Tunggal dalam Superkonduktor Tipe II
Hari Wisodo1,2, Pekik Nurwantoro1, Agung Bambang Setio Utomo1
1Jurusan Fisika FMIPA UGM, Yogyakarta, Indonesia
2Jurusan Fisika FMIPA UM, Malang, Indonesia, E-mail: wisodo [email protected]
Intisari : Telah berhasil disimulasikan gerakan vortex tunggal dalam superkonduktor tipe II di bawah pengaruh rapat arus eksternal melalui persamaan TDGL (Time Dependent Ginzburg-Landau) pada κ = 5. Diskretisasi persamaan TDGL menggunakan skema beda hingga standar. Simulasi dilakukan bagi superkonduktor 2D persegi 3ξ(T ) × 3ξ(T ) pada bidang xy yang terletak dalam medan H = −1, 85ˆk. Pada keadaan setimbang, superkonduktor dialiri rapat arus eksternal Jex = 0, 5ˆi untuk
memberikan gaya F = 2Bz(y)Jex,xˆj pada vortex tunggal agar bergerak ke arah y dengan kecepatan
v = E/Bz(y)ˆj. Keadaan ini menyebabkan vortex mengalir dari daerah medan magnet tinggi menuju
daerah dengan medan magnet yang lebih rendah. Aliran vortex tersebut melepaskan energi yang dikonversikan dalam bentuk tegangan listrik sepanjang lebar bahan.
Kata kunci : persamaan TDGL, arus eksternal, aliran vortex
1 PENDAHULUAN
Simulasi numerik masalah superkonduktor tipe II berdasarkan model Ginzburg Landau telah banyak dilakukan [1, 2, 3, 4]. Peneli-tian banyak dilakukan untuk superkonduk-tor tipe II mengingat bahan ini memiliki ap-likasi yang luas dan memiliki unjuk kerja yang tinggi menurut tanggap bahan terhadap medan magnet eksternal. Selain itu, ter-dapat beberapa pemicu terhadap tingginya minat penelitian dalam bidang ini. Perta-ma adalah penemuan bahan superkonduktor suhu tinggi oleh Bednorz dan Muller. Ked-ua adalah perkembangan teknologi nano yang sangat pesat sehingga fabrikasi bahan-bahan berskala nanometer dapat terwujud.
Pergerakan vortex dalam superkondktor mesoskopik memiliki peluang untuk diman-fatkan sebagai gerbang logika dasar [5]. Kare-na itu, diperlukan kajian yang mendalam ten-tang gerakan vortex akibat adanya rapat arus eksternal dalam bahan.
Dalam makalah ini, semua variabel
dis-ajikan dalam bentuk variabel ternormalisasi. Normalisasi setiap variabel ditunjukkan pa-da Tabel 1. Tanpa-da aksen (. . .0) setiap vari-abel pada tvari-abel tersebut menunjukkan bahwa variabel bersangkutan adalah variabel ternor-malisasi. Untuk alasan kepraktisan, dalam penulisannya tanda aksen ini tidak dican-tumkan.
2 PERSAMAAN TDGL
Persamaan TDGL (Time Dependent Ginzburg-Landau) ternormalisasi dibawah transformasi tera dengan tera potensial listrik nol adalah ∂Ψ ∂t = (∇ − iA) 2 Ψ + 1 − |Ψ|2 Ψ, (1) κ2∇ × ∇ × A = Js+ Jn+ Jex (2) dengan Js = (∇S − A) |Ψ|2 (3) Jn= − ∂A ∂t (4) κ2∇ × Hex = Jex. (5) 1
Tabel 1: Normalisasi variabel yang disajikan dalam satuan MKS
No. Variabel Normalisasi
1 Posisi r = ξ(T )r0 2 Operator Nabla ∇ = 1 ξ(T )∇ 0 3 Waktu t = ξ 2(T ) D t 0 4 Parameter Order Ψ = Ψ0(T )Ψ0
5 Potensial Vektor Magnet A = µ0Hc2(T )ξ(T )A0
6 Induksi Magnet B = µ0Hc2(T )B0
7 Rapat Arus Super Js=
Hc2(T )
ξ(T )κ2J 0 s
8 Rapat Arus Normal Jn=
Hc2(T )
ξ(T )κ2J 0 n
9 Rapat Arus Eksternal Jex =
Hc2(T )
ξ(T )κ2J 0 ex
10 Medan Magnet Eksternal H = Hc2(T )H0
11 Magnetisasi M = Hc2(T )M0
12 Konduktivitas Normal σ = 1 µ0Dκ2
σ0
Syarat batas bagi Ψ untuk superkonduktor yang berbatasan dengan bahan isolator atau vakum adalah
(∇ − iA)|nΨ = 0. (6) Syarat batas bagi A bergantung pada keadaan sistem yang dikaji. Tinjau bahan superkonduktor tipe II persegi dua dimensi berukuran Lx× Ly yang dialiri rapat arus
ek-sternal konstan Jex = Jex,xˆi, Gambar 1.
Ra-pat arus ini menginduksikan medan Hex =
Hex,zk di sisi atas dan Hˆ ex = −Hex,zk di sisiˆ
bawah yang sesuai dengan hukum Amp`ere. Kaitan antara kekuatan induksi magnet dan besar rapat arus eksternal tersebut adalah [6]
Hex,z =
Jex,xLy
2κ2 . (7)
Sekarang tinjau superkonduktor dua di-mensi pada bidang xy yang terletak dalam medan H = −Hzk tanpa ada Jˆ ex. Untuk
Hz > Hc2, vortex akan memasuki bahan dan
Gambar 1: Superkonduktor dua dimensi dialiri rapat arus eksternal konstan.
mengatur dirinya untuk mencapai keadaan se-timbang. Jika dalam keadaan ini pada bahan dialiri Jex, lihat Gambar 2, resultan medan di
sisi atas, Hu, dan di sisi bawah, Hd, menjadi
Hu = − Hz− Jex,xLy 2κ2 ˆ k, (8) Hd= − Hz+ Jex,xLy 2κ2 ˆ k. (9)
Gambar 2: Superkonduktor dalam medan H yang dialiri Jex.
Dari kedua persamaan ini tampak bahwa sisi bawah adalah daerah medan magnet ting-gi sedangkan sisi atas adalah daerah medan magnet yang lebih rendah.
Syarat batas bagi A di sisi-sisi superkon-duktor sebelum dialiri arus eksternal adalah
B = ∇ × A = H. (10)
Setelah dialiri arus eksternal syarat batas bagi A untuk sisi atas dan bawah adalah
B = ∇ × A = Hu, (11)
B = ∇ × A = Hd (12)
sedangkan untuk sisi kiri dan kanan tetap menggunakan persamaan (10).
3 METODE
Parameter benahan Ψi,j, potensial vektor
listrik Ai,j = (Ax;i,j, Ay;i,j, 0), induksi
mag-net Bi,j = (0, 0, Bz;i,j), dengan Bz;i,j = (∇ ×
A)z = (∂xAy;i,j − ∂yAx;i,j), serta variabel
penghubung Uµ;i,j = exp(−iκhµAµ; i, j)(µ =
x, y) didefnisikan di titik-titik grid komputasi persegi, r = (i, j), seperti ditunjukkan pa-da Gambar 3 [4]. Variabel penghubung diperkenalkan untuk menjaga invariansi tera di bawah diskretisasi.
Diskretisasi persamaan (1) dan (2) meng-gunakan skema diskretisasi beda hingga stan-dar dengan evolusi waktunya didekati dengan
Gambar 3: (a) Grid komputasi sistem yang dit-injau. (b) Titik-titik evaluasi untuk Ψ( ), Ux
dan Ax(2), Uy dan Ay(#), dan Bz;i,j(×) dalam
sel grid satuan dengan luas S = hxhydan keliling
l = l1+ l2+ l3+ l4.
metode Euler. Hasilnya adalah
Ψn+1i,j = Ψni,j+ ∆t ∂Ψi,j ∂t
n
+ (O∆t2)(13)
An+1x;i,j = Anx;i,j+ ∆t ∂Ax;i,j ∂t
n
+ (O∆t2)(14)
An+1y;i,j = Any;i,j + ∆t ∂Ay;i,j ∂t
n
+ (O∆t2).(15)
dengan suku dalam tanda kurung ruas kanan ketiga persamaan ini ditunjukkan pada per-samaan (16), (17), dan (18). Hasil perhitun-gan persamaan (13), (14), dan (15) merepre-sentasikan keadaan sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2 tanpa ada Jex. Ketika
su-perkonduktor dialiri Jex = Jex,xˆi, pada
per-samaan (17) ditambahkan Jex,x.
Simulasi dilakukan bagi superkonduktor ukuran 3ξ(T ) × 3ξ(T ) dengan κ = 5. Su-perkonduktor ukuran ini dapat menghasilkan vortex tunggal [7]. Dipilih Nx = Ny = 64
yang menghasilkan hx = hy = 0, 046875.
Batas secara teoritik untuk dt adalah dt < h2/2κ2 [1]. Karena itu dipilih dt =
∂Ψi,j
∂t = U∗
x;i−1,jΨi−1,j − 2Ψi,j + Ux;i,jΨx;i+1,j
h2 x
+ U
∗
y;i,j−1Ψi,j−1− 2Ψi,j+ Uy;i,jΨy;i,j+1
h2 y + 1 − |Ψi,j|2 Ψi,j (16) ∂Ax;i,j ∂t =
= Ux;i,jΨ∗i,jΨi+1,j
hx
−κ2 Ay;i+1,j − Ay;i,j − Ay;i+1,j−1+ Ay;i,j−1 hxhy
− Ax;i,j+1− 2Ax;i,j+ Ax;i,j−1 h2 y (17) ∂Ay;i,j ∂t =
= Uy;i,jΨ∗i,jΨi,j+1
hy
−κ2 Ax;i,j+1− Ax;i,j− Ax;i−1,j+1+ Ax;i−1,j
hxhy
− Ay;i+1,j − 2Ay;i,j+ Ay;i−1,j h2
x
(18)
0, 00002 untuk menjamin kestabilan perhi-tungan. Berdasarkan kurva magetisasi pa-da Gambar 4 ditetapkan Hz = 1, 85 yang
lebih besar dari Hc1. Setiap nilai −Mz(t)
pa-da Hz tertentu pada kurva tersebut dihitung
dengan rumus −Mz(t) = Hz − hBz;i,ji
de-ngan hBz;i,ji = PNx i=1 PNy j=1 Bz;i,j(t) NxNy , Bz;i,j = Ay;i+1,j − Ay;i,j hx −Ax;i,j+1− Ax;i,j hy sampai t = 100 karena pada t ini superkonduktor telah mencapai keadaan setimbang. Setelah terca-pai keadaan setimbang, jumlah vortex yang masuk dihitung dengan persamaan [8]
Nv= 1 2π Nx−1 X i=2 ! tan−1 = Ψ ∗ i,2Ψi+1,2 < Ψ∗ i,2Ψi+1,2 ! + Ny−1 X j=2 tan−1 = Ψ ∗ 2,jΨ2,j+1 < Ψ∗ 2,jΨ2,j+1 ! − Nx−1 X i=2 tan−1 =Ψ∗i,N yΨi+1,Ny <Ψ∗i,NyΨi+1,Ny − Ny−1 X j=2 tan−1 = Ψ ∗ Nx,jΨNx,j+1 < Ψ∗ Nx,jΨNx,j+1 ! .(19)
Aliran vortex tunggal diperoleh dengan langkah sebagai berikut. Menggunakan in-put seperti ditunjukkan pada paragraf di atas, hitung persamaan (13), (14), dan (15) sam-pai t = 100 yang mana supekonduktor telah mencapai keadaan setimbang. Pada t > 100
−Mz/Hc2(T ) Nv/Φ0
H/Hc2(T )
Gambar 4: Kurva magnetisasi (sumbu y kiri) dan jumlah vortex (sumbu y kanan) bagi su-perkonduktor ukuran 3ξ(T ) × 3ξ(T ) pada κ = 5.
masukkan Jex pada persamaan (17). Pada
keadaan ini syarat batas bagi A berbeda de-ngan keadaan pada t ≤ 100.
4 DINAMIKA VORTEX MENUJU
KEADAAN SETIMBANG
Dinamika vortex tunggal ketika menuju keadaan setimbang dideskripsikan pada Gam-bar 5 dan 6. Awalnya, energi bebas menurun drastis sampai t = 20 yang kemudian melam-bat sampai t = 45. Keadaan ini berulang pa-da waktu berikutnya. Energi bebas menurun dengan cepat antara t = 45 dan t = 55 ke-mudian melambat sampai akhirnya mencapai keadaan setimbang pada t = 60.
Perilaku magnetisasi bahan sama seperti energi bebas sampai t = 45, Gambar 5.b., yaitu ketika vortex telah mulai masuk ke dalam bahan, Gambar 5.c. Pada interval wak-tu antara t = 45 dan t = 60 magnetisasi jus-tru bertambah sampai akhirnya mencapai ni-lai setimbangnya pada 0, 00175. Keadaan ini dapat dipahami melalui perilaku vortexnya, Gambar 6. Vortex berusaha masuk dengan cepat dari keempat sisi bahan sampai t = 20. Setelah itu vortex mengalami perlambatan dengan kuat. Pergerakan vortex untuk ma-suk akhirnya tertahan. Sebagian vortex yang telah masuk dari sisi kiri, kanan, dan atas se-cara berangsur-angsur keluar dari bahan un-tuk berpindah masuk dari sisi bawah. Seba-gian vortex yang telah masuk dari sisi atas meninggalkan bahan lebih cepat dari vortex di sisi kanan dan kiri, t = 35, 42. Akhirnya vortex dalam keadaan meta stabil berhasil masuk dari sisi bawah pada t = 42. Sete-lah itu vortex mengatur dirinya untuk menca-pai keadaan setimbangnya. Gambar 7 menun-jukkan keadaan vortex tunggal pada keadaan setimbang.
5 ALIRAN VORTEX
Aliran vortex dalam superkondutor karena adanya rapat arus eksternal ditunjukkan pada Gambar 8. Tampak bahwa vortex mengalir dari daerah medan maget tinggi menuju daer-ah medan magnet renddaer-ah. Kedaan ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Dalam keadaan setimbang induksi magnet dalam bahan sama dengan medan magnet luar, Bz = Hz. Jika
rapat arus homogen dilewatkan pada bahan dalam arah x, persamaan (5) memberikan
κ2∂Bz
∂y = Jex;x. (20)
Artiya induksi magnet Bz(y) bervariasi dalam
rentang B0
z + ∆Bz dan Bz0. Arus
total-nya diberikan oleh I = κ2∆Bz. Energi
be-bas Ginzburg-Landau dapat dituliskan seba-gai [1, 9, 10] E = Z V fn− |Ψ|2 + 1 2|Ψ| 4+ |(∇ − iA) Ψ|2 +κ2(∇ × A − H)2dv.(21)
Suku terakhir pada persamaan ini adalah sumbangan dari rapat energi medan. Karena itu, rapat energi Bz adalah κ2Bz2(y). Gradien
dari rapat energi ini menghasilkan rapat gaya Lorentz atau tekanan magnet:
Fy = ∂ ∂y κ 2B2 z(y) = 2κ2Bz(y) ∂Bz(y) ∂y (22) yang dapat diungkapkan dalam bentuk rapat arus eksternal menjadi
Fy(y) = 2Bz(y)Jex;x. (23)
Gaya inilah yang mendorong vortex berger-ak ke arah y. Karena itu, vortex masuk ke dalam bahan dari sisi bawah, bergerak melin-tasi bahan, dan meninggalkan bahan dari sisi atas. Dengan cara inilah fluks magnet berg-erak dari daerah medan magnet tinggi menu-ju daerah dengan medan magnet yang lebih rendah. Penjelasan serupa telah digunakan T. Winiecki untuk menjelaskan aliran banyak vortex dalam superkonduktor [11].
Disipasi dalam superkonduktor tipe II terkait dengan gerak vortex. Karena rapat en-ergi diberikan oleh kuadrat kekuatan induksi magnet, transport ini melepaskan energi yang dikonversikan dalam bentuk tegangan sepan-jang lebar bahan. Kerapatan lokal vortex se-banding dengan medan magnet lokal, Bz(y).
Karena itu, kecepatan vortex terkait dengan medan lokal adalah vy(y) = α/Bz(y).
Koe-fisien α dapat dikaitkan dengan energi yang terlepas dari induksi magnet relaksasi menja-di energi listrik, −∆E = V I∆t, dengan V = ELy adalah tegangan sepanjang bahan dan
Ly adalah lebar bahan. Diketahui fluks
mag-net yang masuk dan meninggalkan superkon-duktor sebesar ΦB = vy(y)∆tBz(y).
Ener-gi disipasi total per satuan waktu ∆t dalam bentuk fluks magnet ini adalah ∆E = ΦBILy
yang dapat diungkapkan menjadi ∆E = Ly∆t α B0 κ2B02 − α B0+ ∆Bz κ2(B0+ ∆Bz)2) (24)
Dibawah asumsi paling sederhana bahwa medan listrik tidak bergantung pada y (tidak ada muatan lokal) diperoleh kecepatan vortex
vy =
E Bz(y)
Analisis di atas juga berlaku jika |B0 z| <
|∆Bz|, dengan kata lain, jika Bz(y) = 0
pada suatu garis. Dalam kasus ini, vortex berlawanan tanda masuk dari kedua sisi ba-han dan menganihilasi dimana Bz(y) = 0.
6 KESIMPULAN
Aliran vortex tunggal dapat dihasilkan de-ngan cara mengaliri superkonduktor keadaan setimbang pada bidang xy dalam medan H = −Hzk dengan rapat arus eksternalˆ
Jex = Jex,xˆi untuk memberikan gaya F =
2Bz(y)Jex,xˆj pada vortex tunggal agar
berger-ak ke arah y dengan kecepatan v = E/Bz(y)ˆj.
Keadaan ini menyebabkan vortex mengalir dari daerah medan magnet tinggi menuju daerah dengan medan magnet yang lebih ren-dah. Aliran vortex tersebut melepaskan ener-gi yang dikonversikan dalam bentuk tegangan listrik sepanjang lebar bahan.
PUSTAKA
[1] T. Winiecki dan C. S. Adams, 2002, A Fast Semi-Implicit Finite-Difference Method for the TDGL Equations, Jour-nal of ComputatioJour-nal Physics, 179, hlm. 127139
[2] Hernandes 2002 Hern´andes , A. D., Dom´ınguez D., 2002, Surface Barrier in Mesoscopic Type I and Type II Super-conductors, Physical Review B, Vol. 65, No. 144529, hal. 1 - 12.
[3] Crabtree G. W., Gunter D. O., Kaper H. G., Koshelev A. E. Leaf G. K., dan Vinokur V. M., 1999, Numerical Simula-tions of Driven Vortex Systems, Preprint ANL/MCS-P764-0699, Argonne Nation-al Laboratory, Argonne, III, 1999
[4] Gropp, W. D., Kaper, H. G., Leaf, G. K., Levine D. M., Palumbo M. dan Vi-nokur V. M., 1996, Numerical Simula-tion of Vortex Dynamics in Type-II Su-perconductors, Journal of Computation-al Physics, 123, hComputation-al. 254-266.
[5] Hari W., Pekik N., Agung B.S.U, 2010, Disain Arus Vortex sebagai Gerbang Logika Dasar, Makalah dalam Seminar Fisika Nasional FMIPA UGM
[6] M. Machida, H. Kaburaki, 1994, Numeri-cal Simulation of Flux-Pinning Dynamics for a Defect in a Type-II Superconductor, Physical Review B, 50, hlm. 1286-1289 [7] P.N. Lisboa-Filho, A.L. Malvezzi, E.
Sardella, 2008, Minimum size for the oc-currence of vortex matter in a square mesoscopic superconductor, Physica B 403 (2008) 14941496
[8] Hari W., Pekik N., Agung B.S.U, 2009, Kajian Dinamika Vortex dalam Supekon-duktor Mesoskopik, Makalah dalam Sem-inar Hasil Penelitian Staf dan Mahasiswa S3 FMIPA UGM
[9] D. R. Tilley dan J. Tilley, 1990, Super-fluidity and Superconductivity, Bristol: IOP Publishing Ltd, hlm. 295, 299 [10] Waldram, J. R., 1996,
Superconductiv-ity of Metais adn Cuprates, Intitute of Physics, London, hlm. 43
[11] T. Winiecki, 2001, Numerical Studies of Superfluids and Superconductors, Diser-tasi tidak dipublikasikan, hlm. 87 - 88.
gs− fn µ0Hc2(T ) (a) t/(ξ2(T )/D) −M/Hc2(T ) (b) t/(ξ2(T )/D) Nv/Φ0 (b) t/(ξ2(T )/D) Gambar 5: Kurva rapat energi bebas (a), mag-netisasi (b), dan jumlah vortex sebagai fungsi waktu.
(a) t = 0, 1 (b) t = 20
(c) t = 35 (d) t = 42
(e) t = 45 (f) t = 48
(g) t = 50 (h) t = 100 Gambar 6: Perilaku vortex tunggal untuk mencapai keadaan setimbang dalam bahan su-perkonduktif ukuran 3ξ(T ) × 3ξ(T ) pada H = 1, 85Hc2(T ) dan κ = 5.
y/ξ(T ) (a)
y/ξ(T ) (b)
|Ψ(x)|2 (c) B
z(x)
x/ξ(T )
Gambar 7: Keadaan vortex tunggal setimbang dalam superkonduktor ukuran 3ξ(T ) × 3ξ(T ) pa-da H = 1, 85Hc2(T ) dan κ = 5 saat t =
100ξ2(T )/D. (a) Kontur |Ψ(r)|2, (b) kontur in-duksi magnet, dan (c) sayatan kedua kontur di y = 1, 5ξ(T ).
(a) t = 100, 5 (b) t = 101, 0
(c) t = 101, 4 (d) t = 102, 1
(e) t = 102, 5 (f) t = 102, 9
Gambar 8: Arus vortex tunggal dalam su-perkonduktor 3ξ(T ) × 3ξ(T ) pada κ = 5, H = 1, 85Hc2(T ), dan Jex,x= 0, 00005.
