PENERAPAN METODE BRANCH AND BOUND DALAM PENYELESAIAN MASALAH PADA INTEGER PROGRAMMING

(1)

89 PENERAPAN METODE BRANCH AND BOUND DALAM PENYELESAIAN

MASALAH PADA INTEGER PROGRAMMING

Havid Syafwan

Program Studi Manajemen Informatika AMIK Royal Kisaran

Email : havid_syafwan@yahoo.com

Abstract

In this study will be discussed settlement of integer programming problem that is part of a linear programming problem, where the decision variables must be an integer. In this study, the completion of integer programming problems using branch and bound the first change integer programming problem to a linear programming form, then used the simplex method to solve the linear programming problem.

Kata kunci : Integer Programming, Linier Programing, Branch and Bound Methode, Simpleks Methode.

1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Pemrograman linier adalah salah satu teknik analisis dari kelompok teknik riset operasi yang memakai model matematika. Tujuannya adalah untuk mencari, memilih, dan menentukan alternatif yang terbaik dari antara sekian alternatif layak yang tersedia. Dikatakan linier karena peubah-peubah yang membentuk model pemrograman dianggap linier. Pemrograman linier pada hakekatnya merupakan suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan masalah, kemudian dipilih mana yang terbaik diantaranya dalam menyusun strategi dan langkah-langkah kebijakan lebih lanjut tentang alokasi sumberdaya dan dana yang terbatas guna mencapai tujuan atau sasaran yang diinginkan secara optimal.

Dalam pemrograman linier variabel keputusan dan kendala dibatasi bilangan riil, namun seringkali suatu keputusan menginginkan variabel berupa bilangan bulat agar keputusan menjadi realistik, misalnya dalam penghitungan produksi sebuah perusahan manufaktur, karena perusahaan tidak dapat memproduksi produknya dalam bentuk setengah jadi. Misal perusahaan perakitan mobil tidak bisa merakit 7,6 mobil A dan 3,5 mobil B perhari, tetapi akan lebih realistik jika perusahaan bisa merakit 7 mobil A dan 3 mobil B perhari. Untuk menyelesaikan masalah ini digunakan pemrograman integer (Integer

Programming) yang merupakan bentuk lain dari

pemrograman linier [2].

Integer Programming adalah suatu Pemrograman Linier dengan tambahan persyaratan bahwa semua atau beberapa variabel bernilai bulat

nonnegative [9]. Ada beberapa metode yang bisa

digunakan untuk mendapatkan solusi terhadap masalah Integer Programming yaitu: pendekatan pembulatan, metode grafik, Cutting Plane serta

Branch and Bound [9].

Metode Branch and Bound telah menjadi kode komputer standar untuk integer programming, dan penerapan-penerapan dalam praktik menyarankan bahwa metode ini lebih efisien dibanding pendekatan Gomory (Cutting Plane). Metode ini dapat diterapkan baik untuk masalah pure maupun mixed

integer programming [9].

Masalah penjadwalan pada mesin paralel diformulasikan sebagai program integer campuran (mixed integer Programming). Mixed integer

Programming ini dapat digunakan secara optimal

untuk menyelesaikan masalah minimisasi waktu penyelesaian maksimum pada mesin paralel. Akan tetapi, ketika jumlah mesin dan pekerjaan bertambah banyak, mixed integer programming menjadi terlalu besar untuk dipecahkan dalam waktu yang terbatas. Oleh karena itu, algoritma branch and bound dikembangkan untuk menyelesaikan permasalahan ini dengan lebih efisien untuk jumlah mesin dan pekerjaan yang besar [3].

(2)

90

sehingga total waktu penyelesaian minimum. Sehingga berdasarkan pembahasan pada contoh kasus ini dapat diperoleh pengertian yang berguna dalam penyelesaian permasalahan optimisasi Diskrit atau Kombinatorik lain secara lebih efektif dengan menggunakan metode Branch & Bound [1].

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan yang dihadapi dalam penelitian ini adalah bagaimana penyelesaian persoalan integer

programming dengan menggunakan metode Branch and Bound?

Pada penelitian ini, batasan persoalan integer

programming dalam tulisan ini ditetapkan dua

variabel.

1.3 Tujuan

Tujuan dari penulisan ini adalah untuk menunjukkan bagaimana menyelesaikan masalah

Integer Programming dengan menggunakan metode Branch and Bound.

2. METODE PENELITIAN 2.1 Pemrograman Linier

Pemrograman linier adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis dimana analisisnya menggunakan model matematis dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan optimum terhadap persoalan [4].

Suatu fungsi dari

adalah fungsi linier jika dan hanya jika

untuk sejumlah himpunan konstanta

berlaku :

. Untuk sembarang fungsi linier

dan sembarang bilangan b maka

ketidaksamaan dan

adalah ketidaksamaan linier. Persoalan Pemrograman linier adalah suatu persoalan optimasi yang melakukan hal-hal berikut ini [6] :

1. Memaksimumkan atau meminimumkan sebuah fungsi linier dari variabel keputusan.

2. Nilai dari variabel-variabel keputusan harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus merupakan persamaan linier atau ketidaksamaan linier.

3. Suatu pembatas tanda dikaitkan dengan setiap variabel. Untuk setiap , pembatas tanda akan menunjukkan apakah harus nonnegative ( ) atau tidak terbatas dalam tanda. Dalam membangun suatu model pemrograman linier digunakan karakteristik-karakteristik sebagai berikut :

1. Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat.

2. Fungsi tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan.

3. Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga tidak dapat ditentukan nilai-nilai variabel keputusan secara sebarang.

4. Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel keputusannya diasumsikan hanya bernilai nonnegatif atau variabel keputusan tersebut bernilai positif, boleh juga bernilai negatif (tidak terbatas dalam tanda).

Bentuk umum model pemrograman linier [4]: Fungsi tujuan : Z = Kendala : 2.2 Pemrograman Integer

Pemrograman integer (Integer

Programming/ IP) adalah sebuah pemrograman linier

dengan persyaratan tambahan bahwa semua variabelnya merupakan bilangan-bilangan bulat (integer).

Bentuk umum dari model persoalan Pemrograman Integer diformulasikan sbg :

Fungsi tujuan : Z = Kendala : dimana : integer

Model Pemrograman Integer terbagi dalam 3 bentuk [9], yaitu:

a. Jika semua variabel bernilai integer (bulat positif) dinamakan All Integer Programming. b. Jika variabel-variabel tertentu bernilai integer

dinamakan Mixed Integer Programming.

c. Jika variabel bernilai nol atau satu dinamakan

(3)

91

2.3 Metode Penyelesaian Pemrograman Integer

Metode penyelesaian persoalan pemrograman integer diawali dengan menggunakan metode simpleks. Penyelesaian optimal yang dihasilkan dengan metode ini mungkin tidak integer. Kesulitan ini telah mengarahkan para peneliti untuk mencari cara-cara lain untuk menyelesaikan masalah tersebut. Salah satu cara pendekatannya adalah menyelesaikan model tersebut sebagai sebuah pemrograman linier yang kontinu dan kemudian membulatkan penyelesaian optimal ke nilai integer terdekat yang layak. Tetapi, tidak terdapat jaminan bahwa penyelesaian yang dibulatkan itu akan memenuhi batasan/kendala [11].

Prosedur penyelesaian masalah-masalah Pemrograman linier dapat diringkaskan dalam tiga langkah, yaitu [7] :

1. Abaikan batasan integer dari Pemrograman Integer maka Pemrograman Integer dirubah ke bentuk Pemrograman Linier biasa.

2. Pecahkan model Pemrograman Linier dengan mengabaikan batasan integer yang dihasilkan dan identifikasi titik optimal (kontinu) dari Pemrograman Linier tersebut.

3. Dengan dimulai dari titik optimal kontinu, tambahkan batasan khusus yang secara berulang-ulang untuk mendapatkan titik ekstrim (koordinat titik sudut) optimal dari model Pemrograman Linier yang dihasilkan untuk mendekati ke arah batasan integer yang diinginkan.

Terdapat dua metode untuk menghasilkan batasan-batasan khusus yang akan diperoleh penyelesaian optimal dari masalah Pemrograman Linier relaksasi untuk mendekati ke arah penyelesaian integer yang diinginkan, yaitu Branch

and Bound dan Cutting Plane [11].

2.4 Metode Simpleks

Metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu perencanaan dasar yang layak ke pemecahan dasar yang layak lainnya, dilakukan berulang-ulang sehingga akhirnya tercapai suatu pemecahan dasar yang optimum [10].

Metode simpleks yang menggunakan tabel akan memudahkan dalam perhitungan simpleks dikenal dengan tabel simpleks, yaitu seperti terlihat pada Tabel 1 di bawah ini :

Keterangan tabel simpleks :

1. Kolom basis menunjukkan variabel yang sedang menjadi basis

2. Pada kolom cb ditulis nilai koefisien dari variabel basic yang terdapat pada fungsi tujuan.

3. Kolom cj adalah koefisien fungsi tujuan untuk

variabel ke j.

4. Kolom bi adalah koefisien sisi kanan atau right hand side (RHS) untuk kendala ke i.

5. Kolom aij adalah koefisien yang berasosiasi

dengan variabel ke j pada kendala ke i.

6. Baris Zj menunjukkan perubahan pada nilai

fungsi tujuan jika satu unit variabel aij pada

kolom j dimasukkan menjadi variabel basis. 7. Baris cj – Zj menyatakan pengaruh dari

pemasukan satu unit variabel tersebut pada nilai fungsi tujuan.

Langkah-langkah pemecahan pemrograman linier dengan metode simpleks [4] :

1. Formulasikan persoalan kedalam model linier. 2. Transformasikan model tersebut kedalam

bentuk standar dengan menambahkan variabel

slack atau mengurangi dengan variabel surplus.

3. Bentuk tabel awal simpleks berdasarkan informasi model yang telah di formulasikan. 4. Pilih variabel non basis yang memiliki nilai

positif terbesar untuk kasus maksimasi dan negatif terkecil untuk kasus minimisasi pada baris

c

_j



Z

_j menjadi variabel basis. Variabel ini menjadi kolom pivot, yaitu kolom yang berasosiasi dengan variabel basis yang masuk. 5. Pilih baris pivot yang memiliki rasio bi/aij

terkecil dimana aij 0, dimana j adalah kolom pivot. Hal ini sekaligus menunjukkan variabel

yang akan meninggalkan basis menjadi non basis.

6. Bentuk tabel berikutnya dengan memasukkan variabel yang masuk ke kolom variabel dasar dan mengeluarkan variabel yang akan meninggalkan basis dari kolom tersebut, serta lakukan transformasi baris-baris variabel. Dengan menggunakan rumus transformasi sebagai berikut :

- Baris baru selain baris pivot = baris lama – (rasio pivot baris pivot lama)

- Baris pivot baru = Keterangan : Rasio pivot =

(4)

92

bernilai negatif (untuk kasus minimasi), berarti tabel sudah optimal. Jika kriteria di atas belum terpenuhi maka diulangi mulai dari langkah ke-4, hingga terpenuhi kriteria tersebut.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Metode Branch and Bound

Branch and Bound adalah suatu pendekatan

untuk penyelesaian suatu persoalan yang didasarkan pada ide pemisahan semua penyelesaian layak terhadap suatu persoalan ke dalam subpersoalan yang lebih kecil dan sifatnya saling lepas (mutually

exclusive).

Metode Branch and Bound dimulai dengan menyelesaikan Pemrograman Linier relaksasi (mengabaikan batasan integer) dari pemrograman integer. Jika semua variabel bernilai integer pada penyelesaian optimal Pemrograman Linier relaksasi maka penyelesaian optimal untuk Pemrograman Linier relaksasi akan menjadi penyelesaian optimal untuk pemrograman integer.

Branching adalah langkah untuk membuat

dua subpersoalan Pemrograman Linier yang sesuai dengan dua pembatas yang saling lepas.

Pencabangan dilakukan dengan cara memilih salah satu variabel xr yang nilai optimal xr*

tidak memenuhi batasan integer. Masing-masing subpersoalan disebut sebagai node pohon dan garis yang menghubungkan node pohon disebut sebagai

arc pohon.

Bounding adalah langkah untuk menyelesaikan masing-masing subpersoalan dengan Pemrograman Linier relaksasi/mengabaikan batasan

integer.

Untuk masalah maksimisasi, nilai fungsi tujuan optimal relaksasi adalah batas atas dari nilai

integer optimal. Untuk masalah minimisasi, nilai

fungsi tujuan optimal relaksasi adalah batas bawah dari nilai integer optimal.

3.2 Algoritma Branch and Bound

Penyelesaian metode Branch and Bound dapat diurutkan dalam langkah-langkah berikut : Langkah 0 : mulai

Langkah 1 : Inisialisasi

a. Modelkan persoalan ke dalam pemrograman linier.

b. Tetapkan aturan pencabangan yang dipakai. Langkah 2 : Cari penyelesaian pemrogramman linier dengan mengabaikan batasan integer. Jika semua nilai variabel sudah integer maka penyelesaian optimal selesai. Jika tidak, lanjut ke langkah 3. Langkah 3 : Branching

Pilih salah satu variabel yang belum integer dan lakukan pencabangan dengan membuat dua subpersoalan yang baru.

Langkah 4 : Bounding

Lakukan penyelesaian dari masing-masing subpersoalan dengan Pemrograman Linier relaksasi.

Langkah 5 : Fathoming

Tentukan fathom atau tidaknya suatu subpersoalan. Jika belum fathom maka kembali ke langkah 3. Langkah 6 : Diperoleh nilai Z optimal

Langkah 7 : Selesai.

Diagram alir/flowchart dari langkah-langkah metode Branch and Bound adalah sebagai berikut :

Gambar 1 Diagram alir Metode Branch and Bound 3.3. Penerapan Integer Programming pada Soal

Untuk memperlihatkan penggunaan metode

Integer Programming, maka diberikan permasalahan,

yaitu :

Misalkan perusahaan alat-alat elektronik HORISON, membuat dua macam alat elektronik yang populer yaitu DVD player dan Televisi. Dua produk itu membutuhkan 2 tahap pekerjaan yaitu pengkabelan dan perakitan. Setiap DVD player membutuhkan 30 menit waktu untuk pengkabelan dan 50 menit waktu untuk perakitan. Setiap Televisi membutuhkan 20 menit waktu pengkabelan dan 60 menit waktu perakitan. Dalam 1 shift kerja, bagian produksi membatasi waktu yang disediakan untuk pengkabelan maksimum 120 menit dan untuk perakitan maksimum 300 menit. Bagi perusahaan HORISON setiap DVD player menyumbang keuntungan $7 dan setiap Televisi $6. Ringkasan data perusahaan HORISON ada pada Tabel 2

Permasalahan yang dihadapi oleh perusahaan “ HORISON” adalah berapa seharusnya produksi DVD player dan Televisi dalam satu shift kerja agar profit total perusahaan maksimal.

Penyelesaian :

(5)

93

a.

x

₁: banyaknya DVD

player yg diproduksi

b.

x

₂: banyaknya Televisi yang diproduksi

3.4 Pembuatan Model Matematis

a. Variabel Keputusan

Dalam persoalan ini keputusan memproduksi produk diwakili dengan bilangan yang memenuhi kriteria kendala.

keputusan memproduksi banyaknya DVD player

keputusanmemproduksi banyaknya Televisi

b. Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan dari persoalan ini adalah memaksimalkan profit (keuntungan), dirumuskan sebagai berikut :

maks Z =

c. Kendala

Pada persoalan ini terdapat beberapa kendala antara lain :

i. Waktu yang dibutuhkan untuk pengkabelan masing-masing produk dalam 1 shift kerja tidak boleh melebihi waktu yang tersedia. Jika ini dirumuskan sebagai berikut :

ii. Waktu yang dibutuhkan untuk perakitan masing-masing produk dalam 1 shift kerja tidak boleh melebihi waktu yang tersedia. Kendala ini dapat dirumuskan secara matematik sebagai :

3.5 Penyelesaian dengan Metode Branch and

Bound

Persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Branch and Bound dengan langkah-langkah sebagai berikut :

Langkah 1 : Inisialisasi

a. Merumuskan persoalan ke dalam pemrograman linier.

Persoalan tersebut jika dinyatakan dalam pemrograman linier akan menjadi sebagai berikut : Fungsi tujuan : Maksimumkan Z = 7

x

₁ + 6

x

₂ dengan kendala : 30

x

₁ + 20

x

₂



120 50

x

₁ + 60

x

₂



300

x

₁ ,

x

₂ bilangan bulat b. Tetapkan aturan pencabangan.

Aturan pencabangan yang dipakai yaitu aturan depth first / LIFO.

Langkah 2 : Cari penyelesaian optimal pemrograman linier relaksasi. Tahap pertama yang dilakukan adalah mencari penyelesaian optimal dengan pemrograman linier relaksasi (mengabaikan batasan integer). Untuk membantu mendapatkan penyelesaiannya, digunakan metode simpleks. Fungsi tujuan dan kendala yang telah diperoleh dapat diselesaikan dengan metode simpleks dengan menambahkan variabel slack, sehingga persamaannya menjadi :

Maksimumkan : Z = 7

x

₁ + 6

x

₂+ 0s1 + 0s2

Kendala :

30

x

₁ + 20

x

₂+ s1 = 120

50

x

₁ + 60

x

₂+ s2 = 300

x

₁ ,

x

₂, s1, s2 bilangan bulat positif Kemudian persamaan di atas dimasukkan kedalam tabel simpleks dengan menempatkan variabel slack s1, s2 sebagai variabel dasar.

Dari tabel simpleks di atas di proses dan disederhanakan, didapat bentuk tabel yang baru (iterasi 1), yaitu :

(6)

94

Langkah 3 : Branching.

Penyelesaian optimal dengan pemrograman linier relaksasi yang menghasilkan penyelesaian belum integer, disebut sebagai subpersoalan 1 (SP 1). Ambil subpersoalan 1 untuk diselesaikan. Subpersoalan ini mempunyai nilai variabel x1 dan x2

yang belum integer, karena x2 lebih jauh

menyimpang dari harga sebuah bilangan bulat (integer) dibandingkan x1, dengan demikian akan

dilakukan pencabangan variabel x2 dan membaginya

ke dalam dua subpersoalan yang baru seperti berikut ini :

Subpersoalan 2 : subpersoalan 1 + kendala x2 3

Subpersoalan 3 : subpersoalan 1 + kendala x2 4

Tampilan subpersoalan dapat dilihat pada gambar berikut :

Langkah 4 : Bounding.

Pilih salah satu subpersoalan yang akan diselesaikan. Misalkan kita memilih subpersoalan 2 (SP 2) untuk diselesaikan terlebih dahulu. Model pemrograman linier subpersoalan 2 dengan pemrograman linier relaksasi adalah sbg :Fungsi tujuan :

Maksimumkan : Z = 7

x

₁ + 6

x

₂ Kendala : 30

x

₁ + 20

x

₂ 120

50

x

₁ + 60

x

₂ 300

x

₁ ,

x

₂_{bilangan bulat positif} Subpersoalan 2 di atas diselesaikan dengan metode simpleks dengan menambahkan variabel slack, sehingga persamaannya menjadi :

Maksimumkan : Z = 7

x

₁ + 6

x

₂+ 0s1 + 0s2 + 0s3

Kendala : 30

x

₁ + 20

x

₂+ s1 = 120

50

x

₁ + 60

x

₂+ s2 = 300

x

₁ ,

x

₂, s1, s2, bilangan bulat positif Kemudian persamaan di atas dimasukkan ke dalam tabel simpleks dengan menempatkan variabel slack

s1, s2,dan s3 sebagai variabel dasar.

Dari tabel simpleks SP2 di atas di proses dan disederhanakan, didapat bentuk tabel simplek SP2 yang baru (iterasi 1), yaitu :

Dari tabel simpleks SP2 1 di atas di proses dan disederhanakan kembali, didapat bentuk tabel simplek SP2 yang baru (iterasi 2), yaitu :

Langkah 5 : Fathoming.

(7)

95

berikutnya. Tampilan subpersoalan yang telah dibuat dapat dilihat pada pohon pencarian sebagai berikut :

Walaupun telah diperoleh penyelesaian yang optimal untuk subpersoalan 2, sebaiknya dilakukan

pengecekan pada subpersoalan 3.

Langkah 4 : Bounding

Model pemrogramman linier subpersoalan 3 dengan pemrograman linier relaksasi adalah sebagai berikut :

Fungsi tujuan :

Maksimumkan : Z = 7

x

₁ + 6

x

₂ Kendala : 30

x

₁ + 20

x

₂ 120

50

x

₁ + 60

x

₂ 300

x

₁ ,

_x

₂_{bilangan bulat positif}

Subpersoalan 3 di atas diselesaikan dengan metode simpleks dengan menambahkan variabel slack dan variabel surplus, sehingga persamaannya menjadi : Maksimumkan : Z = 7

x

₁ + 6

x

₂+ 0s1 + 0s2 + 0s3

Kendala : 30

x

₁ + 20

x

₂+ s1 = 120

50

x

₁ + 60

x

₂+ s2 = 300

x

₁ ,

x

₂, s1, s2, _{bilangan bulat positif}

Kemudian persamaan diatas dimasukkan kedalam tabel simpleks dengan menempatkan variabel slack s1, s2,dan variabel surpluss3 sebagai variabel dasar.

Dari tabel simpleks awal SP3 di atas di proses dan disederhanakan kembali, diperoleh iterasi 1 dan iterasi 2. Sehingga dari proses tersebut didapat bentuk tabel simplek SP3 yang baru (iterasi 2), sbg:

Berdasarkan hasil tabel simpleks di atas diperoleh penyelesaian optimal dari subpersoalan 3 yaitu dengan Z = 33 dengan x1 = 1,5, dan x2 =3,75.

Langkah 5 : Fathoming.

Subpersoalan 3 menghasilkan penyelesaian yang tidak integer. Penyelesaian tersebut tidak menghasilkan penyelesaian yang lebih baik dari calon solusi sehingga subpersoalan ini dikatakan

fathom. Nyatakan hal ini dengan memberi tanda

silang pada subpersoalan 3.

Tampilan subpersoalan yang telah dibuat dapat dilihat pada pohon pencarian sebagai berikut :

Berdasarkan pohon pencarian di atas terlihat bahwa hasil penyelesaian optimal terbaik terjadi pada subpersoalan 2 dengan semua nilai variabel keputusan bernilai integer, yaitu Z = 32, x1 = 2 dan x2

= 3.

Dengan demikian keputusan yang diambil oleh perusahaan “HORISON” adalah memproduksi 2 unit DVD player dan 3 unit Televisi dalam satu shift kerja, sehingga dapat memberikan keuntungan kepada perusahaan sebesar $32.

4. KESIMPULAN

Metode Branch and Bound dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan Integer Programming, sehingga dapat menelusuri proses

(8)

96

DAFTAR PUSTAKA

Anonim.2009. http://reposity.

gunadarma.ac.id:8000/472/ perbandingan antara pendekatan branch and bound dengan

pemrograman linier/10 September 20 Anonim. 2009. http://www.informatika.org/~lily/integer programming/ 23 Agustus 2009 Anonim. 2009 . http://www.informatika.org/~rinaldi/matdis/200 7-2008/ makalahstmik04.pdf.10 September 2009

Aminuddin. 2005. Prinsip-Prinsip Riset Operasi. Erlangga, Jakarta

Bronson, R. 1991. Teori dan Soal-Soal Operations

Research, Erlangga, Jakarta.

Dimyati, T.T. 1994. Operation Research I:

Model-Model Pengambilan Keputusan, Cetakan

Ketiga, PT Sinar Baru Algesindo, Bandung. Garfinkel R and Nemhauser. 2002. Operation

Research II: Integer Programming Topics.

http://LN/MATH/TGY/CKC/MS/2004-05. 10 Agustus 2009

Hadisusanto. 1998. Penerapan Metode Branch and Bound Untuk Menyelesaikan Masalah Programa Bilangan Bulat (ILP). Jurnal Teknologi Industri Vol II. Institut Teknologi Surabaya

Mulyono, S. 2007. Riset Operasi, Edisi Revisi. Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta.

Supranto, J. 1980. Linear Programming Edisi Kedua. Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta.

Taha, H. A. 1996. Riset Operasi Jilid 1. Binarupa Aksara, Jakarta

Yulianto. H, dan I Nyoman. S. 2005. Riset Operasi