METODE ITERASI DUA LANGKAH TANPA MEMORI UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN NILAI MUTLAK
KARYA ILMIAH
OLEH
SHELLY SAGITA NIM. 1703113499
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU
METODE ITERASI DUA LANGKAH TANPA MEMORI UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN NILAI MUTLAK Shelly Sagita
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses a two-step iteration method without memory for solving ab- solute equations. The convergence analysis performed shows that the two-step ite- ration method without memory has a linear convergence order. Then a computation example is given to see the implementation of the algorithm discussed. At the end of the discussion, a numerical comparison is carried out which concludes that the proposed method can be used as an alternative method to solve the absolute value equation.
Keywords: A two-step iterative method, absolute value equations, convergence ABSTRAK
Artikel ini membahas metode iterasi dua langkah tanpa memori untuk menyele- saikan persamaan mutlak. Analisis kekonvergensi yang dilakukan menunjukkan bahwa metode iterasi dua langkah tanpa memori mempunyai orde konvergensi li- near. Kemudian diberikan satu contoh komputasi untuk melihat penerapan Algo- ritma yang didiskusikan. Di akhir pembahasan, dilakukan perbandingan numerik yang berkesimpulan bahwa metode yang usulkan dapat dijadikan metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak.
Kata kunci: Metode iterasi dua langkah, persamaan nilai mutlak, konvergensi
1. PENDAHULUAN Diketahui persamaan nilai mutlak yaitu
Ax− |x| = b, (1)
dengan A ∈ Rn×n, b ∈ Rn, dan |x| menyatakan nilai mutlak vektor yang didapat dari mengambil nilai mutlak setiap komponennya.
Bentuk umum lain dari persamaan nilai mutlak (1) adalah
Ax+ B|x| = b, (2)
dengan B ∈ Rn×n diperkenalkan dan diselidiki pada [9]. Dengan jaminan solusi tunggal dari persamaan nilai mutlak (2) diberikan pada [8]. Algoritma yang dapat menghitung solusi persamaan nilai mutlak (2) dengan beberapa langkah diusulkan pada [7].
Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dapat dibagi da- lam dua jenis, yaitu langsung dan iterasi [2]. Kedua metode tersebut mempunyai keunggulan dan kelemahan masing-masing. Dalam kasus tertentu, metode iterasi lebih efisien dibandingkan dengan metode langsung seperti dalam penyelesaian sis- tem berukuran besar.
Generalisasi Iterasi Newton untuk menyelesaikan sistem persamaan nilai mut- lak ketika nilai singular terkecil dari A melebihi 1 diusulkan pada [5]. Persamaan nilai mutlak (1) secara umum ekuivalen dengan linear complementary problem dan bilinear program. Berdasarkan pada linear complementary problem, Mangasarian memperkenalkan syarat cukup untuk unsolvability dan solvability persamaan nilai mutlak untuk keberadaan solusi tunggal, solusi 2n, solusi non-negatif dan tidak ada solusi. Dalam mencari solusi dari sistem persamaan nilai mutlak (1) dapat digu- nakan Generalisasi Metode Gauss–Seidel [3].
Sebuah metode yang mirip dengan metode iterasi Picard untuk menyelesaikan sistem persamaan nilai mutlak pada persamaan (1) yang bentuk iterasinya dapat ditulis sebagai berikut [9]:
xk+1 = A−1 xk
+ b , k = 0, 1, 2, . . . ,
dengan x(0) = A−1b adalah tebakan awal. Kemudian, syarat cukup ̺ (|A−1|) < 1 untuk ketunggalan solusi persamaan nilai mutlak (1) disajikan pada [9] dan mem- bandingkan kondisi ini dengan kondisi Mangasarian dan Meyer [6], yaitu σmax(A−1)
<1 dengan ̺ (A−1) < 1 dan σmax(A−1) masing-masing menunjukkan spectral radius dari |A−1| dan nilai singular terbesar dari A−1.
Selain menggunakan linear complementary problem, Generalisasi Iterasi Newton, Generalisasi Metode Gauss–Seidel, dan metode iterasi dua langkah Traub, sistem persamaan nilai mutlak (1) juga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode baru iterasi dua langkah. Hal ini membuat penulis tertarik untuk me-review artikel [4]. Untuk pembahasannya, pada bagian kedua dibahas metode iterasi dua langkah tanpa memori untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak. Kemudian dilanjutkan di bagian ketiga dengan analisis konvergensi dan perbandingan komputasi.
2. METODE ITERASI DUA LANGKAH TANPA MEMORI Pada bagian ini diberikan lema dasar dan dilanjutkan dengan pembentukan formula metode iterasi dua langkah tanpa memori.
Lema 1 [6]. Nilai singular dari matriks A ∈ Rn×n melebihi 1 jika dan hanya jika nilai eigen minimum A′Amelebihi 1.
Bukti. Bukti lema ini dapat dilihat pada Mangasarian dan Meyer [6]. ✷ Selanjutnya menurut Feng [4], waktu komputasi dan hasil komputasi dari iterasi formula Generalisasi Iterasi Newton lebih besar dan lebih baik dari metode iterasi dua langkah Traub. Berdasarkan [10], beberapa metode iterasi yang orde konver- gensi dan presisi tinggi untuk menyelesaikan persamaan nonlinear f (x) = 0, dengan f : D ⊂ Rn → Rn dapat diperluas ke persamaan nilai mutlak. Jadi kombinasi Generalisasi Iterasi Newton dengan metode iterasi dua langkah Traub akan meng- hasilkan metode iterasi baru dua langkah tanpa memori yang mempunyai bentuk sebagai berikut:
y(k) = x(k)+A − D x(k)−1
f x(k) , x(k+1) = x(k)−A − D x(k)−1
f y(k) − f x(k) , )
(3)
dengan k = 0, 1, 2, . . ..
3. ANALISIS KONVERGENSI
Selanjutnya akan ditunjukkan kekonvergenan dari metode iterasi pada persamaan (3) dengan membuktikan beberapa lema dan teorema berikut.
Lema 2 [4] Jika semua nilai singular A ∈ Rn×n melebihi 1 untuk persamaan (3), maka (A − D)−1 ada untuk setiap matriks diagonal D yang elemen-elemen diago- nalnya Dii= +1, 0, −1 dengan i = 1, 2, . . . , n.
Bukti. Jika (A − D) singular, maka
(A − D) x = 0 untuk beberapa x 6= 0.
Kemudian, berdasarkan pertidaksamaan dari Lema 1 diperoleh
x′x < x′A′Ax= (Ax)′Ax = (Dx)′Dx= x′D′Dx≤ x′x.
Jadi, terlihat kontradiksi bahwa x′x≤ x′x. Oleh karena itu, (A − D) nonsingular dan barisanxk yang dihasilkan oleh persamaan (3) yang didefinisikan untuk setiap
vektor awal x0 ∈ Rn. ✷
Lema 3 (Kekontinuan Lipschitz dari Nilai Mutlak)[4] Misalkan vektor x, y ∈ Rn, kemudian
k|x| − |y|k ≤ 2 kx − yk . (4)
Bukti. Fungsi nilai mutlak dapat ditulis menjadi |x| = x++ (−x)+ dengan fungsi x+menggantikan komponen negatif x dengan nol [5]. Fungsi ini merupakan operator yang memproyeksikan x ke nonnegative orthant.
Selanjutnya, persamaan (4) dapat dijabarkan sebagai berikut:
k|x| − |y|k = kx++ (−x)+− (y++ (−y)+)k ,
k|x| − |y|k = kx+− y++ (−x)+− (−y)+k . (5) Sifat ketaksamaan segitiga digunakan untuk penyelesaian persamaan (5) sehingga diperoleh
k|x| − |y|k ≤ kx+− y+k + k(−x)+− (−y)+k . (6) Kemudian, sifat nonekspansif dari operasi (·)+ [1, h. 201] digunakan untuk penye- lesaian pertidaksamaan (6) sehingga
k|x| − |y|k ≤ kx − yk + k(−x) − (−y)k
= kx − yk + ky − xk . (7)
Karena kx − yk = ky − xk, persamaan (7) dapat ditulis menjadi
k|x| − |y|k ≤ 2 kx − yk . ✷
Misalkan
d(k)1 =A − D x(k)−1
f x(k) , d(k)2 = −A − D x(k)−1
f y(k) − f x(k) . Kemudian persamaan (3) dapat disederhanakan menjadi
y(k) = x(k)+ d(k)1 , x(k+1) = x(k)+ d(k)2 ,
)
(8)
dengan k = 0, 1, 2, . . ..
Lema 4 [4] Jika F (x) = 12kf (x)k2 memiliki nilai singular A ∈ Rn×n melebihi 1, maka arah d(k)2 pada persamaan (8) merupakan arah turun untuk fungsi F (x).
Bukti. Diketahui fungsi vektor piecewise linear f (x) yang berhubungan persamaan nilai mutlak yaitu
f(x) = Ax − |x| − b. (9)
Dengan menurunkan fungsi f pada persamaan (9) terhadap x, diperoleh f′(x) = ∂f (x),
f′(x) = A − D(x). (10)
Kemudian, dengan mengevaluasi persamaan (9) dan (10) di x = x(k), diperoleh f x(k) = Ax(k)−
x(k) − b, f′ x(k) = A − D x(k) . Oleh karena itu, A− D x(k)−1
ada untuk setiap matriks diagonal D yang elemen-elemen diagonalnya Dii = +1, 0, −1, i = 1, 2, . . . , n, dan
f′ x(k)T
= f′ x(k) , (11)
F x(k) = 1 2
f x(k)
2, (12)
F′ x(k) = f′ x(k) f x(k) . (13) Selanjutnya, untuk setiap k ∈ Z diperoleh
(i) UntukD
F′ x(k) , d(k)1 E , D
F′ x(k) , d(k)1 E
=D
f′ x(k) f x(k) , A − D x(k)−1
f x(k)E
=D
f′ x(k) f x(k) , f′ x(k)−1
f x(k)E
= f′ x(k)T
f x(k)T
f′ x(k)−1
f x(k) , D
F′ x(k) , d(k)1 E
= f x(k)T
f′ x(k)T
f′ x(k)−1
f x(k) . (14) Berdasarkan persamaan (11), persamaan (14) dapat ditulis menjadi
D
F′ x(k) , d(k)1 E
= f x(k)T
f′ x(k)
f′ x(k)−1
f x(k)
= f x(k)T
f x(k) , D
F′ x(k) , d(k)1 E
>0. (15)
Oleh karena itu, d(k)1 bukan arah turun dari F (x) sehingga
f y(k) >
f x(k) . (ii) Untuk D
F′ x(k) , d(k)2 E ,
F′ x(k) , d(k)2
=
f′ x(k) f x(k) , − A − D x(k)−1
f y(k) − f x(k)
=
f′ x(k) f x(k) , − f′ x(k)−1
f y(k) − f x(k)
= − f′ x(k)T
f x(k)T
f′ x(k)−1 f y(k) − f x(k) ,
F′ x(k) , d(k)2
= − f x(k)T
f′ x(k)T
f′ x(k)−1
f y(k) − f x(k) . (16) Berdasarkan persamaan (11), persamaan (16) dapat ditulis menjadi
F′ x(k) , d(k)2
= − f x(k)T
f′ x(k)
f′ x(k)−1
f y(k) − f x(k)
= −f x(k)T
f y(k) − f x(k)
= −f x(k)T
f y(k) + f x(k)T
f x(k) ,
F′ x(k) , d(k)2
<0. (17)
Oleh karena itu, d(k)2 adalah arah turun dari F (x) sehingga
f x(k) → 0
saat k → ∞. ✷
Teorema 5 (Global Konvergensi)[4] Jika norm dari matriks A ada, maka norm dari A− D ada untuk setiap matriks diagonal D yang anggota diagonalnya adalah 1 atau 0. Akibatnya, barisan xk adalah barisan Cauchy, sehingga xk konvergen ke solusi tunggal ¯x dari persamaan nilai mutlak (1).
Bukti. Diketahui fungsi f dengan bentuk
f(x) = Ax − |x| − b.
Dengan mengavaluasi fungsi f di titik x = x(k)dan x = y(k), didapat berturut-turut f x(k) = Ax(k)−
x(k)
− b, (18)
f y(k) = Ay(k)− y(k)
− b. (19)
Kemudian, dari persamaan kedua di persamaan (3) didapat x(k+1)− x(k)= A − D x(k)−1
f x(k) − f y(k) . (20) Selanjutnya, dengan mengambil norm kedua ruas dari persamaan (20) dan mene-
rapkan persamaan (18) dan (19) diperoleh
x(k+1)− x(k)
=
A− D x(k)−1
A x(k)− y(k) − x(k)
− y(k)
. (21) Dengan menggunakan sifat ketaksamaan segitiga, persamaan (21) dapat ditulis men- jadi
x(k+1)− x(k)
≤
A− D x(k)−1
kAk
x(k)− y(k) +
x(k)
− y(k)
. (22) Persamaan (22) dapat disederhanakan menggunakan Lema 3 sehingga diperoleh
x(k+1)− x(k)
≤
A− D x(k)−1
2
kAk + 2
f x(k)
. (23) Selanjutnya untuk setiap m ∈ Z,
x(k+m)− x(k)
=
x(k+m)− x(k+m−1)+ x(k+m−1)− x(k+m−2)+ x(k+m−2)+ · · · + x(k+1)− x(k)
,
x(k+m)− x(k)
≤
x(k+m)− x(k+m−1)
+
x(k+m+1)− x(k+m−2)
+ · · · +
x(k+1)− x(k)
. (24)
Terlihat bahwa persamaan (24) memiliki bentuk yang sama dengan persamaan (23) sehingga persamaan (24) dapat ditulis menjadi
x(k+m)− x(k)
≤
kAk + 2
A− D x(k+m−1)−1
2
f x(k+m−1) +
A− D x(k+m−2)−1
2
×
f x(k+m−2)
+ · · · +
A− D x(k)−1
2
f x(k)
. Oleh karena itu,
f x(k)
→ 0 dengan k → ∞ diperoleh
x(k+m)− x(k) → 0 dengan k → ∞ yang mengakibatkan x(k) adalah barisan Cauchy dan konvergen untuk solusi tunggal persamaan nilai mutlak (1). ✷
4. PERBANDINGAN KOMPUTASI
Pada bagian ini uji komputasi dilakukan, kemudian hasil komputasi dibandingkan untuk menemukan solusi pendekatan dengan menggunakan Generalisasi Iterasi New- ton (GIN), metode dua langkah Traub (MT), dan metode iterasi dua langkah tanpa memori (MTM).
Berikut diberikan persamaan nilai mutlak (1) untuk melakukan pengujian ini dengan matriks A sebagai berikut:
A= tridiag(−1, 4, −1) ∈ Rn×n, (25) atau dapat ditulis
A=
4 −1 0 · · · 0 0
−1 4 −1 · · · 0 0 0 −1 4 · · · 0 0 ... ... ... ... ... ...
0 0 0 · · · 4 −1 0 0 0 · · · −1 4
.
Untuk melakukan uji komputasi digunakan software Matlab R2013a. Dalam al- goritma perhitungan pada setiap metode, terdapat kriteria pemberhentian jalannya program yang sama sebagai berikut:
(i) Norm fungsi lebih kecil daripada toleransi yang diberikan.
(ii) Norm dari selisih antara dua solusi pendekatan lebih kecil daripada toleransi yang diberikan.
(iii) Jumlah iterasi mencapai iterasi maksimum.
Hasil perbandingan komputasi untuk persamaan (25) ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1: Perbandingan Hasil Komputasi untuk GIN, MT, dan MTM Metode Iterasi Eror Pendekatan
GIN
1 1.4991e + 00 2 4.9912e − 01 3 0.0000e + 00 MT
1 9.2783e − 01 2 8.3245e − 02 3 0.0000e + 00 MTM
1 9.2783e − 01 2 8.3245e − 02 3 5.5511e − 16
Tabel 1 merupakan tabel perbandingan hasil komputasi untuk menemukan solusi pendekatan dari ketiga metode yang berbeda. Pada kolom pertama menyatakan metode iterasi yang digunakan, kolom kedua menyatakan iterasi yang diperlukan untuk mencapai solusi pendekatan dari persamaan nilai mutlak, dan kolom ketiga menyatakan norm selisih antara dua solusi pendekatan dari setiap metode iterasi.
Berdasarkan Tabel 1, terlihat bahwa semua metode yang dibandingkan dapat digunakan untuk mencari solusi pendekatan persamaan nilai mutlak. Pada uji kom- putasi yang dilakukan pada persamaan (25), untuk tebakan awal x(0) = [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T, ketiga metode yaitu GIN, MT, dan MTM memerlukan tiga iterasi un- tuk mencapai solusi pendekatan yaitu [− 1.0000 1.0000 − 1.0000 1.0000 − 1.0000 1.0000 − 1.0000 1.0000 − 1.0000 1.0000]T. Kemudian dapat dilihat bahwa pada iterasi pertama dan kedua MT dan MTM memiliki nilai eror yang lebih kecil dari toleransi dibandingkan GIN. Namun pada iterasi ketiga, TSI memiliki nilai eror mendekati nol. Iterasi berhenti dikarenakan nilai
x(k+1)− x(k)
∞sudah lebih kecil dari toleransi = 1 × 10−6.
Jadi, dari hasil perbandingan komputasi yang dilakukan pada Tabel 1 dapat di- lihat bahwa dibandingkan kedua metode iterasi lainnya, metode iterasi dua langkah tanpa memori (MTM) memiliki konvergensi lebih baik dan nilai eror lebih cenderung mendekati nol sehingga dapat dijadikan sebagai metode alternatif untuk menyele- saikan persamaan nilai mutlak.
5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa metode ite- rasi dua langkah tanpa memori dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak Ax − |x| = b dengan A ∈ Rn×n, b ∈ Rn, dan x ∈ Rn. Metode ite- rasi dua langkah tanpa memori diperoleh dengan mengombinasikan Generasi Iterasi Newton dan metode dua langkah Traub dan mempunyai orde konvergensi linear.
Perbandingan komputasi menunjukkan bahwa metode iterasi dua langkah tanpa memori memiliki konvergensi lebih baik dan nilai eror lebih cenderung mendekati nol sehingga dapat dijadikan sebagai metode alternatif untuk menyelesaikan per- samaan nilai mutlak.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. dan anonymous reviewer yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] D. P. Bertsekas, Nonlinear Programming, Second Edition, Athena Scientific, Belmont, 1999.
[2] S. D. Conte dan C. D. Boor, Dasar-dasar Analisis Numerik, Edisi Ketiga, Terj. dari Elementary Numerical Analysis, Third Edition, oleh Mursaid dan W.
Simangunsong, Erlangga, Jakarta, 1980.
[3] V. Edalatpour, D. Hezari, dan D. K. Salkuyeh, A generalization of the Gauss- Seidel iteration method for solving absolute value equations, Applied Mathe- matics and Computation, 239 (2017), 156–167.
[4] J. M. Feng dan S. Y. Liu, A new two–step iterative method for solving absolute value equations, Journal of Inequalities and Applications, 39 (2019) 1–8.
[5] O. L. Mangasarian, A generalized Newton’s method for absolute value equations, Optimization Letters, 3 (2009), 101–108.
[6] O. L. Mangasarian dan R. R. Meyer, Absolute value equations, Linear Algebra and Its Applications, 419 (2006), 359–367.
[7] J. Rohn, An algorithm for computing all solutions of an absolute value equation, Optimization Letters, 6 (2012), 851–856.
[8] J. Rohn, On unique solvability of the absolute value equations, Optimization Letters, 3 (2009), 603–606.
[9] J. Rohn, V. Hooshyarbakhsh, dan R. Farhadsefat, An iterative method for sol- ving absolute value equations and sufficient conditions for unique solvability, Optimization Letters, 8 (2014), 35–44.
[10] S. Singh dan D. K. Gupta, Iterative methods of higher order for nonlinear equations, Vietnam Journal of Mathematics, 44 (2016), 387–398.
