PERBANDINGAN MODEL PADA DATA DERET WAKTU PEMAKAIAN LISTRIK JANGKA PENDEK YANG MENGANDUNG POLA MUSIMAN GANDA OLEH GUMGUM DARMAWAN, SUHARTONO

PERBANDINGAN MODEL PADA DATA D ERET

WAKTU PEMAKAIAN LISTRIK JANGKA

PENDEK YANG MENGANDUNG POLA

MUSIMAN GANDA

OLEH

PENDAHULUAN

MODEL DATA DERET WAKTU

BERDASARKAN PARAMETER PEMBEDA (d)

ARMA

d = 0

ARIMA

d≠0, d = bil.bulat

ARFIMA

d= bil.Pecahan

LATAR BELAKANG MASALAH(1)

Granger dan Joyeux(1980) Hosking(1981) Sowell (1992) Geweke dan Porter-Hudak(1983) Reisen(1994) Robinson(1995) Hurvich dan Ray(1995) Velasco(1999a) Velasco(1999b) Beran(1994)

PERMASALAHAN

Bagaimana

membandingkan

tan

ketepa

ramalan Model

ARFIMA

dengan

Model

ARIMA pada data pemakaian lis

trik jangka

pendek yang mengandung pola musiman

ganda.

MODEL ARFIMA Musiman Ganda

 adalah polinomial AR(p)

nonmusiman

adalah polinomial MA(q) nonmusiman

Operator pembeda Pecahan

Operator Pembeda

musiman pertama dengan periode S1

Operator Pembeda

musiman kedua dengan periode S2 p p 2 2 1

B

B

..

B

1

)

B

(



















2 q 1 2 q

( B )

1

B

B

..

B























 

 









1 1 2 2 d _d k _k k 0 D s D s

d

1

B

1

B

k

1

B

1

B

 



 











 















 









1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 d s s D 1 s s D 1 p P P t q s s Q Q t B B B B B B z B B B a            

MODEL ARFIMA Musiman Ganda

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2

(

)

1

..

(

)

1

..

(

)

1

..

(

)

1

s s s Ps P P s s s P s P P s s s Qs Q Q s s Q

B

B

B

B

Polinomial AR musiman pertama

B

B

B

B

Polinomial AR musiman kedua

B

B

B

B

Polinomial M

A musiman pertama

B

B











































2



2 2 2 2

..

s Q s Q t

B

B

Polinomial M

Amusiman kedua

a

sisa yang diasumsikan berdistrib

usi Normal

IDENTIFIKASI MODEL ARFIMA Musiman

Ganda

a)

Membuat

plot

data

deret

dan

waktu

pilih

transformasi yang sesuai untuk menstabilkan varian,

jika data tidak stasioner dalam varian.

b)

Menaksir

nilai d (parameter

pembeda) melalui

statistik Hurst.



Jika H = 0,5 menunjukan gejala Short memory



0<H<0,5 menunjukan gejala Intermediate Memory



0,5<H<1 menunjukan gejala Long Memory

Dari nilai

H

dapat

diperoleh

nilai

d

melalui

persamaan Hurst sebagai berikut d = H-1/2.

c)

Membuat plot

ACF

dan PACF untuk memperkirakan

parameter p dan q

PENAKSIRAN PARAMATER

a)

Penaksiran Parameter pembeda (d)

a.1 Menentukan model spektral ARFIMA

a.2 Menentukan bentuk logaritma natural dari model

ARFIMA

 













2 _2d 2 q a Z exp( i ) f 2 sin , , 2 exp( i ) 2













 







  _{   }  _{   }    _{   }

 

 

 

 





dengan

2 _W W j W j Z j j

f

ln f

ln f

0

d ln 1

exp(i

)

ln

f

0

2

j

,

j

1,2,.... T / 2

T



















_





_















PENAKSIRAN PARAMATER MODEL

ARFIMA

a.3 Menambahkan bentuk logaritma natural

periodogram pada persamaan pada a.2

a.4 Menentukan bentuk periodogram dari persamaan

a.3.

GPH

 







 



 

 

 

 

 

i j f I 2 _{W j Z j} ln I_{Z j} ln f_W 0 dln 1 exp ln ln f_W 0 _f j Z 









     









































 



g( T )







Z j 0 j j j 1

1

I

2

cos(

)

,

,

2











 











 

PENAKSIRAN PARAMATER MODEL

ARFIMA

a.5 Menaksir parameter d melalui metode Ordinary Least Square.







 





  g T j j j 1 g n ₂ j j 1 x x y y ˆ d , g ( T ) T ,0 1 x x 



           

 

2 j Z j j j

Y



lnI



, X



ln1



exp

(

i



)





Uji Diagnostik Model ARFIMA

1.

Uji Signifikansi Parameter

2.

Uji White Noise dari Sisa

KRITERIA PEMILIHAN MODEL ARFIMA



Mean Square Error (MSE)

K = banyaknya sisa

M = banyaknya parameter yang diduga



Akaike’s Information Criterion

T

= banyaknya observasi

= estimasi dari Mean Square Error

MSE = SSE/(K - M)

M

2

ˆ

ln

T

AIC





_a

2



2 a





KRITERIA PEMILIHAN MODEL ARFIMA



Mean Absolut Percentage Error (MAPE)

h = 1, 2, 3, …, H.

h = banyaknya observasi yang akan

diramalkan (out-sample)

H h h 1 T h e 1 M APE x100% H  z     _{  }    

 

h T

ˆ

h T

e



_

Z



Z

h

METODE PENELITIAN



Identifikasi Model

a.) Membuat plot dari data de

ret waktu dan tentukan transfo

rmasi

yang sesuai untuk menstabilka

n varian, jika data tidak stas

ioner

dalam varian.

b) Mengidentifikasi nilai d melalui statistik Hurst.

c) Membuat plot ACF dan PACF

dari data deret waktu untuk

memperkirakan parameter p dan q.



Penaksiran Parameter

Model

yang

telah

diidentifikas

i

sebagai

model

ARFIMA

selanjutnya

dilakukan

enaksiran

p

parameternya.

METODE PENELITIAN



Uji Diagnostik

a) Menguji signifikansi param

eter model. Semua parameter

yang diikut sertakan dalam model harus signifikan. Pegujian

signifikansi biasanya menggunakan α = 0,05.

b)

Memeriksa

sampel

ACF

sisa

dari

untuk

mengevaluasi

apakah deret dari sisanya sudah tidak berkorelasi.

c) Menguji Normalitas dari s

isa melalui uji Kolmogorov

–

Smirnov.



Peramalan

Jika model sudah memenuhi semu a asumsi pada Uji Diagnistik

dilakukan peramalan. Dan

jika terjadi lebih dari satu m

odel

APLIKASI MODEL ARFIMA Untuk DATA

PEMAKAIAN LISTRIK DI PULAU BATAM

Time D at a 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80 10 0 12 0 14 0 16 0 Lag A u t o c o rr e la ti o n 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

Autocorrelation Function for x

(with 5% significance limits for the autocorrelations)

Lag P a rt ia l A u to c o r re la t io n 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

Partial Autocorrelation Function for x

(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

Scatterplot Data Deret Waktu Pola ACF Data Deret Waktu Pola PACF Data Deret Waktu

Lag A u t o c o rr e la ti o n 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag A u t o c o rr e la ti o n 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag A u t o c o rr e la ti o n 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

Pencarian Model ARFIMA TERBAIK

-31147 0,0257 Sampai lag 48 0,535 p = (1,2,3)(24,48), q = (1,2,3,4)(24)(168) 10 -29664 0,0289 Sampai lag 24 0,400 p = (1,2,3)(24,168), q = (1,2,3,4)(24) 9 -31034 0,0260 Sampai lag 18 0,400 p = (1,2,3), q = (1,2,3,4)(168) 8 -3109,6 0,0258 Sampai lag 18 0,400 p = (1,2,3), q = (1,2,3,4)(24,168) 7 -31028 0,0260 Sampai lag18 0,447 p = (1,2,3), q = (1,2,3,4)(168) 6 -31038 0,0259 Sampai lag 18 0,447 p = (1,2,3), q = (1,2,3,4)(24,48)(168) 5 -29674 0,0289 Sampai lag 18 0,447 p = (1,2,3)(24,168), q = (1,2,3,4)(24) 4 -29674 0,0290 Sampai lag 18 0,447 p = (1,2,3)(24,168), q = (1,2,3,4) 3 -31101 0,0258 Sampai lag 18 0,447 p = (1,2,3), q = (1,2,3,4)(24,168) 2 -31105 0,0258 Sampai lag 36 0,447 p = (1,2,3), q = (1,2,3,4)(24)(168) 1 AIC MSE White Noise Nilai d Parameter p dan q NO

MODEL ARIMA DAN ARFIMA TERBAIK



Model ARIMA(2,0,0)(1,1,0)

₂₄

(1,1,0)

₁₆₈ 

Model ARFIMA(3,d,4)(0,0,2)

₂₄

(0,1,1)

₁₆₈

dengan d = 0,535



2





24





24



168 168

1



0,739

B

,87

1



B

1

0,452



1

B

_{t t}

1

B



1

B

0,534





B

z

a













 









0,535 2 3 168 2 3 4 24 48 168

1

1,78

1,72

0,75

1

1

5

1

1,51

1,5

0,56

0,0

1

0,12

0,06

1

0,87

t t

B

B

B

B

B

z

B

B

B

B

B

B

B

a





























Pemilihan Model Terbaik Model ARIMA

dan ARFIMA

h S is a M o d e l 1 100 80 60 40 20 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 0 h S is a M o d e l 2 100 80 60 40 20 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 0 0,9% 0,0245 -31.147 ARFIMA(3,d,4)(0,0,1)₂₄(0,1,1)₁₆₈, d = 0,535 1,8% 0,0346 -27.005 ARIMA(2,0,0)(1,1,0)₂₄(1,1,0)₁₆₈ MAPE MSE AIC MODEL

KESIMPULAN

Berdasarkan

hasil

analisis

model Double

Seasonal ARFIMA lebih baik dibandingkan

dengan model Double Seasonal ARIMA dalam

memodelkan pemakaian listrik di Pulau Batam,

dilihat dari nilai AIC, MSE dan MAPE

DAFTAR PUSTAKA

 Geweke J dan Porter-Hudak,S. (1983), “The Estimation and Application of

Long Memory Time Series Models”, Journal of Time series Analysis,Vol. 4, hal. 221-238.

 Granger, C. W. J. dan Joyeux,R. (1980), “An Introduction to Long

-Memory Time Series Models and Fractional Differencing”, Journal of

Time Series Analysis, Vol. 1, hal. 15-29.

 Hosking, J.R.M. (1981), “Fractional Differencing”, Biometika, Vol. 68,

hal. 165-176.

 Hurst, H.E. (1951), “Long-Term Storage of Reservoirs: An Experimental

Study”, Transactions of the American Society of Civil Engineers, Vol. 116, hal. 770-799.

 Lopes, S.R.C dan Nunes,M.A. (2006), ”Long Memory Analysis in DNA

Sequences”, Physica A, Vol. 361, hal. 569-588.

 Lopes, S.R.C.,Olberman,B.P dan Reisen,V.A. (2004), ”A Comparison of

Estimation Methods in Non-Stationary ARFIMA Processes”, Journal of