4
4
PENGUJIAN PARAMETER
PENGUJIAN PARAMETER
SATU POPULASI
SATU POPULASI
Tahapan di dalam pengambilan keputusan secara Statistika dapat dinyatakan Tahapan di dalam pengambilan keputusan secara Statistika dapat dinyatakan dalam pengambilan sampel, pendugaan parameter populasi dan pengujian dalam pengambilan sampel, pendugaan parameter populasi dan pengujian parameter populasi. Setelah mempelajari modul ini di harapkan mahsiswa dapat parameter populasi. Setelah mempelajari modul ini di harapkan mahsiswa dapat melakukan pendugaan dan pengujian parameter satu populasi dengan bantuan melakukan pendugaan dan pengujian parameter satu populasi dengan bantuan program paket Statistika.
program paket Statistika.
Materi pada bab ini adalah pendugaan titik dan interval untuk parameter satu Materi pada bab ini adalah pendugaan titik dan interval untuk parameter satu populasi. Data bisa berasal dari populasi berdistribusi normal maupun selain populasi. Data bisa berasal dari populasi berdistribusi normal maupun selain normal. Pendugaan titik dan interval pada populasi berdistribusi normal normal. Pendugaan titik dan interval pada populasi berdistribusi normal merupakan materi pada mata kuliah pengantar metode statistika, sedangkan merupakan materi pada mata kuliah pengantar metode statistika, sedangkan pendugaan titik dan interval pada populasi berdistribusi selain normal merupakan pendugaan titik dan interval pada populasi berdistribusi selain normal merupakan bagian dari mata kuliah statistika non
bagian dari mata kuliah statistika non parametrik.parametrik.
4.1.
4.1. KOMPETENSI KHUSUSKOMPETENSI KHUSUS
Mahasiswa diharapkan memiliki kompetensi sebagai berikut: Mahasiswa diharapkan memiliki kompetensi sebagai berikut: a.
a. Mampu menghitung taksiran mean dan varians untuk satu populasiMampu menghitung taksiran mean dan varians untuk satu populasi berdistribusi normal.
berdistribusi normal. b.
b. Mampu menghitung taksiran mean dan varians untuk satu populasi tidak Mampu menghitung taksiran mean dan varians untuk satu populasi tidak berdistribusi normal dengan bootstrap.
berdistribusi normal dengan bootstrap. c.
c. Mampu menduga taksiran interval parameter satu Mampu menduga taksiran interval parameter satu populasi berdistribusi normalpopulasi berdistribusi normal maupun tidak normal.
maupun tidak normal.
4.2.
4.2. URAIAN MATERIURAIAN MATERI 4.2.1.
60
Tabel 4.1. Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Parameter Sat u Populasi Parameter Statistik Confidence interval Perintah
MINITAB μ ; 2 σ tidak diketahui 1 1 n i i x x n = =
∑
x t s/ n 2 / α ± Onet c1 μ ; 2 σ diketahui x x± z α /2σ / n Onez c1; sigma= σ 2 σ 2(
)
2 1 1 1 n i i s x x n = = − −∑
12 /2; 1 2 2 2 1 ; 2 / 2 ) 1 ( ) 1 ( − − − − < < − n n s n s n α α χ σ χ %varia.txt c1Di dalam program paket MINITAB tidak tersedia secara langsung fasilitas untuk menentukan confidence interval untuk varians, untuk mengatasi hal ini dapat diselesaikan dengan cara membuat macro MINITAB.
Dalam praktek pengolahan data untuk penentuan confidence interval,
asumsi kenormalan tidak selalu dapat dipenuhi, untuk mengatasi hal ini dapat dilakukan penggunaan metode bootstrap.Algoritma dari metodebootstrap adalah sebagai berikut:
1. Mulai
2. Lakukan pengambilan sampel dari populasi : x1, x2, …, xn
3. b=1000 4. i=0 5. i=i+1
6. Lakukan pengambilan sampel ke-i lagi dari sampel yang ada sebanyak n 7. Tentukan nilai statistik θ ˆi
8. Jika i<b pergi ke 5
9. Tentukan nilai statistik dan standard error dengan cara:
∑
= = b i i b 1 ˆ ˆ θ θ dan∑
= − − = b i b i b s 1 2 ˆ 1 ) ˆ ˆ (θ θ θ10. Tentukan bootstrap confidence interval melalui nilai persentil dari θ ˆi yaitu P 100( α 2) dan P 100( 1−α 2)
11. Selesai
Selain dengan mengunakan metode bootstrappenentuan confidence interval
Wilcoxon,confidence interval untuk median dengan menggunakan dua metode ini adalah :
No Metode Perintah Minitab 1 Tanda sinterval 95 c1
2 Wilcoxon winterval 95 c1
4.2.2. Pengujian Parameter Satu Populasi
Pengujian ukuran pemusatan populasi dapat diklasifikasikasikan menjadi dua kelompok yaitu :
a. Asumsi distribusi normal terpenuhi dan pengujiannya dilakukan terhadap rata-rata populasi serta statistik ujinya adalah t untuk varians populasi tak diketahui dan z untuk varians populasi diketahui.
b. Asumsi distribusi normal tak terpenuhi, pengujiannya dilakukan terhadap median dan statistik ujinya adalah uji tanda ataupun uji Wilcoxon
Perintah MINITAB untuk dua macam klasifikasi di atas adalah :
Syarat Hipotesis nol Statistik uji Perintah MINITAB Normal, 2 σ tidak diketahui μ μ = 0 s n x t / 0 μ − = Onet c1; Test μ .0 Normal, 2 σ diketahui μ μ = 0 n x z / 0 σ μ − = Onez c1; Sigma σ ; Test μ 0
Simetri Median=M0 Tanda Stest M 0C1
Simetri Median=M0 Wilcoxon Wtest M oC1
Selain dengan mengunakan cara di atas, pengujian hipotesis dapat juga deilakukan dengan menggunakan metode bootstrap, jika nilai μ atau M0 0termuat
di dalam bootstrap confidence interval maka hipotesis nol diterima yang berarti nilai rata-rata populasi tidak berbeda dengan μ atau nilai median populasi tidak 0 berbeda dengan M0.
62 4.2.3. Kegiatan Praktikum
a. Tentukanconfidence interval 95 % untuk rata-rata dan varians harapan hidup perempuan di regionAsia.
b. Ujilah pernyataan yang menyatakan bahwa rata-rata harapan hidup perempuan di regionAsia adalah 65 tahun.
c. Tentukan confidence interval 95 % untuk rata-rata dan varians pendapatan per-kapita di regionAsia.
d. Tentukan confidence interval 95 % untuk rata-rata pendapatan per-kapita di
region OECD
Penyelesaian
a. Confidence interval 95 % untuk rata-rata dan varians harapan hidup perempuan di regionAsia.
Untuk menyelesaiakan masalah ini, dibutuhkan tahapan berikut ini:
• Pemilihan Negara-negara di region Asia, yang diluar region Asia dihapus,
[klik Data+Select Cases], sehingga yang tersisa adalah hanya 17 negara di
• Simpan data dalam format dbf [klik File+Save As]
64
Uji kenormalan variabel harapan hidup perempuan dengan Kolmogorov-Smirnov[klik Stat+Basic Statistics+normality test], sehingga menghasilkan
Gambar 4.1. Hasil Uji Kenormalan Variabel Harapan Hidup Perempuan
66 One-Sample T: LIFEEXPF
Variable N Mean StDev SE Mean 95.0% CI
LIFEEXPF 17 67.41 10.89 2.64 ( 61.81, 73.01)
Harapan hidup perempuan di Asia berkisar antara 61.81 tahun sampai dengan 73 tahun dengan peluang sebesar 95%
• Confidence interval untuk varians adalah : MTB > %varia.txt c6 95
lower 65.7339
upper 274.495
Varians harapan hidup perempuan Asia berkisar antara 65 sampai dengan 274 dengan peluang 95%.
2. Rata-rata harapan hidup perempuan diregionAsia adalah 65 tahun.
Karena harpan hidup perempuan berdistribusi normal, maka pengujian rata-ratanya dapat dilakukan dengan menggunakan stastik uji t sebagai berikut : [klik stat+basic statistics+1 sample t]
One-Sample T: LIFEEXPF
Test of mu = 65 vs mu not = 65
Variable N Mean StDev SE Mean
LIFEEXPF 17 67.41 10.89 2.64
Variable 95.0% CI T P
LIFEEXPF ( 61.81, 73.01) 0.91 0.375
p-value(0.375) >α
dan confidence interval memuat 65 sehingga H0 diterima yangberarti rata-rata harapan hidup perempuan Asia masih dapat dianggap sama dengan 65 tahun pada α =5%.
3. Confidence interval 95 % untuk rata-rata dan varians pendapatan per-kapita di
regionAsia
Untuk menyelesaikan permasalahan ini dibutuhkan informasi tentang kenormalan variabel pendapatan per-kapita. Hasil pengujian kenormalan dengan menggunakan statisitik uji Kolmogorov-Smirnov adalah sebagai berikut:
Gambar 4.2. Hasil Uji Kenormalan Variabel GDP
P-value < α
sehingga tolak H0 yang berarti pendapatan perkapitanegara-negara Asia tidak berdistribusi normal sehingga confidence interval t tidak dapat digunakan, Pada kasus ini dapat digunakan sign confidence interval atau
68
Gambar 4.3. Histogram Data GDP
Dari histogram di atas dapat disimpulkan bahwa pendapatan perkapita berdistribusi tidak simetri. Untuk menjawab permasalahan data yang tidak berdistribusi normal dan tidak simetri, metode bootstrap dapat digunakan dengan
cara:
MTB > bootmean.txt c11 dan hasilnya adalah :
stat_b 4242.74 se_b 1508.60 lower 1549.71 upper 7467.06
Rata-rata pendapatan perkapita untuk Negara-negara Asia adalah 4242.74 dengan standard error 1508. Rata-rata pendapatan perkapita ini berkisar dari 1549 sampai dengan 7467 dengan peluang 95%. Sedangkan varians pendapatan perkapita adalah: MTB > %bootvar.txt c11 stat_b 36838694 se_b 14993480 lower 6298082 upper 64034876
Varians pendapatan perkapita Negara-negara Asia berkisar dari 6298082 sampai dengan 64034876 dengan peluang 95%.
4. Confidence interval 95 % untuk rata-rata pendapatan perkapita di OECD
Confidence interval untuk rata-rata dapat diselesaikan dengan confidence interval t jika data berdistribusi normal dan dapat diselesaikan dengan sign confidence interval atau wilcoxon confidence interval jika data berdistribusi simetri. Histogram dan hasil pengujian Kolmogorov Smirnov untuk variabel ini adalah:
(a) (b)
Gambar 4.4. Histogram (a) dan Uji Kenormalan (b) Data GDP di OECD
Dari gambar di atas dapat disimpulkan bahwa pendapatan perkapita berdistribusi simetri tetapi tidak normal ( p-value<5%) sehingga sign atau
wilcoxon confidence interval dapat dipergunakan.
MTB > sinterval c11
Achieved
N Median Confidence Confidence interval Position
GDP_CAP 21 17245 0.9216 ( 15974, 17912) 7
0.9500 ( 15942, 18031)
NLI 0.9734 ( 15877, 18277) 6
70 MTB > winterval c11
Estimated Achieved
N Median Confidence Confidence Interval
GDP_CAP 21 17126 94.8 ( 15146, 18093)
Pendapatan perkapita Negara-negara OECD berkisar dari 15146 samapi dengan 18093 dengan peluang sebesar 94.8%.
4.3. LAMPIRAN
Lampiran 1. Macro MINITAB untuk menentukan confidence interval varians
macro
varia y ci
mconstant i n var lower upper ci chis1 chis2 mconstant alpha alpha1 alpha2 df
mcolumn y let n=count(y) let df=n-1 let alpha=1-ci/100 let alpha1=alpha/2 let alpha2=1-alpha1 let var=stde(y)*stde(y) invcdf alpha1 chis2;
chis df.
invcdf alpha2 chis1; chis df.
let lower=df*var/chis1 let upper=df*var/chis2 print lower upper
endmacro
Lampiran 2. Macro MINITAB untuk Menentukan Bootstrap Confidence Interval untuk Rata-rata dan Varians
macro
bootmean x
mconstant i n b lower upper mconstant stat_b se_b
mcolumn x y stat let n=count(x) let b=1000 do i=1:b sample n x y; replacement. let stat(i)=mean(y) enddo let stat_b=mean(stat) let se_b=stde(stat) histo stat
sort stat stat let lower=stat(25) let upper=stat(975)
print stat_b se_b lower upper endmacro
macro bootvar x
mconstant i n b lower upper stat_b mconstant se_b
mcolumn x y stat let n=count(x) let b=1000 do i=1:b sample n x y; replacement. let stat(i)=stde(y)*stde(y) enddo let stat_b=mean(stat) let se_b=stde(stat) histo stat
sort stat stat let lower=stat(25) let upper=stat(975)
print stat_b se_b lower upper endmacro
