MATERI LOGARITMA
Oleh : Hartono
Materi disampaikan pada Pelatihan Mapel Matematika SMA/ SMK Program Pascasarjana UNY
Kompetensi
Kompetensi yang diharapkan dicapai oleh para peserta setelah membaca modul ini dan mengikuti pelatihan adalah mampu :
memahami konsep logaritma dan sifat-sifatnya serta mampu menerapkan konsep logaritma pada permasalahan terkait
Indikator
Indikator yang digunakan untuk melihat capaian kompetensi para peserta adalah peserta mampu :
1. Menjelaskan sifat-sifat logaritma
Logaritma
Logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan. Untuk itu, sebelum membahas tentang logaritma perlu melakukan reviu mengenai perpangkatan dan sifat-sifatnya. Disamping itu pembahasan pada modul ini, semesta pembicaraan dibatasi pada himpunan semua bilangan riel.
Definisi 1 : Misalkan m dan n adalah bilangan-bilangan asli dan a adalah bilangan riel positip yang tidak sama dengan 1.
(1)
faktor m
a a
a m
a
(2) m
a m
a 1
(3) ao 1, a1 a.
Berdasarkan definisi di atas dapat diturunkan beberapa sifat yang berkaitan dengan perpangkatan seperti berikut ini :
Sifat 1 : Untuk bilangan-bilangan asli m dan n berlaku
(1.1) aman amn
(1.2) n m n m
a a
a
(1.3) (am)n amn (an)m
(1.4)(ab)n anbn
(1.5) n
n n
b a b a
) (
Contoh 1 : Ada berapa digit hasil dari413527 ? Jawab : 27 digit.
Sebelum membahas logaritma isilah bagian titik titik berikut ini dengan angka yang sesuai
Selanjutnya akan dibahas konsep ataupun sifat yang berkaitan dengan logaritma. Perhatikan persamaan berikut ini :
. 1 dan 0 dengan
c a a
x a
Apabila solusinya ada, maka solusinya adalah suatu bilangan riel yang dinotasikan dengan
c
a
log ( dibaca : logaritma dari c dengan bilangan pokok a ) atau dituliskan x a c log
.
( Pertanyaan : Kapan solusinya ada?, sehingga bentuk alogc akan bermakna manakala ...)
Secara umum didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2 : ab c b alogc dengan a0 dan a1.
Sifat-sifat yang dapat diturunkan berdasarkan definisi di atas adalah :
(2.1) aalogc c
(2.2) alogab b
(2.3) aloga 1
(2.4) alog10
(2.5) am n mn a log
(2.6) a xy a x a y log log
log
(2.6a) alogbn n alogb
(2.7) x y
y
x a a
a
log log
log
(2.8) dengan 0 dan 1 log
log
log p p
a b b
a
p p
Catatan : Logaritma dengan bilangan pokok e yakni elogx dituliskan ln ( logaritma x natural ). Bilangan e adalah bilangan irasional yang didefinisikan sebagai hasil limit dari
n)n untuk n 1
Contoh 2: Hitunglah 81log3 3. Bentuk ini dapat dituliskan sebagai 2 3 3 log 4 3 .
Sehingga berdasarkan sifat (2.5) hasilnya
8 3 4 2 3 .
Contoh 3: (UN SMK 2009/2010) Nilai 2log12 2log62 2log2 adalah ...
Contoh 4 : (UN SMK 2005/2006) Jika 7log2 p, 7log3q, 7log5r maka
150 log
7
...
Contoh 5: (UN SMK 2008/2009) 3log5m dan 3log2n maka 4log45 adalah ...
Contoh 6: Jika 2log3a, nyatakan 27log32 dalam bentuk a. Berdasarkan sifat (2.8) , (2.2) dan (2.6a) dapat ditulis
a 3 5 3 log 3 5 3 log 2 log 27 log 32 log 32 log 2 3 2 5 2 2 2
27
. Jadi a 3 5 32 log 27 .
Contoh 7: (UM UGM ) Jika 2x a dan 2y b dengan x,y 0 maka
y x y x 2 3 2 dapat dituliskan dalam bentuk 2 2 2 log log 1 ab ab
(penjabarannya sebagai latihan)
Persamaan logaritma.
Secara umum untuk menyelesaikan persamaan logaritma ( persamaan yang berkaitan dengan logaritma) sering digunakan konsep atau fakta bahwa
y x y
x a
a
log
log .
Kadangkala dalam persamaan logaritma tersebut ada bentuk logaritma dengan bilangan pokoknya berbeda, apabila terjadi demikian maka kita uasahakan untuk memanipulasi bentuk persamaan ke dalam bentuk logaritma dengan bilangan pokok yang sama terlebih dahulu kemudian baru diselesaikan. Disamping itu ada juga persamaan logaritma dikaitkan dengan bentuk persamaan yang lain seperti persamaan kuadrat atau bentuk persamaan lainnya
Contoh 9 : Tentukan solusi dari persamaan logaritma 4log(9x) 2log(x4)0
Contoh 10 : Carilah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan log(3 2)2 x
x
Contoh 11 : Diberikan persamaan alog(9x) 2 alog(x2)0 dengan a0 dan a1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
Contoh 12 : Tentukan himpunan penyelesaian dari
2 7 8 log log
4 x
x
Daftar Pustaka
Purcell, E. J. and Varberg, D (1987), Kalkulus dan Geometri Analitis, terjemahan edisi ke-5, Jakarta : Erlangga
