!"#"$%&'%(&)%*%( +!"#,-./0

!"#$%&"'()$"*

!"#"$%&'%(&)%*%(

+!"#,-./0

*1223&*45647428&9:#;:

+<4564742=>23:4;:?<0

)@AB@%9&#(C*"&!"#"$%

!%$CD(%#&9%(E9%("$%&F&"D9C&)EGBE(%HC%G&%D%9

CG"IE@#"(%#&GEBE@"&JABJ%$%@(%

! !

!"

#$%

&!'('

)&

*+

,-$

.-!"#$%& "& ' (" )) *+( ,&-,., ) ! !

/

0,$

+12

+1$+

,34%$

5

! 6 ! "#$ %&' (" )* "+(, -.' -"/ (%/ "-/01. 2-"/(2" +$ )+2$ /.2 -" )* "3%/ 2$ .%4 ".&" /(2 "-)4 .1" -/%/ 2 7+ 8 / 4& 9) "$: +; &1) #" $4 )<" 9% = ! 6 5 (2" -/01, ")* "$.6. 1" 3 %/ /2 $7")$ "-)4 .1-7"8 9: "/(2" 4%$ 62-/"#$ %&' (" )* "' )&12&-21" 3 %// 2$ "+( ,-.' -"8 9: " -/01. 2-"();" /(2" 4%$ 62< -' %4 2" +$ )+2$ /.2-") *"-)4 .1" 3% /2$ .%4 -"$ 2-04 /"*$ )3 "/(2. $"%/ )3 .' <-'%4 2" +$ )+2$ /.2-"89: "*)$ 3 -"/ (2" /(2)$ 2/ .' %4 "#%- .-") *" 3% /2$ .%4 "-'.2&' 2 <7 8 /1> 1? "9 1, = ! !

@

+2$

%9

*+

4)

+$0

"+?

&4

?"

&$1"

2+

A

-"# 0,) 1# ,B: +$0" &-,B: +"B" #$& 1# ,B: +-, C) "$1 #+D +4? $1#, B

E+

4F+

-,$"

&1,

B+1)

+$0

"+2

4B1

9+2$

,$"

A

#&* 2$, BB1 )" +D +, -4&? 04% 2

E

! ! ! !

/

0,$

+,

&"

+."+

C41)C+

$4+

B",&

)5

! G &*2$ ,B+ H $&%#$ %&" :+!, $$1# "+ D +I "# 1?&4 #, B+!, $$1# " ! !, $$1# "+ J 13& ,$ 14)+ 8K 0"4 &*+ 4F+ ; 04 )4) = ! K 0"4 &*+ 4F +L "$ ,B 8( &%9"+L 49"B :+H 4 -"& F"B 9M+N &""+O B"#$ &4)+L 49"B :+ P ",& B*Q N &""+O B"#$& 4)+L 49"B :+O )"& C*+R ,)92 = ! H "-1 #4 )9% #$ 4& ! !

;&

"&

"S%12

1$"

2

! O B"#$ &4-,C )" $12-! H $,$ 12$ 1# ,B+ L" #0, )1# 2+ 8T K 0"&-49 *), -1 #2= ! U %,) $%-+L "# 0,) 1#2 ! !

K"V

$344>

2

! G 4-?%B 24& *' ! @ 20 #& 4 F$+D +L "& -1):+ ! " #$ % &! '( ')&* + ,-$. -:+R& 44> 2+ G 4B ":+WXYZ ! @ 991 $14) ,B' ! [ -,& :+ / #)0 )1 '( 2,&! " #$% &! '(' )&* + ,-$.-:+@ 9 9124)Q / "2 B"* :+WXX\ ! ] 1$$ "B :+ 31 '2" % 4 .' $" 1 &' " &! " #$% &! '(' )&* + ,-$.-:+/ 1B"* :+ ^__` ! !

a

&,9

1)C

! b_ c +-19 $"& -+ "V, -+ T +,22 1C) -" )$ 2 ! b_ c +F1), B+"

V,-F

isika Zat Padat

Kekisi Kristal

Apa i

tu k

ekisi?

Kek isi (k ekisi Br ava is) me rup akan d ere tan tak h in gga dari t itik-titi k d iskri t d en gan su sunan d an orien ta si y ang nam pak t epat s ama ! Sing ka tnya: ke kis i a da lah d ere tan p eriod ik d an teratur dari t itik-titi k d alam ru ang ! Ke kis i me rupakan abstra ks i ma tema tis ! Str uk tur k ri stal terbe ntuk ke tik a b asis y ang t erd iri atas a to m -a tom d itempe lkan se ca ra id ent ik ke se tiap titi k ke kis i ! St ruktur kristal = kekis i + basi s

Aug

ust

e Br

avais (

18

11

–

1

86

3)

Apa i

tu k

ekisi?

Kekis i Bravai s ter diri at as titik-titi k yang m em ilik i vekto r p osi si R denga n bentu k denga n = sembaran g vekto r primiti f yan g tidak selal u ber ad a di bidan g yan g sama = bilanga n bula t ( negati f, nol , at au positif ) " R # n 1 " a 1_$ n 2 " a 2_$ n 3 " a 3 " a 1_, " a 2_, " a 3 n 1_, n 2_, n 3 Kekisi Br avai s 2D ( jej ar ing / net ) 5 k e kisi Br a va is dasar : ( 1 ) jajara n genj an g (2 ) per seg i ( 3 ) per seg i berpusa t ( 4 ) hex agona l ( 5 ) buj u r sangka r Kekisi Br avai s 3D Contoh la in k eki si Br avai s 3D Gam ba r ber iku t b ukan k eki si Bravais ! Susunanny a sama n amun or ientasiny a beda!

Keki

si

Tak

H

in

gga

! Ke kis i Bravais m eng is i ru ang tak h ingga ! Na mun kristal b ahan m em ilik i vo lume b erhin gga ! Ke kis i tak h ingga m erup akan ide alisa si, jik a ke kisin ya b erhin gga a kan m uncul e fek permu kaan ! U ntuk m ud ah nya, ki ta ka ji krist al b erhin gga ya ng ya ng te rd iri a tas N situs : untuk m ak a " R # n 1 "a 1_$ n 2 "a 2_$ n 3 "a 3 0 % n 1_& N 1_, 0 % n 2_& N 2_, 0 % n 3_& N 3_dan N # N 1_N 2_N 3 Untuk se mbarang k eki si Br avai s, set v ektor primitifnya t idak u ni que! Contoh la in: k eki si b cc bc c = b ody-centered cubi c Jika ke ki si simpl e cub ic memil ik i vek tor pr imit if: a ' x ,a 'y , dan a ' z Ma ka un tu k bc c: " a 1_# a ' x , " a 2_# a ' y , " a 3_# a 2 (' x $ ' y $ 'z ) Atau dapat ditu liskan seb agai: "a 1_# a 2 ('y $ ' z * ' x ) , "a 2_# a 2 (' z $ ' x * 'y ) , "a 3_# a 2 ('x $ ' y * 'z ) K edua set men yatakan ke kis i B ra vai s bc c cek Kittel untuk sel b cc p rimit if Contoh la in: k eki si f cc fc c = f ace-cente red cu bi c set vek tor prim itif unt uk k ekisi fcc: " a 1_# a 2 ('y $ ' z ) , " a 2_# a 2 (' z $ ' x ) , " a 3_# a 2 ('x $ ' y ) cek Kittel unt uk sel f cc pr imiti f

Cat atan: u nsur d en gan ke kis i simpl e cu bi c sa ngat ja rang ditemukan, f ase a lpha d ar i P olonium (Po) me ru pakan s atu-sa tun ya co ntoh yang d ite m ukan pada ko ndis i n ormal

Bil

an

gan Koo

rd

inasi

! T itik -titi k pada kekis i Bravai s yan g ber ad a palin g deka t denga n sebua h titi k piliha n disebu t neares t neighb ors ( te tangg a t er deka t) ! Setia p titi k pad a kekis i Bravai s m em ilik i jumla h tetangg a terdeka t yang sama , disebu t seb aga i bilanga n koordi nas i dari kekis i tersebu t ! Bil anga n koordinas i untu k kekis i sc : 6 ! Bil anga n koordinas i untu k kekis i bc c : 8 ! Bil anga n koordinas i untu k kekis i f cc : 12

Sel Satuan

Pr

imitif

! S e l (s atuan ) pri mitif m er upak a n v olu m ruan g y ang , k eti ka di tran slas ik a n m e la lu i s eluru h v ekt o r k ekisi B rav ais, t epa t m e ngisi ruan g t anp a ov er la p at a u m eninggalk a n ruan g koson g (v oid) ! Untu k s ebaran g k ekisi B rav ais, ti da k ada c ara k hus u s unt u k m e mi lih s el pri mitif ! S e l pri mitif haru s m e ngandun g hanya s atu titik k eki si ! V olume s e l pri mitif ti da k bergantun g pada pemi liha n bent u k se l ( v = 1/ n ; v = v olum e , n = rapat t itik k eki si)

Sel Satuan

Pr

imitif

! Se l pr imiti f yan g berkaita n denga n se t vekto r pr imiti f m erupaka n set untu k t itik r denga n bentu k ! Se t ini umumny a tida k m enunj ukka n bentu k

simetri dari kekis

i Bravais . M isal : " a 1_, " a 2_, " a 3 " r # x 1 "a 1_$ x 2 "a 2_$ x 3 "a 3 d en ga n 0 % x i_% 1 Agar d iperoleh sim etri...

Sel Satuan Kon

vensi

onal

! S el satuan m erupa kan d aerah yang m engis i r uang tanpa overlap ke tik a d itr anslasik an me lalui set ve kt or ke kis i B ravais ! S el satuan ko nvensional umumn ya d ipilih leb ih b esar dari pada se l satuan p rimi tif agar d apat m emili ki sime tri ! P

ada sel kon

ve nsional, bc c n ampak se bagai sel satuan ber bentuk

kubus dua kali l

ebih b es ar d ari sel satuan b cc primi tif ! Dan ke kis i fc c n ampak se

bagai sel kubus 4

kali lebih besar dari sel satuan fc c p rimi tif Bilanga n yang m enyataka n ukur an

dari sel sat

ua n disebut sebagai tetapa n k eki si ( lat tic e constant s)

Sel Pr

im

itif

Wi

gne

r-S

ei

tz

Eugene Wigner (1902 - 1995) Fr ederick Seit z (191 1 2008) Kekisi Non-B ravai s

Struktur

Intan

Terdir i a tas dua ke kis i f cc yang sa ling men yi sip, ber ge ser se panjang d ia gonal u tam a ke kis i k ubus se jauh ! p anj ang diagona l. Dapat juga d ia nggap se bagai ke kis i f cc d engan basi s basi s t iti k 0 dan ! a " 4 #! $ x % $ y % $z #

Str

uktur H

exag

onal

C

lose

-Packed

(hcp)

Un tuk st ruktur h cp ide al : c a &

'

3 8

Struktur

N

aCl

Terdir i a tas ion Na a nd Cl yang berjum lah sa m a dan ter letak p ada titik-titi k yang b erselang -se ling pada ke kis i sc. Da pat juga d ig am bar kan se bagai ke kis i f cc d en gan b asi s terdir i a tas ion Na 0 dan ion Cl di ! a " 2 #! $ x % $y % $ z #

F

isika

Zat Padat

Kekis i Balik

D

efini

si

! D itinj au seku mpula n t iti k R yang m embentu k kekis i Brav ais , dan gelomban g bidan g dat ar ! U ntuk k secar a u mum, gelomban g bidan g te rsebu t t idak m emil ik i sifa t peri odi k kekis i Bravais , nam un dapa t dim ilik i ole h vekto r gelom ban g tertent u yang dipili h secar a khusu s ! Kekis i bali k didefi nis ika n sebagai kumpula n sem ua vekto r gelomban g K yan g m en ghasi lka n gelom ban g bidan g yan g m emilik i sifa t periodi k dar i suat u kekis i Bravai s e _i " k #" r ! K me rupakan ke kis i b ali k d ar i ke kis i Bra vai s d en gan titi k-titi k d inyat akan R , se la m a r elasi dipen uhi o leh se mba rang r d an s emua R p ada ke kis i Bra vai s ! Ma ka kekis i b ali k a da lah ku mpulan ve ktor g elomb ang K y ang me men uhi ! Kekis i Bra vai s y ang me ne nt ukan ke kis i b ali k se ring dis ebut se ba gai ke kis i lan gsung (dir ect l attice) ! K d is ebut ke kis i b ali k h an ya jika ku mpulan vektor R me rup akan ke kis i Bra vai s e _i " K #$" r % " R & ' e _i " K #" r e i_" K # " R ' 1 ! M isa l m er upaka n vektor-vekto r pr imiti f untu k kekis i lang sung , m ak a kekis i bali k dapa t ditentuka n ole h vektor-vekto r pr imiti f berikut : "a 1_, " a 2_, " a 3 " b 1_' 2 ( " a 2₎ " a 3 " a 1#$ " a 2₎ " a 3_& " b 2_' 2 ( "a 3₎ "a 1 "a 1_#$ "a 2₎ "a 3_& " b 3_' 2 ( "a 1₎ "a 2 " a 1#$ " a 2₎ " a 3_& ! b i _ak a n m emenuh i ! S embaran g v ekt o r k dapa t di nyatak a n s ebaga i k ombi nasi l inea r dar i b i ! Jika R m er upak a n v ekto r k eki si l angs un g ( n i bi langa n bul at ) : ! M aka ! K oefis ie n k i _h ar us b er upa bi langa n bul a t agar di penuh i unt u k s emua R ! Jadi, k eki si bal ik m e rupa ka n k eki si B ravais dan b i _m er upak a n vektor-vek to r pri mitif " b i# "a j' 2 ( * ij _d eng an * ij_'

+

0, i , j 1, i ' j " k ' k 1 " b 1_% k 2 " b 2_% k 3 " b 3 " R ' n 1 " a 1_% n 2 " a 2_% n 3 " a 3 " k # " R ' 2 ( $ k 1_n 1_% k 2_n 2_% k 3_n 3_& e i_" K # " R ' 1

! Karen a kekis i bali k m er upaka n kekis i Brav ais , kita dapa t m em bentu k kekis i b ali k dari kekis i in i, yang tidak lai n adala h kekis i lang sun g semul a

C

ontoh

! Kekis i Bravai s simpl e cubi c ( sc), dengan sel pr imiti f ber sis i a , m emilik i kekis i bali k berbentu k simpl e cubi c denga n sel primiti f ber sis i 2 ! / a ! Kekis i Bravai s f cc dengan sel kubu s konven siona l bersis i a m em ilik i kekis i bali k bebentu k bc c denga n se l kubus konven siona l bersis i 4 ! / a ! Kekis i Bravai s b cc denga n sel kubu s konven siona l berisis i a m em ilik i kekis i bali k berbentu k f cc denga n se l kubus konven siona l bersis i 4 ! / a ! Jika v adala h volu me sel pr imitiv e pad a kekis i langsung , m ak a sel pr imitiv e dari k eki si bali k m em ilik i volume ( 2 ! )₃ / v

Z

ona Br

illo

uin Per

tam

a

! Zo n a Brillo ui n pe rta ma m er upaka n sel pr imiti f Wigne r-S eit z dari kekis i bali k ! Umumnya , istila h zon a Brilloui n perta ma hany a diterapka n pad a sel r uang -k ! Karen a kekis i bali k dari kekis i b cc adala h k eki si fcc , zon a Bril loui n pertama dari k eki si b cc adala h se l Wigner-Seit z fcc , dan begit u jug a sebali knya .

Léon

Bri

llouin

(1

889 – 1

969)

Bid

ang

Ke

kisi

! Bidan g k eki si ( lattic e plan e ) didefin isika n sebaga i sembaran g bidan g yan g m engan dun g setid akny a t iga titi k kekis i Bravai s non-kol inea r (tida k segaris ) ! Karen a simetri tr anslas i dar i kekis i Bravais , bidan g tersebu t a kan m en gandun g banya k titi k kekisi , yan g m em bentu k kekis i Bravai s 2-D pada bidan g t er sebu t ! Kelua rg a bi dan g k ek isi didefinisi ka n s eba ga i ku mpula n bidan g-b id an g k ek isi y an g s eja ja r dan terp isa h pad a j ara k y an g s ama , y an g meng and un g s elu ru h titik k ekisi Bravais 3-D ! Un tu k s embar an g k elua rg a bi dan g k ekisi y an g ja ra k pi sah nya ada la h d , terd apa t v ekto r k ekisi balik y an g tega k l uru s terh ada p bi dang , pali ng pen de k memil iki panjan g 2 ! / d ! Seba liknya , untu k s embar an g v ekto r k ek isi balik K , terd apa t k elua rg a bi dan g k ekisi y an g teg ak lu ru s K da n memiliki ja ra k pi sa h d , diman a 2 ! / d meru paka n panjan g dar i v ekto r k ekisi ba lik terp en de k y an g se ja ja r K

In

deks Miller

Bid

ang Keki

si

! Indek s M ille r dari suat u bidan g k eki si m er upaka n koordina t vekto r kekis i b ali k terpende k yang tega k lur us terhada p bidan g tersebut , yang terkai t denga n kumpula n vekto r kekis i bali k pr imiti f ter tent u ! Jadi , bidan g denga n indek s M ille r h, k , l , ber ad a tega k lur us terhada p kekis i bali k h " b 1_# k " b 2_# l " b 3

Wil

liam H

all

owes Miller

(1

801 – 1

880)

! Indek s M ille r berup a bilanga n bulat , karen a sembaran g vekto r kekis i b ali k m er upaka n kombinas i linea r dari tig a vekto r primiti f denga n koefisie n bilanga n bula t ! Indek s M ille r bergantun g pad a pem iliha n vekt or pr imiti f ! Indek s M ille r dari suat u bidan g m emilik i interpretas i geom etr is pada kekis i lang sung , yang te rkadan g ditawarka n sebaga i car a alternati f pendefi nisia n indek s ! Ka rena bidang kek is i dengan indek s M ille r h, k, l, tega k luru s t erhada p vekto r b ali k , indek s ini aka n t er kandun g pada bidan g kontiny u untu k nila i tetapa n A yang sesua i ! Bidang in i aka n m emotong sum bu yang ditentuka n ole h vekto r pri miti f kekis i langsun g a i pada t itik : denga n " K $ h " b 1_# k " b 2_# l " b 3 " K %" r $ A x 1 "a 1, x 2 "a 2, d an x 3 "a 3 " K %& x i_"a i_'$ A

! Karen a m ak a ! M ak a titi k poton g bidan g kekis i denga n sum bu krista l berbandin g terbali k denga n indek s M ille r dari bidan g t er sebu t " K #" a 1_$ 2 % h , " K # " a 2_$ 2 % k , da n " K #" a 3_$ 2 % l x 1_$ A 2 % h , x 2_$ A 2 % k , x 3_$ A 2 % l ! Krista lografe r m en defini sika n inde ks M ille r sebaga i kumpula n bilanga n bula t t anp a fakto r per sekutuan , berbandin g terbali k denga n t itik poton g bidan g kr ista l pada sumb u krista l h : k : l $ 1 x 1 _: 1 x 2 _: 1 x 3

Kon

vensi

! Bi d an g kek is i umumny a dit u njuk ka n de ng a n m e nya ta ka n ind ek s M ille r dala m ta nd a ku ru n g ( h,k,l ) ! Koma dihilan g ka n den ga n m e ng ga ntika n – n ! U n tu k m e nu njuk ka n arah , kur un g per seg i digu na ka n untu k m e ng hind ar i ker a ncu a n den ga n in de ks M ill e r ! [ hk l ] ! U n tu k m e nu njuk ka n kelua rg a l a in yan g ekiv ale n den ga n kelua rg a bida n g kek is i te rte ntu , digu na ka n { hkl } m isa l: bida n g (10 0) , (0 10 ) da n (0 01 ) ekiv ale n pad a krista l kub us , seh in gg a da pa t dinya ta ka n seb ag a i bida n g { 1 00 } &n

F

isika

Zat Padat

Difr aks i Sina r X o leh Kekis i Kristal W illiam L. Bragg (1890 – 1 971) Fisikawan Inggri s M ax von Laue (1 879 – 1 960) Fisikawan Jerm an

Men

gapa H

ar

us

Sin

ar-X

?

! Jar ak anta r at om pad a baha n pada t um umny a ber ad a pada or de angstr om ( 10 -10 m) ! M aka , pr ob e elektromagneti k unt uk struktu r m ikr oskopi s baha n pada t har us m em ilik i ener gi : yang ber ad a pad a or de energ i sinar-X E " # $ " hc % " 1.24 & 10 ' 6 eV m 10 ' 10 m " 12.4 k eV

F

or

m

ulasi Br

agg

! P ada bahan k ris tal, u ntuk p anjang g elom bang dan a rah sinar dat an g yan g d iten tukan s ecara t epat, t erdapat punc ak-pu ncak i ntens itas ham bura n r adiasi s inar-X yang d is ebut puncak Bragg ! Di tinjau k ristal y an g tersusun a tas b idang -bidang s ejajar teri si i on , t erpisah pada jara k d ! b idang k ek isi ! Sy arat d ipe roleh p uncak i nttens itas p ada r adiasi ham buran: ! Si nar-X harus d ipa ntul kan o leh i on p ada satu b id ang d en gan sudut p antul sam a d engan sudut datang ! S inar p ant ulan d ari b idang b ertu rutan har us b eri nter fere ns i secara kon struktif ! Jik a ! m erupaka n sudu t datang , aga r s inar hambura n berinterferens i secara konstruktif , beda lintasa n har us ber up a keli pata n b ul at panjan g gelo m bang : yan g m er upaka n h uk um Brag g ! Bil anga n bula t n dikena l sebaga i o rde pantula n ! Untu k berka s sinar-X yang nila i panjan g gelomba ngny a banya k ( 'ra dias i putih' ), a kan ter am at i b any ak pant ula n n %" 2 d si n (

F

or

m

ulasi von

L

aue

! Ditinja u krista l yan g t er susu n at as obje k m ikr oskopi s identi k ( kumpula n io n at au ato m) yang ber ad a d i t itik R pada kekis i Bravai s ! T ia p obje k dapa t m eradi asika n ulan g r adias i yang dat an g ke segal a ar ah ! Punca k r adias i hambura n hany a aka n ter am at i pada ar ah dan panj an g gelomban g diman a sina r hambura n dari seluru h titi k kekis i berinterferens i secara konstrukti f ! Ditinja u du a penghambur , t er pisa h ole h vekto r per pindaha n d ! M isa l sinar-X datan g dari kejauhan , sepan jan g ar ah n , denga n panjan g gelo mban g " da n vekto r gelomban g x = 2 # n / " ! Sina r ham bur an a kan teramat i pada ara h n' denga n panjan g gelo mban g " dan vekto r gelomban g k' = 2 # n ' / " sela ma beda lintasa n dari kedu a sina r yang terhambu r o leh kedu a io n ber up a kelipata n bula t dari panjan g gelo m bang , m isa l m

! Bed a linta sanny a adalah : ! Sya ra t aga r terjad i interferens i konstruktif : ! Kal ika n kedu a sis i per sam aa n di at as denga n 2 ! / " m ak a dihas ilka n syar at untu k nila i vekto r gelomban g s inar datan g dan s inar hamburan : d cos "# d cos " ' $ % d &'₍ n ) ( n ' * % d &' ( n ) ( n ' *$ m + % d &' % k ) % k ' *$ 2 , m ! Sel anju tnya , ditinja u r an gkaia n peng hambu r yan g berad a pad a kekis i Bravai s ! Karen a titik-titi k kekis i salin g t er pisa h ole h vekto r kekis i Brav ai s R , syara t agar selur uh sina r terhambu r ber inter fe rens i konstrukti f adala h bahw a syara t unt uk dua peng hambu r jug a berlak u untu k seluru h nila i d yang m er upaka n kekis i Brav ais : untu k bilanga n b ul at m da n vekt or Bravai s R ! Dapa t ditul iska n p ul a dala m bentu k ekiv alen : % R &' % k ) % k ' *$ 2 , m e _i ' % k ' ) % k *&_% R $ 1 ! D ib andingka n denga n definis i k

ekisi balik, diperole

h sya ra t Laue : interferens i k onstruktif ak an te rjad i s elama perubaha n vekto r gelomban g , K = k' – k m erupaka n ve kto r k ekisi bali k ! Karen a k ekisi balik j ug a k ekisi Br av ais, j ik a k' – k m erupaka n v ek to r k ekisi balik , begitu jug a k – k' ! Ji ka k – k' = K , m aka s ya ra t bahw a k dan k' m emil ik i besa r ( m agnitud e ) y an g sa ma adal ah k = | k – K | ! Kuadratka n kedu a si si diperole h s ya ra t: ! kompone n v ek to r gelomban g datan g k s epanjan g ve kto r k ekisi bali k K haru s bernila i s eparo panjan g K % k & ( K $ 1 -2 K ! M ak a vekto r gelomban g datan g k a kan m em enuh i syar at Lau e jik a dan hany a jik a ujung vekto r terleta k pad a bidan g yan g t ega k lur us da n m embag i dua gari s penghubun g t itik as al r uang -k ke sebua h titi k kekis i bali k K ! Bidan g r uang -k ini disebu t bidan g Brag g

Ekiva

lensi

F

or

m

ulasi

Br

agg &

Laue

! Misa l vekt or g el ombang d at ang dan ter hambur , k d an k' , memenuhi syarat Laue yait u b ahwa K = k' – k adal ah vekt or kekis i bali k ! Karena g el ombang d at ang dan ter hambur memilik i panj ang g el ombang yan g sama ( hamburan ela sti k ), k' dan k memilik i b es ar ( ma gnit ude ) yang sama ! Sehingga, k' d an k me mbent uk sudut yang sama yait u # d engan bidang tegak lurus K ! Mak a h amburan dapat d ilihat sebagai pantula n Bragg dengan sudut Bragg # , d ari keluarga b idang kek is i la ngs ung yang tegak lur u s vekt or kekis i b ali k K ! V ekto r K m er upaka n kelipata n b ul at dari vekt or kekis i b ali k terpe nde k K 0 _yan g sejaja r K ! M en ur ut teori kelua rg a bidan g kekis i ( liha t bab 5 ), besar ny a K 0 _adala h 2 ! / d , dim an a d a dal ah jar ak ant ar bidan g yang berdekata n dala m kelua rg a te rsebu t yan g tega k lur us K 0 _at au K ! M ak a K = 2 ! n / d diman a n adala h bilanga n b ul at ! Dari gambar: K = 2 k s in # , m ak a k s in # = ! n / d ! Karen a k = 2 ! / " , diperole h 2 d s in # = n " sehingg a panjan g gelo mban g m em enuh i syar at Bragg ! Jadi punca k dif fraks i Lau e yang m er upaka n perubaha n vekto r gelomban g sebesa r vekto r kekis i bali k K , ber sesuaia n denga n pantula n Brag g dari bidan g kekis i lang sun g yang tega k lur us K ! Or de n pada pantula n Brag g m er upaka n panja ngny a K dibag i denga n panja ngny a vekto r kekis i bali k terpende k yan g sejaja r K

Kon

struksi Ewald

! V ekto r gelomban g dat an g k a kan m em uncu lka n punca k difraks i jik a dan hany a jik a ujun g vekto r gelomban g berad a pad a r uang -k bidan g Brag g ! Untu k m enc ari punca k Bragg secara eksperi m en besarny a k har us divarias i ( ! divarias i panjan g gelomban g sina r datangnya ) ata u divarias i arahny a ( pad a pr aktekny a yan g divarias i or ientas i kristal nya )

P

au

l P

ete

r E

wa

ld

(188 8 – 1985) G erman Physicist

Kon

struksi Ewald

! Gambarka n pada r uang -k sebua h bol a yang berpusa t pada u jung vekto r gelomban g datan g k denga n jejari k ( se hingg a b ol a t er sebu t m en yentu h t itik asal ) ! Aka n terdapa t beberap a vekto r gelo mban g k' yang m emenuh i syar at Lau e jik a dan hany a jik a beberap a t itik kekis i bali k ( termasu k t itik a sal ) te rleta k pada permukaa n bol a ! Aka n terdapa t pantula n Brag g dari kelua rg a bidan g kekis i langsun g yang tega k luru s vekto r kekis i bali k Umumnya, bol a p ada ru ang-k d engan titi k a sal b erada d i permukaan t idak a kan memilik i t iti k ke kis i b ali k di permukaa nnya. Maka, unt uk se m ba rang vektor gelombang d atang, t idak a kan muncul p uncak B ragg A ga r dapa t dihas ilka n punca k B ra gg : ! M etod e Laue : tida k menggu naka n sinar-X monok ro matik , nam u n sinar-X yan g memil ik i pan jan g gelo mban g dari ! 1 hingg a ! 0 ! M etod e R ota ting-Crysta l : menggu naka n sina r-X monok romati k namu n ar a h sina r dapa t divarias i ( pad a praktek nya , yan g diva rias i jus tru ar a h kristal nya ) ! M etod e bubu k ata u D eb ye-Sch err e r: sama denga n eksp erime n krista l berputa r diman a sum b u r otas i divaria sika n pad a seluru h ara h yan g m u ngki n

X

-Ra

y

D

iffracto

mete

r (X

RD)

P

ola D

ifraks

i untu

k B

C

C

P

ola

D

ifra

ksi untu

k

FCC

P

ola

D

ifra

ksi S

in

ar-X

F

isika Zat Padat

Teori Logam : M ode l D rude

Pa

ul Karl L

ud

wig D

rude

(186

3 – 1906

, F

isikawa

n J

er

man

)

! Logam merupaka n penghanta r l ist rik da n panas yan g sempurna , mudah di bentu k dan ditem pa ! Lebih dar i dua pert ig a uns ur di al am ber upa l oga m ! P ad a tahun 1900, 3 tahun s et el ah p enem uan elektr on ol eh J.J . T homson , Drud e membangun teor i k on duksi l ist rik

dan panas untu

k l oga m ! B el iau menerapkan teo ri ki net ik gas pada logam yan g di kena l s ebaga i g as elektron ! Teor i k inetik memperlakuk an mo lekul ga s s ebaga i bola pejal i dent ik y an g bergera k pada lint asan luru s h ingga sal ing bert umbukan ! Dias umsika n ant ar partike l tida k ada gay a yan g bekerja , kecual i untu k gay a yang m uncu l sesaa t ketik a t er jad i t um buka n ! M uata n p osi tip disematka n pad a partike l yan g lebi h ber at , dan diangga p tida k ber ger ak ! M aka , ke tik a atom-ato m u ns ur loga m m em bentu k baha n loga m, elektr on val ens i lepas dan m en gembara beba s d i d al am loga m m em bentu k gas elekt ro n ! Io n loga m t eta p berad a dite m patny a dan m enjad i par tike l positi p yang tidak bergera k ! Ato m den ga n bi lan ga n atomik Z a _memiliki int i ber mua ta n eZ a ₍ e = 1.6 x 10 -19 C ) ! Z a _elektro n meng eli ling i i nt i den ga n muata n tota l – eZ a ! Z el ektro n meru paka n elektr on v alen si y an g ter ika t l ema h ke i nt i ! Z a _– Z meru paka n elektro n i nt i y an g ter ika t k ua t ke i nt i ! El ektro n i nt i teta p ter ika t k ua t ke i nt i membe ntu k io n loga m, sed ang ka n elektro n v alen si di perb olehka n meng emb ar a men ja uh i at om in dukn ya ! elek tron ko nd uks i ! M isa l r apa t m ass a u ns ur loga m adala h ! m ! Jumla h at om per sentimete r kubi k adala h 6. 02 2 x 10 23 ( bi langa n A vogadro ) x ! m_/ A denga n A adala h m ass a ato m d ari unsu r tersebu t ! Karen a t iap at om m en yumban g Z elektr on kondu ksi , banyakny a elekt ro n per sentimete r kubi k adalah : ! {Liha t T abel } n " N V " 6. 022 # 10 23 # Z $ m A ! r s _didefin isika n sebaga i jejari suatu b ol a yan g volumeny a sam a denga n volu me t iap elekt ro n kondu ksi : ! Kerapata n gas elekt ro n um umny a ser ib u kal i lebi h besa r diba ndin g gas klasi k pada suhu da n tekana n norm al V N " 1 n " 4 3 % r s _; 3 r s_"

&

₃ 4 % n

'

1 ( 3

Asu

m

si D

asar Mo

del D

rude

(1 ) Pad a pr ose s tumbukan , interaks i dar i suatu elektr on denga n elektr on yang la in m aupu n denga n ion cenderun g diabaika n ! Peng abaia n interaks i elekt ro n-elekt ro n pada pr ose s t um buka n dikena l sebaga i ind ep en d en t electro n app ro ximatio n ! Peng abaia n interaks i elektron-io n pad a prose s tumbuka n dikena l seb aga i free electro n app roximatio n

Asu

m

si D

asar Mo

del D

rude

(2 ) Pro se s t um buka n ber sifa t sesaa t yang seca ra langsun g m enguba h kecepata n elekt ro n ! Prose s tumbuka n berup a elekt ro n yang m emantu l dari int i ion yang t ak ter te m bu s ( buka n tumbuka n ant ar elektron )

Asu

m

si D

asar Mo

del D

rude

(3) Se buah e lektron me nga la m i t umb ukan d en gan p eluang p er sa tuan waktu s eb esar 1/ ! ! M aka, p elu ang s eb uah e lektron me nga la m i t umbukan pa da se lang waktu dt a da lah dt / ! ! Be sarn ya ! d ik enal se ba gai waktu re la ks as i , a tau waktu tumbukan , a tau waktu b ebas r erata ! Se bu ah e lektron ak an berjalan se la m a ! se belum me ng ala m i t umb ukan b erikut nya, a tau telah b erjalan selama ! s ejak t umbukan se belumn ya ! W aktu tumbukan tidak b erg ant ung p ada posis i dan ke cepa tan elektron

Asu

m

si D

asar Mo

del D

rude

(4 ) El ektro n diangga p m en capa i kesetimbanga n term al denga n sekitarny a hany a m el alu i pr ose s tumbuka n ! Semaki n pana s daera h di man a tumbuka n terjadi , elektr on aka n kelua r dari tumbuka n denga n kecepata n yang semaki n besa r

Ko

ndu

ktivitas L

istrik DC p

ada L

ogam

! Besarn ya aru s I y an g m eng ali r pa da ka wa t y an g terb ua t dar i loga m aka n s eban din g den ga n bed a potensia l V s epan jan g k awat: V = I R ( H uk um O hm ) den ga n R ( hamba ta n k aw at) ber gan tun g pad a ukura n k aw at, namu n t ida k ber gan tun g pad a besarn ya I at au V ! R es istiv ita s " dide fin is ika n s eb aga i t eta pa n ke se ban din ga n antar a m eda n list rik E di s eb ua h titik pad a loga m da n r apa t aru s j y an g diind uks ika n " E # $_" j ! Kete rga ntunga n R pad a bentu k ata u ukur an kawa t digant i denga n besara n yan g m en cirika n logam yan g m em bentu k kawa t ! Rapa t ar us j m er upaka n vektor , sejaja r alir an m uatan , yang besarny a adal ah banyakny a m uata n per sat ua n waktu yang m elew at i satua n luasa n yan g t ega k luru s alir an ! Untu k ar us seraga m I yang m en gali r m el alu i kawa t denga n panjan g L da n luas tampang -lintan g A , r apa t ar usny a adala h j = I/A ! Karen a V = EL , m ak a V = I " L/A da n R = " L/A ! Jika n elektro n per s atua n v olum e berg era k den ga n k ecepa ta n v , maka ra pa t aru s y an g muncu l ak an s eja ja r den ga n v ! Dala m wakt u dt el ektro n ak an ber pi nda h se jau h v dt pad a ara h v , s ehingg a elektro n se banya k n (v dt) A ak an meli nta si l ua sa n A ya ng tega k l uru s v ! Kar en a s eti ap elektro n memb aw a muata n – e , maka besar ya ra pa t aru s ada la h j # I A # dq A dt # % n e v A dt A dt # % n e v ! Ke tik a tida k ad a m eda n listr ik , elektro n a kan bergera k pada ar ah sembaran g sehingg a rera ta v a dal ah n ol , dan tida k ada rapa t aru s lis tri k ! Ke tik a m uncu l m eda n lis tri k E , aka n t erdapa t kecepata n elek tro n rera ta yan g berla w ana n ar ah denga n a rah m edan : M is al t adala h w ak tu yang dicapa i setela h t erjad i tumbukan , kecepata n elektro n rerata a dal ah – e E t/m R er ata d ar i t adala h w ak tu relak sas i ! , sehi ngg a " v avg # % e " E & m ; " j #

'

n e ₂ & m

(

E" ! Ha siln ya b ias a d in ya takan d alam ko ndu kt ivitas : # = 1 / " ! U ntuk m em pe roleh wakt u rela ks as i, dap at digu nakan n ilai resistiv itas d ar i e ks perimen u nt uk m em pe rkirakan b esarnya: ! P ada suhu kam ar , ! b iasan ya b ernilai 10 -1 4 h in gga 10 -1 5 d eti k " j # ) " E ; ) # n e 2 & m &# m $ n e ₂

! L inta san b ebas r erat a l d ide finisikan seb agai j arak re ra ta ya ng d item puh e lektr on a ntar 2 tum bukan ! l = v 0_t , d en gan v 0 _a da lah ke lajuan e lektr on re ra ta ! Da lam m odel Drude, v 0 _d ipe rkirakan d ar i e nergi ekuip artis i kla sik : ! Da ri m ass a e lekt ron, d iperoleh n ilai v 0 _p ada o rde 10 7 cm /de tik pada suhu kam ar , se hin gga nilai lintasan beb as re ra ta b er ada p ada o rde 1 h ingga 1 0 Å ! ja rak ini se ban ding d en gan j arak p isah a ntar atom, se hin gga p ro ses tum bukan m erup akan p roses tu mb ukan e lektr on d engan ion 1 2 m v 0_" 2 3 2 k B_T ! n ilai ! dihitung dengan mo del Drude

Ko

ndu

ktivitas

Lis

trik

da

lam

Me

dan

! Saa t t kecepata n elektr on r erata v a dal ah p ( t )/ m denga n p m erupaka n m omentu m t ota l per elektr on ! M ak a r apa t ar usny a adala h ! Se bua h elektr on yang dipi lih saat t aka n m engala mi tumbuka n sebe lu m t + dt denga n peluan g dt / ! # dan bertaha n hingg a t + dt tanp a tumbuka n denga n peluan g ( 1 -dt / ! ) $ j " % n e $ p & t ' m ! Jika tidak m engala mi tumbukan , elektr on a kan dipenga ruh i gay a f ( t ) yang m uncu l akiba t m eda n listr ik ata u m agne t dan m em perole h m omentu m tambaha n f ( t ) dt – O ( dt )₂ ! O ( dt )₂ ber makn a suk u denga n ord e ( dt )₂ ! M aka , kontr ibus i dari selur uh elekt ro n yang tidak bertumbuka n antara t da n t + dt te rhada p m oment um, da n m engaba ika n kontribus i dari elekt ro n yang m enga lami tumbukan , adalah : $ p & t ( dt ' " & 1 % dt ) '*$ p & t '( $ f & t ' dt ( O & dt ' 2 + " $p_& t '% & _dt ) '$ p & t '( $ f & t ' dt ( O & dt ' 2 ! Mak a dibagi dt dan d iamb il lim it pada dt ! 0, d ip er oleh yang m en yata kan b ahwa e fek tu mbu kan sebuah elekt ron a dalah m ena mbah kan suk u red aman pada p ers amaan g erak yang m eng gamb ark an besarny a m om entum per e le ktr on $ p & t ( dt '% $ p & t '" % & _dt ) '$ p & t '( $ f & t ' dt ( O & dt ' 2 d dt $ p & t '" % $ p & t ' ) ( $ f & t '

Ef

ek H

all

! M eda n listr ik E x _dikenaka n pad a kawa t yan g m em bentan g pad a ar ah -x diman a r apa t ar us j x m en gali r pada k aw at ! M eda n m agne t H dikenaka n pada ar ah -z positi p ! G ay a Lor ent z m embe lokka n elektr on pad a arah -y negati p (ke cepata n ali r elekt ro n berlaw ana n denga n ar ah alir an ar us ) ! M aka , elektr on aka n terkumpu l pada s isi ka w at, dan m eda n listri k m uncu l pada ar ah -y yang m el awa n geraka n da n akumulas i elekt ro n lebi h lanju t % e c $ v , $ H ! Pad a keseti m bangan , m eda n tr ansversa l ( ata u m ed an Hal l ) E y _aka n m en gimbang i g ay a Lorentz , sehingg a ar us hany a m en gali r pad a ar ah -x ! m ag n etoresi st ans i , r asi o m eda n pada sepan jan g kaw at E x te rhada p r apa t ar us j x _adala h ! M eda n tr ansversa l E y _aka n seban din g denga n H dan j x_{, sehingg} a dapa t didefin isika n koefisie n Hal l sebagai : -& H '" E x j x R H " E y j x_H

! Karen a m eda n Ha ll ber ad a pad a ar ah -y negatip , R H _har us ber nila i n egati p ! Jika pembaw a m ua tanny a positip , mak a ar ah kecep atan -x haru s dibalik , da n ar ah m eda n Ha ll ak an ber lawana n denga n ar ah yang dimilik i ketik a pembaw a m ua tanny a negati p ! Koef isie n Hal l dan m ag netoresi stans i dapa t ditentuka n d ari Dr ude : ketik a terdapa t m eda n E dan H , gay a yan g bekerj a pada setia p elekt ro n adal ah : f = -e ( E + v x H / c ) ! m omentu m per elekt ro n m en jadi : ! Pad a kead aaa n tunak , ar us tida k bergantun g pada waktu , sehingg a p x _da n p y _m emenuhi : denga n adala h f rekuens i cyclo tr on d dt "p_# $ e % " E & " p mc ' " H ($ " p ) 0 # $ eE x_$ * c p y_$ p x ) 0 # $ eE y_$ * c_p x_$ p y ) * c_# eH mc ! dikal ikan -ne ! / m dan k arena j = -ne v , d iperoleh dengan " 0 _adal ah k ondukti vitas DC pada m odel Drude k etika m eda n m agnet ti da k ada = ne 2 ! /m ! M eda n Hall Ey d itentukan d engan m em ilih n ilai j y nol: ! M aka k oefi sien Hall a dalah: yan g hanya ber gantung pada k erapatan p emb aw a + 0_E x_# * c₎ j y_& j x + 0_E y_# $ * c₎ j x_& j y E y_# $

%

* c₎ + 0

(

j x_# $

%

_H ne c

(

j x R H # $ 1 ne c

Ko

ndu

ktivitas

Lis

trik

AC Pada

L

og

am

! Ditinja u m eda n listri k g ay ut wakt u dengan bent uk E ( t ) = Re( E ( # )e -i # t ) ! Persamaa n gera k unt uk m omentu m pe r elekt ro n m enjad i ! Dica ri solus i keadaa n tuna k denga n bentu k p ( t ) = Re ( p ( # )e -i # t ) ! Substi tusika n p dan E ke persamaa n ger ak diperoleh : d dt " p # $ "p ) $ e " E ! K arena j = - ne p /m , b esarny a rapat a rus a dalah j ( t ) = Re ( j ( # )e -i # t ) m ak a ! D apat dit ulisk an seb agai j ( # ) = " ( # ) E ( # ) dengan yang teredu ks i k e h asi l D rude DC saat # = 0 $ i * " p %* (# $ " p %* ( ) $ e " E %* ( " j %* (# $ ne " p %* ( m # % ne 2 , m ( " E %* ( % 1 ,) ($ i * + %* (# + 0 1 $ i * ) , + 0_# ne 2 ) m

Kon

duktivitas T

er

m

al L

ogam

! Huku m W ied eman n-F ran z m en yataka n bahw a rasi o kondukt ivita s term al terhada p kondukt ivita s listr ik ( $ / " ) untu k sejumla h besa r logam aka n berbandin g lur us denga n suhu, denga n n ilai tetapa n keseban dinga n yan g ham pi r sama unt uk semu a logam ! M ode l Drud e m en gasumsika n bahw a ar us term al pada loga m dibaw a ole h elekt ro n konduks i ! Asu m si ini dida sarka n pada pengamata n em pi ris bahw a loga m m engha ntarka n pana s lebi h b ai k dibandin g insulato r ! Ditinja u batan g loga m yang m em ilik i varias i suh u ! Jika tida k ada sum be r at au pembuanga n pana s pada ujung -ujun g batan g untu k m empe rta hanka n gr adie n suhu , energ i term al aka n m en gali r ber lawana n terhada p gradie n suhu ! Didefi nisika n r apa t ar us term al j_q sebaga i vekto r yang sejaja r ar ah alir an panas . Untu k gradie n suhu yan g keci l dipenuh i j_q = – $ ∇ T ( Huku m Fou rier) $ dikena l seb aga i kondukt ivita s term al da n bernila i posi tip ! Untuk kasu s 1-D , dim an a alir an hany a pad a ar ah -x : jq = – $ dT / dx ! Di t itik x , separo elekt ro n m uncu l dari sala h sat u sisi x yan g bersuh u tinggi , dan sepa rony a dari sisi bersuh u r enda h ! Jika % ( T ) adala h ener gi term al per elekt ro n d al am logam pad a suh u T , m ak a elekt ro n yan g tu m buka n terakhirny a di x ' aka n m em ilik i energ i term al % ( T [ x '])

! Elek tr on yan g tib a di x dari sis i bersuh u tingg i aka n m engala mi tumbuka n terakhi r di x – v ! , sehingg a m embaw a energ i term al pe r elekt ro n " ( T [ x – v ! ]) ! M ak a r apa t ar us term alny a ( n /2 ) v " ( T [ x – v ! ]) ! Elek tr on yan g tib a di x dari sis i bersuh u renda h a kan m embaw a ener gi term al sebesa r ( n /2)(-v) " ( T [ x + v ! ]) sehingg a jq = ( 1/2 ) nv [ " ( T [ x – v ! ] – T [ x + v ! ]) ! Jika var ias i suhu sepan jan g lintasa n beba s rerat a ( l = v ! ) sanga t keci l ( pe ru baha n pada l adala h l / L dikal ika n perubaha n pad a L ), dapat diperlua s untu k sekita r t itik x hingg a dipe ro leh : ! Untu k 3-D , v digant i v x _{dari kece} pata n elekt ro n v dan direr at a pad a selur uh ar ah ! Karen a < v x ₂ > = < v y ₂ > = < v z ₂ > = 1/3 v₂ dan kar en a n d " / dT = ( N / V ) d " / dT = ( d " / dT )/ V = c v (kalo r jeni s elekt ro n), diperole h j _q " nv 2 # d $ dT

%

& dT dx

'

j_q = 13 ( v₂ ! c v ₍ – ∇ T ) m ak a # = 13 ( v₂ ! c v _{= 1/3} l vc v denga n v₂ kelajua n elekt ro n kuadr at r erat a ! M aka , ! Dari gas idea l klasik , c v _{= 3/2} nk B _dan ! mv 2 = 3/2 k B_T denga n k B adala h tetapa n Bol tzman n sehingg a ) * " 1 + 3 c v_mv 2 ne 2 ) * " 3 2

%

k B e

'

2 T ! Diperole h yang bernila i separo dar i n ilai yang dinya taka n pada T abel 1.6 ) * T " 3 2

%

k B e

'

2 " 1.1 1 , 10 & 8 w att -oh m/ K 2

F

isika Zat Padat

Teori Logam : M ode l Dr ude-Somm erf el d

Ar

nold Somm

erfeld

(18

68 –

19

51

)

Germa

n P

hysicist

! Pad a mode l Dru de , diasum sika n bah w a dis tribu si ke cepa ta n elektro n meng ikut i dis tribu si Maxwell-Boltzman n ! Maka jum la h el ektro n pe r s atua n v olum e n = N/V den ga n ke ce pata n pad a i nterva l dv di se kita r nil ai v ada la h f ( v ) dv diman a ! Te tapa n pad a per sa maa n di ata s di pilih se de mik ia n s ehingg a s yara t norma lisasi dipe nuh i: f B_" v #$ n

"

m 2 % k B_T

#

3_& 2 e _' m v₂ & 2 k B_T n $

(

f " v # dv ! 25 tahu n setela h Drud e m en gajuka n m od elnya , diketahu i bahw a distribus i M ax well-B oltzman n unt uk elektr on har us digant i denga n dist ribus i Fermi-Dirac : ! Sommerfel d m en erapka n distribus i Fermi-Di ra c pada gas elekt ro n beba s dala m loga m (se hingg a m emodi fikas i m ode l Drud e untu k teori logam), m ode l in i kemudia n dikena l sebaga i m ode l Drude-So m merfel d f " v #$ " m &) # 3 4 % 3 1 ex p *" 1 & 2 mv 2 ' k B_T 0 #& k B_T +, 1 Jame s C. Maxwe ll (183 1 – 1879 ) Lud wig E. B o ltzman n (184 4 – 1906 ) E nrico Ferm i (190 1 – 1954 ) P au l A .M . D ira c (190 2 – 1984 )

vs.

+

+

wh at eve r.. S orry , Dru de ... D rud e Mod e l (1900 ) D rude -Somm erfe ld Mode l (19 27 )

Sifat Gr

ound Sta

te Gas Elektron

! Ditinja u N elektr on yang terjeba k dala m volu me V ! Dala m m ode l Drude , elekt ro n tida k salin g ber interaksi , sehingg a gr oun

d state dari siste

m dapa t ditentuka n denga n m enc ari leve l energ i unt uk elektr on tungga l dala m volume V , da n m engis i level -leve l ini denga n pr insi p laranga n Paul i ( sat u level h any a ditempat i satu elektron ) ! Elek tr on tungga l dapat diga mbarka n denga n fungs i gelomban g ! ( r ) yan g berkaita n denga n leve l ener gi " ! Jika elektr on tidak berinte ra ksi , m ak a fungs i gelomban g da n energiny a aka n m ematuh i persamaa n Sch rö dinger: m ak a dal am koordina t Kartesan : ' ) ₂ 2 m

"

- ₂ -x 2_, - ₂ -y ₂ , - ₂ -z

#

₂ . " r #$ /. " r # ' ) ₂ 2 m 0 2 . " r #$ /. " r # 1 2 m 1 p 2 . " r #$ /. " r # d en ga n 1 p $ ) i 0 W olfgang E. Paul i (1 900 – 1958) A ustri an P hysicis t Er wi n Schr öd inger (18 87 – 1 96 1) A ustrian P hysicis t

! Ditinja u sebua h elekt ro n yang terjeba k dala m suatu kubus denga n panjan g r usu k L = V 1/3 (loga m cuku p besa r sehingg a sifat-sifa t elekt ro n tidak dipenga ruh i ole h geometri r uang nya ) ! Sela njutnya , diperluka n syar at bata s untu k persamaa n Sch rö dinge r yan g m en ggambarka n ter jebakny a elekt ro n di dala m kubu s ! Pad a r uan g 1-D , t idak dipili h elekt ro n yang terjeba k pada gari s dari 0 h ingga L , m el ainka n ditinja u elekt ro n yan g terjeba k d al am suat u lingka ra n denga n kelilin g L sehingg a syara t batasny a adala h ! ( x + L ) = ! ( x ) ! General isas i unt uk kubus 3-D adala h ! ( x+L , y , z ) = ! ( x , y , z ) ! ( x , y+L , z ) = ! ( x , y , z ) ! ( x , y , z+L ) = ! ( x , y , z ) persamaa n ini dik ena l sebaga i syara t bata s Born -vo n Karm an ( p erio dik ) ! Untu k m en yeles aika n persamaa n Sch rö dinge r dan untu k sementa ra m engaba ika n syar at batasnya , dipili h sol us i d al am bent uk denga n energ i " k #$ r %& 1

'

_V e _i $ k ($ r )#_$ k %& * ₂ k 2 2 m M ax Born (1 882 – 1970) G erm an P hysicis t Theodore vo n Karm an (1 881 – 1 963) Hu ngarian -A m er ican A erospa ce E ngineer ! Tetapa n norm al isas i dipi lih sedemikia n sehi ngg a peluan g m enemuka n elekt ro n di d al am volu me V adala h sat u ! Leve l ! k₍ r ) m erupaka n eigenstat e dari operato r m omentu m p denga n eigen valu e p = k karen a m aka , elektr on yan g berad a pada level ! k₍ r ) m em ilik i m omentu m p = k dan kece pata n v = p / m ya itu v = k / m dan energ i 1 &

+

," # r %, 2 dr * i -r e $ k ($ r & * k e $ k ($ r )#_$ k %& * ₂ k 2 2 m & p 2 2 m & 1 2 mv 2 ! k dapat dit injau sebagai vekt or g el ombang ! G el ombang b idang ber nila i konst an pada semba rang bidang yan g tegak lurus terhadap k ( karena k ! r = konst an) dan per iodi k sepanjang g aris yan g sejajar terhadap k dengan panj ang g el ombang ! = 2 " / k (panjang g el ombang de Br ogli e) ! D ari syarat bat as Bor n-v on Kar m an: ! Karena e iz = 1 h any a jik a z = n 2 " , dengan n a dalah bilangan bulat , komponen vekt or g elombang k har u s berb entuk : n x_, n y_, n z _a dal ah b ilangan bulat e _i $ k ($ r e ik x_L & e ik y_L & e ik z_L & 1 k x_& 2 . n x L , k y_& 2 . n y L , k z_& 2 . n z L ! M aka , d al am r uan g 3 -D denga n sum bu Kartesa n k x_, k y _dan k z ₍ ruan g -k ) vekto r gelomban g yan g diij inka n adala h vekto r gelomban g yan g koordina t sepan jan g t iga sum bu te rsebu t dinya taka n ole h perkalia n bula t dari 2 " / L ! Jumla h t itik k yang diij inka n adalah : volu me ruang -k yan g terkandun g dala m r uan g 3-D dibag i denga n volu me r uang -k setia p titi k (untu k titik-titi k denga n nila i k yang diij inkan ) yang ber uk ur an (2 " / L )₃ ! M aka , suatu daera h r uang -k denga n volu me # ak an ber is i nila i k yang diijinka n ! Seh ingga , jum la h nilai -k yang diij inka n per satua n volume r uang -k ( rap at l eve l r u an g -k ) adala h / # 2 . 0 L % 3_& / V 8 . 3 V 8 . 3 ! Ka rena elektron tidak b erinte raksi , g round state d ari N -elektron d ap at d iben tuk d en gan me nyusun ele ktron -elektron ke d alam leve l-level mili k e lektron tung gal y ang d iijinkan ! Dari p rinsi p lara ngan Pa uli , se tiap ve ktor g elombang k yang d iiji nkan me mi lik i d ua level e le ktron, satu untuk se tiap a rah sp in elektron ( up d an dow n ) ! G rou nd st ate N -elektron dib entuk dengan me nemp atkan d ua e lektron pada le vel e lektron tung gal d en gan nilai k = 0 y ang me mi lik i e nergi teren dah " = 0 , ke mudian se ca ra b ertu rutan me ngis i level e lektron tung gal u ntuk e ne rgi teren dah berikutn ya yang b elum t eris i

! Karen a ! ~ k₂ , ketik a N cuku p besar , daer ah yang ditempat i a kan ber bentu k b ol a ! Jejari bolany a disebu t k F _{(F untu} k Fermi , sehingg a vekto r gelo mb an g Fermi ) dan volumeny a ! adala h 4 " k F 3_/3 ! Jumla h nila i k yang diijinka n dala m bol a ini adalah : " V 8 # 3_$

%

4 # k F 3 3

&

%

_V 8 # 3

&

$ k F 3 6 # 2_V ! Karen a setia p nilai -k yang diijinka n beris i dua leve l elekt ron -tungga l ( sat u untu k set iap nila i spin), untu k m enempa tka n N elektr on har us dimilik i ! Jad i jika dimilik i N elekt ro n dala m volu me V (rapa t elekt ro n n = N/V ), gr oun d stat e dari siste m N -e lektro n dibentu k denga n m enempat i seluru h leve l elekt ro n tungga l denga n nila i k < k F _da n m en yisaka n k > k F _kosong , denga n k F _dinyataka n ole h N $ 2 k F 3 6 # 2_V $ k F 3 3 # 2_V n $ k F 3 3 # 2 ! Bol a berjej ari k F _ber is i level-leve l elekt ro n tungga l yan g tela h ditempat i disebu t bo la Fermi ! Permukaa n b ol a yan g m emi sahka n leve l yan g tela h ditempat i dan yang belu m ditempat i disebu t permu kaa n Fermi ! M omentu m dari leve l elekt ro n tungga l yang tel ah ditempat i p F ₌ k F _yan g m em ilk i ener gi tertingg i disebu t m o men tu m Fermi , da n energiny a ! F ₌ 2 k F 2 _/2 m m er upaka n energ i Fermi dan kecepa tanny a v F ₌ p F_/ m adala h kecep at an Fermi ! Kec epata n Fe rmi dala m logam seban din g denga n kece pata n term al v = (3 k B_T / m )_1/2 pada gas klasi k ! Karen a m ak a ! Denga n m enggu naka n T abe l 1.1 , diper ole h ! F_, T F_, k F _da n v F _seper ti ditunj ukka n pad a T abe l 2.1 V N $ 1 n $ 4 3 # r s 3 ; r s_$

%

₃ 4 # n

&

1 ' 3 r s_$

%

9 # 4

&

1 ' 3 1 k F sehi ng ga k F_$ % 9 # ' 4 & 1_' 3 r s ! Untuk menghitung e ner gi g ro und-state d ar i N e le ktr on d alam suatu volum e V, e ner gi d ar i selur uh level e le ktr on t unggal dal am b ol a Ferm i d ijumlahkan: per hatik an bahw a jumlahan d ilakukan d alam ruang 3 D ! (pada ko or dinat K artesan, k memi lik i komponen k x_, k y _d an k z₎ ! Untuk menjuml ah se m barang f ungs i F ( k ) p ada se lu ruh n ilai k yang d iijinkan, d apat d ilakukan la ngkah b eri kut: ka rena vo lum e ru ang-k per n ilai k yang d iiji nk an a dalah # k = 8 "₃ / V , mak a E $ 2

(

k ) k F * ₂ 2 m k 2

(

+ k F % + k &$ V 8 # 3

(

+ k F % + k &, + k U ntuk b at as # k ! 0 (yait u V ! " ) bentuk ju mlahan $ F ( k ) # k a kan m end ek ati bentuk in tegral # d k F ( k ), seh ingga ! M ak a ra pat e nergi gas e lekt ron a dalah: lim V -. 1 V

(

+ k F % + k &$

/

d + k 8 # 3 F % + k & E V $ 2 1 8 # 3

/

V % k ) k F_& d + k * ₂ k 2 2 m $ 1 4 # 3

/

k $ 0 k F % k 2 dk 4 # & * ₂ k 2 2 m E V $ 1 # 2 * ₂ k F 5 10 m ! Untu k m enent uka n b es ar energ i per elekt ro n E / N pad a groun d stat e, hasi l tersebu t dibag i denga n N / V = k F 3_/3 "₂ yan g m emberika n denga n T F ₍ suh u Fermi ) ditunjukka n pad a T abe l 2.1 ! Nila i energ i per elekt ro n pad a gas k la si k adala h 3/2 k B_T yan g aka n lenya p pad a T = 0 E N $ 3 10 * ₂ k F 2 m $ 3 5 0 F_$ 3 5 k B_T F

Sifat T

er

m

al Gas

Ele

ktron

Bebas

! Sel anj utnya ak an diter apka n s ta tistik F ermi-D ira c dal am per hitun ga n ko ntribu si elektro n pad a k alo r jenis l oga m un tu k v olum e teta p ! P ad a metod e ind epen den t el ectro n app roximatio n , energ i i nter na l U ada la h j uml aha n s eluru h l eve l el ektro n tung ga l % ( k ) dik ali ka n j umla h rer at a el ektro n di l eve l terse bu t c v_$

%

1_u 1 T

&

V ; u $ U V U $ 2

(

+ k 0%₊ k & f %0 % + k &&

dim an a dikenalka n fu ng si Fe rmi f ( ! ) yang m en ggambarka n peluan g ter dapatny a elektr on pada level ter tent u dari elekt ro n tunggal , ata u um umny a dik ena l sebaga i fungs i distri busi : dan banya kny a elekt ro n t ota l N adala h jumlaha n unt uk selur uh level : f_!" #$ 1 e !" % & #' k B_T ( 1 N $

)

i f !" i_#$

)

i 1 e !" i_% & #' k B T ( 1 * Ji ka kedu a sis i pad a persa m aa n unt uk U dibag i denga n volume V dan den ga n m en erap ka n m etod e yan g tela h digun aka n unt uk m en ghitun g ene rg i ground -stat e, m ak a r apa t energ i u = U / V adala h * Ji ka kedu a sis i pad a persa m aa n unt uk N dibag i denga n V , diperole h rapa t elektro n n = N / V unt uk m eng hil angka n potensia l ki mia ! u $

+

d , k 4 -3 "!_, k # f !" ! , k ## n $

+

d , k 4 -3 f !" ! , k ## * Pad a persamaa n untu k u dan n , integran d hany a bergantun g pad a k m el alu i ener gi elekt ro n ! = 2 k₂ /2 m * Denga n m eng-eval uas i integ ra l pada koord ina t bol a dan m enguba h variabl e d ari k ke ! : dim an a dikena l sebaga i rapa t level per satua n volu me at au ra pa t level ( pad a pr akteknya , lebi h um um dikena l sebaga i den sity o f st at es , DOS )

+

d , k 4 -3 f !" ! , k ##$

+

0 . k 2 dk -2 f !" ! , k ##$

+

0 . g !" # f !" # d " g !" #$ m / ₂ -2

0

2 m " / ₂ * Karen a m ak a g ( ! ) dapa t dituli s sebaga i * M ak a r apa t level pada energ i Fe rmi adala h n $ k F 3 3 -2 seh ingga " F_$ / ₂ k F 2 2 m $ / ₂ 2 m ! 3 n -2 # 2_' 3 g !" #$ m / ₂ -2

0

2_m " / ₂ $ ! 3 n -2 # 2_' 3 2 -2 " F

!

!₃ n -2 # 2_' 3 " " F

#

1 ' 2 g !" #$ 3 2 n " F

!

" " F

#

1 ' 2 g !" F #$ 3 2 n " F * Denga n m enggu naka n r apa t level , persamaa n unt uk u dan n dapa t dituliska n sebaga i * Sec

ara umum, kedu

a persamaa n m em ilik i bentu k yan g kompleks . Namun , terdapa t m etod e ekspans i sederhan a yan g m eman faatka n fakt a bahw a T jauh lebi h keci l dari T F _untu k seluru h suhu loga m yan g diuku r u $

+

0 . " g !" # f !" # d " da n n $

+

0 . g !" # f !" # d " * D ar i G br . 2 .3, dap at d ilihat b ahwa f ( ! ) b erbeda den gan b entuk pada suhu nol h any a di d aer ah se mp it di sekit ar µ d engan lebar b eberapa k B_T * P erbe daan integ ral b erben tuk den gan b entuk n ilai noln ya: ditentu kan o leh b ent uk H ( ! ) di d ek at ! = µ * Jik a H ( ! ) tidak b erv arias i tajam di sekit ar µ , H ( ! ) dapat d igan ti d engan b eb erapa suk u d ar i d er et Ta ylor fun gs i tersebut di sekit ar ! = µ

+

% . . H !" # f !" # d "

+

% . F" H !" # f !" # d " * M aka , integ ra l denga n bentu k dapat diek spans ika n denga n der et Sommerfel d m enjad i ( liha t App endi x C dala m buk u Ashc roft ) * Sela njutny a dieva luas i persamaa n unt uk u dan n yang dapa t ditul iska n d al am bentu k

+

% . . H !" # f !" # d "

+

% . . H !" # f !" # d "$

+

% . & H !" # d "( -2 6 ! k B T # 2 H ' !& #( O ! T 4 # u $

+

0 & " g !" # d "( -2 6 ! k B_T # 2 1& g ' !& #( g !& #2( O ! T 4 # n $

+

0 & g !" # d "( -2 6 ! k B_T # 2 g ' !& #( O ! T 4 # * Persamaa n untu k n m enunj ukka n bahw a µ berbed a dari nilainy a pad a T = 0, yait u ! F_{, ole} h su ku pada o rde T 2 . Mak a dapa t dituliska n * Jadi , per sam aa n unt uk u da n n dapat ditul iska n ulang lagi ke dala m bentu k

+

0 & H !" # d "$

+

0 F" H !" # d "( !& % " F # H !" F # u $

+

0 _F" " g !" # d "( " F 3!& % " F # g !" F #( -2 6 ! k B_T # 2 g ' !" F #4 ( -2 6 ! k B_T # 2 g !" F #( O ! T 4 # n $

+

0 _F" g !" # d "( 3!& % " F # g !" F #( -2 6 ! k B T # 2 g ' !" F #4