bab ii fungsi dan limit fungsi

BAB II

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

Standar Kompetensi

Mahasiswa memahami konsep fungsi dan limit fungsi, kekontinuan fungsi pada satu titik dan interval serta dapat mengamplikasikannya pada hal-hal dan masalah yang bersifat praktis.

Kompetensi Dasar

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan: 1. Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi.

2. Mahasiswa dapat menentukan daerah definisi dan daerah hasil suatu fungsi. 3. Mahasiswa dapat menentukan daerah definisi operasi dua fungsi atau lebih. 4. Mahasiswa dapat mengkomposisikan dua fungsi.

5. Mahasiswa dapat membuktikan kesamaan fungsi trigonometri.

6. Mahasiswa dapat membedakan selesaian antara limit di tak hingga dan limit tak hingga.

7. Mahasiswa dapat menentukan selesaian limit fungsi.

8. Mahasiswa dapat membedakan selesaian limit kiri dan limit kanan. 9. Mahasiswa dapat menentukan kekontinuan fungsi di satu titik. 10. Mahasiswa dapat menentukan kekontinuan fungsi di satu interval.

Bab II dalam buku ini memuat hal-hal pokok yang berkaitan dengan fungsi dan limitnya, antara lain (1) fungsi dan grafiknya, (2) operasi pada fungsi, (3) fungsi trigonometri, (4) limit fungsi di satu titik, (5) limit sepihak, (6) limit di tak hingga, (7) limit tak hingga, (8) bentuk tak tentu, (9) limit fungsi trigonometri, dan (10) kekontinuan fungsi.

2.1 Fungsi dan Grafiknya

A B

(relasi) antara himpunan A dan B. Relasi yang dibuat dapat berupa lebih besar, kuadrat dari, 1 selisihnya, atau relasi yang lain.

Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar 2.1

Berdasarkan relasi yang digambarkan pada gambar 2.1 di atas, tampak bahwa semua anggota himpunan A mempunyai pasangan (peta) di B, sebaliknya tidak semua atau anggota himpunan B yang tidak mempunyai prapeta di A. Jika setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan ”satu dan hanya satu” di B maka relasi tersebut dinamaka fungsi atau pemetaan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa setiap fungsi adalah relasi, akan tetapi tidak setiap relasi belum tentu fungsi. Seperti gambar berikut ini adalah relasi akan tetapi bukan fungsi.

Gambar 2.2 A

Selanjutnya, andaikan A dan B anggotanya tidak berhingga, maka dapat dibuat garis real dalam bentuk sumbu koordinat X dan Y. Semua titik pada sumbu X yang mempunyai pasangan di X disebut daerah asal (domain), sedangkan semua titik pada sumbu Y yang mempunyai prapeta di A disebut daerah hasil (range).

Gambar 2.3

Definisi:

Fungsi adalah suatu aturan korespondensi satu-satu yang menghubungkan setiap objek x dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal f(x)_{dari suatu himpunan yang kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara}

demikian disebut daerah hasil (range).

Secara umum untuk memberi nama suatu fungsi digunakan simbol berupa f atau F. Maka f(x) _{dibaca “fungsi f pada x”. Hal ini menunjukkan nilai yang diberikan oleh}

fungsi f terhadap nilai x.

Jadi secara umum jika f : A



B adalah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B. A disebut daerah asal dan B disebut daerah hasil.

Untuk menentukan daerah asal dan daerah hasil statu fungsi secara lengkap kita harus menyatakan, disamping aturan yang bersesuian daerah asal fungsi. Misalnya jika f adalah fungsi dengan aturan f(x)x1 _{maka daerah asal alamiah (domain)} f(x)

adalah semua bilangan real dan daerah hasil (range) adalah semua bilangan real.

1 )

(x x

f _{daerah asal alamiahnya semua bilangan real karena untuk setiap x bilangan} real f(x) _{mempunyai nilai.}

X Y

) , (x1 y1

P

1 x 1

y

) , (x₂ y₂ Q

) , (x3 y3 R

3 x

2 y

2 x 3

Contoh

Tentukan daerah asal alamiah dan range dari: 1. f(x) 1 x

Jawab

Daerah asal alamiah (D){x x1}(,1]

Daerah hasil (R){y y0}[0,)

2. ₂

1 1 ) (

x x

f

 

Jawab

Daerah asal alamiah (D)R {1,1}

Daerah hasil (R)R {0}

3. ( ) 2 1



 x

x f

Jawab

Daerah asal alamiah (D)R (1,1)

Daerah hasil (R)[0,1]

4.

1 1 ) (

 

x x f

Jawab

Daerah asal alamiah (D){x x1}(1,)

Daerah hasil (R){x 0x1}(0,1)

Catatan

Jika f(x),g(x)_{fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu dalam R maka:}

1. Jika f(x)f( x)_maka f(x)_{disebut fungsi genap}

Contoh

a) _f(x)x4 _{ x}2_{adalah fungsi ganjil karena f(x)(x)}4 _{ (x)}2 _x4 _{ x}2

b) ₁ 2

1 )

(

x x

f



2. Jika  f(x)f( x)_maka f(x)_{disebut fungsi ganjil}

Contoh

a) f(x)x3 x adalah fungsi ganjil

b) ₂ 3

2 ) (

x x

f



 _{adalah fungsi bukan ganjil}

3. jika f(x) f( x)  f(x) _maka f(x)_{disebut fungsi genap dan ganjil}

Contoh

a. f(x)0 _{fungsi genap dan ganjil karena} f(x)0_,  f(x)0 0_dan 0

) ( x 

f _sehingga f(x)f( x) f(x)

4. jika f(x)f( x) f(x) _maka f(x)_{disebut fungsi tidak genap tidak ganjil.}

Contoh

a) f(x)1 x_{adalah fungsi bukan genap dan bukan ganjil} b) _{f(x)x x}2_{adalah fungsi bukan genap bukan ganjil} c)

x x

f

 

1 1 )

( _{adalah bukan fungsi genap bukan fungsi ganjil.}

2.2 Operasi Pada Fungsi

Sepertihalnya pada bilangan, fungsi dapat dioperasikan dengan tanda operasi pada bilangan. Operasi tersebut adalah + (jumlah), - (selisih), : (pembagian), dan . (perkalian).

Misal f(x)dan g(x)dua fungsi yang terdefinisi pada suatu selang tertentu , operasi pada kedua fungsi dinyatakan dengan:

1. f(x)g(x)(f g)(x)

2. f(x) g(x)(f  g)(x)

3. f(x).g(x)(f.g)(x)

4. ( ) ( ) 0

) (

) (

 

    

 x asalkan g x g

f x g

x f

5. f(x). f(x). f(x). f(x)....f(x) (f.f.f.f.f....f)(x)



f(x)



f n(x)

n n

faktor n

 

 _{    } 

  

 

   

 

Selain dengan menggunakan operasi di atas, dua fungsi atau lebih dapat dikomposisikan. Jika fungsi f mempunyai daerah hasil f(x)_{dan fungsi g mempunyai}

daerah definisi g(f (x))_{, maka dapat dikatakan kita telah mengkomposisikan} g(x)

dengan f(x). Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi fungsi g dengan fungsi f dan dinotasikan dengan gof, sehingga (gof)(x) g(f(x))

a. (fog)(x)f(g(x))

_2 1_g(x)

_{2 1} 2

1

x  



b. (gof)(x)g(f(x))

_ 1_{ f} 2(_x)

2

2 1

1 

    

  

x

   

 

  

 ₂

4 4

1 1

x x

₂2 4 4

4 3

x x

x x

 

  

Berdasarkan a dan b (fog)(x)(gof)(x)

Soal-soal

1. Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi-fungsi berikut: a) f(x)1 1x

b)

x x g

2 1 )

( 

c) _{f(x) 1 x}2

 

d) _{g(x) 1 x}2 e)

x x

g

 

2 1 ) (

f) ( ) 3 1

 x x f

g) ( ) 2 4

 x x

f ,

h)

3 2 ) (

 

x x g

i)

x x

g

 

2 1 ) (

2. Tentukan daerah definisi (f g)(x), (f  g)(x), (f.g)(x), dan (x)

g f      

jika:

a)

x x g x x

f

2 1 ) ( , 1 1 )

(    

b) _{f(x) 1 x}2_{, g(x)1 x}2

c) , ( ) 1

2 1 )

( _ 3 _



 g x x

x x

f

d)

3 2 ) ( , 4 )

( 2

  



x x g x

x f

e) ( ) 2 3, ( ) 1

  

 x g x x

x f

f) f(x)5, g(x)2

g) f(x)x, g(x)1

3. Tentukan (fog)(x) _dan (gof)(x)_jika

a)

x x g x x

f

2 1 ) ( , 1 1 )

(    

b) _{f(x) 1 x}2_{, g(x)1 x}2

c) , ( ) 1

2 1 )

( _ 3_



 g x x

x x

f

d)

3 2 ) ( , 4 )

( 2

  



x x g x

x f

e) _f(_x)_{ x}2 _ 3, _g(_x)_{ x}1

2.3 Fungsi Trigonometri

x

r

y

C

B A



Gambar 2.4

Pada gambar 2.4 di atas, ABC adalah segitiga yang salah satu sudutnya 

dan siku-siku pada CBA. Misal AB = x, BC = y dan AC = r , berdasarkan segitiga

ABC yaitu:

BC

Karena A ₌  maka perbandingan tersebut dinyatakan dengan: 1.  sin

Karena ABC salah satu sudutnya siku-siku, sehingga menurut teorema Pythagoras berlaku:

2 persamaan baru

2. ₂ 2 2 2 2 2

x r x y x x

 





) 2 ( sec

tan 1

) (sec tan

1 1

2 2

2 2

2 2

    

 

 



 



              

x r x

y

3. 2

2 2 2 2 2

y r y y y x

 

 

) 3 ( csc

1 cot

) (csc 1 cot

1

2 2

2 2

2 2

2

    

 

  

  

              

y r y

x

Persamaan (1), (2), dan (3) dinamakan rumus-rumus identitas.

Selanjutnya berdasarkan perbandingan tersebut dapat dibuat beberapa rumus tentang fungsi trigonometri. Rumus-rumus tersebut dapat ditunjukkan melalui gambar.

Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar 2.5

Pada gambar 2.5 di atas terdapat 4 segitiga dan masing-masing adalah siku-siku, yaitu QOT,TSU,OTU,dan OPU _{dan diketahui}



  



 QOT , TOU _. QOTTSU _sehingga SUT



Berdasarkan OPU diperoleh perbandingan panjang sisi l



k

 m



O

U

P _Q

OU UP POU 



sin dengan UP = PS + SU

Karena QOTTSU _{maka SU = UT cos}



Karena PS = QT dan karena OQT _{siku-siku di} TQU_{maka OQ = OT cos}



_dan QT = OT sin



Karena OTU siku-siku di OTU maka OT = OU cos  _{dan UT = OU sin}  Karena POU 

OU UP POU



sin

OU UP    sin( )

OU SU PS 

OU SU QT  

OU UT OTsin  cos



OU OU

OUcossin  sin cos

 _.

Sehingga diperoleh rumus sin( )sincos sin cos _{... (4)}

Dengan cara yang sama diperoleh:

OU OP POU



cos _{, OP = OQ – PQ}

Karena QOTTSU _{maka SU = UT cos}



Karena PQ = ST dan karena UST siku-siku di TSU maka ST = SU sin



Karena OTU siku-siku di OTU maka OT = OU cos  _{dan UT = OU sin} 

Karena OQT _{siku-siku di} TQU_{maka OQ = OT cos}



_{dan QT = OT sin}



Karena POU 

OU UP POU



cos

OU OP    cos( )

OU ST OQ 

OU UT OTcos  sin



OU OU

OUcos cos  sin sin



Sehingga diperoleh rumus cos()coscos  sin sin _{... (5)} Berdasarkan (4) dan (5) dapat ditentukan rumus lain

)) ( sin( )

sin(      

sin cos() cos sin ()

sin cos cos ( sin)

sin cos  cos sin _...(6) ))

( cos( )

cos(       cos cos( ) sin sin( )

cos cos  sin ( sin )

cos cos sin sin _...(7)

) cos(

) ( sin ) ( tan

 

  



  



_cossin_cos_cos__ cos_sin_ sin_{sin }

Persamaan di atas dibagi dengan cos  cos _{, diperoleh:}

 

  

  

 

  

  

cos cos

sin sin cos

cos cos cos

cos cos

sin cos cos

cos cos sin

  

 

 

  



cos cos

cos sin

1

cos sin cos

sin



 

₁tan_{ tan} _tan_tan_

Sehingga    _ _

tan tan 1

tan tan

) tan(

  

 _{... (8)}

) cos(

) (

sin ) (

tan

 

  



  

_cossin_cos_cos__cos_sin_ sin_{sin }

Persamaan di atas dibagi dengan cos  cos _{, diperoleh:}

 

  

  

 

  

  

cos cos

sin sin cos

cos cos cos

cos cos

sin cos cos

cos cos sin

  

 

 

  



cos cos

cos sin 1

cos sin cos

sin

  

₁tan_tan _tan_tan_

Sehingga    _ _

tan tan 1

tan tan

) ( tan

  

 _{... (9)}

Beberapa rumus fungsi trigonometri yang lain adalah: 1. sin() sin

2. cos()cos 3. tan() tan

4. 

  

   

  

   



2 cos 2

sin 2 sin

sin     

5. 

  

   

  

   



2 cos 2

cos 2 cos

cos     

6. sin 2 2sin cos

7. _cos2 _cos2 _{ sin}2 _2cos2 _{11 2sin}2

8.



cos( cos( )



2 1 sin

sin       

9.



cos( ) cos( )



2 1 cos

cos        

10.



sin( ) sin( )



2 1 cos

sin        

11.

2 cos 1 2

sin x  x

    

Bukti:



Berdasarkan rumus jumlah dua sudut diperoleh

2 cos 1 2

cos2 x _  x

      

2 2 cos 1

cos2 _x  x 

2 cos 1

cos x  x 

Bukti lain rumus di atas ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi pembaca.

Soal-soal

1. Selidiki fungsi berikut genap, ganjil, bukan genap ataupun ganjil a. f(x)cosxsinx

b. f(x)secx c. f(x)cos(sinx)

d. f₍x_)sin2 x e. f(x)_x2 _sinx f. _f(x)4 _cos3_(x) g. f(x)cos3x

h. f₍x_{) sin}2 x _cos2x  

i. f x 2 x 2 x

cos sin

)

(  

j. f(x)1 tanx

2. Buktikan kesamaan berikut. a.

x x

x ₂

sec 1 ) sin 1 )( sin 1

(   

b. _(secx _{1)(sec 1) tan}2x   

c. secx sinxcosxcosx

d. x

x

x 2

2 2

sin sec

1 sec

 

e. 1

sec 1 sin2 ₂

 

x x

f. cos3y_4cos3 y_ 3cosy

g. sin4s_8sinscos3s_ 4sinscoss h. _{(1 cos}x_{)(1 cos}x_{) sin}2 x

 

i. 1 sec cos cos

sin

 

p p p

p

j. (1 cos2 )(1 cot2 ) 1  

 x x

k. t t t 2t

cos ) sin (csc

sin  

l.

t y

y

2 2

2

sec 1 csc

csc 1

  

2.4 Limit Fungsi

a. Limit Fungsi di Satu Titik Perhatikan fungsi

1 3 2

)

( 2

   

x x x x f

Fungsi di atas mempunyai daerah definisi (D)R {1}

Bagaimana nilai f(x) _jika

x

_{diganti dengan sebarang bilangan real yang mendekati 1.}

Perhatikan tabel berikut ini

x

0,9 0,99 0,999 0,9999 .... 1 .... 1,0001 1,001 1,01 1,1

) (x

f 4,8 4,98 4,998 4,9998 ... 0

0 .... 5,0002 5,002 5,02 5,2

Berdasarkan tabel di atas,

1. Jika jarak

x

dengan 1 kurang dari 0,1 maka jarak f(x)_{dengan 5 kurang dari 0,2}

2. Jika jarak

x

dengan 1 kurang dari 0,01 maka jarak f(x)_{dengan 5 kurang dari 0,02}

3. Jika jarak

x

dengan 1 kurang dari 0,001 maka jarak f(x)_{dengan 5 kurang dari}

0,002

4. Jika jarak

x

dengan 1 kurang dari 0,0001 maka jarak f(x)_{dengan 5 kurang dari}

0,0002

5. dan seterusnya.

Dengan menggunakan notasi harga mutlak untuk menyatakan jarak, maka berdasarkan tabel di atas,

1. Jika 0 x 10,1 _maka f(x) 5 0,2

2. Jika 0 x 10,01 _maka f(x) 5 0,02

3. Jika 0 x 10,001 _maka f(x) 5 0,002

5. dan seterusnya

Dengan meninjau dari sudut lain, yaitu dengan terlebih dahulu memandang lebih dahulu nilai f(x)_{. Nilai} f(x) _{didekatkan ke 5 sekehendak kita asalkan nilai diambil}

cukup denkat dengan 1, Artinya f(x) 5 _{dapat kita buat sekehendak kita,asalkan} 1



x _{cukup kecil pula dan x}



_{1. Lambang-lambang yang biasa digunakan untuk}

selisih yang kecil ini adalah bilangan positip



(epsilon) dan  (delta). Sehingga kita menyatakan dengan



  5 ) (x

f _apabila 0 x1 _...(1)

Adalah penting untuk memahami besarnya bilangan positip  tergantung dari besarnya bilangan positip



.

Berdasarkan tabel kita dapatkan f(x) 5 0,2 _jika x 1 0,1_{. Jadi untuk}  0,2

ada  0,1 _{dan berlaku} f(x) 5 0,2 _apabila 0 x 10,1_{. Hal ini sesuai dengan}

pernyataan (1) dengan  0,2_dan  0,1_.

Demikian pula  0,02_dan  0,01_{dan dikatakan}

02 , 0 5 ) (x  

f _apabila 0 x 10,01_{, Hal ini bersesuaian dengan pernyataan (2)}

dengan  0,02_dan  0,01_.

Demikian pula  0,002_dan  0,001_{dan dikatakan}

002 , 0 5 ) (x  

f _apabila 0 x10,001_{, Hal ini bersesuaian dengan pernyataan (3)}

dengan  0,002_dan  0,001_.

Demikian pula  0,0002_dan  0,0001_{dan dikatakan}

0002 , 0 5 ) (x  

f _apabila 0 x1 0,0001_{, hal ini bersesuaian dengan pernyataan}

(4) dengan  0,0002_dan  0,0001, _{begitu seterusnya}

Bagaimanapun kecilnya bilangan positip



diberikan selalu dapat ditentukan bilangan positip  yang tergantung pada besarnya



tersebut sehingga berlaku:



  5 ) (x

f _apabila 0 x1

Karena untuk sebarang  0 dapat ditentukan  0sehingga



  5 ) (x

f _apabila 0 x1

Maka kita mengatakan lim f(x)untuk x mendekati 1 adalah 5 dan pernyataan ini ditulis dengan

5 1

3 2

lim 5

) ( lim

2

1

1 _ 

  



 x

x x atau

x f

Definisi

Misal f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang buka I yang memuat a kecuali di

a

sendiri, Limit f(x) _{untuk x mendekati}

a

_{adalah L,}

a

_{, L bilangan}

real ditulis dengan lim_xa f(x)L, Jika untuk setiap bilangan  0ada bilangan  0 sehingga f(x) L  _apabila 0 x1_{dan ditulis dalam bentuk singkat}

 



        

  

a f x L f x L bila x a

x ( ) 0 0 ( ) 0

lim

Contoh

1. Buktikan bahwa lim_x3(4x 1)11 Bukti

Yang harus ditunjukkan bahwa







,0







0





 

 f(x) l _apabila 0 x a  

  

 (4x 1) 11 _apabila 0 x 3 

Tetapi (4x 1) 11 4x 12 4x 3

Jadi yang diinginkan adalah 4x 3  _apabila 0 x 3 

Atau

4 3  

x apabila 0 x 3 

Ambil

4



  _{, maka akan terpenuhi}

 

      

 0, 0 4x 12 _apabila 0 x 3 

2. Buktikan bahwa 2

2 12 lim

4 _    





 x

x

Bukti

Yang harus ditunjukkan bahwa







,0







0





 

 f(x) l _apabila 0 x a  4 2

2 2

2 3 12 2 2

12

   

    

 x

x x

x x

5 1 6 4 6 ) 4 ( 6

2 x   x   x    _{, sehingga}

5 1 2

2

  x

Ambil }

2 5 , 1 min{ 

 _{maka akan terpenuhi} 

 x

2 12

apabila 0 x3 

Berarti bahwa 2 2

12 lim

4 _ 



 x

x

b. Teorema Limit

Misal n bilangan bulat positip, k bilangan real, f(x)_dan g(x)_{adalah fungsi-fungsi}

yang memiliki limit di titik

x



c

, maka: 1. limxc k k

2. lim_xc xc

3. limxck f(x)klimxc f(x)

4. lim_xc (f(x) g(x))limxc f(x)limxc g(x)

5. lim_xc (f(x) g(x))lim_xc f(x) lim_xc g(x) 6. lim_xc (f(x) g(x))lim_xc f(x)lim_xag(x)

7. , lim ( ) 0

) ( lim

) ( lim ) (

) (

lim  

 



 g x asalkan g x

x f x

g x f

c x c

x c x c

x

8. lim_xc(f(x))n 



lim_xc f(x)



n

9. n

c x n

c

x f(x) lim f(x)

lim



 

Teorema di atas, dapat diaplikasikan dalam banyak hal pada penyelesaian soal-soal tentang limit.

Contoh:

1. lim_x23x2 3lim_x2x2 ...(3)

= 3(2)2 _...(2) = 12

2.

2 2

2 lim

) 3 ( lim 3 lim

  

 



x x x

x x

x

...(7)

x x

x x x

2 2 2

lim 3 lim lim

   

 _....(5)

2 3 2 

2 1 



3. Jika lim_xa f(x)3danlim_xag(x)1 Tentukan:

a. lim 2( )_ 2( ) _... a f x g x x

Jawab

lim 2( ) 2( ) lim



2( ) 2( )



x g x f x

g x f

a x a

x     ...(9)

 limxa f2(x)limxag2(x) ...(4)



lim f(x)

 

2 limg(x)



2

a x a

x  

 ...(8)

₃2 _{( 1)}2

  

 10

b.







  



 _

 

 

a x a _{x a}

x f(x) g(x) 3 lim f(x) limg(x) 3

lim3 3

lim_{x a}3 f(x)



lim_{x a} f(x) lim_{x a}3



 

 



   



 _



 

 ( ) lim ( ) lim3

lim 3

a x a

x a

x f x f x

c.

2.5 Limit Sepihak

Pada definisi limit fungsi di satu titik, f(x) _{terdefinisi pada suatu selang buka}

yang memuat a, keculai mungkin dia sendiri. Artinya nilai-nilai x yang dekat dengan a, dapat kurang dari a dan dapat lebih dari a.

Misal _{f(x) 16 x}2

Fungsi di atas tidak terdefinisi dalam selang buka yang memuat -4, juga tidak terdefinisi dalam selang buka yang memuat 4, hal ini dikarenakan daerah definisi _{f(x) 16 x}2 adalah [-4,4], Dengan demikian kita dapat mengatakan

2 4 16

lim x

x  dan

2 4 16 lim x

x 

Namun demikian _{f(x) 16 x}2 _{dapat dibuat sedekat mungkin menurut kehendak kita} ke 0, dengan memilih nilai x yang cukup dekat dengan -4 (asalkan lebih besar -4). Dengan kata lain _{f(x) 16 x}2



 akan mendekati 0 dengan memilih x yang dekat

denga (-4) dari arah kanan. Sehingga _{f(x) 16 x}2 _{mempunyai limit kanan di -4} dengan nilai limit 0 dan ditulis

0 16

lim 2

4   

 

  x L

x

Demikian juga _{f(x) 16 x}2 dapat dibuat sedekat mungkin menurut kehendak kita ke 0, dengan memilih nilai x yang cukup dekat dengan 4 (asalkan lebih kecil dari 4). Dengan kata lain _{f(x) 16 x}2



 akan mendekati 0 dengan memilih x yang dekat

dengan (4) dari arah kiri. Sehingga _{f(x) 16 x}2 _{mempunyai limit kiri di 4 dengan} nilai limit 0 dan ditulis

0 16

lim 2

4   



  x L

x

Limit dari arah kiri atau dari arah kanan di suatu titik dinamakan limit sepihak dan didefinisikan sebagai berikut.

1) Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan disetiap titik pada (a,c). Limit f(x)

Jika untuk setiap bilangan  0 _{ada bilangan} 0sehingga



   



 L apabila x a

x

f( ) 0

Secara singkat ditulis

_xlim_a f(x)L  0 0 f(x) L bila0x a

2) Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan disetiap titik pada (d,a). Limit f(x)

untuk x mendekati a dari kiri adalah L, aR, LR

L

x

f

a x



 



)

(

lim

Jika untuk setiap bilangan  0 _{ada bilangan} 0sehingga

0 )

(x  L  apabila x a

f  

Secara singkat ditulis

_xlim_a f(x)L  0 0 f(x) L  bila  x a0

2.6 Limit di Tak Hingga Perhatikan fungsi

1 2 )

( ₂

2

 

x x x

f

) (x

f mempunyai daerah definisi semua bilangan real (R)

Nilai f(x)mendekati 2 apabila peubah x bertambah besar atau bertambah kecil. Hal ini berarti f(x)_{dapat dibuat sedekat mungkin ke 2. Dengan kata lain jarak} f(x)_{dengan 2}

dapat dibuat lebih kecil dari bilangan positip sebarang. Dengan cara mengambil x cukup besar (lebih besar dari bilangan positip tertentu), atau dengan cara mengambil x cukup kecil (lebih kecil dari bilangan negatip tertentu).

Dalam kasus x mengambil nilai cukup besar, kita menyatakan dengan lambang

2 1 2 lim ) (

lim ₂

2

  

  

 x

x x

f

x

x , dan

2 1 2 lim ) (

lim ₂

2

  

  

 x

x x

f

x x

1) Misal f(x)_{didefinisikan disetiap titik pada (a,+}



_{). Jika limit} f(x) _{untuk x}

menuju positip tak hingga adalah L dan ditulis _xlim_ f(x)L

Jika untuk setiap bilangan  0 _{ada bilangan P > 0 sehingga}

P x apabila L

x

f( )  

Secara singkat ditulis

_x f x L   P  f x  L  bila xP



 ( )  0 0 ( ) 

lim

2) Misal f(x) _{didefinisikan disetiap titik pada (-}

_

_{,b). Jika limit} f(x)_{) untuk x}

menuju negatip tak hingga adalah L dan ditulis _xlim_ f(x)L

Jika untuk setiap bilangan  0 _{ada bilangan N < 0 sehingga}

N x apabila L

x

f( )  

Secara singkat ditulis

_x f x L   N   f x  L  bila xN



 ( )  0 0 ( ) 

lim

2.7 Limit Tak Hingga

Dalam definisi limit fungsi di satu titik, fungsi f(x) _{terdefinisi pada selang}

terbuka yang memuat a, kecuali mungkin di a itu sendiri. Tetapi ada kalanya fungsi

) (x

f _{akan membesar tanpa batas atau mengecil tanpa batas apabila x mendekati a.} Sebelum kita mendefinisikan limit tak hingga, perhatikan terlebih dahulu fungsi-fungsi berikut.

a) _{( 3)}2

1 )

(

 

x x f

b) _{( 3)}2

1 )

(

  

x x

g

Fungsi f(x)_dan g(x)_{di atas terdefinisi pada selang buka yang memuat 3 kecuali di 3}

sendiri. Bagaimana nilai f(x)_dan g(x)_{apabila x mendekati 3?}

Nilai f(x) _{akan membesar tanpa batas, artinya nilai} f(x) _{dapat dibuat lebih besar}

kecil dari bilangan negatip manapun apabila x cukup dekat dengan 3 dan bukan x = 3. Hal demikian di atas dinamakan dengan limit tak hingga dan ditulis dengan

a) 

 



3 3_{( 3)}2

1 lim ) ( lim

x x

f

x x

b)  

  



3 3 _{( 3)}2

1 lim

) ( lim

x x

g

x x

Limit tak hingga didefinisikan sebagai berikut:

1) Misalkan f(x)_{didefinisikan di setiap titik pada selang buka I = (a,b) yang memuat}

a kecuali mungkin di a sendiri. Limit f(x) _{untuk x mendekati a adalah positip tak}

hingga, dan ditulis lim_xa f(x)

Jika untuk setiap bilangan P0 ada bilangan  0 _sehingga f(x)0 apabila



   x a

0 _{. Secara singkat ditulis}



      

     

a f x P f x Pbila x a

x ( ) 0 0 ( ) 0

lim

2) Misalkan f(x)_{didefinisikan di setipa titik pada selang buka I = (a,b) yang memuat}

a kecuali mungkin di a sendiri. Limit f(x) untuk x mendekati a adalah negatif tak hingga, dan ditulis

lim_xa f(x) 

Jika untuk setiap bilangan P0 ada bilangan 0 _sehingga f(x)N _apabila



   x a

0 _{. Secara singkat ditulis}



      

     

a f x N f x N bila x a

x ( ) 0 0 ( ) 0

lim

Catatan

1) Teorema limit di satu titik berlaku pada limit di tak hingga dan limit tak hingga. 2) Secara umum limit tak hingga bernilai tak hingga, sedang limit di tak hingga dapat

bernilai tak hingga atau berhingga.

2.8 Bentuk Tak Tentu

1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu, misalnya :

7 4 , 3 5

.

2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya :

0 5

3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya :



    

1 , ,

, 0 0

Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu. Untuk jelasnya dapat dilihat pada pembahasan berikit ini:

Limit Fungsi Aljabar

Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka lim ( )_{x a} f x f a( ) Contoh : 1. lim(_x3 x2 2x) ( 32 2 3( ))  9 6 15

2. 0

7 ) 0 ( 5

0 0 7 5 lim

2 2

0 _ 

   

 x

x x

x

Berikut ini akan dibahas limit limit fungsi Aljabar bentuk tak tentu yaitu :



    

1 , ,

, 0 0

.

Limit Bentuk      

0 0

Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian “mencoret” faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a.

) (

) ( ) (

) ( lim ) ( ) (

) ( ) ( lim ) (

) ( lim

a Q

a P x Q

x P x

Q a x

x P a x x

g x f

a x a

x a

x _  

 

 



Catatan :

1. Karena

x



a

, maka (x a) 0 sehingga pembilang dan penyebut boleh dibagi dengan (x a)

2. Nilai limitnya ada jika dan hanya jika : Q(a) 0

Contoh :

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan

variabel berpangkat tertinggi, selanjutnya menggunakan lim 0

  x

a

x .

Contoh :

dan g x b xm b xm b

Soal-soal

1. _{5 3 2}

Limit ini umumnya memuat bentuk akar:



( ) ( )



lim f x g x

x 

Cara Penyelesaian :

1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !

)

2. Bentuknya berubah menjadi  

3. Selesaikan seperti pada limit sebelumnya.

1. lim 2_6 _2_ 2 _ 4 _1

Secara umum:



1) ₄2 1₂

Definisi



_n



n

e

n

N

n

1







2

,

718281

...,



lim

1

Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut :

1. e

Contoh :

1. 4

Limit Deret Konvergen

Definisi : Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio

a : U1 : suku pertama

Contoh :

1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut : a) 2 1 1₄ ...

2. Hitung limit berikut :

a) _n



4n



33 8 99 24 99 , 0

24 , 0 1 , 0 1

24 , 0 1

1

... 000024 ,

0 0024 , 0 24 , 0 .... 242424 ,

0

  

   

 

 

r

4. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu !

Jawab :

12 1

12 

  

r a

S _{... (1)}

U2 + U4 + U6 + ... = 4 ar + ar3 _{+ ar}5 _{+ ... = 4}

  

ar r

a r

r r

1 2

 

4

1 1



4

... (2)

Berdasarkan (1) dan (2) diperoleh

2 1 4 8

4 4 12

4 1

12

 

 

  

      



r r

r r

r r

Selanjutnya berdasarkan (1) dan (2)

6 2 1 12

12

2 1 1

12 1

        

 

 

a a

r a

Dengan demikian diperoleh rasio = 12 dan suku pertama = 6

Jawab :

Gambar 2.6

2.9 Limit Fungsi Trigonometri

Dengan menggunakan teorema prinsip apit dan rumus geometri kita dapatkan teorema dasar dari limit fungsi trigonometri sebagai berikut.

Teorema 1

1 sin lim

0 

 x

x

x

Dalam membuktikan teorema di atas kita dapatkan suatu akibat yaitu 1

cos lim

0 

 x

x

Dengan menggunakan teorema dasar limit fungsi trigonometri dapat dibuktikan teorema-teorema berikut:

Teorema 2

1) 1

sin lim

0 

 x

x

x

2) limtan 1

0 

 x

x

x

3) 1

tan lim

0 

 x

x

x

4) lim sin 1

0 

 x

x arc

x

5) 1

sin lim

0 

 arc x

x

x

R

D C

S Q

5

2 5

2

5

5 P B

A

Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2_.

Luas bujursangkar II = PQ x PS = 52 x 52 = 50 cm2_.

Rasio luas = 50 100 21

Jumlah semua bujursangkar =

a

1 5 11501 2

200     cm

6) lim tan 1

0 

 x

x arc

x

7) 1

tan lim

0 

 arc x

x

x

Bentuk-bentuk di atas dinamakan dengan limit fungsi trigonometri. Dengan berpandu pada teorema limit dan bentuk tak tentu. Maka persoalan tentang limit fungsi trigonometri dapat diselesaikan

Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi:

b a bx ax bx

ax

x

x lim sin 

sin lim

0 0

b a bx ax bx

ax

x

x lim tan 

tan lim

0 0

b a bx ax bx

ax

x

x   sin 

tan lim tan

sin lim

0 0

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika f(a) terdefinisi, maka: lim ( )_{x a} f x f a( )

Contoh :

1. limx0



sin2xcosx



sin0cos0011

2.

2 1 0 2

0 1

2 cos 3 2 sin 2

2 cos 2 sin

cos 3 sin 2

cos sin

lim

2

1 _ 

  

 

 

  

 

 x x

x x

x

Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu :



    

1 , ,

, 0 0

Limit Bentuk      

0 0

1.

4 3 4 tan

3 sin lim

0 

 x

x

2.

Limit bentuk  _{dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk}  

Contoh :



Limit bentuk0. _{dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk}

 

0_{0 .}

Contoh :



2. 10 Kekontinuan

Perhatikan gambar berikut, y f(x) _{adalah fungsi yang terdefinisi pada selang yag}

diberikan.

Gambar 2.9 Gambar 2.10

Selanjutnya menurut Gambar 2,7

a) f(a) = d

b) _{x a}

f

x



L





c

 

(

)

lim

c) _{x a}

f

x



L





b

 

(

)

lim

d) _xlim_a f(x)tidak terdefinisikarena L L Gambar 2.8

a) f(a) = c

b) _{x a}

f

x



L





c

 

(

)

lim

c) _{x a}

f

x



L





b

 

(

)

lim

d) lim_xa f(x)tidakterdefinisi karenaL L Gambar 2.9

a) f(a) = b

b) _{x a}

f

x



L





c

 

(

)

lim

c) _{x a}

f

x



L





b

 

(

)

lim

d) _xlim_a f(x)tidak terdefinisikarena L L Gambar 2.10

a) f(a) = b





X X



Y

c

a

b

a

b

b)

f

x

L

b

a

x





  

(

)

lim

c) _{x a}

f

x



L





b

 

(

)

lim

d)  

a f x b karena L L

xlim ( ) ,

Definisi

Jika yf(x) _{terdefinisi dalam suatu selang terbuka yang memuat c, maka} y f(x)

dikatakan kontinu di

x



c

, asalkan 1) f(c)L(ada)

2) lim_xc f(x)L(ada)

3) lim_xc f(x) f(c)L(ada)

Contoh

Nyatakan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik yang diberikan: 1.

3 9 )

( 2

  

x x x

f di titik x 3

Jawab

Untuk menyelidiki apakah

3 9 )

(

2 

 

x x x

f kontinu di titik x3 maka harus ditunjukkan bahwa 3 syarat kontinu fungsi di satu titik harus terpenuhi.

Ternyata untuk

3 9 )

( 2

  

x x x

f fungsi tidak terdefinisi di x 3, sehingga

3 9 )

(

2 

 

x x x

f tidak kontinu di x3.

2.























1

,

2

1

0

,

0

,

)

(

2

x

untuk

x

x

untuk

x

x

untuk

x

x

f

di setiap titik pada bilangan real

Untuk menyelidiki apakah fungsi di atas kontinu di R, maka cukup diselidiki apakah f(x) _{kontinu di titik} x 0 atau x 1

Pada x 0 1) _f(0)_02 _0

2) lim_x0 f(x), tentukan terlebih dahulu



lim

_0

(

)



lim

_0 2



0



_f

_x

_x

L

x x

Sedangkan    









0

0

(

)

lim

0

lim

x

x

f

x

x

L

_.

Karena  

L

L maka lim_x0 f(x)0 3) f(0)lim_x0 f(x)0

Hal ini menunjukkan bahwa























1

,

2

1

0

,

0

,

)

(

2

x

untuk

x

x

untuk

x

x

untuk

x

x

f

kontinu di x = 0

Pada x 1

1) (1) 12 1

  f

2) lim_x1 f(x), tentukan terlebih dahulu



lim

_1

(

)



lim

_1

(

2



)



2



1



1



_f

_x

_x

L

x x

Sedangkan



lim

_1

(

)



lim

_1



lim

_1 2



1

2



1



_f

_x

_x

L

x x x

Karena  

L

L maka lim_x1 f(x) 1 3) f(1)lim_x1 f(x)1

Hal ini menunjukkan bahwa























1

,

2

1

0

,

0

,

)

(

2

x

untuk

x

x

untuk

x

x

untuk

x

x

f

kontinu di x = 1

Karena f(x) _{kontinu di} x 0dan x1

f

kontinu dimana-mana.

3. Tunjukkan bahwa fungsi ( ) 2 3

4. Selidiki apakah fungsi

3

5. Selidiki apakah fungsi

1

f (terdefinisi)

2) lim



1



1 1 1 3

6. Selanjutnya perhatikan gambar berikut :

Gambar 2.11

Soal-soal

1. Selidiki apakah fungsi berikut kontinu atau diskontinu di titik yang diberikan.

a. 0

2 1 1 )

(   dititik x x

x f

b. 1

2 3 )

( 



 dititik x x

x f

c.

























1

,

2

1

0

,

2

0

,1

)

(

2 2

x

untuk

x

x

untuk

x

x

untuk

x

x

f

2. Diketahui f(x)

 

x _untuk  2x3, selidiki apakah f(x) _{kontinu di} x1

dan x2.

3. Tentukan nilai a dan b sedemikian sehingga

y

f(a)

f(x)

x a

f(x) diskontinu di x = a, sebab tidak ada 2.

f(x) diskontinu di x = a, sebab f(a) y

f(a) f(x) x a

























1

,1

1

0

,

0

,1

)

(

x

untuk

untuk

x

untuk

b

ax

x

untuk

x

f

kontinu dimana-mana.