PENDEKATAN PENCARIAN LANGSUNG PENYELESAIAN PROBLEMA PROGRAM INTEGER TAK LINIER CAMPURAN

TAK LINIER CAMPURAN

DISERTASI

Oleh

FAIGIZIDUHU BU’ULÖLÖ 098110003/Ilmu Matematika

PROGRAM DOKTOR ILMU MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2014

TAK LINIER CAMPURAN

DISERTASI

Untuk Memperoleh Gelar Doktor dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

FAIGIZIDUHU BU’ULÖLÖ 098110003 / Ilmu Matematika

PROGRAM DOKTOR ILMU MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2014

TAK LINIER CAMPURAN

DISERTASI

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Doktor dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

FAIGIZIDUHU BU’ULOLO 098110003 / Ilmu Matematika

PROGRAM DOKTOR ILMU MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2014

Judul Disertasi : Pendekatan Pencarian Langsung Penyelesaian Problema Program Integer Tak Linier Campuran Nama Mahasiswa : Faigiziduhu Bu’ulölö

Nomor Induk Mahasiswa : 098110003

Program Studi : Doktor Ilmu Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Tulus, M.Si) Ketua Promotor

(Dr. M. D. H Gamal, M.Sc) (Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc)

Anggota/Co-Promotor Anggota/Co-Promotor

Ketua Program Studi Dekan FMIPA USU

Doktor Ilmu Matematika

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

PANITIA PENGUJI DISERTASI

Promotor : Prof. Dr. Tulus, M.Si Co-Promotor : Dr. M. D. H. Gamal, M.Sc

Co-Promotor : Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc Anggota Komisi Penguji : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc

: Prof. Dr. Herman Mawengkang

Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam disertasi saya yang berjudul :

PENDEKATAN PENCARIAN LANGSUNG PENYELESAIAN PROBLEMA PROGRAM INTEGER

TAK LINIER CAMPURAN

merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan pembimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang dengan ditunjukkan rujukannya. Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program sejenis di Perguruan Tinggi lainnya.

Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.

Medan, 25 Juni 2014

Nama : Faigiziduhu Buulolo NIM : 098110003

Program integer bukan suatu subjek yang baru dalam bidang optimisasi. Namun demikian, program integer masih merupakan bidang yang menarik untuk dikembangkan didorong oleh fakta bahwa domainnya melingkupi berbagai aplikasi praktis yang penting dan menantang. Namun, oleh karena penerapannya yang praktis, peneliti dihadapkan pada kesulitan komputasi dalam menyelesaikan problema-problema pemrograman integer secara efektif, khususnya untuk problema-problema skala besar.

Disertasi ini menyampaikan aspek perhitungan pemecahan masalah program integer tak linier skala besar, dengan menitikberatkan pada kelas problema integer tak linier campuran. Ide dasar disertasi ini ialah membebaskan variabel nonbasis, yang ditemukan dalam penyelesaian optimum kontinu yang memaksa suatu variabel basis tak integer yang bersesuaian untuk memilih nilai integer terdekat. Gagasan tentang superbasis dieksploitasi untuk mempertahankan kelayakan bilangan bulat (integer). Strategi pemilihan variabel nonbasis dalam proses pengintegrasian didasarkan pada minimisasi penurunan penyelesaian optimum kontinu.

Untuk permasalahan mixed integer linear programming, uji rasio digunakan untuk menjaga agar hasil bilangan bulat tetap dalam daerah layak.

Dalam kasus non-linier, selain uji rasio ini, pemeriksaan kelayakan juga digunakan sebagai cara untuk mamastikan bahwa variabel-variabel masih memenuhi kendala permasalahan.

Perhitungan-perhitungan dengan pendekatan ini digambarkan untuk pemecahan problema dengan skala besar. Hasil penelitian menunjukkan bahwa strategi yang diajukan menjanjikan untuk menyelesaikan kelas-kelas problema tertentu dari permasalahan mixed integer programming.

Kata kunci: Nonlinier Programming, Integer Programming, Superbasis

ABSTRACT

It is well understood that integer programming is not a new subject in the field of optimization. Nevertheless, it is still an attractive field to be explored, spurred by the fact that its domain covers a wide range of important and challenging practical applications. However, given its practical applicability, we face computational difficulties in solving the integer programming problems effectively, particularly for large scale problems.

This dissertation addresses computational aspects of solving large scale nonlinear integer programming problems, with emphasis on the class of mixed integer problems. The basic idea is to release a nonbasic variable, found in the continuous optimal solution in such a way that will force a corresponding non- integer basic variable to take its neighbourhood integer value. The notion of superbasic is exploited in order to maintain integer feasibility. The strategy of choosing nonbasic variables in the integrizing process is based on minimizing the deririoration of the optimal continuous solution.

For a mixed integer linear programming problems, a ratio test is used in order to keep the integer result in the feasible region. In the nonlinear case, besides this ratio test, a feasibility check is used in a way to make sure the variables still satisfy the constraints of the problem.

Computational experience with this approach is described for solving a large scale problem. The result shows that the proposed strategy is promising in tackling certain classes of mixed integer programming problems.

Keywords: Mixed integer programming, nonlinear programming, direct search, neighbourhood search, large scale optimization

Dengan rendah hati, penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas anugrah-Nya dan berkat-Nya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan disertasi ini dengan judul Pendekatan Pencarian Langsung Penyelesaian Problema Program Integer Tak Linier Campuran.

Disertasi ini merupakan persyaratan penyelesaian studi pada Program Doktor Ilmu Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :

1. Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu. DTM&H, M.Sc (CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan dan bantuan dana kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Doktor Ilmu Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.

2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menjadi peserta Program Doktor Ilmu Matematika angkatan 2009, dan telah memberikan masukan dan saran hingga selesainya disertasi ini.

3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, dan juga selaku anggota komisi penguji yang telah banyak memberi dorongan, ide bahkan waktu yang tak ternilai untuk penyelesaian tulisan ini, sehingga dapat diselesaikan disertasi ini.

4. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. selaku Promotor atas ketulusan hati dan memberi motivasi, mendukung dan mengarahkan penulis untuk masalah penulisan karya ilmiah serta membimbing penulis dalam menyelesaikan disertasi ini.

memotivasi penulis, sehingga dapat menyelesaikan disertasi ini.

6. Bapak Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku anggota Co-Promotor, atas ketulusan hati dan keikhlasan dalam membimbing dan mendukung dan mengarahkan penulis pada pembahasan isi dan penulisan hingga selesainya disertasi ini.

7. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Doktor Ilmu Matematika, dan juga selaku anggota komisi penguji, atas ketulusan hati dan keikhlasannya dalam membimbing, mendukung, memotivasi dan mengarahkan penulis, dalam menyelesaikan disertasi ini.

8. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.

9. Buat rekan-rekan mahasiswa angkatan pertama tahun 2009/2010 Program Studi Doktor Ilmu Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, sdr S.

Ariswoyo, sdri Mardiningsih dan Elly Rosmaini, sdr Pasukat S, sdr Syawaludin, sdr Suyanto, sdr Siti Rusdiana atas kerjasama dan kebersamaan dalam mengatasi berbagai masalah yang dihadapi selama perkuliahan, sehingga tugas-tugas bersama dapat diselesaikan dengan baik, dan sdri Misiani, S.Si selaku staf Administrasi Program Studi Doktor Ilmu Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis.

Secara khusus menyampaikan rasa terima kasih kepada istri tercinta dr.

Kanserina E. Dachi, Sp.PD yang banyak memberikan bantuan moril melalui doanya, serta materi dan anak-anakku tersayang dr. Beatrice Angela Bu’ulölö, Roland Lukas Bu’ulölö, ST, MT yang selalu memberikan dukungan untuk tetap semangat menyelesaiakan disertasi ini. Terimakasih kepada keponakanku Riang Enjel Ndruru, S.Si dan Suprianus Ndruru yang selalu siap membantu tanpa

Akhir kata penulis harapkan, semoga disertasi ini bermanfaat.

Medan, Juni 2014 Penulis,

Faigiziduhu Bu’ulölö

Faigiziduhu Bu’ulölö dilahirkan di Lolowa’u Kabupaten Nias Selatan pada tanggal 18 Desember 1953 dan merupakan anak ke sembilan dari sembilan bersaudara, dari Ayah Kamaruddin Bu’ulölö (Alm) dan Ibu Tönulö’ö Halawa (Alm). Penulis menamatkan sekolah Dasar (SD) Negeri di Lölöwa’u tahun 1965, Sekolah Menengah Ekonomi Pertama (SMEP) Negeri Gunungsitoli tahun 1969, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 2 di Onowaembo Gunungsitoli tahun 1971 dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Swasta BNKP Bersubsidi Jurusan Paspal 1972 di Gunungsitoli. Pada tahun 1974 penulis memasuki Perguruan Tinggi Negeri FMIPA USU Medan Jurusan Matematika dan memperoleh gelar sarjana matematika bulan Juni 1979. Pada tanggal 14 Agustus 1984 punulis menikah dengan Kanserina E. Dachi dan telah dikaruniai dua orang anak, anak pertama (putri) Beatrice Angela Bu’ulölö memperoleh gelar dokter dari Fakultas Kedokteran USU dan kedua (putra) Roland Lukas Bu’ulölö memperoleh gelar sarjana dan pascasarjana Teknik Informatika dari Institut Teknologi Bandung.

Pada tahun 1980 penulis diterima menjadi staf pengajar di Departemen Matematika FMIPA USU dan masih aktif sampai sekarang. Tahun 2005 penulis menyelesaikan pendidikan Program Magister Matematika Sekolah Pascasarjana USU Medan.

Hal.

PENGESAHAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

PENGHARGAAN iv

RIWAYAT HIDUP vii

DAFTAR ISI viii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 4

1.4 Kontribusi Penelitian 4

BAB 2 BEBERAPA METODE PENYELESAIAN PROGRAM INTEGER TAK LINIER

5

2.1 Program Integer Tak Linier 5

2.2 Teknik Linierisasi 6

2.3 Metode branch and bound 8

2.3.1 Metode Branch and Bound Spatial 9

2.3.2 Metode Branch and Reduce 10

2.4 Pendekatan Feasibility Pump (FP) 11

BAB 3 BEBERAPA MODEL KELAS PROBLEMA OPTIMISASI 13

3.1 Optimum Lokal dan Global 13

3.2 Kemulusan 14

3.3 Kendala 14

3.4 Konveks 15

3.5 Optimisasi Diskrit 16

3.6 Contoh-contoh Optimisasi 16

3.6.1 Fungsi Kuadratik; Kendala dengan Batas 16 Sederhana

3.6.2 Problema Integer Tak Linier 18

3.7 Optimisasi Global 21

3.8 Branch and Bound untuk Problema Tak Linier 23 3.9 Pendekatan pada Optimisasi Tanpa Kendala 26 3.10 Pendekatan pada Optimisasi dengan Kendala Syarat

Kuhn-Tucker 27

3.10.1 Kendala Persamaan Tak Linier 28

3.10.2 Kendala Pertidaksamaan Tak Linier 31 3.11 Algoritma yang Tersedia untuk Optimisasi Tak Linier 33

Kontinu

3.12 Algoritma yang Tersedia untuk Optimisasi Tak Linier 38 Diskrit

3.12.1 Algoritma Pendekatan Luar Duran dan 38 Grossmann

3.12.2 Metode Mawengkang and Murtagh 40

3.12.3 Pendekatan-pendekatan Lain 40

BAB 4 HEURISTIK PENCARIAN LANGSUNG 42

4.1 Model Problema 42

4.2 CYCLE1-Mengeluarkan Variabel Integer dari Basis 46 4.3 CYCLE2 Pass1-Sesuaikan Superbasis Tak Layak 52

Integer

4.4 CYCLE2 Pass2-Sesuaikan Superbasis Layak Integer 55 4.5 Analisa dan Contoh Penyangkal untuk Algoritma 56

Murtagh

4.5.1 Contoh 1 59

4.5.2 Contoh 2 60

4.5.3 Contoh 3 62

4.5.4 Ringkasan Hasil Contoh CYCLE1 63

BAB 5 CONTOH KOMPUTASI 65

5.1 Persoalan Proses System Sintesis 65

5.2 Pernyataan Matematika dari Masalah 69

BAB 6 KESIMPULAN DAN SARAN 74

6.1 Kesimpulan 74

6.2 Saran 75

DAFTAR PUSTAKA 76

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Model matematika didefinisikan oleh himpunan variabel, yang dipakai untuk mempresentasikan keputusan dalam suatu persoalan. Kemudian terdapat himpunan persamaan (pertidaksamaan) yang menyatakan kendala, dipakai untuk membatasi besaran dari keputusan yang absah. Kendala ini mendefinisikan ruang penyelesaian layak dari persoalan, yaitu suatu politop dalam ruang dimensi- banyak yang mengandung semua penyelesaian persoalan. Objektifnya merupakan fungsi dari variabel yang merujuk ke penyelesaian dalam ruang penyelesaian layak di mana fungsi objektif mencapai optimum global. Apabila variabel- variabel ini kontinu dan kendala serta fungsi objektif tak linier, persoalan disebut Program Tak Linier (PTL). Jika integralitas (kecacahan) dipersyaratkan pada variabel tersebut persoalan disebut Program Integer Tak Linier (PITL).

Secara model matematika, bentuk umum dari PITL dapat didefinisikan sebagai:

min 𝐹(𝑥) 1.1

kendala 𝑓_𝑖 𝑥 ≤ 0 , 𝑖 ∈ 𝐾 1.2

𝑙 ≤ 𝑥 ≤ 𝑢 1.3

𝑥_𝑗 integer, 𝑗 ∈ 𝐽^′ 𝐽 1.4 di mana F dan f merupakan fungsi bernilai riil yang didefinisikan pada 𝑅^𝑛, 𝐾 adalah himpunan indeks kendala, l adalah batas bawah (lower bound), dan u

adalah batas atas (upper bound), 𝑥_𝑗 = 𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥_𝑛 , 𝐽 = 1, 2, . . . , 𝑛 . Jika 𝐽^′ = 𝐽 maka persoalan (1.1) – (1.4) disebut PITL murni. Jika tidak, persoalan demikian dinyatakan sebagai PITL Campuran (PITLC). Dengan mengabaikan syarat kecacahan (1.4) persoalan ini menjadi persoalan PTL.

Suatu vektor 𝑥 = 𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥_𝑛 dikatakan sebagai penyelesaian layak kontinu jika x memenuhi kendala (1.2) dan (1.3). Jika vektor demikian juga memenuhi persyaratan integer (1.4), maka vektor ini disebut penyelesaian layak integer. Jika kendala batas 𝑙 ≤ 𝑥 ≤ 𝑢 diganti dengan 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 maka (1.1) – (1.4) disebut sebagai persoalan PTL biner. Karena kemampuan dari bentuk biner demikian ini untuk mengemukakan persoalan yang mencakup keputusan yang saling terkait, persoalan dalam variabel 0 – 1 memiliki banyak aplikasi. Secara umum, persoalan PTL 0 – 1 dapat dituliskan dalam bentuk:

min 𝐹(𝑥) 1.5

kendala 𝑓_𝑖 𝑥 ≤ 0 , 𝑖 ∈ 𝐾 1.6

𝑙 ≤ 𝑥 ≤ 𝑢 1.7

𝑥_𝑗 integer, ∀𝑗 1.8

Problema Program Integer Tak Linier (PITL) banyak menarik perhatian para peneliti karena berbagai aplikasinya pada dunia nyata. Aplikasi model PITL pada industri nuklir adalah memaksimumkan efisiensi atau kinerja reaktor nuklir setelah operasi pemuatan (Quist et al. 1997). Dalam industri kertas aplikasi model PITL muncul sebagai problema cutting stock tak linier (Harjunkoski et al. (1998).

Sementara aplikasi dalam finansial seperti perencanaan strategis rancangan telekomunikasi, dengan aspek cacah menyajikan jumlah serat optik yang akan

ditempatkan dalam pipa dan nonlinieritas muncul dari elastisitas yang berkenaan dengan strategis harga masa datang (Horner, 2000), juga dikemukakan dalam problema alokasi asset pada manajemen dana, dengan fungsi tujuan meminimumkan resiko. Aplikasi dalam bidang optimisasi topologi (Sigmund, 2000) variabel biner memodelkan ada atau tidaknya material dalam setiap elemen hingga.

Pamakaian lainnya dalam bidang rancangan sistim dan pangkalan data (Sarathy et al, 1997, Tsai dan Li, 2005, Lin 2009). Kemudian aplikasi dalam biologi mohkuler (Echer et al, 2002). Selanjutnya dalam jaringan transportasi diajukan oleh Fugenschuh et al, (2010), dalam jaringan air disarankan oleh Bragalli et al, (2006), Freise et al, (2010) mengaplikasikan PITLC dalam perencanaan produksi, distribusi dan pemasaran. Review lebih lanjut dari aplikasi PITL dapat dijumpai dalam Lin et al, (2012).

1.2 Perumusan Masalah

Ditinjau dari segi kesulitan komputasi penyelesaian untuk persoalan integer programming, tidaklah mengherankan bahwa situasi ini bahkan lebih buruk untuk persoalan PITL. Ada terdapat beberapa algoritma untuk menyelesaikan kelas tertentu dari persoalan PITL, namun kebanyakan belum teruji komputasinya secara ekstensif. Algoritma yang cukup efektif ternyata hanya berlaku untuk persoalan yang secara relatif berukuran kecil. Kelemahan dalam memakai heuristik untuk menentukan nilai optimum ialah penyelesaian yang diperoleh selalu “suboptimal” dan tak ada cara untuk mengukur seberapa suboptimal penyelesaian tersebut. Pendekatan branch and bound yang banyak dipakai untuk

menyelesaikan integer programming diperdebatkan sebagai suatu pendekatan yang efektif, walaupun penyelesaian optimal layak cacah diperoleh. Secara praktis proses percabangan biasanya berhenti sebelum nilai optimal yang tepat dicapai (Murtagh, 1981). Dalam kasus PTL persoalannya umumnya tak konveks.

Heuristik dipakai dalam pendekatan branch and bound dalam memilih variabel terhadap mana proses percabangan didahulukan dengan mengacu pada batas bawah dan batas atas. Dan juga dalam memilih subproblema untuk diselesaikan, sifat tak konveks dari persoalan berarti bahwa heuristik yang dipakai dalam pendekatan branch and bound tidak memiliki jaminan bahwa pada saatnya memberikan penyelesaian layak cacah global. Jadi terdapat suatu kelemahan untuk memakai heuristik langsung dalam kasus PTL.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah penulis mengajukan suatu metode untuk menyelesaikan persoalan Program Integer Campuran Tak Linier (PICTL).

1.4 Kontribusi Penelitian

Adanya suatu metode untuk PICTL berskala besar yang pemakaiannya di lapangan cukup luas.

BAB 2

BEBERAPA METODE PENYELESAIAN PROGRAM INTEGER TAK LINIER

Secara umum, tujuan utama penelitian dalam bidang program matematika adalah mengembangkan suatu teori yang membawa pada pembentukan algoritma untuk dipakai pada komputer. Karena itu dalam bab ini, konsentrasi hanya ditunjukkan pada metode-metode yang telah dipakai untuk menyelesaikan Program Integer Tak Linier (PITL). Survei dari metode-metode ini dapat dilihat antara lain Gupta dan Navindra (1983), Burer dan Letchford (2012), Hemnecke et al. (2010), dan Leyffer et al. (2009).

2.1 Program Integer Tak Linier

Program integer tak linier pada dasarnya adalah masalah yang sulit. Metode yang biasa untuk menyelesaikan program integer tak linier berdsarkan bermacam rangkaian linierisasi dari problema dan beberapa variasi pada strategi branch and bound. Problema umum dari program integer tak linier khususnya skala besar

sebagai persoalan yang sangat sulit dan dapat diselesaikan dengan membangun rangkaian penyelesaian untuk program linier yang beberapa pengertian aproksimasi pada program tak linier.

Duran dan Grossmann (1986), mengemukakan secara detail dari algoritma outer aproksimasi (OA) untuk meneyelesaikan PTILC. Pendekatan meliputi konstruksi dan penyelesaian dari rangkaian bolak balik pada master problema

program linier dan subproblema pada program tak linier. Subproblema sekarang diselesaikan dengan variabel integer yang tetap dan master problema yang dibentuk dengan linierisasi fungsi pada penyelesaian dari subproblema.

2.2 Teknik Linierisasi

Linieritas dari variabel diskrit membolehkan karakteristik bebas dari ruang pencarian yang layak diskrit dan kontinu dari problema. Outer Aproksimasi dari himpunan konveks dengan irisan dari bagian ruang yang mendukung dan digunakan untuk mendefinisikan master program linier integer campuran.

Pandang persoalan (1.1) – (1.4) dari Bab 1, dalam hal 𝐽^′ = 𝐽 dan andaikan fungsi objektif F dan fungsi kendala f polinomial. Teknik linierisasi ditunjukkan untuk kelas persoalan demikian. Secara mendasar, untuk kasus tak-biner, teknik demikian ini mencakup dua langkah transformasi yang berurutan (Garfinkel dan Nemhauser, 1972 dan Watters, 1967).

Langkah pertama adalah mengkonversikan formulasi tak-biner menjadi formulasi biner. Dengan kata lain variabel integer x diganti oleh variabel biner y.

Dengan mengandaikan bahwa setiap variabel 𝑥_𝑗 memilih batas atas berhingga 𝑢_𝑗, ekspresi untuk x dapat ditulis sebagai:

𝑦_𝑗 + 𝑦_𝑄+ 𝑞 − 1 ≥ 0

𝑗 ∈𝑄 2.1

𝑦_𝑖𝑗 = 0,1 , 𝑖 = 0, 1, . . . , 𝑡_𝑗

di mana 𝑡_𝑗 integer positif terkecil, sehingga 𝑢_𝑗 ≤ 2^𝑡𝑗+1 − 1.

Langkah kedua mereduksi program polinomial 0 – 1 menjadi program linier 0 – 1, dengan memasukkan variabel 0 – 1 baru untuk menggantikan suku

perkalian. Sementara, ekspresi pangkat dari tipe 𝑦^𝑛 (di mana y = 0 atau 1) dapat digantikan oleh y.

Andaikan Q himpunan variabel 0-1, maka setiap perkalian berbeda 𝑦_𝑗

𝑗 ∈𝑄 dari variabel 0-1 akan diganti oleh variabel baru 0-1 𝑦_𝑄. Untuk memastikan bahwa 𝑦_𝑄 = 1 jika dan hanya jika _{𝑗 ∈𝑄}𝑦_𝑗 = 1, dibuat dua kendala baru:

1 0 2.2

j Q

j Q

y y q



   



dan

0 2.3

j Q

j Q

y qy



 



𝑦_𝑄 = 0 atau 𝑦_𝑄 = 1 2.4 di mana q menyatakan jumlah elemen dalam Q.

Persoalan yang telah dilinierisasi dapat diselesaikan dengan memakai algoritma baku program integer, misalnya algoritma Balas. Namun program linier 0-1 diformulasikan dengan biaya yang signifikan. Untuk setiap suku perkalian, variabel biner tambahan harus ditambahkan, demikian pula halnya dengan penambahan kendala. Karena itu jumlah variabel dan kendala akan bertambah secara drastis walaupun untuk persoalan program tak linier 0-1.

Balas dan Mazzola (1984), telah mengajukan linierisasi baru menjadi persoalan set covering yang baru, di mana hanya memakai variabel awal, terutama untuk

pertidaksamaan multi-linier berbentuk:

( ) . , 0 atau 1, 2.5

t

t j j t

i N j N

g x a x b x j N

 



 

  

di mana 𝑎_𝑡, 𝑡 ∈ 𝑁 = 1, 2, . . . , 𝑛 adalah bilangan riil.

Balas dan Mazzola, mendefinisikan keluarga pertidaksamaan linier yang ekuivalen dengan (2.5) yang mengandung linierisasi lebih kompak (atau jumlah kendala tutupan lebih sedikit).

Pengalaman komputasi pada program multi-linier 0-1 yang dibentuk secara acak hingga 20 kendala dan 50 variabel telah disajikan. Penerapan dari pendekatan ini untuk kelas persoalan yang lebih umum masih memerlukan penelitian lebih lanjut.

Gharibi (2012), mengembangkan linierisasi yang diajukan Balas dan Mazzola (1984). Persoalan yang diselesaikan oleh Gharibi adalah program Kuadratik 0-1. Pertama-tama menguatkan formulasi primal dari Balas dan Mazzola, meningkatkan proses linierisasinya dan kemudian mengubahnya menjadi model dual, sehingga diperoleh suatu bentuk linierisasi baru. Tetapi Gharibi hanya memfokuskan pada persoalan yang berskala kecil. Linierisasi kompak lainnya diajukan oleh Liberti (2007), terhadap persoalan program kuadratik 0-1.

2.3 Metode Branch and Bound

Metode branch and bound yang diajukan oleh Land dan Doig (1960), merupakan metode baku untuk menyelesaikan persoalan program linier integer campuran (PLIC). Operasi kuncinya, yang disebut percabangan, didasarkan pada ide berikut.

Jika suatu variabel integer xi dalam penyelesaian optimal kontinu (yaitu penyelesaian terhadap persoalan PLIC yang telah direlaksikan syarat integernya), maka persoalan dapat digantikan dengan 2 subproblema. Dalam salah satu

subproblema, kendala 𝑥_𝑖 ≤ 𝑥_𝑖^∗ ditambahkan dan dalam subproblema yang kedua ditambahkan kendala 𝑥_𝑖 ≥ 𝑥_𝑖^∗ . Jelas bahwa penyelesaian terhadap relaksasi awal tidak layak untuk kedua subproblema.

Dalam literatur optimisasi global, percabangan dilakukan dengan mempartisi domain variabel kontinu. Ini dikerjakan dengan mengambil variabel kontinu y_i, yang domain saat ini adalah 𝑙_𝑖, 𝑢_𝑖 pilih beberapa nilai β dengan 𝑙_𝑖 < 𝛽 < 𝑢_𝑖, dan bentuk 2 subproblema, yang satu berdomain 𝑙_𝑖, 𝛽 dan yang lain berdomain 𝛽, 𝑢_𝑖 . Sebagai tambahan, apabila diselesaikan salah satu subproblema, dapat diganti estimator awal yang kurang atau yang lebih dengan estimator yang lebih kuat, dengan mengambil keuntungan dari domain tereduksi.

Proses demikian ini yang disebut percabangan (branching) spatial, perlu karena dua hal:

(i) Penyelesaian optimal terhadap relaksasi tidak mungkin layak untuk persoalan awal,

(ii) Walaupun jika penyelesaian layak, pendekatan fungsi biaya dalam relaksasi tidak dapat akurat. Percabangan spatial diajukan oleh McCormick (1976).

2.3.1 Metode Branch and Bound Spasial

Percabangan, baik itu standard atau spasial, biasanya harus diterapkan secara rekursif, yang menghasilkan suatu hirarki subproblema. Seperti dalam metode branch and bound untuk PILC (Land dan Doig, 1960), subproblema ini dapat dipandang sebagai diatur dalam struktur-pohon, yang dapat dicari dalam berbagai

cara. Suatu subproblema dapat dihilangkan dari perhitungan lebih lanjut (juga dikenal sebagai dihentikan (fathomed) atau dipotong (pruned)) karena tiga syarat (i) Persoalan layak untuk penyelesaian awal dan biayanya pada

objektif relaksasi sama dengan biaya awal,

(ii) Batas bawah terkait tidak lebih baik dari pada batas atas terbaik, atau

(iii) Persoalan tak layak.

Pendekatan ini mula-mula diajukan oleh McCormick (1976) dalam konteks persoalan optimisasi global. Kelanjutannya, beberapa peneliti (kebanyakannya dari komunitas teknik proses kimia) menyadari bahwa pendekatan ini dapat diterapkan PICTL. Dapat dibandingkan misalnya Smith dan Pantelides (1997) atau Lee dan Grossmann (2001).

2.3.2 Metode Branch and Reduce

Langkah ke depan lebih maju dalam penyelesaian dengan metode eksak dari PITLC adalah pengajuan teknik branch and reduce oleh Ryoo dan Sahinidis (1995,1996). Ini merupakan versi pengembangan dari branch and bound spatial, di mana dicoba untuk mereduksi domain dari variabel, disamping reduksi yang terjadi sebagai hasil dari percabangan.

Lebih spesifik, dua operasi berikut ditambahkan:

(i) Sebelum suatu subproblema diselesaikan, kendalanya diperiksa apakah domain dari sembarang variabel dapat direduksi tanpa kehilangan kelayakan,

(ii) Setelah subproblem diselesaikan, informasi sensitivitas dipakai untuk melihat apakah domain dari sembarang variabel dapat direduksi tanpa kehilangan penyelesaian optimal.

Setelah reduksi domain dilakukan, estimator konveks lebih baik dapat dibentuk.

Hal ini lebih merapatkan kendala, yang berakibat meningkatkan batas bawah.

Efeknya biasanya menurunkan secara drastis ukuran enumerasi pohon.

Branch and reduce biasanya dilakukan dengan memakai relaksasi program

linier, bukan relaksasi program konveks yang lebih kompleks. Hal ini dilakukan demikian karena dua hal. Yang pertama, program linier dapat diselesaikan lebih efisien dan dengan stabilitas numerik yang lebih tinggi. Kedua, informasi sensitivitas lebih mudah diperoleh dan lebih mudah diinterpretasikan.

Tawarmalani dan Sahinidis (2004, 2005), menambahkan perbaikan terhadap metode ini. Beberapa aturan untuk peningkatan reduksi domain, pemilihan variabel percabangan dan nilai percabangan juga telah diajukan oleh Belotti et al. (2009).

2.4 Pendekatan Feasibility Pump (FP)

Algoritma FP pada awalnya diajukan untuk menyelesaikan PLIC (Fischetti et al.

2005), di mana f dan g berbentuk linier, dan kemudian dikembangkan untuk PITLC (Bonani et al., 2009), di mana g adalah fungsi konveks. Dalam kedua kasus, daerah layak dipartisi sehingga dua subproblema secara iteratif diselesaikan: suatu problema 𝑃₁ yang mencakup variabel kontinu y dengan variabel integer x yang direlaksasikan, dan problema 𝑃₂ yang mengandung

variabel integer dan kontinu x, y, melalui fungsi objektifnya, penyelesaian kontinu dari 𝑃₁. Kedua subproblema diselesaikan secara iteratif, yang membentuk nilai sikuen untuk x dan y. Salah satu isu teoritis utama dalam FP ialah memperlihatkan bahwa sikuen ini tidak siklus (cycle), yaitu, tidak periodik tetapi konvergen ke titik layak (x,y). Dalam FP untuk PILC, 𝑃₁ adalah program linier dan 𝑃₂ adalah fase pembulatan. Dalam FP untuk PITLC konveks, 𝑃₁ adalah PTL konveks dan 𝑃₂ program linier integer yang secara iteratif dimutahirkan dengan kendala Outer Approximation (OA) yang diturunkan dari optimum PTL konveks. Algoritma FP untuk PITLC tak konveks diajukan oleh Ambrosio et al. (2012).

Problema optimisasi dapat dibagi dalam beberapa kelas. Berbagai algoritma untuk menyelesaikannya telah dikembangkan. Pada penelitian ini kelas yang diteliti adalah kelas yang paling sering muncul dalam aplikasi dunia nyata.

3.1 Optimum Lokal dan Global

Andaikan fungsi tujuan f memetakan n-dimensi ruang Euclidean 𝑅^𝑛 ke 𝑅. Titik 𝒙 ∈ 𝑅^𝑛 adalah minimum lokal tanpa kendala di mana setiap titik memiliki fungsi tujuan yang sama. Fungsi mulus dapat digambarkan secara geometri dengan vektor gradient nol dan matriks Hessian positip semi-definit. Metode kelas Newton menggunakan turunan pertama dan kedua sehingga titik-titik dapat ditentukan dengan mudah. Pada problema dengan kendala, titik gradient yang tidak nol adalah minimum lokal. Mungkin saja terdapat beberapa minimum lokal sehingga harus ditentukan minimum lokal yang terbaik dengan minimisasi global.

Ratschek dan Rokne (1988), menentukan minimum global lebih sukar daripada minimum lokal, terutama karena lebih sukar membuktikan minimum global yang telah ditetapkan adalah memang benar minimum global yang sesungguhnya.

3.2 Kemulusan

Fungsi Smooth (mulus) adalah fungsi kontinu dengan order turunan yang cukup tinggi. Untuk optimisasi kontinu ditentukan turunan kontinu sampai order kedua.

Problema minimisasi dengan fungsi tujuan dan kendala demikian dapat menggunakan kalkulus differensial multivariabel. Banyak metode yang menggunakan gradien dan kurva untuk membantu menentukan minimum lokal termasuk metode Newton atau Quasi-Newton (Gill et al. (1981)). Pada fungsi tak mulus, hanya nilai fungsi yang dipakai untuk proses pencarian dengan menggunakan teknik pencarian langsung.

Metode simpleks dari Nelder dan Mead (1965), merupakan pendekatan yang pertama dikenal, namun belakangan banyak digemari para peneliti yang dikembangkan dengan metode pencarian langsung. Penjelasan detailnya ditulis oleh Dennis dan Torczon (1990), dan Torczon (1990). Brent (1973), menulis semua topik minimisasi dengan metode pencarian langsung tanpa penggunaan turunan.

3.3 Kendala

Optimisasi tanpa kendala pada fungsi 𝑓 ∶ 𝑅^𝑛 → 𝑅 dengan n variabel, secara komputasi merupakan suatu pencarian pada 𝑅^𝑛 untuk mengoptimalkan vektor x^*- kendala sederhana yang membatasi ruang pencarian pada himpunan F, di mana 𝐹 𝑅^𝑛. Selanjutnya untuk optimisasi dengan batasan dapat ditulis:

min 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐹

Untuk problema tanpa kendala, sebarang titik pada domain f di 𝑅^𝑛 dapat merupakan titik penyelesaian yakni sebagai minimum lokal. F adalah himpunan dari semua titik-titik yang mungkin disebut sebagai himpunan layak. Titik 𝑥 ∈ 𝐹 adalah titik layak atau vektor layak. Problema dengan kendala yang mengandung batasan, dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan harus memenuhi dengan penyelesaian yang diberikan. Kendala dapat menyusutkan atau mengurangi kemampuan ruang pencarian. Pembatasan lainnya yaitu semua atau beberapa variabel harus diasumsikan integer. Sayangnya hal ini juga menyusutkan kemampuan ruang pencarian, namun dapat diatasi dengan menambahkan kendala linier. Jika m kendala linier yang bebas linier mempengaruhi problema n-dimensi tanpa kendala, maka sebaiknya dipindahkan m dimensi bebas, dari ruang pencarian, selanjutnya dikerjakan pada ruang n – m dimensi. Dengan kata lain, jika syarat integer menyulitkan maka ruang pencarian dikurangi hingga membentuk titik diskrit (pada kasus problema integer murni). Pencarian kemudian menjadi kombinatorial sebab kecil kemungkinan untuk dapat diuji satu persatu.

3.4 Konveks

Jika fungsi tujuan konveks dengan persamaan kendala linier maka pertidaksamaan kendala konkav dengan bentuk 𝑐_𝑖(𝑥) ≥ 0, dan optimum lokal adalah juga optimum global (Gill et al., (1981) dan Fletcher (1987)). Algoritma yang baik seharusnya memanfaatkan sifat konveks problema jika memang sifat tersebut ada pada problema (Gill et al., (1981)).

3.5 Optimisasi Diskrit

Program integer tak linier, yakni problema optimisasi tak linier dengan batasan diskrit belakangan ini banyak mendapat perhatian. Khususnya problema dengan fungsi tujuan minimum, pertidaksamaan kendala tak linier dan sebagian atau semua variabel dari himpunan terbatas tertentu; elemen himpunan ini tidak perlu integer. Fiacco dan McCormick (1968) dalam bukunya Sequential Unconstrained Minimization Technique (SUMT), mengemukakan bahwa dengan pendekatan

klasik fungsi penalty diaplikasikan supaya memenuhi syarat kendala tak linier dan sifat diskrit, Shin et al., (1990).

3.6 Contoh-contoh Optimisasi

Problema optimisasi yang paling sederhana dengan fungsi tujuan linier tanpa kendala dapat menjadi problema optimisasi yang semakin sulit, hingga akhirnya menjadi problema kuadratik PITL.

3.6.1 Fungsi Kuadratik; Kendala dengan Batas Sederhana

Walaupun dengan contoh sederhana, banyak hasil yang mungkin terjadi. Fungsi minimum

𝑓 𝑥 = 𝐴 𝑥 − 𝑎 (𝑥 − 𝑏)

dengan kendala batas sederhana 𝐿 ≤ 𝑥 ≤ 𝑈,

dengan L batas bawah dan U batas atas. Berikut ini diperlihatkan dua kasus yaitu :

Kasus 1 : 𝑨 > 0, 𝐿 < 𝑎 < 𝑏 < 𝑈, 𝑥^∗ =¹

2(𝑎 + 𝑏) adalah minimum (lokal) pada interval 𝐿 ≤ 𝑥 ≤ 𝑈. Karena f konveks, maka 𝑥^∗ adalah juga minimum global pada interval. Gambar 2.1 memberikan ilustrasi dari masalah ini.

Kasus 2 : 𝑨 < 0, 𝑓 𝑥^∗ =⁻¹

4 𝐴 𝑏 − 𝑎 ², 𝑥^∗= ¹

2(𝑎 + 𝑏) adalah maksimum (lokal) pada interval 𝐿 ≤ 𝑥 ≤ 𝑈. Gambar 3.2 memberikan ilustrasi dari masalah ini.

6 4 2

-2 -4

1 2 3 4 5 6

a b

L U

Gambar 3.1 Fungsi Kuadratik dengan Kendala-Kasus 1U

a b

6 4

2

-2 -4

1 2 3 4 5 6

Minimum lokal tidak bisa diperoleh karena 𝑓 𝑥 = −2𝐴. Namun maksimum global tetap bisa diperoleh yang muncul pada titik akhir L dan U.

Walaupun untuk fungsi kuadratik yang paling sederhana, banyak kasus yang mungkin dan semua algoritma komputer untuk menyelesaikan problema optimal dengan banyak variabel harus mencakup kasus dasar ini.

3.6.2 Problema Integer Tak Linier

Contoh selanjutnya adalah problema yang univariate dengan grafik fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥). Pada program integer kuadratik sederhana (Gambar 3.3 dan 3.4), dan andaikan problema dengan dua variabel bebas, dan bidang Kartesius yang memperlihatkan semua titik-titik layak problema.

Meskipun penggunaan diagram tidak bisa diterima untuk membuktikan sebuah titik, namun dimanfaatkan untuk memperjelas titik tersebut. Walaupun contoh ini sangat sederhana dan sangat mendasar namun merupakan batu loncatan yang penting untuk metode pencarian langsung pada program integer yang diberikan pada program integer yang diberikan pada tulisan ini. Ada empat titik pada diagram yakni: 1, 2, 3, 4. Titik 1 dan 4 tidak layak karena terletak di luar kendala linier. Dari diagram dapat dilihat bahwa langkah bebas pada tiap dua arah orthogonal tidak layak berdasarkan kendala linier, akan tetapi langkah gabungan terikat dapat menjadikannya layak, bahkan bisa menjadi optimal lokal.

Proses pencarian dimulai dengan membuang paksa basis simpleks variabel integer. Setelah itu, semua integer yang tidak layak harus dimasukkan pada variabel superbasis. Diagram ini harus bisa mewakili, di mana ada penambahan

pada variabel superbasis saat pengurangan ruang pencarian. Jika langkah bebas gagal seperti pada contoh ini, maka problema bisa menjadi lebih besar. Sifat kombinatorial program integer tidak dapat diabaikan, pada contoh ini bisa meningkatkan kesulitan problema.

Gambar 3.3 Langkah Bebas dan Langkah Gabungan

1 2

4 3

Pusat fungsi objektif

𝑥₁ 𝑥₂

1 4

(5,4)

𝑥₂≤ 4 𝑥₂≤ 4

𝑥₁≥ 0

𝑥₁≥ 0

𝑥₂≥ 0 𝑥₂≥ 0

𝑥1− 𝑥2≥ 1

𝑥₁− 𝑥₂≥ 1

𝑥₁≤ 5 𝑥₁≤ 5

4𝑥₁− 𝑥₂≤ 16

4𝑥₁− 𝑥₂≤ 16

O

Gambar 3.3 menunjukkan bahwa dengan langkah bebas terkadang tidak cukup untuk memperoleh integer layak. Pada contoh selanjutnya diperlihatkan bahwa langkah gabungan juga masih bisa gagal. Ada empat titik, dengan titik kelima sebagai penyelesaian dari relaksasi kontinu. Langkah bebas x dan y akan melanggar batas kendala, tetapi langkah „diagonal‟ akan berhasil.

Contoh Integer Kuadratik

min 𝑓 𝑥₁, 𝑥₂ = 𝑥₁− 3,4 ²+ 𝑥₂− 1,6 ² kendala 𝑥₁− 𝑥₂ ≥ 1

4𝑥₁− 𝑥₂ ≤ 16 0 ≤ 𝑥₁ ≤ 5 0 ≤ 𝑥₂ ≤ 4 𝑥₁, 𝑥₂ integer

Pada contoh ini, dapat dilihat bahwa optimum kontinu adalah 0,0 pada 𝑥₀^∗ = 3,4 , 1,6 dan integer layak optimum adalah 𝑥₁^∗ = 4, 2 ^𝑇, dengan nilai tujuan sama dengan 0,52. Integer optimum dapat diperoleh dengan proses heuristik pada penyelesaian kontinu. Daerah layak diperlihatkan pada Gambar 3.4 dengan tdana asterisk sebagai penyelesaian kontinu, dan noktah bulat sebagai titik layak. Selalu ada optimum lokal kedua pada 𝑥₂ = 3, 1 ^𝑇 dengan nilai tujuan yang sama yaitu 0,52.

3.7 Optimisasi Global

Untuk kelas skala besar problema praktis, mustahil untuk melakukan minimisasi global, walaupun pada sejumlah kasus dapat dilakukan-Ratschek dan Rokne (1988). Problema optimisasi pada dunia nyata merupakan optimisasi global yakni gabungan diskrit dan kontinu, tak linier, multivariate dan tidak konveks, dan tentunya ini merupakan problema yang paling sukar untuk diselesaikan secara matematikal. Untungnya telah dilakukan beberapa kemajuan dengan memanfaatkan model yang sederhana dan bentuk problema yang khusus.

Terutama pengembangan aritmatik interval dan analisis interval oleh Moore (1996), Mohd (1986), Ratschek dan Rokne (1988).

4.0

3.0

1.0 2.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

x X2

X1

Gambar. 3.4 Contoh Integer Kuadratik

Beberapa pengembangan metode optimisasi mencoba meniru proses alam.

Misalnya pendekatan simulasi annealing atau juga pendekatan evolusi yang dikenal dengan algoritma genetik.

Teknik simulasi annealing lebih menjanjikan untuk problema optimisasi global. Pada tahap lebih awal, metode mengijinkan kemerosotan lokal fungsi tujuan (dikurangi secara berkala) dengan harapan bahwa lokal akan menghasilkan ruang yang lebih luas lagi. Ulasan simulasi annealing oleh Press et al. (1988), dengan metode kode FORTRAN dan Pascal pada traveling salesman. Simulasi annealing lebih populer dan menjadi bagian dari heuristik untuk problema penugasan kuadratik (Quadratic Assignment Problem-QAP). Definisi QAP merujuk pada Mawengkang dan Murtagh (1986). Khususnya Burkhard dan Rendl (1984), dan Wilhelm dan Ward (1987) melaporkan pengembangan optimal untuk beberapa problema skala besar.

Metode-metode lain yang dapat memberi penyelesaian yang lebih efisien pada problema optimisasi, semuanya dikelompokkan pada metode algoritma genetik. Ide dasarnya adalah sifat biologi, di mana kelompok gen diarahkan pada metode tertentu, dengan mutasi pada persilangan penyelesaian yang mungkin (permutasi sebagian). Penyelesaian yang dihasilkan pada tiap generasi diranking berdasarkan ukuran yang sesuai; pada kasus minimisasi, dihitung nilai fungsi tujuan dengan berbagai metode, dan kemudian diambil metode yang menghasilkan nilai tujuan yang lebih baik. Diharapkan melalui proses evolusi simulasi ini secara bertahap akan muncul penyelesaian terbaik. Artikel algoritma genetik antara lain, Morrow (1991) dan Wayner (1991). Metode genetik diaplikasikan oleh Michalewicz et al. (1990) agar dapat mengontrol problema;

secara optimal pada beberapa kasus akan lebih baik dengan menambahkan kode MINOS Murtagh dan Saundrs (1988).

3.8 Branch and Bound untuk Problema Tak Linier

Untuk menyelesaikan dasar pendekatan Branch and Bound, sejumlah buku teks dapat dirujuk; seperti Nemhauser dan Wolsey (1988) (penelitian ini paling umum untuk program integer), Murtagh (1981), dan Ravidran et al., (1987). Hampir semua program linier menggunakan metode Branch and Bound untuk menyelesaikan problema program integer linier.

Problema dasar diselesaikan sebagai program tak linier kontinu, dengan mengabaikan syarat-syarat integral. Setelah menyelesaikan masalah relaksasi, prosedur untuk mencari sebuah suboptimal tapi penyelesaian integer fisibel dari sebuah penyelesaian optimal berkelanjutan dapat ditunjukkan sebagai berikut:

Diasumsikan variabel 𝑥_𝑗, 𝑗 ∈ 𝐽 pada penyelesaian optimal bukan integer layak.

Persamaan (3.1) dibentuk:

𝑥_𝑗 = 𝑥_𝑗 + 𝑓_𝑗, 0 ≤ 𝑓_𝑗 < 1 3.1

di mana 𝑥_𝑗 adalah komponen integer 𝑥_𝑗, penyelesaian kontinu, dan 𝑓_𝑗 adalah komponen bagian yang kecil.

Pendekatan dilakukan dengan membentuk dua subproblema baru dengan menambahkan batas

𝑙_𝑗 ≤ 𝑥_𝑗 ≤ 𝑥_𝑗 3.2

dan

𝑥_𝑗 + 1 ≤ 𝑥_𝑗 ≤ 𝑢_𝑗 3.3

untuk variabel 𝑗 ∈ 𝐽. Proses ini disebut pencabangan. Salah satu dari subproblema baru ini disimpan dalam daftar utama yang nanti akan diselesaikan, sementara subproblema yang lainnya adalah sebagai problema kontinu. Hal itu menunjukkan pendekatan depth-first pada branch and bound. Strategis lain dengan menggunakan heuristik untuk memilih subproblema mana yang akan diselesaikan terlebih dahulu. Proses pencabangan dan penyelesaian deretan problema kontinu, diulang untuk variabel integer 𝑗 ∈ 𝐽 yang berbeda, dan untuk integer 𝑥_𝑗 yang berbeda. Logika metode ini sering disajikan dalam bentuk tree. Tiap node dari tree mewakili satu penyelesaian subproblema. Pencabangan pada node berakhir jika satu dari ketiga kriteria berikut dipenuhi:

Pengakhiran kriteria untuk branch and bound

1. Subproblema tidak mempunyai penyelesaian layak

2. Penyelesaian dari subproblema tidak lebih baik dari penyelesaian layak integer yang sebelumnya

3. Penyelesaian adalah integer layak

Manfaat pendekatan branch and bound adalah pasti tersedia batas atas maupun batas bawah pada penyelesaian integer terbaik yang mungkin. Asumsikan fungsi tujuan minimum, batas atas diperoleh dari penyelesaian integer layak terbaik saat ini, dan batas bawah diberikan dari penyelesaian terbaik integer parsial dari subproblema lainnya. Biasanya proses branch and bound berakhir jika beda di antara dua batas ini berada pada toleransi relatif yang ditetapkan.

Secara umum, prosedur dipengaruhi oleh pemilihan variabel 𝑗 ∈ 𝐽 yang akan dicabangkan. Dan juga pada pilihan node yang dilakukan secara mundur, satu pencabangan node tertentu adalah diskontinu.

Untuk program integer tak linier, asumsikan problema adalah konveks lokal, setidaknya pada neighbourhood penyelesaian kontinu yang memiliki penyelesaian layak integer. Sebaliknya, batas yang dibahas di atas tidaklah cukup.

Tidak bisa mengakhiri pencabangan dengan dua kriteria pengakhiran di atas, dan juga tidak bisa mengakhiri prosedur jika beda antara dua batas masih cukup kecil (Gambar 3.5).

Gambar 3.5 Diagram Alir dari branch and bound Problema Nonlinier-

relaksasi-0 𝐿𝐵⁰

Problema Nonlinier –

relaksasi -1 𝐿𝐵¹(𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖)

Problema Nonlinier - relaksasi -2 𝐿𝐵⁰ ≤ 𝐿𝐵²

Problema Nonlinier - relaksasi -3 𝐿𝐵² ≤ 𝐿𝐵³

Tidak Layak

(𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖)

Problema Nonlinier -

relaksasi -5 𝐿𝐵¹≥ 𝐿𝐵⁵ (𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖)

Problema Nonlinier -

relaksasi -4 𝐿𝐵¹≤ 𝐿𝐵⁴

3.9 Pendekatan pada Optimisasi Tanpa Kendala

Problema umum minimisasi tak linier tanpa kendala dapat ditulis sebagai berikut:

min ( )

x Rn F x



𝒙 ∈ 𝑹^𝒏

Model yang digunakan yakni fungsi tujuan kuadratik dengan n variabel dan uji sederhana algoritma untuk menyelesaikan problema pada skala besar. Beberapa algoritma untuk optimisasi tanpa kendala harus berbentuk kuadratik, hingga semua fungsi mulus adalah fungsi kuadratik dari optimum lokal mulus pada neighbourhood yang cukup kecil. Dua teorema dasar pengembangan metode

minimisasi tanpa kendala adalah teorema Taylor:

𝐹 𝑥 + 𝑝 = 𝐹 𝑥 + 𝑔 𝑥 ^𝑇𝑝 +¹

2𝑝^𝑇𝐻 𝑥 + 𝜃𝑝 3.4 dan teorema nilai rata-rata:

𝑔 𝑥 + 𝑝 = 𝑔 𝑥 + 𝐻(𝑥 + 𝜃𝑝) 3.5

dengan

𝐹(𝑥) adalah fungsi kuadrat,

𝐻 𝑥 + 𝜃𝑝 adalah matriks Hessian dari turunan kedua parsial, 𝑔(𝑥) adalah vektor gradiant,

𝜃 adalah skalar dan

𝑝 adalah perobahan nilai 𝑥.

Pada persamaan (3.4) dan (3.5) di atas berlaku 0 < 𝜃 < 1.

Diasumsikan bahwa F diturunkan dua kali yakni pada vektor gradient 𝑔(𝑥) dan pada matriks Hessian 𝐻(𝑥), berikut diberikan elemennya:

2

( ) ( )

( ) ( )

j

j

ij

i j

G x F x

x H x F x

x x







 

Digunakan matriks Hessian dengan positif definite untuk memperoleh minimum lokal. Khususnya untuk fungsi kuadratik, matriks Hessian H adalah konstan. Agar fungsi tujuan cukup mulus, syarat perlu pada problema minimum tanpa kendala adalah 𝑔 𝑥^∗ = 0 dan 𝐻(𝑥^∗) ≥ 0. Syarat cukup untuk minimum adalah 𝑔 𝑥^∗ = 0 dan 𝐻(𝑥^∗) > 0. Notasi 𝐻(𝑥^∗) > 0 menyatakan syarat positif definite matriks Hessian pada turunan parsial. Syarat positif definite berikut semuanya adalah equivalent:

Hessian Positif Definit 1. 𝑥^𝑇𝐻𝑥 > 0; ∀𝑥 ≠ 0.

2. H memiliki spectrum positif (nilai eigen).

3. Lagrange 𝐿𝐿^𝑇 (Cholesky) faktor H dengan elemen diagonal 𝐿, 𝐿_𝑖𝑖 > 0.

4. Semua pengalian eliminasi Gauss tanpa pivoting adalah positif (baris dan kolom dipertukarkan).

5. Semua principal minor H positif.

3.10 Pendekatan pada Optimisasi dengan Kendala-Syarat Kuhn-Tucker Selanjutnya diringkas beberapa materi dari Gill et al. (1981). Kuhn dan Tucker (1951), menemukan syarat kendala untuk titik optimal fungsi f tak linier. Syarat

Kuhn-Tucker yang begitu terkenal tersebut disajikan untuk bermacam kelas problema optimisasi dengan kendala kontinu.

Teknik tradisional dengan menggunakan pengali Lagrange secara teori tetap yang terbaik, dan paling banyak digunakan untuk latihan pada metode analitik maupun numerik.

3.10.1 Kendala Persamaan Tak Linier

Problema dengan kendala persamaan tak linier NEP (Nonlinear Equality- Constrained Problem) :

NEP

min ( )

x Rn

 F x

kendala 𝜕_𝑖 𝑥 = 0, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑡

Jika pada kasus linier semua kendala pasti linier, tentu tidak demikian jika pada kasus tak linier. Secara umum tidak ada arah layak p seperti 𝜕_𝑖 𝑥^∗+ 𝛼 + 𝛼𝑝 = 0 untuk semua 𝛼 yang cukup kecil. Untuk mempertahankan kelayakan maka harus bergerak ke suatu arah. Suatu arah dapat lebih terarah dengan persamaan 𝑥 = 𝛼(𝜃) di mana 𝛼 0 = 𝑥^∗. Selanjutnya p adalah tangent pada arah ini di 𝑥^∗. Syarat perlu untuk 𝑥^∗ optimal adalah 𝐴 _𝑖 𝑥^{∗ 𝑇}𝑝 = 0, ∀𝑖 yang equivalen dengan

𝐴 ^𝑇𝑝 = 0

𝐴 adalah matriks Jacobian dari kendala-kendala, yang diperoleh dari

i ij

i

a c x





Vektor p yang menjadi orthogonal pada baris Jacobian di 𝑥^∗ bukanlah syarat cukup untuk p menjadi tangent pada arah layak. Diperlihatkan pada dua kendala berikut:

𝜕₁ 𝑥 = 𝑥₁− 1 ²+ 𝑥₂²− 1

𝜕₂ 𝑥 = 𝑥₁+ 1 ²+ 𝑥₂²− 1

Awalnya hanya titik layak. Tetapi beberapa vektor yang berbentuk 𝒑 = 0, 𝜕 ^𝑇 menjadi syarat cukup untuk sifat orthogonal Jacobian.

Kendala yang dipakai harus tegas untuk menjamin sebagai p tangent pada arah layak. Asumsi selanjutnya dapat mengatasi kesulitan karena adanya kendala, dan dapat dibuat dalam beberapa bentuk. Salah satu adalah kendala gradient di 𝑥^∗ yang bebas linier. Hal ini equivalent dengan pernyataan bahwa matriks 𝐴 (𝑥^∗) memiliki tingkat baris yang penuh.

Agar 𝑥^∗ optimal, F harus stasionary sepanjang arah layak.

∇𝐹 α(θ) _𝜃=0= 0 dengan

𝐴 ^𝑇𝒑 = 𝑜

Jika 𝑍(𝑥^∗) adalah matriks yang kolomnya membentuk basis untuk nullspace dari 𝐴 , yaitu himpunan dari vektor orthogonal ke baris 𝐴 , maka diperoleh:

𝑍 𝑥^{∗ 𝑇}𝑔 𝑥^∗ = 0

Syarat ini analog pada syarat kasus kendala linier, kecuali matriks Z sudah tidak konstant lagi. Vektor 𝑍 𝑥^{∗ 𝑇}𝑔 𝑥^∗ mengakhiri projected gradient dari F di 𝑥^∗.

Seperti sebelumnya syarat bahwa projected gradient nol di 𝑥^∗, adalah equivalent dengan syarat 𝑔(𝑥^∗) kombinasi linier dari baris 𝐴 (𝑥^∗),

di mana

𝑔 𝑥^∗ = 𝐴 𝑥^{∗ 𝑇}^∗

untuk beberapa vektor 𝒕 dari pengali Lagrange ^∗.

Fungsi Lagrange dapat ditulis sebagai berikut:

𝐿 𝑥 , = 𝐹 𝑥 −^𝑇𝑐 (𝑥)

Syarat perlu untuk 𝑥^∗ optimal yang selanjutnya dituliskan sebagai 𝑥^∗ adalah titik stasionary dari Lagrange di mana  = ^∗. Untuk order kedua syarat perlu diperoleh Hessian dari Lagrangian

𝑊 𝑥, ≡ 𝐺 𝑥 − ^t_i=1_iG_i𝑥 3.6

Untuk menyelesaikan persamaan (3.6) diperlukan syarat tambahan

𝒑^𝑇𝑊 𝑥^∗,^∗ 𝒑 ≥ 0 3.7

Persamaan (3.7) equivalent dengan (3.8)

𝑍 𝑥^{∗ 𝑇}𝑊 𝑥^∗,^∗ 𝑍 𝑥^∗ = 0 3.8 Ini projected Hessian dari fungsi Lagrange.

NEP-syarat perlu untuk minimum

𝑐 𝑥^∗ = 0 𝑍 𝑥^{∗ 𝑇}𝒈 𝑥^∗ = 0

𝒈 𝑥^∗ = 𝐴 (𝑥^∗)^𝑇^∗ 𝑍 𝑥^{∗ 𝑇}𝑊 𝑥^∗,^∗ 𝑍(𝑥^∗) ≥ 0

Syarat kedua dan ketiga adalah equivalent, dan memperjelas pertidaksamaan pada proyek Hessian dari Lagrange pada persamaan sebelumnya mengarahkan pada syarat cukup untuk kendala minimum.

𝑍 𝑥^{∗ 𝑇}𝑊 𝑥^∗,^∗ 𝑍 𝑥^∗ > 0

3.10.2 Kendala Pertidaksamaan Tak Linier

Dengan problema berikut:

NIP (Nonlinear Inequality-constrained Problem)

min_n ( )

x R F x



kendala

𝑐 _𝑖 𝑥 ≥ 0, 𝑖 = 1, . . . , 𝑚

Kendala aktif harus diidentifikasi. Kendala ini dapat membatasi gangguan di 𝑥^∗. Asumsikan kembali qualifikasi kendala yang ada. Syarat-syarat diberikan berikut ini.

NIP-syarat perlu untuk minimum

𝑐 𝑥 > 0 dengan 𝑐 𝑥^∗ = 0 𝑍 𝑥^{∗ 𝑇}𝒈 𝑥^∗ = 0

𝒈 𝑥^∗ = 𝐴 𝑥^{∗ 𝑇}^∗

_𝑖^∗ ≥ 0, 𝑖 = 1, . . . , 𝑡 𝑍 𝑥^{∗ 𝑇}𝑊 𝑥^∗,^∗ 𝑍(𝑥^∗) ≥ 0

Pengali nol Lagrange menjadi syarat cukup untuk NIP. Pertama tentukan himpunan syarat cukup untuk NIP yang mengabaikan problema dengan asumsi semua pengali Lagrange adalah positif.

NIP-syarat cukup untuk minimum

𝑐 𝑥 > 0 dengan 𝑐 𝑥^∗ = 0 𝑍 𝑥^{∗ 𝑇}𝒈 𝑥^∗ = 0

𝒈 𝑥^∗ = 𝐴 𝑥^{∗ 𝑇}^∗ _𝑖^∗ ≥ 0, 𝑖 = 1, . . . , 𝑡

𝑍 𝑥^{∗ 𝑇}𝑊 𝑥^∗,^∗ 𝑍(𝑥^∗) ≥ 0

Jika ada pengali nol Lagrange, maka hambatan pada matriks Hessian fungsi Lagrange merupakan syarat cukup untuk menjamin F menunjukkan kurva positif terikat pada arah layak untuk semua kendala dengan pengali Lagrange. Untuk kendala dengan pengali nol Lagrange bisa terikat ataupun tidak terikat. Dan andaikan 𝐴 ₊(𝑥^∗) mengadung koefisien kendala aktif dengan pengali positif Lagrange dan andaikan 𝑍₊(𝑥^∗) sebagai matriks kolom yang merentang nullspace dari 𝐴 ₊(𝑥^∗). Pada kasus ini, syarat cukup untuk 𝑥^∗ menjadi minimum lokal kuat untuk NIP sebagai berikut:

NIP-alternatif syarat cukup untuk minimum

𝑐 𝑥 > 0 dengan 𝑐 𝑥^∗ = 0 𝑍 𝑥^{∗ 𝑇}𝒈 𝑥^∗ = 0

𝒈 𝑥^∗ = 𝐴 𝑥^{∗ 𝑇}^∗ _𝑖^∗ ≥ 0, 𝑖 = 1, . . . , 𝑡 𝑍₊ 𝑥^{∗ 𝑇}𝑊 𝑥^∗,^∗ 𝑍₊(𝑥^∗) ≥ 0

3.11 Algoritma yang Tersedia untuk Optimisasi Tak Linier Kontinu

Secara umum, metode perbandingan lebih buruk dari metode yang menggunakan turunan. Metode perbandingan digunakan hanya jika turunannya sangat sulit untuk dihitung, tidak nyata atau tidak mungkin sama sekali. Untuk problema dengan fungsi tujuan tak mulus, satu-satunya yang bisa dipakai adalah metode fungsi perbandingan Gill et al. (1981).

3.11.1 Metode 1-Dimensi

Beberapa metode standard untuk fungsi minimisasi dengan variabel tunggal dibagi menjadi dua yakni: metode Brent dengan pencarian Fibonacci, pencarian golden section, interpolasi kuadratik, dan metode Newton (1981). Penelitian awal

Brent (1973) untuk implementasi modern pada FORTRAN dan Pascal dapat ditemukan di Press et al. (1988). Pada metode Newton dapat digunakan turunan pertama dan kedua, sementara teknik lainnya hanya menggunakan nilai fungsi.

3.11.2 Model Skema Algoritma Descent (Tanpa Kendala)

Spesifikasi umum terhadap metode descent pada minimisasi kendala linier yang membangun nullspace matriks Z dan garis pencarian subalgoritma. Gambar 3.5 memberikan detailnya.

Catatan:

1. Algoritma ini menjaga sifat layak.

2. 𝑝_𝑘 akan menjadi arah descent, yakni 𝑔_𝑘^𝑇𝑍𝑝_𝑘 < 0 k: = 0;

x0: = feasible initiale estimate;

converged:=  f(x) <

givingup:=false

while not (converged or givingup)

compute px (*search direction*) px: = Zpx

compute k such that F(xk + kpk) < F(xk) xk+1: = xk + kpk (*line search*)

k: = k+1 (*update soln vector*)

givingup:=(k > maxiterations) endwhile

Gambar 3.5 Skema Descent