Kuliah 1 Sistem Satuan

Kuliah Fisika Dasar

Satuan Acara Perkuliahan

KULIAH I BAB I BESARAN POKOK 1. SISTEM SATUAN

2. BESARAN TAK TERDEFINISIKAN 3. STANDAR DAN SATUAN

4. SIMBOL BESARAN FISIKA BAB II KINEMATIKA PARTIKEL 1. GERAK PARTIKEL

KULIAH II & III

2. KECEPATAN DAN PERCEPATAN

3. KECEPATAN DAN PERCEPATAN SESAAT

4. GERAK LURUS DENGAN PERCEPATAN KONSTAN 5. GERAK DALAM BIDANG DATAR

6. GERAK MELINGKAR

Satuan Acara Perkuliahan

KULIAH IV & V BAB III DINAMIKA PARTIKEL 1. HUKUM NEWTON

2. BERAT DAN MASSA 3. GAYA GESEKAN

4. GAYA SENTRIPETAL 5. GAYA GRAVITASI

6. BATAS BERLAKUNYA MEKANIKA NEWTON KULIAH VI

QUIZZZ 45 MENIT

BAB IV USAHA DAN ENERGI 1. PENGERTIAN UMUM

2. USAHA OLEH GAYA YANG BERUBAH 3. DAYA

Satuan Acara Perkuliahan

KULIAH VII & VIII BAB IV USAHA DAN ENERGI

4. ENERGI POTENSIAL PEGAS

5. ENERGI POTENSIAL GRAVITASI 6. HUKUM KEKEKLAN ENERGI

BAB V MOMENTUM LINIER 1. GAYA IMPULS

2. MOMENTUM PARTIKEL 3. PUSAT MASSA

Satuan Acara Perkuliahan

KULIAH IX & X BAB V MOMENTUM

5. TUMBUKAN

BAB VI STATIKA DAN DINAMIKA FLUIDA 1. STATIKA FLUIDA

2. TEKANAN DALAM FLUIDA 3. TEGANGAN PERMUKAAN 4. ALIRAN FLUIDA

Satuan Acara Perkuliahan

KULIAH XI & XII

BAB VI STATIKA DAN DINAMIKA FLUIDA 1. DINAMIKA FLUIDA

2. PERSAMAAN KONTINUITAS 3. PERSAMAAN BERNOULLi

KULIAH XIII & XIV 1. QUIZZZ

2. HUKUM STOKES

3. PENERAPAN STATIKA DAN DINAMIKA FLUIDA 4. KISI-KISI

KEDUDUKAN / TETRAHEDRON

BASIC SCIENCE (ILMU PENGETAHUAN ALAM)

GE OLO GI FISIKA KIM IA BIOLOGI PALE ON TO LO GI BIO KIM IA GEOKIMIA FISIKA KIMI A GEOF_ISIKA

IPTEK PENGUKURAN BESARAN DASAR SISTEM SATUAN GAMBARAN KUALITATIF OUTPUT/ MODEL

Ilmu Fisika disebut juga ilmu pengukuran

(Science of Measurements).

Lord Kelvin (1824 – 1907) :

When you can measure what you are speaking

about and express it in numbers, you know

something about it; but when you cannot

ex-press it in numbers, your knowledge is of a

meager and unsatisfactory kind, it may be the

beginning of knowledge; but you scarcely, in

your thoughts, advanced to the stage of

SATUAN DALAM SISTEM INTERNASIONAL

Dalam sejarah tercatat bahwa sejak zaman

purba manusia telah melakukan pengukuran,

misalnya terhadap panjang, luas, berat, waktu

dan lain-lainnya.

Penggunaan satuan pengukuran untuk setiap

kelompok (bangsa) tentu pada awalnya

ber-beda-beda. Namun keadaan tersebut belum

menimbulkan masalah karena interaksi dan

komunikasi antar kelompok (bangsa) tidak

begitu intensif.

Dengan semakin majunya peradaban manusia,

teknologi dan alat komunikasi,

ketidaksera-gaman

penggunaan satuan mulai terasa

meng-ganggu dan menimbulkan hambatan dalam

usaha mengembangkan ilmu pengetahuan.

Sebagian pakar mulai memikirkan dan berusaha

mendapatkan satuan yang bersistem, mudah

dalam pemakaian maupun perhitungan dan

dapat diterima semua pihak.

Aturan dan Konvensi Sistem Internasional

1. Cara menulis satuan

Nama satuan dasar dan satuan jabaran

apabila ditulis lengkap

tidak memakai

huruf kapital. Huruf kapital hanya dipakai

pada singkatan dan tidak diikuti tanda titik.

10 newton

273 kelvin

V

10 N.

5 a

10 Newton

V

10 n

X

5 Ampere

X

X

5 A

_V

X

5 ampere

_V

X

X

10

o

Celcius

V

273

X

o

K

273 K

V

10

o

C

V

273 Kelvin

X

10

o

celcius

2. Penulisan Bilangan dan Tanda desimal

Bilangan ditulis sebagai hasil kali suatu

bilangan real antara 1 s/d 10 dengan pangkat

dari bilangan 10.

Contoh:

Jarak Bumi – Matahari 150.000.000.000 M

= 1,5 x 10

11

meter

0,00000001 → 1,0 x 10

-8

3. Penulisan Satuan jabaran

Pemakaian tanda solidus (/) diperbolehkan,

tetapi tidak digalakkan. Untuk tulisan resmi

lebih baik menggunakan tanda pangkat.

Contoh:

100 N/meter

2

(boleh)

Contoh :

a. Hitung : 120 x 6000

b. Hitung : 3.000.000/0,00015

Jawab :

a. 120 x 6000 = (1,2x10

2

)(6,0x10

3

)

= (1,2)(6,0) x 10

2+3

= 7,20 x 10

5

b.

3,0 x 10

6

1,5 x 10

-4

=

3,0

1,5

x 10

6-(-4)

= 2,0 x 10

10

Konversi Satuan

Suatu besaran fisik harus terdiri dari bilangan

dan satuan. Jika bilangan-bilangan

dijumlah-kan, dikurangdijumlah-kan, dikalikan atau dibagi dalam

suatu persamaan aljabar, maka satuannya juga

harus diperlakukan sama seperti bilangannya.

Bentuk umumnya:

Besaran = Nilai numerik Satuan

Contoh:

Contoh :

Pada persamaan X = V

_o

.t + ½ a.t

2

.

Bila X dalam satuan meter, maka suku V

_o

.t dan

½ a.t

2

juga harus menghasilkan satuan meter.

Bila t dinyatakan dalam satuan detik maka

sa-tuan V

_o

= M dt

-1

sedangkan satuan a=M dt

-2

.

Faktor ½ hanyalah suatu bilangan tanpa satuan.

Misalkan diberi nilai V

_o

= 10 Mdt

-1

; a = 4Mdt

-2

dan t = 10dt, maka persamaan di atas dapat

diselesaikan menjadi:

X = 10 M dt

-1

. 10 dt + ½. 4 M dt

-2

. [10 dt]

2

= 10 M . 10 + ½. 4 M. 10.10 = 100M + 200M

= 300meter.

Contoh :

Berapa mil jarak yang

di-tempuh sebuah mobil yang

melaju dengan kecepatan

konstan 80km/jam selama 3 jam ?

(Diketahui 1 mil = 1,61 km)

Jawab:

X = v.t



240

km

jam

km

80





x3

jam

Jika akan diubah satuannya dari km jadi mil :

240km = 240km x 1 mil

Contoh :

Hitung nilai ekivalen 90km/jam

ke-dalam meter/dt !

Faktor konversinya :

1 menit 60 ; 1 menit 1 dt 60 ; 1 km 1 m 1000    jam 1

Oleh karena itu:

90km 1000m 1 jam 1 menit

1 jam 1 km 60 menit 60 detik

x x x

=

9,0 x 10

4

90

Besaran tak terdefinisikan

Dalam mendefinisikan suatu besaran dalam

Ilmu Fisika harus terkandung kaidah

menghitung besaran yang bersangkutan

berdasarkan besaran lain yang dapat diukur.

Misalnya:

• Kecepatan didefinisikan sebagai hasil bagi

antara Panjang dan Waktu

• Momentum adalah hasil kali antara Massa

dan Kecepatan.

• Usaha adalah hasil kali antara Gaya dan

Panjang

Namun selanjutnya, besaran Panjang, Waktu

dan Massa tidak dapat didefinisikan lagi secara

lebih mendasar dan lebih sederhana lagi.

Oleh sebab itu, Panjang, Waktu dan Massa

dinamakan besaran mekanika yang tak

ter-definisikan.

Semua besaran mekanika dapat diungkapkan

berdasarkan tiga besaran tersebut.

Tentukan besaran dasar untuk :

1. Daya

2. Kerja/usaha

3. Energi

STANDARD DAN SATUAN

Kaidah untuk mengukur besaran mekanika yang

tak terdefinisikan ditentukan oleh badan

interna-sional yang bernama

General Conference on

Weights and Measures

, yang bertugas

menetap-kan suatu standar untuk setiap besaran yang tak

terdefinisikan.

Standar ini dapat berupa suatu barang nyata,

dengan syarat bahwa sifatnya tidak boleh

ber-ubah-ubah dalam jangka waktu yang lama.

Besaran Panjang

• Pada tahun 1889, standar panjang dibuat dari

bahan campuran Platinum-Iridium yang

takan sebagai satu meter.

• Pada 14 Oktober 1960, GCWM mengganti

standar panjang berdasarkan suatu konstanta

atom, yaitu panjang gelombang cahaya merah

jingga yang dipancarkan oleh atom Kripton

86

.

Besaran Massa

Standar untuk besaran massa adalah “massa

dari suatu silinder yang terbuat dari bahan

campuran Platinum-Iridium” dan diberi nama

satu kilogram.

Standar Waktu

• Standar waktu yang digunakan sampai tahun

1960-an adalah “selang waktu antara saat

matahari berada di atas kepala sampai posisi

yang sama pada keesokan harinya”, dihitung

rata-ratanya dalam satu tahun dan dinamakan

‘satu hari rata-rata hari matahari’ (mean

solar day).

• Antara tahun 1960-1967, standar tersebut

ganti dengan metoda tahun tropik 1900

pical year 1900), yaitu waktu yang diperlukan

matahari pada tahun 1900 untuk bergerak dari

titik vernal equinox, lalu kembali lagi ke titik tsb.

• Pada bulan Oktober 1967, metoda tahun tropik

diganti lagi menggunakan waktu periodik

diasi yang bersesuaian dengan transisi antara

dua tingkat energi atom Cesium

133

.

Besaran Standar Alat Ukur Satuan

Panjang _{ Cahaya}

merah-jingga atom Kr86_.

Interferometer-Optik 1m=1.650.763,73

Massa Silinder

Platinum-Iridium

Neraca sama lengan

1kg

Waktu Waktu periodik

transisi antara dua tingkatan energi atom Cs133.

Jam atom

1dt=9.192.631.770 periode atom Cs

BAB II

KINEMATIKA PARTIKEL

Kinematika merupakan bagian dari mekanika yang menyelidiki gerak suatu benda/partikel, tanpa memperhatikan penyebab gerak tersebut, dengan cara menentukan posisi benda pada setiap saat, sehingga diperoleh hubungan kecepatan/laju ben-da setiap saat ben-dan perubahannya terhaben-dap waktu.

Dalam kondisi sebenarnya di jagad raya tidak ada benda yang benar-benar berupa benda titik. Akan tetapi pengertian benda-titk) partikel sangat bermanfaat sebab gerak benda yang sebe-narnya seringkali dapat didekati dengan gerak partikel. Untuk selanjutnya dalam kuliah ini yang dimaksud dengan benda

Pada umumnya gerak suatu benda dianggap sebagai gabung-an gabung-antara gerak trgabung-anslasi dgabung-an gerak rotasi. Jika benda ygabung-ang di-kaji berukuran jauh lebih kecil dari pada lintasan translasi,

maka gerak rotasinya dapat diabaikan, sehingga cukup diba-has gerak translasi saja.

1.2. KECEPATAN

Gerak yang paling sederhana dari suatu benda adalah gerak pada garis lurus yang disebut gerak lurus beraturan. Dalam mengamati gerak suatu partikel perlu dicatat posisi partikel sebagai fungsi waktu.

0 x₁ x₂ x₃ x₄

Tabel Posisi Benda Terhadap Waktu t (dt) X(m) 0 0,0 1 4,9 2 19,6 3 44,1 4 78,4 5 122,5

Selang waktu antara t₁ dan t₂  t = t₂ - t₁

Sedangkan perubahan posisi benda dalam selang tersebut dinyatakan sebagai perpindahan benda  x = x₂ – x₁.

1.2.1 KECEPATAN RATA-RATA

Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t₁ dan t₂ dituliskan:

1 2 1 t t x x t x V 2      

Kecepatan rata-rata bergantung pada besar selang waktu dan pada bagian mana selang digunakan:

T₁ (dt) T₂ (dt) _t X₁ (m) X₂ (m) _x V 0 0 0 2 1 2 3 3 1 2 3 1 0 0 0 19,6 4,9 9,8 43,1 43,1 4,9 9,8 43,1 33,1 4,9 4,9 14,3 33,3

Kecepatan rata-rata memberi keterangan yang kasar tentang gerak benda dalam selang waktu tertentu, tanpa mempedulikan bagaimana posisi berubah dengan waktu dalam selang tersebut.

0 x₁ x₂

t₁ t₂ T

X

Pada kurva X-T kecepatan rata-rata dilukiskan oleh kemiringan talibusur PQ, karena kemiringan tersebut merupakan perban-dingan x dan t.

P

Q

Dengan demikian persamaan (2.1) dapat dituliskan : x₂ – x₁ = v ( t₂ – t₁ ) (2.2)

Jika t₁ = 0 dan t₂ adalah sebarang, sedangkan posisi benda pada saat t = 0 adalah x₀ dan pada saat t posisinya x, maka:

Bila pada saat t = 0 posisi benda di titik 0 maka: x – x₀ = v.t . . . (2.3)

x = v.t . . . . (2.4) 1.2.2 KECEPATAN SESAAT

Kecepatan suatu partikel pada suatu saat t tertentu atau pada suatu titik sepanjang lintasannya disebut kecepatan sesaat. Dengan demikian kecepatan pada saat t dapat ditentukan jika dihitung kecepatan rata-ratanya dalam selang waktu t di seki-tar t dan selang waktu ini diperkecil terus hingga mendekati 0. Secara matematik dinyatakan:

t

x

lim

)

t

(

v

0 t







  ………(2.5)

Misalkan pada contoh di atas akan dihitung kecepatan sesaat pada t = 3 dt, maka harus dilakukan pengukuran sangat teliti pada t di sekitar 3 dt, sehingga dapat ditentukan lim v pada selang waktu t0.

Hasil pengukuran dapat ditabelkan seperti berikut:

t₁ (dt) t_{2 (dt) t} x₁ (m) x₂ (m) _x V (m.dt-1₎ 3 3 3 3 3 3 3 4,00 3,50 3,20 3,10 3,05 3,02 3,01 1,00 0,50 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 44,1 44,1 44,1 44,1 44,1 44,1 44,1 78,40 60,22 50,18 47,09 45,58 44,69 44,395 34,30 15,92 6,08 2,99 1,48 0,59 0,295 34,36 31,84 30,44 29,90 29,60 29,50 29,50

Nyata bahwa jika t0 maka x juga mendekati 0, namun;

tidak mendekati nol, akan tetapi menuju suatu nilai.

t

x

v







Nilai yang didekati adalah: lim ( ) 0 t v t x t    

Seringkali tabel antara waktu (t) dan posisi (x) digantikan

dengan persamaan gerak berbentuk fungsi x(t). Dalam hal ini, perpindahan ∆x adalah menyatakan beda posisi pada saat (t+∆t) dengan posisi pada saat t.

Oleh karena itu dapat dituliskan ∆x = x(t+∆t) - x(t), sehingga kecepatan sesaat v(t) dapat ditulis sebagai:

t t t x t x t v       x(t) -lim lim 0 t 0 t ) ( ) (      Akan tetapi t t t x    x(t) -lim 0 t ) ( 

 merupakan definisi turunan x(t)

terhadap t, yaitu: dx dt Sehingga dt dx lim 0 t    t x t v    ) ( . …………. (2.6) …..(2.7)

S O A L

1. Suatu benda bergerak mengikuti fungsi x(t) = 5t3+2t

Hitunglah kecepatan sesaat pada t=2dt?

2. Suatu partikel bergerak berdasarkan persamaan

x = a + bt + ct2; dimana a=10cm, b =8cm.dt-1, c=4cm.dt-2

Hitunglah:

a. Perpindahan partikel dalam selang t₁=2dt dan t₂=4dt. b. Kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut. c. Kecepatan sesaat pada t=3dt

PERCEPATAN

Pada umumnya saat benda bergerak, kecepatannya juga

berubah-ubah terhadap waktu. Laju perubahan kecepatan ini disebut percepatan. Dalam hal ini benda dikatakan bergerak dengan gerak yang dipercepat.

Seperti dalam pembahasan kecepatan, disini juga dikenal pe-ngertian percepatan rata-rata dan percepatan sesaat.

Jika pada saat t₁ benda mempunyai kecepatan v₁, t₁ v₁ dan pada saat t₂ kecepatannya v₂, t₂ v₂

maka percepatan rata-ratanya dalam selang waktu ∆t = t₂ – t₁, dinyatakan oleh:

t v t t v a       1 2 1 2 v …………. (2.8)

Percepatan sesaat

Dengan cara yang sama seperti pada saat menentukan kece-patan sesaat, maka percekece-patan sesaat dapat ditentukan. An-daikan pada grafik 2.2 titik Q diambil semakin mendekati P, dan misalkan percepatan rata-rata dihitung untuk selang wak-tu yang sangat pendek; Maka percepatan sesaat pada saat tertentu atau pada suatu titik dapat didefinisikan sebagai nilai

limit percepatan rata-rata bila selang waktu diambil mendekati 0.

0 v₁ v₂ t₁ t₂ T V P Q

dt

dv

t

v

a

t













lim

0

Percepatan sesaat pada setiap titik sepanjang grafik tersebut sama dengan ke-miringan garis singgung pada titik tersebut.

_{Percepatan juga dapat dituliskan dalam bentuk yang lain:} Karena v = dx_dt ; maka: 2

dt

x

dt

dx

a

2

d

dt

d

dt

dv



















Persamaan ini menyatakan bahwa percepatan merupakan turunan kedua posisi terhadap waktu.

_{Selain itu percepatan dapat ditulis dalam bentuk yang lain lagi:}

dx

dv

v

dt

dx

dx

dv

dt

dv

a







yang menyatakan percepatan dalam bentuk perubahan kecepatan dalam ruang.

………….. (2.10)

SOAL

Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v = a + bt + ct3;

dimana a=8m.dt-1; b=3m.dt-2; c=1m.dt-4; (t dalam detik)

Hitunglah:

1. Perubahan kecepatan dalam selang waktu antara t₁=2dt dan t₂=5dt.

2. Percepatan rata-rata dalam selang waktu tersebut. 3. Percepatan pada saat t = 3 detik.

GERAK LURUS DENGAN PERCEPATAN KONSTAN

Gerak lurus dipercepat yang paling sederhana adalah gerak lurus dengan percepatan konstan (Gerak Lurus Berubah

Beraturan), dimana kecepatan benda berubah secara teratur selama gerak berlangsung.

Dalam grafik v-t, pertambahan kecepatan rata-rata akan sama besar di dalam selang waktu yang sama, sehingga grafiknya merupakan garis lurus.

v_o v V t T v v_o a.t

Kemiringan talibusur antara sebarang dua titik sepan-jang garis itu sama dengan kemiringan garis singgung di sebarang titik tersebut.

Sifat lain dari benda yang mengikuti GLBB adalah bahwa per-cepatannya akan sama besar dengan percepatan sesaat.

Oleh karena itu dalam persamaan (2.8), percepatan rata-rata dapat diganti dengan percepatan konstan (a):

1 2 1 2

t

t

v

v

a







Selanjutnya bila t₁ = 0 dan t₂ adalah sebarang waktu t, sedang-kan v_o merupakan kecepatan pada saat t=0 (v_o=kecepatan

awal), dan v adalah kecepatan pada saat t, maka persamaan diatas dapat ditulis menjadi:

0







t

v

v

a

o _{atau v = v} o + a.t ………… (2.12)

Untuk menghitung perpindahan benda yang bergerak dengan percepatan konstan, maka kecepatan rata-rata pada sebarang selang waktu akan sama dengan setengah dari jumlah kece-patan pada awal dan akhir selang waktu tersebut. Sehingga kecepatan rata-rata antara t=0 dan t adalah:

2

v

v



v

o



Persamaan ini tidak berlaku bila percepatannya tidak konstan. Dengan demikian posisi benda pada sebarang t adalah:

x = v.t

……….. (2.13)

………… (2.14) Substitusi persamaan (2.13) dan (2.14)

t

.

2

v

v

x



o



………… (2.15)

Bentuk persamaan lain yang sering digunakan dalam mem-pelajari gerak benda, dapat diturunkan sbb.:

Substitusi (2.12) dan (2.15), yakni ruas kanan (2.12) masuk-kan sebagai v pada persamaan (2.15) sehingga:

t t a v_o . 2 .    vo x 2 . .t  a t2  2 vo x ……… (2.16) atau 2 2 1

_.

.

t



a

t



v

_o

x

……… (2.17)

Bila harga t dicari berdasarkan persamaan (2.12) kemudian dimasukkan ke dalam persamaan (2.15) akan diperoleh:

a

v

a

v

v

v

_{o o}

2

.

2

2











v

o

v

2

x

atau

x

a

v

_o2



2

.



2

v

……… (2.18)

Persamaan (2.12), (2.15), (2.17) dan (2.18) merupakan per-samaan gerak dengan percepatan konstan, khusus untuk gerak dimana benda berada di titik awal (x=0) pada t = 0.

Grafik x-t dari persamaan (2.17) merupakan garis lengkung berbentuk parabola, yang menggambarkan persamaan gerak dengan percepatan konstan.

Kemiringan = v Kemiringan = v_o T t X x

Kemiringan garis singgung pada t=0 menyatakan kecepatan

awal v_o sedangkan kemiringan garis singgung pada saat t meru-pakan kecepatan v pada saat itu. Kasus khusus untuk perce-patan konstan adalah kalau perceperce-patannya sama dengan nol. Dalam hal ini kecepatan akan menjadi konstan dan persamaan geraknya menjadi lebih sederhana: v = konstan

Metoda Penentuan Persamaan Gerak x(t)

Bila posisi suatu benda yang bergerak mengikuti fungsi waktu t, maka percepatan benda dapat diperoleh dari diferensialnya.

Diferensiasi yang ke-2 akan menghasilkan percepatan. Proses tersebut sekarang dibalik dengan mengintegralkan suatu persa-maan percepatan sehingga diperoleh kecepatannya. Integral kedua akan menghasilkan posisi benda.

 _{Metoda Integral Tanpa Batas}

1. Misalkan suatu benda bergerak dengan percepatan sebagai fungsi dari waktu t, yaitu a(t)

karena dv

dt = a(t)

Maka  dv = a(t) dt

 dv =  a(t) dt

C₁ merupakan konstanta integrasi yang harganya dapat ditentu-kan bila kecepatan benda pada sebarang waktu telah diketahui. Untuk kasus percepatan konstan, maka:

 v =  a(t) dt + C₁

 v = a  dt + C₁

 v = a.t + C₁

Jika v = v_o pada t=0, maka v_o = a.0 + C₁, sehingga C₁=v_o. Karena itu v = a.t + v_o atau v_(t) = v_o + a.t

2. Jika suatu benda bergerak dengan kecepatan sebagai si dari waktu, yaitu v(t):

Karena dx

dt = v(t)

Analog dengan penyelesaian kasus di atas

dx = v(t) dt

 dx = v(t) dt

 x = v(t) dt + C₂

C₂ adalah konstanta integrasi yang nilainya dapat ditentukan jika posisi benda pada sebarang waktu telah diketahui.

Untuk kasus percepatan konstan :

 x =  [v_o+a.t] dt + C₂

 x = v_o.t + ½ a.t2 + C 2

Jika posisi benda pada saat t=0 adalah x=0 maka C₂=0, sehingga :

3. Jika suatu benda bergerak dengan percepatan sebagai fungsi dari posisi (x), maka:

v dv

dx = a(x)

 v dv = a(x) dx

 = v2 a(x) dx + C₃ 2

Sekali lagi untuk kasus benda bergerak dengan a konstan:

 = a.x + Cv2 ₃ 2

Jika pada posisi awal x=0 kecepatannya v=v_o, maka C₃= vo

2

2 Sehingga:

v2 = v

 _{Integral Terbatas}

Untuk membahas penentuan kecepatan dan posisi dengan integral terbatas, perhatikan grafik v-t.

t _T

v V

O _t

1 t2

Misalkan selang waktu antara t₁ dan t₂ dibagi menjadi bebe-rapa segi empat yang lebarnya ∆t.

Pada sebarang waktu t, ordinat grafik itu sama dengan kece-patan v_o. Jika kecepatan tersebut harganya konstan sebesar v, maka perpindahan ∆x dalam selang waktu antara t+∆t akan sama dengan v.∆t. Hal ini tidak lain adalah luas segiempat yang diarsir. Jumlah luas keseluruhan segiempat pada selang t₁ dan t₂ kira-kira sama dengan perpindahan total x₂-x₁:

x₂-x₁ ≈ Σ v.∆t

Makin kecil selang waktu ∆t, maka harga v. ∆t akan mendekati perpindahan yang sesungguhnya. Bila ∆t mendekati nol, pastilah semua jumlah segiempat itu tepat sama dengan luas total da-erah di bawah garis lengkung dan juga sama dengan total per-pindahan x₂-x₁.

Limit jumlah luas keseluruhan merupakan integral terbatas dari t₁ sampai dengan t₂, sehingga:







2 1

.

1 t t

dt

v

x

2

x

Dengan cara yang sama pula, luas di bawah grafik a-t, dapat dibagi-bagi menjadi pias-pias vertikal setinggi a dan lebar ∆t:

t _T a A O _t 1 ∆t t2 ………. (2.23)

Jika percepatan konstan, maka perubahan kecepatan ∆v sela-ma ∆t akan sasela-ma dengan a.∆t , yaitu luas pias yang diarsir. Perubahan kecepatan total (v₂-v₁) selama selang waktu t₁ dan t₂ kira-kira sama dengan jumlah luas keseluruhan:

v₂-v₁ ≈ Σ a.∆t Bila ∆t→0







2 1

.

1 t t

dt

a

v

2

v

Jika kecepatan benda dari titik pusat dengan kecepatan awal= v_o dan percepatannya konstan maka persamaan (2.24) men-jadi t₁=0 v₁=v_o. a.t v  



 t o a dt v 0 . _{ v = v}

o + a.t [tidak lain adalah (2.12)]

Sedangkan persamaan (2.13) dapat diperoleh  Jika t₁=0 sehingga x₁=0, maka:

2 2 1 0

.

.

)

.

(

0

v

a

t

dt

t

a

t

t o













v

_o

x

atau