2. Khusus Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-L melalui analisis matematis B. Pokok Bahasan

(1)

41

Rangkaian Listrik II / Arfita Yuana Dewi, S.T., M.T

SATUAN ACARA PENGAJARAN

Mata Kuliah : Rangkaian Listrik II Kode Mata Kuliah : EES13253

Waktu Pertemuan : 1x3x50 menit Pertemuan ke : 6

A. Tujuan Instruksional 1. Umum

Mahasiswa dapat memahami rangkaian peralihan beban R-L 2. Khusus

Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-L melalui analisis matematis

B. Pokok Bahasan

Analisa peralihan rangkaian listrik beban R-L C. Sub Pokok Bahasan

1. Rangkaian R-L seri analisa orde I homogen D. Kegiatan Belajar Mengajar

Tahap Kegiatan Pengajar Kegiatan

Mahasiswa Media dan alat pengajaran Pendahuluan

Penyajian

Penutup

1. Meriview kembali materi minggu sebelumnya 2. Menjelaskan manfaat

mempelajari rangkaian peralihan beban R-L. 3. Menjelaskan secara

matematis, rumusan yang digunakan.

4. Latihan soal

5. Menuliskan jawaban mahasiswa di papan tulis. 6. Menjelaskan rumusan dari

maing-masing komponen rangkaian.

7. Menjelaskan tugas yang harus dilakukan mahasiswa dalam penggunaan rumusan. 8. Menutup pertemuan a. Menunjuk beberapa mahasiswa untuk menyajikan hasil latihan yang diberikan. b. Mengundang

komentar/pertanyaan dari mahasiswa. c. Memberikan penilaian

berupa koreksi dan analisa yang benar.

Memperhatikan materi. Memperhatikan Dan mencatat Menjawab, memberikan sumbang saran. Memperhatikan dan mencatat Berlatih secara individual dari tugas yang diberikan. Menyajikan jawaban dari latihan yang diberikan Memberikan komentar atau pertanyaan Memperhatikan dan mencatat komentar pengajar tentang Note Book LCD Papan Tulis Note Book LCD Papan Tulis Note Book LCD Papan Tulis

(2)

42

d. Memberikan gambaran umum untuk perkuliahan berikutnya. analisa yang benar. E. Evaluasi

1. Instrumen yang digunakan :

Tes lisan secara acak atau bergilir untuk menilai pemahaman mahasiswa terhadap materi yang diberikan.

2. Instrumen ini digunakan minggu berikutnya setelah mahasiswa memahami materi.

F. Referensi

1. Budiono Mismail, Rangkaian Listrik

2. BL. Theraja, Hand Book Of Electrical Technology 3. Joseph A. Edminister, Rangkaian Listrik

4. Soepono Soeparlan & Umar Yahdi, Teknik Rangkaian Listrik Jilid 1, Penerbit Universitas Gunadarma, Depok, 1995

6. William H.Hayt,Jr & Jack E. Kemmerly, Rangkaian Listrik Jilid 1(terjemahan Pantur Silaban), Penerbit Erlangga, Jakarta, 1991

Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan (RKBM)

Minggu ke- Pokok Bahasan (Topik) Substansi Metode VI Analisa Peralihan Rangkaian Listrik Beban R-L Seri

Rangkaian R-L seri analisa orde I homogen

Ceramah Diskusi Latihan Soal

(3)

43 BAB VI

ANALISA PERALIHAN RANGKAIAN LISTRIK

BEBAN R-L

Tujuan Umum:

Mahasiswa dapat memahami konsep rangkaian peralihan /transien beban R-L

Tujuan Khusus:

Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-L

Mahasiswa menghitung rangkaian peralihan melalui analisis persamaan differensial orde I

6.1. Rangkaian R-L (hubung seri)

1. Rangkaian R-L Dengan Persamaan Differensial Orde I

Analisa :

Rangkaian peralihan R-L disebut juga dengan analisa peralihan orde I, dimana pengertian orde I adalah karena persamaan differensial (matematis) rangkaian dalam analisa tersebut berupa persamaan differensial orde I.

Persamaan umum :

)

(

)

(

t

y

Q

t

P

dt

dy

₊

₌

Analisa I :

¾ Untuk t < 0 (saklar berhubung pada posisi 1), terjadi pada saat sebelum transien/peralihan dalam waktu yang cukup lama.

(4)

44

Gambar rangkaian adalah sebagai berikut :

Pada sumber DC → induktor merupakan elemen hubung singkat (short circuit)

Karena saklar masih berada pada posisi 1, limit t < 0 atau t (0 -₎ Arus yang mengalir :

i (0-_{) =}

R

V

¾ Untuk t > 0 (saklar pada posisi 2), saat terjadi arus transien rangkaian menjadi :

(5)

45

Berlaku hukum Kirchoff II (HK. Tegangan Kirchoff) dimana : ∑V = 0 VL + VR = 0 VL = L

dt

t

di )

(

VR = i . R

Nilai i (t) solusi umum L

(

)

+

i

(

t

)

R

=

0 dt

t

di

↔ VL = - VR

R

t

i

dt

t

di

L

(

)

=

−

(

)

.

dt

L

R

t

i

t

di

−

=

)

(

)

(

∫

=

∫

−

dt

L

R

t

i

t

di

)

(

)

(

Ln i(t) =

C

Ln

k

L

R

₊

_→

₌

−

Ln i(t) =

t

Ln

k

L

R +

−

C

Rt

k

t

i

Ln

(

)

=

−

t L R

e

k

t

i

(

)

− .

=

Maka solusi umum : i(t) =

_K

.

_C

−RL.t

Nilai (t) Solusi Khusus Ingat sifat induktor :

(6)

46

Arus tidak akan berubah secara tiba-tiba iL (0-_{) = iL (0) = iL (0}+₎

iL (0-_{) = i (0) =}

=iL

(

0

+

)

R

V

Maka, harga khusus i(t) iL (t) = RL t

e

R

V

_.

.

− Tegangan Induktor VL (t) Pada t > 0 VL = L

dt

t

di )

(

=

dt

e

R

V

d

L

t L R _.

.

− =

dt

e

d

R

V

L

t L R _.

.

− =

_e

RL t

L

R

V

L

.

−

.

− .

t

e

V

VL

=

−

−RL

.

(7)

47

Gambar Grafik dari i (t) dan VL

Contoh Soal :

Sebuah rangkaian RL seri dengan harga R = 50 Ω, L = 10 H, disupplay dengan tegangan 100 volt, pada saat saklar S ditutup, tentukan :

a) Persamaan untuk i(t), VR(t) dan VL (t) b) Besar arus pada saat t = 0,5 S

c) Waktu (t) pada saat VR (t) = VL (t) d) Buktikan bila t =

R

L

_{, harga i = 63 % dari i maks.}

Solusi : a) i(t) =

⎜

_⎝

⎛

−R_Lt

⎟

_⎠

⎞

e

R

V

₁

_.

=

_⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− _t

e

10 150

.

1

50

100

=

(

t

)

e

5

1

2 −

− VR (t) = i (t). R =

2 (

1

5t

)

.

50 e

−

=100 - 100e-5t_Volt VL (t) =

_V

.

_e

−RLt t L R

e

R

V

t

i

(

)

=

.

− . t L R

e

V

t

VL

(

)

=

−

.

− .

)

0 (

0 ₌

−

<

t

-V

(8)

48

=

100 .

e

−5t

Volt

b) i (t) pada saat t = 0,5 dt

(

₁

5.0,5

)

2 )

(

t

=

−

e

−

i

=

₂

(

₁

_{− e}

−2,5

)

=

₂

(

₁

₋

₂

_,

₇₁₈

−2,5

)

= 2 (1 – 0,082) = 1,835 A c) t pada VR (t) = VL (t) VR (t) = 100 – 100 e-5t VL (t) = 100 e-5t_{, dimana :} 100 – 100 e-5t_{= 100 e}-5t

(

t

)

t

e

5

100 .

5

1

100 −

−

=

− t t

e

5 5

1 −

−

=

− -2 e-5t_{= -1} e-5t_{= ½} -5t = -0,693 t =

5

693 ,

0

= 0,1386 dt d) Buktikan t =

R

L

_{, Harga i = 63% I maks}

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

− t L R

e

R

V

t

i

(

)

1 .

=

(

₁

_{− e}

−7

)

R

V

=

(

1 −

0 ,

3678

)

R

V

=

100 ₅₀

(

1 −

0 ,

3678

)

=

2 (

1 −

0 ,

3678

)

⇒ 1,264 A, maka :

(9)

49

I max =

A

R

V

₂

50

100 ₌

=

Imax pada saat i = 63% = 63% . 2 = 0,63 . 2 = 1,264 A

(10)

50 SATUAN ACARA PENGAJARAN

Mahasiswa dapat memahami rangkaian peralihan beban R-L 2. Khusus

Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-L melalui analisis matematis

B. Pokok Bahasan

Analisa peralihan rangkaian listrik beban R-L C. Sub Pokok Bahasan

1. Rangkaian R-L paralel analisa orde I homogen 2. Rangkaian R-L analisa orde I tak homogen D. Kegiatan Belajar Mengajar

Penyajian

Penutup

mempelajari rangkaian peralihan beban R-L. 3. Menjelaskan secara

4. Latihan soal

maing-masing komponen rangkaian.

7. Menjelaskan tugas yang harus dilakukan mahasiswa dalam penggunaan rumusan. 8. Menutup pertemuan a.Menunjuk beberapa mahasiswa untuk menyajikan hasil latihan yang diberikan.

b.Mengundang

komentar/pertanyaan dari mahasiswa.

c.Memberikan penilaian berupa koreksi dan

Memperhatikan materi. Memperhatikan Dan mencatat Menjawab, memberikan sumbang saran. Memperhatikan dan mencatat Berlatih secara individual dari tugas yang diberikan. Menyajikan jawaban dari latihan yang diberikan Memberikan komentar atau pertanyaan Memperhatikan dan mencatat komentar Note Book LCD Papan Tulis Note Book LCD Papan Tulis Note Book LCD Papan Tulis

(11)

51

analisa yang benar. d.Memberikan gambaran umum untuk Ujian Tengah Semester.

pengajar tentang analisa yang benar. E. Evaluasi

F. Referensi

Minggu

ke- Pokok Bahasan (Topik) Substansi Metode

VII Analisa Peralihan Beban R-L Paralel

Rangkaian R-L paralel analisa orde I homogen Rangkaian R-L analisa orde I tak homogen

(12)

52

6.2. Rangkaian R-L Hubung Paralel

Pada posisi ini, switch berada pada posisi 1 dalam waktu yang cukup lama t (0-_),

pada t = 0 mulai bergerak dari posisi 1 ke 2 Tentukan : i(t) dan VL(t) untuk t < 0 dan t > 0

Solusi Umum

Untuk menyelesaikan rangkaian ini, referensi adalah pada t=0 (switch dari 1 ke 2) Pada saat t < 0 (saklar pada posisi 1) → t (0-₎

i(0-_{) =} 0 2 1 2

_{. I}

R

+

...(1) persamaan ini merupakan persamaan pada kondisi t < 0, maka persamaan menjadi i (0-_{) =} 0 2 1 2

_{. I}

R

+

... (2) Pada saat t > 0 (saklar pada posisi 2)

∞ = i

(13)

53

berlaku hukum Kirchoff II (∑ k = 0) VR1 + VR2 + VL = 0 VR1 = i (t) . R2 VR2 = i (t) . R2 VL =

dt

di

L

i (t) R1 + i (t) R2 +

(t

)

dt

di

L

= 0

Persamaan Differensial orde I homogen

2 1

(

)

.

)

(

)

(

R

t

i

R

t

i

dt

t

di

L

=

−

)

(

)

(

)

(

2 1

R

t

i

dt

t

di

L

=

−

+

dt

L

R

t

i

t

di

.

)

(

)

(

)

(

₌

₋

₁

+

₂

(

)

∫

=

∫

−

+

t

dt

L

R

t

i

t

di

.

)

(

)

(

₁ ₂

(

)

C

t

L

R

t

i

Ln

(

)

=

−

1

+

2

.

+

(

)

k

Ln

t

L

R

t

i

Ln

(

)

=

−

1

+

2

.

+

(

)

t

L

R

k

t

i

Ln

.

)

(

₌

₋

₁

+

₂ ( ) _t L R R

e

k

t

i

(

)

₋ 1+ 2 .

=

( ) _t L R R

e

k

t

i

(

)

.

1 2 . + −

=

... ( 3) Solusi Khusus

Untuk mencari solusi khusus, maka dicari nilai dari konstanta k dengan cara mencari nilai arus pada kondisi awal (t < 0), harus diingat sifat dari induktor, yaitu : arus tidak dapat berubah secara tiba-tiba

( )

0 (

0 )

(

0 )

1 + −

₌

i

= ( ) t L R R

e

K

. 2 1

.

+ −

(14)

54

= ₀ 2 1 2

_{. I}

R

K

+

=

( )

( ) t L R R

e

I

R

i

₀ . 2 1 2 2 1

.

0

+ − +

+

=

VL (t) = ...? VL (t) =

dt

t

di

L

(

)

=

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+ − R R L

e

I

R

d

L

₀ 2 . 2 1 2 2 1

.

=

(

)

dt

t

R

e

d

I

R

L

.

2 .

.

2 1 0 2 1 2

+

−

+

=

(

)

( ) t R R

e

L

R

I

R

L

₀ 1 2 2 . 2 1 2 2 1

.

+ −

+

−

+

( ) t L R R

e

I

R

₂ ₀ . 2 1

.

+ −

−

=

Grafik i (t) dan VL (t) 0 1 2

_{. I}

R

+

( ) t L R R

e

I

R

₂ ₀ . 2 1

.

+ −

−

0

(15)

55

6.3. Rangkaian R-L dengan Persamaan Differensial Tak Homogen

Pada t < 0

a) Pada saat t < 0, saklar S terbuka i (t) = 0

V (t) = 0

b) Pada saat t = 0, saklar S ditutup VR = i (t) R VL =

dt

t

di

L

(

)

Menurut Hk. Kirchoff II, ∑ V = 0 - V + VR + VL = 0 VR + VL = V i (t) R + L

Vt

dt

t

di

=

)

(

merupakan P.D Orde I tak homogen

)

(

)

(

t

q

t

P

dt

dy

₊

₌

, sehingga

)

(

)

(

)

(

t

V

R

t

i

dt

t

di

L

+

=

Hitung harga i (t) dan VL (t) Analisa

L

t

V

L

R

t

i

dt

t

di

t

VL

R

t

i

dt

t

di

L

)

(

.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

=

+

=

+

(16)

56

P (t) =

L

R

Q (t) =

L

V

Solusi Umum

∫

+

=

e

Q

t

C

e

Y

.

JP(t) dt JP(t)

(

)

dimana : Y = i (t) Dimana :

C

L

V

e

t

i

(

)

.

ρ.RL dt

=

∫

ρRL dt

.

+

∫

+

=

C

L

V

e

t

i

(

)

.

RLt RL.t

.

∫

+

=

e

C

L

V

e

t

i

(

)

RL.t RL.t =

e

C

L

V

R_Lt

+

.

C

e

R

V

e

t

i

(

)

.

RL+t RLt

+

t L R

e

C

R

V

t

i

(

)

=

+

.

− . , maka t L R

e

K

R

V

t

i

(

)

=

+

− Solusi Khusus :

Digunakan kondisi awal, dimana t = 0 dan i(t) = 0

K

R

V +

=

0 R

V

K

=

t L R

e

R

V

R

V

t

i

(

)

=

−

.

− . , maka :

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

− t L R

e

R

V

t

i

(

)

1

(17)

57

Nilai VL(t) : VL =

dt

t

di

L

(

)

=

_⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

− t L R

e

R

V

d

L

.

1

=

dt

e

d

R

V

L

t L R

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

1

=

_e

RLt

L

R

V

L

.

− =

_V

.

_e

−RLt = VL (t) Analisa II

Digunakan solusi natural dan perkiraan :

a) Solusi natural (anggap persamaan homogen / Q(t) = 0 → in b) Solusi perkiraan → ip, dimana :

i (t) = in (t) + ip (t) a) Solusi Natural

0 )

(

)

(

₊

₌

R

t

in

dt

t

n

di

L

→ Setelah dilakukan integrasi, didapat in (t) =

_K

_e

−ρLt

b) Solusi Perkiraan ip(t)

Nilai ip(t) = Konstan

0 )

( =

dt

t

p

di

(18)

58 V

R

t

ip

dt

t

p

di

L

(

)

+

(

)

=

0 + ip (t) R = V ip (t) =

R

V

i (t) = in (t) + ip (t) =

R

V

e

K

−RLt

+

maka :

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

− t L R

e

R

V

t

i

(

)

1

(19)

59 SATUAN ACARA PENGAJARAN

Mahasiswa dapat memahami tentang Rangkaian Listrik II dan hal yang terkait secara umum

2. Khusus

Untuk melakukan evaluasi terhadap sejauh mana pemahaman mahasiswa terhadap materi yang telah dipelajari dari minggu 1 sampai 7

B. Pokok Bahasan

Evaluasi tengah semester C. Sub Pokok Bahasan

Ujian Tengah Semester D. Kegiatan Belajar Mengajar

Penyajian

Penutup

Menjelaskan peraturan yang harus ditaati selama ujian berlangsung.

Memberikas soal UTS

Mengumpulkan lembaran jawaban ujian

Memperhatikan.

Menyelesaikan soal UTS sesuai dengan waktu yang diberikan

Soal ujian

E. Evaluasi

Minggu ke-

Pokok Bahasan (Topik)

Substansi Metode VIII Mid Semester Ujian Tengah Semester Soal Uraian

Terbatas, Esay

(20)

60

YAYASAN PENDIDIKAN TEKNOLOGI PADANG INSTITUT TEKNOLOGI PADANG

UJIAN MID SEMESTER GANJIL TAHUN AKADEMIK 2009/20010

MULAILAH UJIAN DENGAN BERDO’A KEPADA ALLAH SWT

Mata Kuliah : Rangkaian Listrik III Dosen : Arfita Yuana Dewi, M.T Hari/Tgl : Senin/ 30-11-2009 Lokal : Multi Media

Jam : 08.00 – 09.30 Sifat Ujian : Tutup Buku

Bekerjalah dengan membaca terlebih dahulu Basmalah dan selesaikan dengan keyakinan sendiri tanpa bantuan orang lain.

Soal 1

Sebuah rangkaian RL seri dengan harga R = XX Ω, L = 15 H, disupply dengan tegangan 110 volt, pada saat saklar S ditutup, tentukan :

a) Persamaan untuk i(t), VR(t) dan VL (t) b) Besar arus pada saat t = 0,7 detik

Soal 2

Tentukan : I(t) & buat

Grafik

Ctt : XX = 2 angka terakhir No. BP

ITP

20

Ω

8 H

15 A

_XX

_Ω

(21)

61 SATUAN ACARA PENGAJARAN

Mahasiswa dapat memahami rangkaian peralihan beban R-C 2. Khusus

Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-C melalui analisis matematis Persamaan Differensial orde II

B. Pokok Bahasan

Analisa peralihan rangkaian listrik beban R-C C. Sub Pokok Bahasan

1. Rangkaian R-C seri analisa orde I homogen 2. Rangkaian R-C analisa orde I tak homogen D. Kegiatan Belajar Mengajar

Mahasiswa

Media dan alat pengajaran Pendahuluan

Penyajian

Penutup

1. Meriview kembali

pembahasan UTS minggu sebelumnya

2. Menjelaskan manfaat mempelajari rangkaian peralihan beban R-C. 3. Menjelaskan secara

4. Latihan soal

maing-masing analisis rangkaian.

7. Menjelaskan tugas yang harus dilakukan mahasiswa dalam penggunaan rumusan. 8. Menutup pertemuan e. Menunjuk beberapa mahasiswa untuk menyajikan hasil latihan yang diberikan. f. Mengundang komentar/pertanyaan dari mahasiswa. g. Memberikan penilaian Memperhatikan materi. Memperhatikan Dan mencatat Menjawab, memberikan sumbang saran. Memperhatikan dan mencatat Berlatih secara individual dari tugas yang diberikan. Menyajikan jawaban dari latihan yang diberikan Memberikan komentar atau pertanyaan Memperhatikan dan mencatat komentar Note Book LCD Papan Tulis Note Book LCD Papan Tulis Note Book LCD Papan Tulis

(22)

62

berupa koreksi dan analisa yang benar. h. Memberikan gambaran umum untuk perkuliahan berikutnya. pengajar tentang analisa yang benar. E. Evaluasi

F. Referensi

Minggu

IX Analisa Peralihan Beban R-C

Rangkaian R-C seri analisa orde I homogen Rangkaian R-C analisa orde I tak homogen

(23)

63 BAB VII

ANALISA PERALIHAN RANGKAIAN LISTRIK

BEBAN R-C

Tujuan Umum:

Mahasiswa dapat memahami konsep rangkaian peralihan /transien beban R-C

Tujuan Khusus:

Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-C

Mahasiswa menghitung rangkaian peralihan melalui analisis persamaan differensial orde II

7.1. Rangkaian Beban R-C

Analisa rangkaian transien /peralihan beban R-C seperti diilustrasikan pada rangkaian di bawah ini :

Mula – mula saklar S pada posisi 1, dalam waktu yang cukup lama, pada saat t = 0, S dipindahkan ke posisi 2, tentukan V(t) dan i (t) setelah S dipindahkan.

Dalam melakukan analisa rangkaian R-C, tetap menggunakan persamaan differensial orde I, yaitu :

a. Persamaan Differensial Homogen b. Persamaan Differensial Tak homogen Analisa

¾ Untuk t < 0, (saklar pada posisi 1)

I R1

+

R = ~

(24)

64

Dari bentuk rangkaian, berlaku :

V (t) = I . R1 ... (1) atau V (0-_{) = I . R1 ... (2)}

¾ Untuk t > 0, (saklar pada posisi 2)

∑V = 0 VR2 + Vc (t) = 0 I (t) R2 + Vc (t) = 0 ... (3) maka

dt

t

Vc

d

C

t

ic

t

i

(

)

=

(

)

=

(

)

... (4) Substitusikan Persamaan (4) ke Persamaan (3)

0 )

(

.

2

+

Vc

t

=

dt

dVc

C

R

... (5)

)

(

)

(

.

2

Vc

t

dt

t

dVc

C

R

=

−

dt

c

R

dt

Vc

d

2

1 −

=

∫

=

−

∫

dt

c

R

Vc

t

Vc

d

2

1 )

(

k

Ln

t

c

R

t

Vc

Ln

=

−

+

2

1 )

(

maka

t

C

R

k

t

Vc

Ln

(

)

1 ,

2

=

(25)

65

t c R

e

k

t

Vc

(

)

=

.

−1 2 .

Untuk konstanta k, dilihat posisi saklar pertama, nilainya = I . R1, ingat sifat kapasitor : tegangan tidak dapat berubah secara tiba-tiba atau :

( )

₀

−

₌

( )

₀

₌

( )

₀

+

Vc

( )

k

Vc

0

+

=

= I R1, maka : t c R

e

R

I

t

Vc

(

)

=

.

₁

.

−1 2. . Arus ke kapasitor :

dt

t

dVc

C

t

ic

t

i

(

)

=

(

)

=

(

)

=

dt

e

R

I

d

C

t c r

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−1 ₂ .

.

1 .

=

dt

de

R

I

C

t c R2. . 1

.

1 .

.

− = R ct

e

c

R

I

C

2 1

2

1 .

.

−

− = R ct

e

I

R

1 ₂ 2 1 −

−

Grafik i (t) dan V (t)

I . R1

V (t)

I

R

R .

₂ 1

−

t

(26)

66

Contoh Soal :

Tentukan :

a) Ic (t) dan Vc (t)

b) Grafik Ic (t) dan Vc (t) terhadap waktu c) Konstanta waktu/time constant untuk t >0

Solusi : Ic (t) = 0 i2 = i3 i3 =

x

mA

K

10

200

800

1

1 +

+

Ω

=

x

mA

K

100

2 ,

0

8 ,

0

1

1 Ω

+

Ω

= ½ x 10 = 5 mA Maka : VAB = Vc (0-) = I3 . R3 = 5 . 0,8 = 4 volt

(27)

67

Untuk t < 0 : Ic (t) + i2 + i3 = 0

0 )

(

)

(

)

(

3 2

=

+

R

t

Vc

R

t

Vc

dt

t

dVc

C

0 )

(

1

1 )

(

3 2

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

Vc

t

R

dt

t

Vc

d

C

)

(

3

1

2

1 )

(

t

Vc

R

dt

t

Vc

d

C

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

−

=

.

(

)

3 2 3 2

_Vc

_t

R

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

Cdt

R

Vc

t

dVc

/

1 .

)

(

3 2 3 2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

(

)

∫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

dt

R

C

R

Vc

t

dVc

3 2 3 2

.

)

(

)

t

Ln

k

R

C

R

t

Vc

Ln

_⎥

+

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

=

3 2 3 2

.

)

(

, maka : t C R R R R

e

K

t

Vc

/ 1 3 2 3 . 2

.

)

(

⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −

=

(28)

68

Untuk konstanta K diambil nilai saklar pada posisi pertama t < 0, ingat sifat kapasitor :

volt

Vc

t

Vc

(

)

=

(

0 )

=

(

0

+

)

=

4

, maka : t R R R R

e

t

Vc

⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −

=

2 3 3 . 2

.

4 )

(

= 4 . e ( ) t x ⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ₋ 8 , 0 2 , 1 10 5 8 , 0 . 2 , 1 6 = t x

e

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ₋ 2 . 10 5 96 , 0 6

.

4

= x t

e

96 103

.

4

− , sehingga : a) Untuk Ic (t)

dt

t

Vc

d

C

t

Ic

(

)

=

(

)

=

dt

e

d

x

t x103 96 6

_.

.

4

10

5

− − = x t

e

x

10

6

.

4

96

10

3

.

96 103

5

−

− =

−

1 ,

92 e

−96x103t

A

b) Grafik Ic (t) dan Vc (t)

4 Volt

-1,92

4

x t

e

−96 103

1,92 .

x t

e

−96 103

t

(29)

69

c) Time Constant untuk rangkaian R-C didasarkan pada persamaan eksponensial tegangan : t RC

e

k

t

Vc

(

)

=

.

−1

Dari bentuk umum fungsi eksponensial, dapat disimpulkan konstanta waktu dalam bentuk (τ), dimana τ = R.C

τ = Reg . C, berdasarkan soal :

τ =

C

R

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

₃ 2 3 2

.

=

.

5

10

6

8 ,

0

2 ,

1

8 ,

0 .

2 ,

1

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

x

=

_.

₅

₁₀

6

800 1200

800 .

1200

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

x

= 24 x 10-4_dt

(30)

70 SATUAN ACARA PENGAJARAN

Mahasiswa dapat memahami rangkaian peralihan beban R-L-C 2. Khusus

Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-L-C melalui analisis matematis Persamaan Differensial orde II

B. Pokok Bahasan

Analisa peralihan rangkaian listrik beban R-L-C C. Sub Pokok Bahasan

1. Rangkaian R-L-C orde II keadaan over damped D. Kegiatan Belajar Mengajar

Penyajian

Penutup

mempelajari rangkaian peralihan beban R-L-C. 3. Menjelaskan secara

matematis, rumusan yang digunakan untuk ketiga keadaan.

4. Latihan soal

7. Menjelaskan tugas yang harus dilakukan mahasiswa dalam penggunaan rumusan. 8. Menutup pertemuan a. Menunjuk beberapa mahasiswa untuk menyajikan hasil latihan yang diberikan.

b. Mengundang

c. Memberikan penilaian berupa koreksi dan

Memperhatikan materi. Memperhatikan dan mencatat Menjawab, memberikan sumbang saran. Memperhatikan dan mencatat Berlatih secara individual dari tugas yang diberikan. Menyajikan jawaban dari latihan yang diberikan Memberikan komentar atau pertanyaan Memperhatikan dan mencatat komentar Note Book LCD Papan Tulis Note Book LCD Papan Tulis Note Book LCD Papan Tulis

(31)

71

analisa yang benar. d. Memberikan gambaran

umum untuk perkuliahan berikutnya.

pengajar tentang analisa yang benar. E. Evaluasi

F. Referensi

Minggu

X Analisa Peralihan Beban R-L-C

(Teredam lebih)

Rangkaian R-L-C orde II keadaan over damped

(32)

72 BAB VIII

Analisa Peralihan Rangkaian RLC

Tujuan Umum:

Mahasiswa dapat memahami rangkaian peralihan /transien beban R-L-C

Tujuan Khusus:

Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-L-C

Mahasiswa menghitung rangkaian peralihan melalui analisis persamaan differensial orde II

Analisa peralihan pada rangkaian RLC akan melibatkan persamaan differensial orde ke 2. Dalam menyelesaikan persamaan differensial orde 2 diperlukan 2 kondisi awal yaitu :

- Kondisi awal induktor (L) - Kondisi awal kapasitor (C) sehingga disini dikenal :

- saat sebelum terjadi perubahan rangkaian : IL (0-_{) dan Vc (0}-₎

- saat setelah terjadi perubahan rangkaian IL (0+_{) dan Vc (0}+₎

dari sifat kapasitor dan induktor, juga berlaku disini yaitu : IL (0-_{) = IL (0}+₎

Vc (0-_{) = Vc (0}+₎

Pada rangkaian berikut ini, dapat dilihat bahwa, mula-mula saklar s berada pada posisi 1 dalam waktu yang cukup lama, pada t = 0, saklar dipindahkan ke posisi 2.

Tentukan i (t) setelah s dipindahkan ke posisi 2.

S t = 0 VR Vc Vt 2 1 + -R

(33)

73

Analisa :

Pada t < 0 (saklar pada posisi 1 ) Sebelum saklar dipindahkan

Karena saklar terhubung ke 1 dalam waktu yang cukup lama, mengakibatkan muatan pada kapasitor mencapai kejenuhan sehingga :

I (t) = 0 (1)

VC (t) = v (2)

Juga berlaku untuk saat sebelum saklar S dipindahkan ke posisi 2, (t = 0-_{), berlaku:}

I (0-_{) = 0} ₍₃₎

Vc (0-_{) = V} ₍₄₎

Pada t > 0 (setelah saklar s dipindahlan) (t = 0+₎

rangkaian

Menurut hukum kirchoff II ( Σv = 0)

VR + VL + VC = 0 (5) Atau :

∫

=

+

(

)

1 (

)

0 )

(

i

t

dt

C

dt

t

di

L

t

i

R

(6)

Bila persamaan (6) didifferensialkan dan disederhanakan :

0

1

2

=

+

i

C

dt

i

d

L

dt

di

R

0

1

2

=

+

i

LC

dt

di

L

R

dt

i

d

(7) C L VR Vc Vt R

(34)

74

Dan menurut hukum kirchoff arus dalam rangkaian juga berlaku :

IR (t) = IL (t) = IC (t) = I(t) (8) Persamaan (7) merupakan persamaan differensial orde II homogen. Untuk solusi dari persamaan (6), diambil pemisalan :

i (t) = k1 es1t + k2 es2t (9)

S1 dan S2 merupakan akar-akar karakteristik yang didapat dari persamaan :

S2₊

+

1 =

₀

LC

S

L

R

(10)

Nilai akar-akar karakteristik dapat dihitung :

S1 =

⎟

−

=

−

α

+

β

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

LC

L

R

L

R

1

2

2 (11) S2 =

⎟

−

=

−

α

−

β

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

LC

L

R

L

R

1

2

2 (12) Disini : α =

L

R

2

β =

L

LC

R

1

2

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

diketahui : ω0 =

LC

1

(13) ω0 = frekuensi natural

Berdasarkan perbandingan nilai α terhadap ω0, ada 3 kasus yang dapat terjadi,

yaitu :

1. Keadaan teredam lebih (α > ω0)

2. Keadaan teredam kritis (α = ω0)

3. Keadaan teredam kurang (α < ω0) I. Keadaaan teredam lebih (“over damped”)

Dalam keadaaan ini, nilai α > ω0, mana β > 0

(35)

75

Sehingga : i (t) = K1

e

(−α + β)t

+

k

₂

e

(−α − β)t atau : i (t) = t

[

t t

]

e

k

e

k

e

−α ₁ β

+

₂ −β (14)

Harga k1 dan k2 dapat diperoleh dari kondisi awal dari rangkaian.

Kondisi awal dari induktor i (0-_{) = i (0}+_{) = i (t) = 0} 0 = − +

[

+

− 0+

]

2 0 1 0 0α β β

e

k

e

k

e

0 = k1 + k2 → k1 = - k2 (15) Kondisi awal kapasitor (dimana Vc (t) = V Dari persamaan (6) diperoleh :

0 )

0 (

0

=

+

+ = +

v

dt

di

L

i

R

t

0

=

+

+ =

v

dt

di

L

t

v

dt

di

L

t

−

=

+ = 0

L

v

dt

di

t

−

=

+ = 0 (16)

Bila persamaan (14) didiferensialkan :

( )t

₍

₎

( )t

e

k

e

ki

dt

di

₌

₋

_α

₊

_β

−α + β

₊

₋

_α

₋

_β

−α−β 2

)

(

untuk t = 0+ =

k

₁

(

−

α

+

β

)

.

e

(−α+β)0+

+

k

₂

(

−

α

+

β

)

.

e

(−α−β)0+ =

k

₁

(

−

α

+

β

)

+

k

₂

(

−

α

−

β

)

(17)

(36)

76 )

(

)

(

₂ 1

−

α

+

β

+

−

α

−

β

=

k

dt

di

k2 = - k1

)

(

)

(

₁ 1

−

α

+

β

−

α

−

β

=

−

k

L

v

β

1

2 k

L

v =

−

β

L

v

k

2

1

=

(18)

Dengan cara yang sama dimana k1 = - k2 didapat :

β

L

v

k

2

=

−

Sehingga solusi lengkap dari arus pada kondisi teredam lebih (“over damped”) t t

e

L

v

e

L

v

t

i

( ) ( )

2 .

2 )

(

α β α β

β

− − + −

₋

=

(

)

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

− t t − t

e

L

v

t

i

α β β

β

.

2 )

(

(19) Dengan :

L

R

2 =

α

LC

L

R

1

2

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

β

(37)

77 SATUAN ACARA PENGAJARAN

Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-L-C melalui analisis matematis Persamaan Differensial orde II

B. Pokok Bahasan

Analisa peralihan rangkaian listrik beban R-L-C C. Sub Pokok Bahasan

1. Rangkaian R-L-C orde II keadaan critically damped D. Kegiatan Belajar Mengajar

Penyajian

Penutup

4. Latihan soal

7. Menjelaskan tugas yang harus dilakukan mahasiswa dalam penggunaan rumusan. 8. Menutup pertemuan a.Menunjuk beberapa mahasiswa untuk menyajikan hasil latihan yang diberikan.

b.Mengundang

c.Memberikan penilaian berupa koreksi dan analisa yang benar. d.Memberikan gambaran Memperhatikan materi. Memperhatikan dan mencatat Menjawab, memberikan sumbang saran. Memperhatikan dan mencatat Berlatih secara individual dari tugas yang diberikan. Menyajikan jawaban dari latihan yang diberikan Memberikan komentar atau pertanyaan Memperhatikan dan mencatat komentar pengajar tentang analisa yang Note Book LCD Papan Tulis Note Book LCD Papan Tulis Note Book LCD Papan Tulis

(38)

78

benar. E. Evaluasi

2. nstrumen ini digunakan minggu berikutnya setelah mahasiswa memahami materi.

F. Referensi

Minggu

XI Kondisi Teredam Kritis Rangkaian R-L-C orde II keadaan critically damped Ceramah Diskusi Latihan Soal

(39)

79

II. Keadaan teredam Kritis (“critically damped”)

Tentukan i (t) setelah s dipindahkan ke posisi 2.

Analisa :

Pada t < 0 (saklar pada posisi 1 ) Sebelum saklar dipindahkan

Karena saklar terhubung ke 1 dalam waktu yang cukup lama, mengakibatkan muatan pada kapasitor mencapai kejenuhan sehingga :

I (t) = 0

VC (t) = v

Juga berlaku untuk saat sebelum saklar S dipindahkan ke posisi 2, (t = 0-_{), berlaku:}

I (0-_{) = 0}

Vc (0-_{) = V}

Pada t > 0 (setelah saklar s dipindahlan) (t = 0+₎

Rangkaian :

Menurut hukum kirchoff II ( Σv = 0)

VR + VL + VC = 0 Atau :

∫

=

+

(

)

1 (

)

0 )

(

i

t

dt

C

dt

t

di

L

t

i

R

S t = 0 VR Vc Vt 2 1 + -R C L VR Vc Vt R

(40)

80

Bila persamaan (6) didifferensialkan dan disederhanakan :

0

1

2

=

+

i

C

dt

i

d

L

dt

di

R

0

1

2

=

+

i

LC

dt

di

L

R

dt

i

d

Dan menurut hukum kirchoff arus dalam rangkaian juga berlaku :

IR (t) = IL (t) = IC (t) = I(t) Persamaan ini merupakan persamaan differensial orde II homogen. Untuk solusi dari persamaan (6), diambil pemisalan :

i (t) = k1 es1t + k2 es2t

S1 dan S2 merupakan akar-akar karakteristik yang didapat dari persamaan :

S2₊

+

1 =

₀

LC

S

L

R

Nilai akar-akar karakteristik dapat dihitung :

S1 =

⎟

−

=

−

α

+

β

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

LC

L

R

L

R

1

2

2 S2 =

⎟

−

=

−

α

−

β

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

LC

L

R

L

R

1

2

2 Disini : α =

L

R

2

β =

L

LC

R

1

2

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

diketahui : ω0 =

LC

1

ω0 = frekuensi natural

Dalam keadaan teredam kritis, dimana α = ω0 atau β = 0 (akar real dan sama)

Dimana :

i (t) =

e

−αt

(

k

₁

+

k

₂

t

)

(20)

(41)

81

Kondisi awal induktor

0 )

(

)

0 (

)

0 (

−

=

+

=

t

i

0 = − 0+

(

₁

₊

₂

.

0

+

)

k

e

α (21) k1 = 0 (22)

sehingga persamaan (20) menjadi :

)

0 (

)

(

t

e

k

₂

t

i

=

−αt

+

= t

e

t

k

₂ −α (23)

Kondisi Awal kapasitor (dimana Vc (t) = V) Persamaan :

0 )

0 (

.

0

=

+

+ = +

v

dt

di

L

i

R

t

v

dt

di

L

t

−

=

+

+ = 0

0 L

v

dt

di

t

−

=

+ = 0 (24) Pesamaan (23) didiferensialkan : t

e

t

k

t

i

(

)

=

₂

.

−α

)

(

₂ t

e

k

d

dt

di

₌

₊

−α = k2 d (t e-αt) Misalkan : d(U.V) = U V’ + V U’ U = t U’ = 1 V = t t

e

V

e

−α

'

=

−

α

−α d (t. e-αt_{) = - t α e}-αt_{+ e}-αt Sehingga : di/dt = k2

(

− .

t

α

e

−αt

+

e

−αt

)

t t

e

t

k

e

k

dt

di

₌

−_α

₋

_α

−_α 2 2

.

(25)

(42)

82

untuk t = 0+_{(t > 0)} 0 2 0 2 0

.

0

α α

_α

− − =

−

=

+ +

e

k

e

k

dt

di

y 2 0

k

dt

di

t

=

= (26)

Substitusikan persamaan (24) ke persamaan (26)

2

k

L

V =

−

K2 = -

L

V

(27)

Maka, solusi lengkap untuk keadaan teredam kritis adalah :

t

e

t

L

V

t

i

(

)

=

−

.

−α (28)

(43)

83 SATUAN ACARA PENGAJARAN

A.Tujuan Instruksional 1. Umum

Mahasiswa dapat melakukan analisis rangkaian peralihan beban R-L-Cmelalui analisis matematis Persamaan Differensial orde II B.Pokok Bahasan

Analisa peralihan rangkaian listrik beban R-L-C C.Sub Pokok Bahasan

1. Rangkaian R-L-C orde II keadaan under damped D.Kegiatan Belajar Mengajar

Penyajian

Penutup

4. Latihan soal

7. Menjelaskan tugas yang harus dilakukan

mahasiswa dalam penggunaan rumusan. 8. Menutup pertemuan A. Menunjuk beberapa mahasiswa untuk menyajikan hasil latihan yang diberikan. B. Mengundang

C. Memberikan penilaian berupa koreksi dan analisa yang benar. D. Memberikan gambaran Memperhatikan materi. Memperhatikan dan mencatat Menjawab, memberikan sumbang saran. Memperhatikan dan mencatat Berlatih secara individual dari tugas yang diberikan. Menyajikan jawaban dari latihan yang diberikan Memberikan komentar atau pertanyaan Memperhatikan dan mencatat komentar pengajar tentang Note Book LCD Papan Tulis Note Book LCD Papan Tulis Note Book LCD Papan Tulis

(44)

84

analisa yang benar. E. Evaluasi

F. Referensi

Minggu ke-

Pokok Bahasan (Topik)

Substansi Metode XII Kondisi Teredam

Kurang

Rangkaian R-L-C orde II

keadaan under damped Ceramah Diskusi Latihan Soal