a + b B a + b = b + a ( ii) a b = b. a

n

a

e

l

o

o

B

r

a

b

a

jl

A

x Misalkan t erdapat - Dua operato rbiner :+dan ˜ - Sebuah operato runer : .’ - B :himpunan yang dide ifnisikan pada opea tro r+ ,˜ ,dan ’ - 0 dan 1 adalah duaelemen yang berbedadar iB . l e p u T (B , ˜ )+ , , ’ t u b e s i d a jlabar Boolean ijka untuk s e itap a ,b ,c  B be lraku a m o i s k a -aksioma atau postula tHun itngton be irku :t . 1 Closure: ( a )i + b  B ) ii ( a ˜ b  B : s a ti t n e d I . 2 ( a )i +0 = a ) ii ( a ˜ 1 a = :f it a t u m o K . 3 ( a )i + b = b + a )i i( a ˜ b = b .a :f it u b ir t s i D . 4 i( ) a ˜ (b + c ) a ˜ b=( ) a ˜ c) +( )i i( a ( + b ˜ c ) a =( + b )˜ (a + c) n e m e l p m o K . 5 1: ( a )i + a ’= 1 i( a ˜ a)i ’= 0

x Untuk mempunya i sebuah a jlaba r Boolean , haru s : n a k t a h il r e p i d . 1 Elemen-elemen himpunan B, . 2 Kaidah operas iuntuk operatorbine rdan operato rune ,r . 3 Memenuh ipostula tHun itngton.

a

u

D

n

a

e

l

o

o

B

r

a

b

a

jl

A

-

N

li

a

i

a u d n a e l o o B r a b a jl A -n lia :i - B ={0 ,1} - operato rbiner ,+ dan ˜ - operato rune ,r ’ - Kaidah untuk operato rbine rdan operato runer : a b a ˜ b a b a + b a a’ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 : n o t g n it n u H t a l u t s o p i h u n e m e m h a k a p a k e C . 1 Closure : j ela sbe lraku . 2 Ident tias:j ela sbe lraku karenada ir t abe ldapa tk tia ilha tbahwa: 1 = 0 + 1 = 1 + 0 )i ( 1 ) ii ( ˜ 0 = 0 ˜ 1 = 0 . 3 Komuta it :f jela sbe lraku dengan me ilha tsimet ir t abe loperato r .r e n i b

. 4 Dist irbut fi : i( )a ˜ (b + c )= (a ˜ b )+ (a ˜ c )dapa td tiunjukkan l e b a t k u t n e b m e m n a g n e d s a t a i d r e n i b r o t a r e p o l e b a t ir a d r a n e b : n a r a n e b e k a b c b + c a ˜ (b + c) a ˜ b a ˜ c (a ˜ b) ( + a ˜ c) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f it u b ir t s i d m u k u H ) ii ( a (+ b ˜ c )= (a + b ) ˜ (a + c )dapa t a n e b e k l e b a t t a u b m e m n a g n e d r a n e b n a k k u j n u ti d ran dengan .) i( i tr e p e s a m a s g n a y a r a c . 5 Komplemen : jela s be lraku karena Tabe l 7.3 memper ilhatkan : a w h a b ( a )i + a ‘=1 ,karena0 + 0’= 0 +1 = 1 dan 1 +1’= 1 +0 = 1 ( a ˜ a ii ) = 0 ,karena 0 ˜ 0’=0 ˜ 1 = 0 dan 1 ˜ 1 ’=1 ˜ 0 = 0 il e k a n e r a K ma postula tHun itngton dipenuhi ,maka t erbukt ibahwa B = {0 ,1} bersama-sama dengan operato rbine r+ dan ˜ operato r . n a e l o o B r a b a jl a n a k a p u r e m ‘ n e m e l p m o k

n

a

e

l

o

o

B

i

s

e

r

p

s

k

E

x Misalkan (B ,+ ,˜ ,’ )adalah sebuah a jlaba rBoolean .Suatu n a e l o o B i s e r p s k e dalam( B , , ˜+ , ’ )adalah: m a l a d i d n e m e l e p a it e s )i ( B, , h a b u e p p a it e s ) ii ( a k ij ) ii i( e1 d ean 2 adalah ekspres iBoolean ,maka e1 + e2 , e1 ˜ e2 ,e1 ’adalah ekspres iBoolean : h o t n o C 0 1 a b c a + b a ˜ b a’˜ (b + c) a ˜ b ’+ a ˜ b ˜ c ’ b+ ’ ,dan s ebagainya n a e l o o B i s e r p s k E i s a u l a v e g n e M x Contoh: a’˜ (b + c) a k ij a = b 0 , =1 ,dan c = 0 ,maka hasi levaluas iekspresi : ’ 0 ˜ (1 + 0 )= 1 ˜ 1 = 1 x Dua ekspres i Boolean dikatakan ekivalen (d liambangkan m e m a y n a u d e k a k ij ) ’ = ‘ n a g n e d punya in lia iyang sama untuk i a li n n a ir e b m e p p a it e s -n lia ikepada n peubah . : h o t n o C a ˜ (b + c ) a .b= ( ) a ˜ c) +(

. h o t n o C Per ilhatkan bahwa a + a’b = a + b . n a i a s e l e y n e P :

a b a’ a’b a + a’b a + b

0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 x Pe jran ijan : tanda it itk (˜ ) dapa t dih liangkan dar i penu ilsan : n a n a k e n e p a d a a k ij i l a u c e k , n a e l o o B i s e r p s k e )i ( a(b + c )= a b + ca )i i( a + cb ( = a + b ( ) a + c) )i ii ( a ˜ 0 ,bukan a0

s

a

ti

l

a

u

D

p

is

n

i

r

P

x Misalkan S adalah kesamaan (ident tiy ) d i dalam a jlabar , + r o t a r e p o n a k t a b il e m g n a y n a e l o o B ˜ , dan komplemen , n a a t a y n r e p a k ij a k a m S* diperoleh dengan cara menggan it ˜ dengan + + dengan ˜ 0 dengan 1 1 dengan 0 , a y n a d a a p a p a t e t n e m e l p m o k r o t a r e p o n a k r a i b m e m n a d n a a m a s e k a k a m S* j uga benar .S* disebu tsebaga id ual dar i S. . h o t n o C ( )i ( a ˜ 1)(0 +a’ )= 0 dualnya (a +0 )+ ( 1 ˜ a’ )=1 )i i( a(a ‘ b + )=ab dualnyaa + a‘b = a + b

m

u

k

u

H

-

h

u

k

u

m

A

jl

a

b

a

r

B

o

o

l

e

a

n

. 1 Hukumi dent tias: )i ( a + 0 =a )i i( a ˜ 1 a = . 2 Hukumi dempoten: )i ( a + a = a )i i( a ˜ a = a . 3 Hukumkomplemen: )i ( a + a ’=1 )i i( aa ’= 0 . 4 Hukumdominans :i )i ( a ˜ 0 = 0 ) ii ( a + 1 = 1 . 5 Hukumi nvolus :i )i ( (a’) ’=a 6 . H( )iu a kum+ bpa eny= a erapan: )i i( a(a + b ) a = . 7 Hukumkomutati :f )i ( a + b = b + a ) ii ( a b = ab . 8 Hukumasosia it :f )i ( a ( + b + c ) a =( + b ) c + ) ii ( a (b c ) a b )c = ( . 9 Hukumdist irbu it :f )i ( a ( + b c ) a = ( + b ( ) a + c) ) ii ( a (b + c ) a b = + a c . 0 1 HukumDeMorgan: )i ( (a + b) ’=a’b’ ( )i i( ab) a ’= ’ b’ + . 1 1 Hukum0/1 i( ) 0 ’=1 i( )i 1 ’= 0 . 3 . 7 h o t n o C Buk itkan i( )a + a’b = a + b dan ( ii )a(a ’ b + )=a b n a i a s e l e y n e P : ) i( a + a’b = a ( + ba ) a’b + (Penyerapan) = a ( + ba + a’b) (Asosiat fi) = a ( + a + a )’ b (Dist irbut fi) = a + x b 1 (Komplemen) = a + b (Ident tias) )i ( ir a d l a u d h a l a d a ) ii (

n

a

e

l

o

o

B

i

s

g

n

u

F

x Fungs iBoolean (disebut j uga f ungs ibiner )adalah pemetaan i r a d Bn k B e melalu iekspres iBoolean ,k tia menu ilskannya i a g a b e s f :Bn o B i n i l a h m a l a d g n a y Bn adalah himpunan yang beranggotakan a d n a g t u r u r e t n a g n a s a p -n (ordered n-tuple )d idalam daerah l a s a B . x Se itap ekspres i Boolean itdak lain merupakan fungs i . n a e l o o B x Misalkan s ebuah f ungs iBoolean adalah f(x ,y ,z )= xy z+ x’y + y’z i s g n u F f memetakan n liai-n lia ipasangan t eruru tganda- 3 (x ,y ,z )kehimpunan {0 ,1}. i tr a r e b g n a y ) 1 , 0 , 1 ( , a y n h o t n o C x = y 1 , =0 ,dan z = 1 1 = ) 1 , 0 , 1 ( f a g g n i h e s ˜ 0 ˜ 1 + 1 ’˜ 0 +0’˜ 1 = 0 +0 + 1 =1 . . h o t n o C Contoh-contoh f ungs iBoolean yang l ain: . 1 f(x ) x = . 2 f(x ,y ) x’y = + yx ’ y’ + . 3 f(x ,y ) x’ y’ = . 4 f(x ,y ) x =( + y ’) . 5 f(x ,y ,z )= x ’ yz

x Se itap peubah d i dalam fungs i Boolean , termasuk dalam t u b e s i d , a y n n e m e l p m o k k u t n e b l tieral . i s g n u F : h o t n o C h(x , y , z )= xyz ’pada contoh d iata sterd ri i u ti a y , l a r e ti l h a u b 3 i r a d x ,y ,dan z .’ . h o t n o C Diketahu ifungs iBooelan f(x , y , z )= xy z’ ,nyatakan h . n a r a n e b e k l e b a t m a l a d n a i a s e l e y n e P : x y z f(x ,y ,z )= x ’ yz 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

i

s

g

n

u

F

n

e

m

e

l

p

m

o

K

. 1 Carape trama :menggunakan hukum De Morgan , h a b u e p h a u b a u d k u t n u n a g r o M e D m u k u H x1 d xan 2 ,adalah . h o t n o C Misalkan f(x ,y ,z ) x(y’z = ’ z+ y ) ,maka f (’ x ,y ,z) =( x(y’z ’ z+ y ’) ) = x ’ y’z ++ ( ’ zy ’) = x ’ y’z ( + ( ’)’ y ’z) = x ’ y + ( + z ( ) y ’ z )+ ’

. 2 Carakedua :menggunakan p irnsip dual tias . n a k i s a t n e s e r p e r e m g n a y n a e l o o B i s e r p s k e i r a d l a u d n a k u t n e T f , m a l a d i d l a r e ti l p a it e s n a k n e m e l p m o k u l a l dual t ersebut . . h o t n o C Misalkan f(x ,y ,z ) x(y’z = ’ z+ y ) ,maka ir a d l a u d f: x ( + y ’ z ( + ’ y ) + z) : a y n l a r e ti l p a it n a k n e m e l p m o k x ’ y +( + z ( ) y ’ z+ ’ )= f ’ , i d a J f (‘ x ,y ,z ) x= ’ y + ( + z () y ’ z )+ ’

k

i

n

o

n

a

K

k

u

t

n

e

B

x Jadi ,ada dua macam bentuk kanonik: . 1 Penjumlahan dar ihasi lka il( s - fum o -productatau SOP) . 2 Perka ilan dar ihas lij umlah ( product- fo - ms u atau POS) . 1 : h o t n o C f(x ,y ,z ) x’y’z = + yx ’z ’+ x ¡ Pyz S O Se itap s uku ( term )disebu tminterm 2 g(x, y ,z. ) x =( + y + z () x + y ’ z (+ ) x + y ’ z )+ ’ (x ’ y + + z (’ x ) ’ y + ’ z + ) ¡ SP O ( u k u s p a it e S term )disebu tmaxterm x Se itap minterm/maxterm mengandung l tieral l engkap

M

i

n

t

e

r

m

M

a

x

t

e

r

m

x y

S

u

k

u

L

a

m

b

a

n

g

S

u

k

u

L

a

m

b

a

n

g

0

0

1

1

0

1

0

1

x’y’

x’y

y

x ’

y

x

m

0

m

1

m

2

m

3

x

+ y

x

+ y’

x

’ y

+

x

’ y’

+

M

0

M

1

M

2

M

3

M

i

n

t

e

r

m

M

a

x

t

e

r

m

x y z

S

u

k

u

L

a

m

b

a

n

g

S

u

k

u

L

a

m

b

a

n

g

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

x’y’z’

x’y’z

x‘y z’

x’y z

x y’z’

y

x ’z

x y z’

z

y

x

m

0

m

1

m

2

m

3

m

4

m

5

m

6

m

7

x

+ y

+ z

x

+ y

+ z’

x

+ y +

’ z

x

+ y +

’ z’

x

’ y

+

+ z

x

’ y

+

+ z’

x

’ y

+

’ z

+

x

’ y

+

’ z’

+

M

0

M

1

M

2

M

3

M

4

M

5

M

6

M

7 . 0 1 . 7 h o t n o C Nyatakan t abe lkebenaran d ibawah i n idalam bentuk . S O P n a d P O S k i n o n a k Tabe l7.10 x y z f(x ,y , z) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

n a i a s e l e y n e P : ) a ( PS O i a li n i s a n i b m o K -n lia ipeubah yang menghas likan n lia ifungs i i s g n u f a k a m , 1 1 1 n a d , 0 0 1 , 1 0 0 h a l a d a 1 n a g n e d a m a s h a l a d a P O S k i n o n a k k u t n e b m a l a d a y n n a e l o o B f(x ,y ,z ) x’y’z = + yx ’z ’+x yz k a n u g g n e m n a g n e d ( u a t a an l ambang minterm ,) f(x ,y ,z ) m= 1 + m4+ m7 = ¦ (1 ,4 ,7) S O P ) b ( i a li n i s a n i b m o K -n lia ipeubah yang menghas likan n lia ifungs i a k a m , 0 1 1 n a d , 1 0 1 , 1 1 0 , 0 1 0 , 0 0 0 h a l a d a 0 n a g n e d a m a s h a l a d a S O P k i n o n a k k u t n e b m a l a d a y n n a e l o o B i s g n u f f(x ,y ,z =) (x + y + z () x + y ’ z (+ ) x + y ’ z )+ ’ (x ’ y + + z (’ x ) ’ y + ’ z) + atau dalambentuk l ain, f(x ,y ,z ) M= 0 M2 M3 M5 M6 = –(0 ,2 ,3 ,5 ,6) . 1 1 . 7 h o t n o C Nyatakan fungs iBoolean f(x ,y ,z ) x = + y’z dalam k u t n e b kanonik SOP dan POS. n a i a s e l e y n e P : P O S ) a ( x = x(y + y )’ = x y + yx ’ = x (z y + z’ )+ x (y’ z + z )’ =xy z+ zxy ’ y+ x ’z + yx ’z’

y’z = y’z (x + x )’ = xy’z + x’y’z i d a J f(x ,y ,z ) = x + y’z = xy z+ zxy ’ y+x ’z + yx ’z ’ y+x ’z + x’y’z = x’y’z + yx ’z ’ y+x ’z + zxy ’+x yz atau f(x ,y ,z ) = m1 + m4+ m5+ m6+ m7 = 6 (1,4,5,6,7) S O P ) b ( f(x ,y ,z ) = x + y’z = x ( + y (’ x ) + z) x + y ’ x = + y ’ z+ z ’ = ( x + y ’ z (+ ) x + y ’ z )+ ’ x + z = x + z + yy ’ = x ( + y + z () x + y ’ z) + , i d a J f(x ,y ,z ) x = ( + y ’ z (+ ) x + y ’ z (+ ’ x ) + y + z () x + y ’ z) + = ( x + y + z () x + y ’ z (+ ) x + y ’ z )+ ’ u a t a f(x ,y ,z ) M= 0M2M3 = –(0 ,2 , 3)

k

i

n

o

n

a

K

k

u

t

n

e

B

r

a

t

n

A

i

s

r

e

v

n

o

K

n a k l a s i M f(x ,y ) , z = 6 (1 ,4 ,5 ,6 ,7) n a d f ’adalah f ungs ikomplemen dar if, f (’ x ,y ,z ) 6 = (0 ,2 ,3) = m0+ m2+ m3 h e l o r e p m e m t a p a d a ti k , n a g r o M e D m u k u h n a k a n u g g n e m n a g n e D i s g n u f fdalambentuk POS: f (’ x ,y ,z) = ( f (’ x ,y ,z)) ’= ( m0 + m2+ m3) ’ = m0 ’ m . 2 ’ m . 3’ = x’y’z ( ( ’ x’ ’)’ yz ) x’y z ’’ ( ) = x ( + y + z ( ) x + y ’ z ( + ) x + y ’+z’) = M0 M2M3 = – (0,2,3) Jad ,i f(x ,y ,z )= 6 (1 ,4 ,5 ,6 ,7 )= –(0,2,3 .) n a l u p m i s e K :mj ’ M= j . h o t n o C Nyatakan f(x ,y ,z ) – = (0 ,2 ,4 ,5 )dan g(w ,x ,y ,z )= 6(1 ,2 ,5 ,6 ,10 ,15 ) . P O S k u t n e b m a l a d n a i a s e l e y n e P : f(x ,y ) , z = 6 (1 ,3 ,6 ,7) g(w ,x ,y ,z ) – = (0 ,3 ,4 ,7 ,8 ,9 ,11 ,12 ,13 ,14)

. h o t n o C Car liah bentuk kanonik SOP dan POS dar if(x ,y ,z ) y = ’+ y x + x ’’ yz n a i a s e l e y n e P : P O S ) a ( f(x ,y ,z )=y ’ y+x + x’ zy ’ = y ( ’ x + x ( ’ z ) + z’ )+ x (z y + z’ )+ x’ zy ’ = y( x ’ x’y )+ ’ (z + z’ )+ x yz + zxy ’ x’ z+ y ’ = yx ’z + yx ’z ’ x’y’z + + x’y’z ’+x yz + zxy ’ x’ z+ y ’ u a t a f(x ,y ,z )=m0+ m1+ m2+ m4+ m5+ m6+ m7 S O P ) b ( f(x ,y ,z) =M3 = x + y ’ z’ +

u

k

a

B

k

u

t

n

e

B

, a y n h o t n o C f(x, y ,z ) y = ’ y+x + x’ zy (bentuk baku SOP f(x ,y ,z ) x(y = ’ z (+ ) x ’ y + + z )’ (bentuk baku POS)

n a e l o o B r a b a jl A i s a k il p A . 1 Jaringan Pensaklaran ( Sw tiching Network) n a d a k u b : n a a d a e k h a u b a u d i a y n u p m e m g n a y k e j b o h a l a d a r a l k a S . p u t u t a g i T bentuk gerbang pa ilng s ederhana: . 1 a x b t u p t u O b hanya ada ijkadan hanya ijkax dibukaŸ x . 2 a x y b t u p t u O b hanya ada ijkadan hanya ijkax d y an dibuka Ÿ yx . 3 a x c b y Output c hanya ada ijka dan hanya ijka x atau y dibuka Ÿ x + y

: k ir t s il n a i a k g n a r a d a p n a r a l k a s n e p n a i a k g n a r h o t n o C r a l k a S . 1 dalamhubungan SER :I l ogika AND Lampu B A f n a g n a g e t r e b m u S k a S . 2 l ar dalamhubungan PARALEL:l ogikaOR A Lampu B f n a g n a g e T r e b m u S . h o t n o C Nyatakan rangkaian pensaklaran pada gamba rd ibawah n a e l o o B i s e r p s k e m a l a d i n i . x’ y x’ x x y x y’ z z b a w a J : x’y ( + x ’ y+ x )z + x( y + y’ z + z)

k i n o r t k e l E l a ti g i D n a i a k g n a R . 2 GerbangAND GerbangOR GerbangNOT ( inverter) . h o t n o C Nyatakan fungs if(x ,y ,z )= x y + x’y ke dalam rangkaian . a k i g o l b a w a J : ( a )Carape trama a u d e k a r a C ) b ( a g it e k a r a C ) b ( y x y x y x y + x x 'x ' x x y xy x y x'y y ' x + y x y x x y y' x + y x x' xy x y x'y x xy 'y+

n a n u r u t g n a b r e G D N A N g n a b r e G GerbangXOR n a b r e G gNOR GerbangXNOR x y ( yx ') x y ( yx+ ') x y x +y x y (x + y ') x' y' x'y' ekivalendengan x y ( yx+ ') x' y' x ' y'+ ekivalendengan x y ( yx ') x y (x y ')+ ekivalendengan x y (x y ')+ x y+

n a e l o o B i s g n u F n a a n a h r e d e y n e P . h o t n o C f(x ,y ) x’y = + yx ’ y ’ + i d a j n e m n a k a n a h r e d e s i d f(x ,y ) x = ’ y’ + : a r a c 3 n a g n e d n a k u k a li d t a p a d n a e l o o B i s g n u f n a a n a h r e d e y n e P . 1 Secara a jlabar . 2 Menggunakan Peta Karnaugh . 3 Menggunakan metodeQuine Mc Cluskey( metode Tabulas )i r a b a jl A a r a c e S n a a n a h r e d e y n e P . 1 h o t n o C : . 1 f(x ,y ) x = + x’y = x ( + x (’ x ) + y ) 1 = ˜ (x + y ) = x + y . 2 f(x ,y ,z ) x’y’ z = + x’ zy + yx ’ = x’z(y ’ y + ) y+ x ’ = x’z + zx ’ . 3 f(x ,y ,z ) y= x + x’ z + zy = yx + x’z + zy (x + x )’ = yx + x’z + zx y + x’ zy = yx (1 +z ) x’z+ (1 + y ) y=x + x’z

h g u a n r a K a t e P . 2 . a Peta Karnaugh dengan dua peubah y 0 1 m0 m1 x 0 x’y’ x’y m2 m3 1 y x ’ x y . b Petadengan itgapeubah y z 0 0 0 1 1 1 1 0 m0 m1 m3 m2 x 0 x’y’z’ x’y’z x’ z y x’ zy ’ m4 m5 m7 m6 1 x ’z’ y x ’z y x yz x ’ yz . h o t n o C Dibe irkan t abe lkebenaran ,gambarkan PetaKarnaugh. x y z f(x ,y ,z) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1

b .Peta dengan empa tpeubah y z 0 0 0 1 1 1 1 0 m0 m1 m3 m2 xw 00 w’x’y’z’ w’x’y’z w’x’ zy w’x’ zy ’ m4 m5 m7 m6 01 w’ y x ’z’ w’ y x ’z w’ zx y w’ zx ’ y m12 m13 m15 m14 1 1 w ’z’ xy w ’z xy w xyz w ’ xyz m8 m9 m11 m10 1 0 w ’y’z’ x w ’y’z x w ’ zx y w ’ zx y ’ h o t n o C .Dibe irkan t abe lkebenaran ,gambarkan PetaKarnaugh. w x y z f(w ,x ,y ,z) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 10 0 0 0 0

h g u a n r a K a t e P n a g n e d n a e l o o B i s g n u F i s a s i m i n i M k i n k e T . 1 Pasangan :dua buah1yangbe tretangga z y 0 0 0 1 11 10 x w 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 n a k a n a h r e d e s i d m u l e b e S :f(w ,x ,y ,z )=wxy z+w ’ xyz e d e y n e P l is a H rhanaan: f(w ,x ,y ,z )=w xy :r a b a jl a a r a c e s it k u B f(w ,x ,y ,z )=w xyz +w ’ xyz =w (z xy + z )’ =wxy( 1) =w xy . 2 Kuad :empa tbuah1yangbe tretangga z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 n a k a n a h r e d e s i d m u l e b e S :f(w ,x ,y ,z )=w ’z xy ’+w ’z xy + w xyz +w ’ xyz n a a n a h r e d e y n e p l is a H : f(w ,x ,y ,z )=w x

:r a b a jl a a r a c e s it k u B f(w ,x ,y ,z )=wxy ’+ w xy = xw (z ’ z) + = xw )( 1 = xw z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 : n i a l h o t n o C z y 00 01 1 1 1 0 x w 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 11 1 1 0 0 10 1 1 0 0 : n a k a n a h r e d e s i d m u l e b e S f(w ,x ,y ,z )=w ’z xy ’+w ’z xy + xw ’y’z ’+ w ’y zx ’ n a a n a h r e d e y n e p l is a H : f(w ,x ,y ,z )=w ’ y

. 3 Oktet :delapanbuah1yangbe tretangga z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 _{0 0 0 0} 1 0 _{0 0 0 0} 11 _{1 1 1 1} 10 _{1 1 1 1} n a k a n a h r e d e s i d m u l e b e S :f(a ,b ,c ,d )=w ’z xy ’+w ’z xy + w xyz +wxyz ’ + w ’y’z x ’+ w ’y’z x + xw ’ zy + wx’ zy ’ n a a n a h r e d e y n e p l is a H :f(w ,x ,y ,z ) w = :r a b a jl a a r a c e s it k u B f(w ,x ,y ,z )=wy ’+w y = w(y ’ y) + = w z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

. 1 1 . 5 h o t n o C Sederhanakan f ungs iBoolean f(x ,y ,z) = x’ zy + yx ’z ’+ x yz + z y x ’ . b a w a J : : h a l a d a t u b e s r e t i s g n u f k u t n u h g u a n r a K a t e P z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x 0 1 1 1 1 1 : n a a n a h r e d e y n e p l i s a H f(x ,y ,z) = y z+ zx ’ . 2 1 . 5 h o t n o C Andaikan suatu t abe lkebenarant elah dtie jremahkanke dalam a n a h r e d e s e s n a i a u s e s r e b g n a y n a e l o o B i s g n u f n a k a n a h r e d e S . h g u a n r a K a t e P . n i k g n u m z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 b a w a J :( ilha tPeta Karnaugh) f(w ,x ,y ,z )= wy ’ z+y ’ w’x’z +

. 3 1 . 5 h o t n o C Minimisas ifungs iBoolean yang bersesuaian dengan Peta .i n i h a w a b i d h g u a n r a K z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 b a w a J :( ilha tPeta Karnaugh) f(w ,x ,y ,z ) w = + yx ’z h o t n o C n a i a s e l e y n e p a k i J 5.13adalahs epe tr id ibawahi n:i z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 h a l a d a n a a n a h r e d e y n e p l i s a h n a e l o o B i s g n u f a k a m f(w ,x ,y ,z )=w + w’ yx ’z j(umlahl tiera l=5) n a b i d a n a h r e d e s m u l e b h i s a m a t a y n r e t g n a y dingkan f(w ,x ,y ,z ) w = + yx ’z . ) 4 = l a r e ti l h a l m u j(

. 4 1 . 5 h o t n o C (Penggulungan/rol ilng )Sederhanakan fungs i Boolean yang .i n i h a w a b i d h g u a n r a K a t e P n a g n e d n a i a u s e s r e b z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 b a w a J : f(w ,x ,y ,z ) y=x ’z ’+xyz ’==>belums ederhana :l a m i n i m h i b e l g n a y n a i a s e l e y n e P z y 00 0 1 1 1 10 x w 00 0 0 0 0 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 f(w ,x ,y ,z ) z=x ’ ===>l ebihs ederhana

5 1 . 5 h o t n o C :(Kelompok be lrebihan )Sederhanakan fungs iBoolean yang .i n i h a w a b i d h g u a n r a K a t e P n a g n e d n a i a u s e s r e b z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 b a w a J : f(w ,x ,y ,z ) y=x ’z +w xz +w o yz masihbelums ederhana. n a i a s e l e y n e P yangl ebihminima :l z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 f(w ,x ,y ,z ) y=x ’ z +w yz ===>l ebihs ederhana

. 6 1 . 5 h o t n o C Sederhanakan fungs iBoolean yang bersesuaian dengan Peta h a w a b i d h g u a n r a K i n.i d c 0 0 0 1 1 1 1 0 b a 00 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 b a w a J :( ilha tPeta Karnaughd iatas) f(a ,b ,c ,d ) b=a + da + ca + db c . 7 1 . 5 h o t n o C Minimisasif ungs iBooleanf(x ,y ,z) = x’z + x’y + yx ’z + zy b a w a J : z ’ x = x’z(y + y’ )=x’ zy + x’y’z x’y = x’y(z + z’ )=x’ zy + x’ zy ’ z y = zy (x + x’ )=x yz+ x’ zy f(x ,y ,z ) x’z = + x’ y + yx ’z + zy = x’ zy + x’y’z + x’ zy + x’ zy ’ y+x ’z +xy z+ x’ zy = x’ zy + x’y’z + x’ zy ’+x yz + yx ’z t u b e s r e t i s g n u f k u t n u h g u a n r a K a t e P adalah: z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x 0 1 1 1 1 1 1 : n a a n a h r e d e y n e p l i s a H f(x ,y ,z ) z = + x’ zy ’

h a b u e p a m il k u t n u h g u a n r a K a t e P 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 _{m0 m1 m3 m2 m6 m7 m5 m4} 1 0 _{m8 m9 m11 m10 m14 m15 m13 m12} 1 1 _{m24 m25 m27 m26 m30 m31 m29 m28} 0 1 _{m16 m17 m19 m18 m22 m23 m21 m20} n a n i m r e c n e p s ir a G . 1 2 . 5 h o t n o C (Contoh penggunaan Peta 5peubah )Car liah f ungs isederhana ir a d f(v ,w ,x ,y ,z ) 6 = (0 ,2 ,4 ,6 ,9 ,11 ,13 ,15 ,17 ,21 ,25 ,27 ,29 ,31) b a w a J : : h a l a d a t u b e s r e t i s g n u f ir a d h g u a n r a K a t e P z y x 0 0 0 01 0 01 1 00 1 10 1 11 1 11 0 10 0 w v 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 i d a J f(v ,w ,x ,y ,z) = w z + v’w’z ’ y+ v ’z

n a a d a e K Don’ tCare 6 1 . 5 l e b a T w x y z desimal 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 e r a c t ’ n o d e r a c t ’ n o d e r a c t ’ n o d e r a c t ’ n o d e r a c t ’ n o d e r a c t ’ n o d . 5 2 . 5 h o t n o C Dibe irkan Tabe l 5.17 . Minimisas i fungs i f sesederhana . n i k g n u m Tabe l5.17 a b c d f(a ,b ,c ,d) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 X X X X X X X X

b a w a J :PetaKarnaughda irf ungsit ersebu tadalah: d c 0 0 0 1 1 1 1 0 b a 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 X X X X 0 1 X 0 X X : n a a n a h r e d e y n e p l i s a H f(a ,b ,c ,d ) d=b + c’d ’ d+c . 6 2 . 5 h o t n o C Minimisas ifungs iBoolean f(x ,y ,z) = x’ zy + x’ zy ’+ x ’z y ’+ y x ’z .Gambarkanr angkaianl ogikanya. b a w a J :Rangkaian logika fungs if(x , y , z )sebelum diminimisasikan adalah :i n i h a w a b i d i tr e p e s x y z x' zy x' zy ' y x 'z' y x 'z

d a h g u a n r a K a t e P n a g n e d i s a s i m i n i M alahs ebaga ibe irku:t z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x 0 1 1 1 1 1 h a l a d a i s a s i m i n i m l i s a H f(x ,y ,z) = x’y + yx .’ . 8 2 . 5 h o t n o C Berbaga i sistem digtia l menggunakan kode binary coded l a m i c e d (BCD) .Dibe irkanTabe l5.19 untukkonvers iBCDke kode Excess -:t u k ir e b i a g a b e s 3 Tabe l5.19 D C B n a k u s a M KeluarankodeExcess-3 w x y z f1(w ,x ,y ,z) f2(w ,x ,y,z) f3(w ,x ,y ,z) f4(w ,x ,y ,z) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 x'y x y y x ' x'y+xy'

) a ( f1(w ,x ,y ,z) z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 1 0 1 1 1 1 1 X X X X 0 1 1 1 X X f1(w ,x ,y ,z ) w = + zx + yx = w + x(y + z) ) b ( f2(w ,x ,y ,z) z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 1 1 1 1 0 1 1 1 X X X X 0 1 1 X X f2(w ,x ,y ,z ) y=x ’z ’ x’z + + x’y = yx ’z ’ x (+ ’ y + z) ) c ( f3(w ,x ,y ,z) z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 1 1 1 0 1 1 1 1 X X X X 0 1 1 X X f3(w ,x ,y ,z ) y’z = ’ z+y

) d ( f4(w ,x ,y ,z) z y 0 0 0 1 1 1 1 0 x w 00 1 1 1 0 1 1 1 1 X X X X 0 1 1 X X f4(w ,x ,y ,z ) z’ = x y z w f3 f4 f2 f1