dilakukan untuk mengetahui pengaruh peubah penjelas dalam model. Uji parameter yang digunakan adalah statistik:

1. Uji G

2. Uji Wald (W)

βi diduga dengan metode kemungkinan maksimum maka untuk menguji

peranan peubah penjelas di dalam model secara bersama-sama digunakan uji rasio kemungkinan yaitu Uji G (Hosmer & Lemeshow 2000). Adapun rumus untuk uji G berdasarkan hipotesis H0:

β

1 =

β

2 =...=

β

p =0 lawan H1: paling sedikit ada satu βi

≠ 0 (i = 1, 2, …, p) adalah: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 ln 2 L L G (7) dimana

L

₀ likelihood tanpa peubah penjelas dan L likelihood dengan peubah ₁

penjelas.

Statistik G akan mengikuti sebaran

χ

2dengan derajat bebas p. Kriteria keputusan yang diambil yaitu menolak H0 jika Ghitung > χ2p(α) (Hosmer & Lemeshow 2000).

Statistik Uji Wald digunakan untuk menguji parameter βi (Hosmer &

Lemeshow 2000). Rumus untuk Uji Wald berdasarkan hipotesis H0: βi = 0 lawan H1: βi ≠ 0 (i = 0,1, 2, …, p) adalah:

( )

i i i E S W β β ˆ ˆ ˆ = (8) dengan βˆ merupakan penduga _i βi dan SˆE

( )

β

ˆ merupakan penduga galat baku dari

i

βˆ . Statistik W mengikuti sebaran normal baku. Kriteria keputusan adalah H0

ditolak jika 2 α Z Whitung > . Pereduksian Peubah

Salah satu metode pereduksian peubah penjelas yaitu backward elimination. Analisis dimulai dengan model penuh yaitu memasukkan seluruh peubah penjelas ke dalam model kemudian peubah diuji satu persatu mulai dari peubah yang memiliki nilai-p yang paling besar, metode ini menggunakan uji Khi-kuadrat jika ada peubah yang tidak nyata pada nilai yang ditentukan peubah tersebut dikeluarkan dari model. Setiap proses eliminasi selesai maka akan dilakukan uji kebaikan model untuk menguji bahwa model dapat menggambarkan data dengan baik. Analisis akan selesai jika tidak ada lagi peubah yang dapat dieliminasi dari model (Garson 2010).

Tabel Klasifikasi

Untuk melihat ketepatan dugaan yang digambarkan pada model regresi logistik digunakan tabel klasifikasi yang merupakan tabel 2x2 untuk peubah respon yang biner, beberapa hal yang terkait dengan tabel klasifikasi antara lain:

1. Tingkat ketepatan, yakni jumlah dugaan yang tepat berdasarkan jumlah contohnya.

2. Sencitivity, adalah persentase dugaan yang tepat pada kategori tandingan dari peubah respon (misal peubah yang berkategori 1 pada regresi logistik biner).

3. Specitivity, adalah persentase dugaan yang tepat dari kategori pembanding dari peubah respon (misal peubah yang berkategori 0 pada regresi logistik biner).

4. Tingkat kesalahan positif adalah persentase banyaknya kesalahan pada peubah respon yang didugaan bernilai 1 tetapi yang terjadi bernilai 0, kemudian dibandingkan dengan total kejadian yang didugaan bernilai 1. 5. Tingkat kesalahan negatif adalah persentase banyaknya kesalahan pada

peubah respon yang didugaan bernilai 0 tetapi yang terjadi bernilai 1, kemudian dibandingkan dengan total kejadian yang didugaan bernilai 0 (Garson 2010).

Interpretasi Koefisien

Pada regresi linier, koefisien β₁ merupakan beda antara nilai Y pada X=x+1 dengan nilai Y pada X=x.

( )

x

Y

x

=

β

₀

+

β

₁ (9)

(

x 1

) ( )

Y x Y + − = 1 β (10) Sedangkan pada regresi logistik β1= g

(

x+1

) ( )

−g x menunjukkan peubah nilai logit untuk setiap satu unit peubah pada peubah bebas X. Untuk model regresi logistik dengan satu peubah penjelas dikotom dapat dilihat pada Tabel 1.

Nilai odds (rasio antara Y=1 dengan Y=0 untuk X=1) adalah _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − (1) 1 ) 1 ( π π

sedangkan untuk X=0 adalah _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − (0) 1 ) 0 ( π π

. Log dari kedua odds tersebut didefinisikan sebagai g(1) dan g(0) . Rasio odds (ψ ) didefinisikan sebagai rasio dari odds untuk X =1 dengan X =0 sehingga:

) exp( )] 0 ( 1 /( ) 0 ( [ )] 1 ( 1 /( ) 1 ( [ 1 β π π π π ψ = − − = (11) ) 0 ( ) 1 ( ))] 0 ( 1 /( ) 0 ( [ ))] 1 ( 1 /( ) 1 ( [ ln ln =g −g − − = π π π π ψ = β₁ = beda logit (12)

Tabel 1 Model Regesi Logistik dengan Satu Peubah Penjelas Dikotom Peubah Respon Peubah Penjelas

x=1 x=0 y=1 ) exp( 1 ) exp( ) 1 ( 1 0 1 0 β β β β π + + + = ) exp( 1 ) exp( ) 0 ( 0 0 β β π + = y=0 ) exp( 1 1 ) 1 ( 1 1 0 β β π + + = − ) exp( 1 1 ) 0 ( 1 0 β π + = − Jumlah 1  1 

Dengan demikian, pada model logistik dengan satu peubah penjelas dikotom, koefisien β₁ adalah model beda logit, sedangkan exp(β₁) nilai rasio odds.

Interpretasi koefisien untuk model regresi logistik dapat dilakukan dengan melihat rasio oddsnya. Jika suatu peubah penjelas mempunyai tanda koefisien positif, maka nilai rasio oddsnya akan lebih besar dari satu, sebaliknya jika tanda koefisiennya negatif maka nilai rasio oddsnya akan lebih kecil dari satu. Rasio odds memiliki selang kepercayaan (1-

α

)100% sebagai berikut:

)] ˆ ( ˆ ˆ exp[ 2 1 i i Z SE β β _α − ± (13) Metode CHAID

Chi-square Automatic Interaction Detecion (CHAID) pertama kali

diperkenalkan dalam sebuah artikel berjudul “ An Exploratory Tecnique for

Investigating Large Quantities of Categorical Data” oleh Dr. G.V. Kass pada

tahun 1980. CHAID merupakan salah satu tipe dari metode AID (Automatic

Interaction Detecion). Metode AID adalah suatu teknik untuk menganalisis

kelompok data berukuran besar dengan membaginya menjadi sub-sub kelompok yang tidak saling tumpang tindih (Kass 1980). Tehnik pemecahan (splitting) kelompok menjadi beberapa sub kelompok sehingga diperoleh sub-sub kelompok yang secara maksimal saling berbeda.

Metode ini terutama dikembangkan untuk menelusuri keterkaitan struktural dalam data survey (Fielding 1977). Peubah-peubah tersebut dapat berupa satu peubah respon dengan beberapa peubah penjelas atau beberapa peubah respon dengan beberapa peubah penjelas. Metode CHAID merupakan teknik eksplorasi nonparametrik untuk menganalisis sekumpulan data yang berukuran besar dan

cukup efisien untuk menduga peubah-peubah penjelas yang paling nyata terhadap

peubah respon. Pada prisipnya cara kerja metode CHAID memisahkan data kedalam

beberapa kelompok secara bertahap. Tahap pertama diawali dengan membagi data menjadi beberapa kelompok berdasarkan satu peubah penjelas yang pengaruhnya paling nyata terhadap peubah respon. Masing-masing kelompok yang diperoleh diperiksa secara terpisah untuk membaginya menjadi beberapa kelompok berdasarkan peubah penjelas dan seterusnya hingga pada akhirnya diperoleh kelompok-kelompok pengamatan yang memiliki respon dan peubah penjelas tertentu yang berkaitan, hasil analisis metode CHAID adalah suatu dendogram pemisahan.

Metode CHAID digunakan bila peubah responnya berskala nominal atau ordinal dengan kriteria statistik uji khi-kuadrat pada setiap pemisahannya. Proses pemisahan dilakukan secara iteratif dimulai dari peubah bebas yang mempunyai asosiasi paling kuat dengan peubah tak bebas yang digambarkan oleh besarnya nilai-p (p-value) berdasarkan uji khi-kuadrat ((Magidson & Vermunt 2006). Dalam proses ini juga akan dilakukan penggabungan kategori-kategori dalam satu peubah bebas yang tidak memiliki asosiasi yang nyata dengan peubah tak bebas. Secara singkat algoritma CHAID adalah sebagai berikut, menurut (Kass 1980):

1. Membuat tabulasi silang antara kategori-kategori peubah penjelas dengan kategori-kategori peubah respon.

2. Membuat subtabel berukuran 2xd yang mungkin, d adalah banyaknya kategori peubah respon. Kemudian cari nilai semua subtabel tersebut. Dari seluruh yang diperoleh, cari yang terkecil katakan . Jika ditetapkan, db 1 , maka kedua kategori peubah penjelas yang memiliki digabung menjadi satu kategori. Untuk peubah ordinal penggabungan hanya dapat dilakukan terhadap kategori yang berurutan.

3. Jika terdapat kategori gabungan yang terdiri dari tiga atau lebih kategori asal, maka harus dilakukan pembagian biner terhadap kategori gabungan tersebut, dari pembagian ini dicari terbesar. Jika terbesar > , maka pembagian biner berlaku. Kembali ke tahap 2.

4. Setelah diperoleh penggabungan optimal untuk setiap peubah penjelas hitung nilai-p masing-masing tabel yang dibentuk (tabel yang mengalami pengurangan kategori, nilai-p nya dikalikan dengan pengganda Bonferoni sesuai dengan tipe peubahnya). Cari nilai-p yang terkecil. Jika nilai-p terkecil < yang telah ditetapkan, maka X pada nilai-p tersebut adalah peubah penjelas yang pengaruhnya paling nyata bagi peubah respon.

5. Jika pada tahap 4 diperoleh peubah yang pengaruhnya paling nyata, kembali ke tahap 1 untuk setiap bagian data hasil pemisahan.

Statistik uji yang digunakan adalah dengan rumus:

keterangan:

r = total baris c = total kolom i = indeks baris j = indeks kolom

= nilai sel baris ke-i kolom ke-j

= nilai harapan sel baris ke-i kolom ke-j

Pengganda Bonferoni untuk tabel yang mengalami pengurangan kategori sesuai dengan tipe peubahnya:

1. Peubah monotonik yaitu bila kategori berskala ordinal 1

1

2. Peubah bebas yaitu bila kategori berskala nominal ∑ 1 _{! !}

Ketepatan dan Kesalahan Klasifikasi

Salah satu ukuran kebaikan model dalam regresi logistik yaitu model yang mempunyai peluang salah klasifikasi minimal (Hosmer & Lemeshow 2000). Ketepatan dan kesalahan klasifikasi dari model dapat dilihat dalam tabel klasifikasi. Tabel klasifikasi untuk peubah respon dikotom terdiri atas dua kolom nilai dugaan dan dua nilai amatan. Untuk memperoleh ketepatan klasifikasi (correct

classification) terhadap amatan harus menentukan nilai cutpoint (c) dan

dibandingkan dengan peluang dugaan . Jika lebih besar atau sama dengan c maka nilai dugaan termasuk pada respon y=1 dan selain itu y=0. Tabel 2 memperlihatkan tabel klasifikasi secara umum.

Tabel 2 Klasifikasi Respon Amatan Dugaan Total Ketepatan 1 0 1 a b (a + b) = n1. a/n1. 0 c d (c + d) = n0. d/n0. Total (a + c) = n.1 (b +d) = n.0 (a + b + c + d) = n (a + d)/n Kesalahan c/n.1 b/n.0 (b + c)/n

Ketepatan klasifikasi (correct classification) terdiri atas specificity dan

sentisivity. Specificity atau ketepatan klasifikasi dalam menduga kejadian bahwa

respon tidak memiliki kriteria yang diharapkan yaitu pada y=0 sebesar d/n0.100%,

untuk mengevaluasi ketepatan klasifikasi dalam menduga kejadian bahwa respon memiliki kriteria yang diharapkan yaitu y=1 atau disebut juga sensitivity yang nilainya sebesar a/n1.100%, sedangkan ketepatan klasifikasi yaitu ketepatan

klasifikasi dalam menduga kejadian secara tepat dapat diduga oleh model yang nilainya (a+d)/n100%.

Selain ketepatan klasifikasi dapat pula diketahui besarnya kesalahan klasifikasi (misclassification rate). Kesalahan klasifikasi dalam menduga kejadian respon terdiri atas kesalahan positf atau negatif. Kesalahan positif nilainya sebesar c/n.1100% dinyatakan sebagai persentase besarnya kesalahan ketika respon diduga

memiliki kriteria yang ditentukan yaitu y=1 tapi amatan sebenarnya bernilai y=0 dan sebaliknya kesalahan negatif yang nilainya sebesar b/n.0100% dinyatakan

sebagai persentase besarnya kesalahan ketika respon diduga tidak memiliki kriteria yang diharapkan y=0 namun amatan sebenarnya bernilai y=1. Kesalahan klasifikasi diartikan sebagai besarnya kesalahan klasifikasi terhadap kesalahan keseluruhan kejadian yang dapat diperoleh dengan cara merasiokan total klasifikasi yang tidak terkoreksi dengan jumlah keseluruhan data yaitu sebesar (b+c)/n100%.