PENERAPAN METODE BRANCH AND BOUND (B&B)DALAM MENENTUKAN KEUNTUNGAN MAKSIMUM PENJUALAN TEMPE

(1)

Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN. 978-602-50629-0-2 299 ©Program Studi Pendidikan Matematika FKIP-UNIKU

PENERAPAN METODE BRANCH AND BOUND (B&B)DALAM

MENENTUKAN KEUNTUNGAN MAKSIMUM PENJUALAN

TEMPE

Eagar Marantika1), Heru Haerul Anwar2), Muhammad Nur Aliffuddin3), Rizal Fauzi4),Robiyana5), Ryan Agung Saputra6), Mohamad Riyadi7)

1

Pendidikan Matematika, Universitas Kuningan, ciawigebang, kuningan;

Abstrak

Penelitian bertujuan untuk menentukan keuntungan maksimum penjualan dari variasi dua jenis tempe, yaitu tempe bulat dan tempe kotak yang diproduksi oleh perusahaan tempe yang berlokasi di Desa Mekarwangi Kecamatan Lebakwangi Kabupaten Kuningan. Metode pengumpulan data yang digunakan adalah teknik pengumpulan data menggunakan observasi dan wawancara. Dengan menggunakan metode brach and bound ditemukan bahwa perusahaan tempe akan mendapatkan keuntungan maksimum jika memproduksi jenis tempe bulat sebanyak 238 buah dan jenis tempe kotak sebanyak 148 buah dalam satu hari produksi, sehingga perusahaan tempe akan mendapat keuntungan sebesar Rp 87.240,-/hari.

Kata kunci : Branch and Bound (B&B), Tempe Bulat dan Tempe Kotak, Keuntungan maksimum.

A. PENDAHULUAN

Berdagang merupakan salah satu profesi yang banyak digeluti oleh masyarakat Indonesia mulai dari masyarakat golongan atas sampai pada masyarakat golongan bawah.Menurut KBBI berdagang berasal dari kata dagang yang artinya pekerjaan yang berhubungan dengan menjual dan membeli barang untuk memperoleh keuntungan.sehingga berdagang dapat diartikan sebagai sebuah usaha untuk mendapatkan suatu keuntungan atau laba.

Ada banyak jenis usaha perdagangan yang ada di Indonesia salah satunya adalah perdagangan

tempe yang sudah menjadi usaha umum di masyarakat. Tempe merupakan salah satu jenis makanan yang sangat digemari oleh semua kalangan, mulai dari anak-anak, remaja sampai kalangan orang tua.hal ini dikarenakan selain harganya terjangkau tempe juga memiliki rasa yang sangat khas dan nikmat. Kelebihan lain dari tempe yaitu kandungan gizi yang sangat banyak seperti asam lemak, vitamin C, E, B1, B2, asam pantotenat, asam nikotinat, vitamin B6, B12, isoflavon dan kartenoid.(Wikipedia).

Tempe memiliki bantuk serta jenis yang berbeda-beda muali dari

(2)

tempe berbentuk kotak, bulat, pipih, dan berbagai variasi bentuk lainnya. Masing-masing bentuk mempengaruhi harga tempe tergantung dari berat dan ukuran yang dimilikinya. Dalam membuat tempe, pedagang tempe biasanya menggunakan neraca timbang atau alat ukur untuk mengukur berat kacang kedelai yang akan dijadikan tempe hal itu pula yang menjadi tolak ukur untuk menentukan harga tempe.

Dalam menghitung keuntungan biasanya pedagang tempe hanya melihat dari berat bahan baku kacang kedelainya saja tanpa memperhatikan bahan baku lain seperti pelastik dan ragi. Padahal masing-masing jenis tempe membutuhkan bahan baku pelastik dan ragi yang berbeda-beda. Hal ini menyebabkan adanya perbedaan keuntungan dari masing-masing jenis tempe, sehingga diperlukan sebuah metode untuk menghitung jumlah maksimal produksi tempe jenis tertentu dalam sehari agar mendapatkan keuntungan yang maksimal dari masing-masing jenis tempe yang diproduksi.

Digunakanlah metode Brach and Bound (B&B) untuk menghitung jumlah maksimal produksi tempe jenis tertentu agar pedagang tempe mendapatkan keuntungan maksimal dari variasi jenis tempe yang diproduksi.

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui bagaimana penggunaan metode Brach and Bound

(B&B) dalam menentukan jumlah produksi jenis tempe tertentu agar mendapatkan keuntungan maksimal dari penjualan masing-masing jenis tempe berdasarkan bahan baku produksinya.

Manfaat dari penelitian ini yaitu sebagai panduan dalam menentukan jumlah produksi suatu produk untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal khususnya bagi para pengusaha baik pemula ataupun yang sudah berjalan dan sebagai bahan ajar bagi mahasiswa maupun peneliti.

B. KAJIAN TEORI Branch and bound (B&B)

Salah satu metode yang dapat digunakan dalam menyelesaikan persoalan program integer (IP) adalah metode Branch and Bound. Menurut Winston (2000) metode branchand bound adalah suatu metode mencari solusi optimal dari suatu persoalan IP dengan mengenumerasi titik-titik dalam daerah fisibel dari suatu subpersoalan. Pada metode branch and bound berlaku :

1. Jika pencabangan dari suatu subpersoalan tidak diperlukan maka subpersoalan itu adalah fathomed. Ada tiga situasi yang menyebabkan suatu subpersoalan fathomed Terukur), yaitu :

a. Apabila subpersoalan itu tidak fisibel

b. Apabila subpersoalan itu memberikan solusi optimal dimana seluruh variabelnya berharga bilangan bulat

(3)

c. Apabila nilai Z optimasi untuk subpersoalan itu tidak lebih baik dari nilai Z optimal (dalam persoalan maksimal berarti nilai Z optimal dari subpersoalan itu tidak lebih besar daripada batas bawah yang telah diperoleh).

2. Suatu subpersoalan dapat diabaikan (dieliminasi dari pertimbangan selanjutnya) apabila subpersoalan itu berada dalam situasi berikut :

a. Tidak fisibel

b. Batas bawah (LB) (menyatakan nilai Z dari calon solusi terbaik) sekurangkurangnya berharga sama dengan nilai Z dari subpersoalan yang bersangkutan.

C. METODE PENELITIAN

Jenis penelitian

Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif jenis Studi kasus.

Waktu dan tempat penelitian

Penelitian ini dilakukan mulai dari bulan Juni - Juli 2017. Tempat penelitian yaitu perusahaan rumahantempe yang beralamat di desa Mekarwangi kecamatan Lebakwangi – Kuningan.

Sample penelitian

Sample penelitian ini adalah jenis tempe kotak dan jenis tempe

bulat yang di produksi setiap hari oleh perusahaan tempe milik bapak Wawan

Prosedur penelitian

Prosedur penelitian meliputi 4 langkah diantaranya sebagai beikut:

1. Selesaikan masalah program linear dengan metode biasa (simpleks) yaitu dengan bilangan real (biasa).

2. Teliti solusi optimumnya. Apabila variabel basis yang diharapkan berbentuk bilangan bulat, maka pekerjaan telah selesai. Solusi itu adalah solusi optimum. Tetapi bila solusinya bukan bilangan bulat, maka lakukan langkah selanjutnya.

3. Nilai solusi yang tidak bulat yang layak dicabangkan ke dalam sub-sub masalah, dengan tujuan untuk menghilangkan solusi yang tidak memenuhi persyaratan bilangan bulat. Pencabangan ini dilakukan dengan kendala-kendala mutually exclusive yang perlu untuk memenuhi persyaratan bulat.

4. Untuk setiap sub masalah, nilai solusi optimum kontinu (tak bulat) fungsi tujuan dijadikan sebagai batas atas. Solusi bulat terbaik menjadi batas bawah (pada awalnya ini adalah solusi kontinu yang dibulatkan kebawah). Sub-sub masalah yang mempunyai batas atas kurang dari batas bawah yang ada tidak diikut

(4)

sertakan dalam analisis selanjutnya. Suatu solusi bulat, layak adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk semua sub masalah yang dicari. Jika solusi 152 demikian ada, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan, kemudian kembali ke langkah 3.

Data dan Instrumen

Dalam penelitian ini data

dikumpulkan dengan menggunakan teknik pengumpulan data berupa interview (wawancara) dan observasi. Observasi dilakukan langsung di tempat perusahaan. Sedangkan wawancara dilakukan kepada pemilik perusahaan salah satu karyawan yang bekerja di perusahaan tempe tersebut. Dengan menggunakan instrument berupa pertanyaan-pertanyaan tersusun yang sudah disiapkan terlebih dahulu oleh tim peneliti.

Teknik analisis data

Dalam menganaliais data digunakan metode brach and bound (B&B) untuk memodelkan dan mencari solusi

optimumnya. Pada penelitian juga digunakan software aplikasi berupa Geogebra dan Lingo untuk membantu mempermudah dalam menganalisis dan mengolah data.

D. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

1. Hasil penelitian

Dalam Perusahaan Tempe Bapak Wawan memproduksi tempe setiap hari dan dalam produkisnya dibatasi oleh bahan baku yang tersedia setiap harinya. Kami ingin meneliti tentang bagaimana mendapatkan

keuntungan maksimal dari ketersediaan bahan produksi dan dilihat dari keuntungan harga penjualan setiap satu buah tempe. Kami melakukan sebuah survei langsung ke Perusahaan Bapak Wawan dan diperoleh data sebagai berikut :

Kemudian kami ubah bentuk di atas menjadi :

Max Z = 180 𝑥₁ + 300 𝑥₂

s.t 216 𝑥1 + 328 𝑥2 ≤ 100.000

0,06𝑥1 + 0,24 𝑥2 ≤ 50

𝑥₁ , 𝑥₂ ≥ 0

Selanjutnya dengan menggunakan metode grafik kita mendapatkan hasil yang maksimal

Table. 1 Pemodelan data Bahan

Baku

Jenis Tempe Ketersediaan/ hari Tempe Bulat/buah Tempe Kotak/buah

Kedelai 216 gram 328 gram 100.000 gram

Ragi 0,06 gram 0,24 gram 50 gram

(5)

Table 2. Hasil perhitungan metode grafik

Solusi Max Z = 180 𝑥1 + 300 𝑥₂ (0,0) 180(0) + 300(0) = 0 (462,9 , 0) 180(462,9) + 300(0) = 83.322 (0, 208,3) 180(0) + 300(208,3) = 62.490 (236,6 , 149,2) 180(236,6) + 300(149,2) = 42.588 + 44.760 = 87.348 (Max)

Dari data tabel di atas yang memperoleh keuntungan maksimal yaitu Rp. 87.348 ,- di titik solusi (236,6 , 149,2)

Dalam produksi barang sebaiknya berbentuk bilangan bulat, dari data di atas apabila kita sembarangan membulatkan akan mendapatkan hasil sebagai berikut

Tabel 3.Hasil pembulatan

Pembulatan Max Z = 180 𝑥1 +

300 𝑥₂

(237, 149) 180(237) + 300(149) = 42.660 + 44700 = 87.360 Tetapi menggunakan pembulatan

secara sembarangan menghasilkan solusi yang tidak layak karena melebihi kapasitas ketersediaan barang

216 𝑥₁ + 328 𝑥₂ ≤ 100.000 216 (237) + 328 (149) ≤ 100.000 51192 + 48872 ≤ 100.000

100064 ≤ 100.000 (Tak Layak)

Untuk mendapatkan hasil yang maksimal bisa menggunakan solusi bilangan bulat dengan metode Branch and Bound dan penyelesaian dengan program komputer. Namun disini menggunakan metode Branch and Bound.

Dalam metode Branch and Bound ada beberapa langkah yang harus dilakukan

1. Selesaikan masalah program linear dengan metode biasa (simpleks) yaitu dengan bilangan real (biasa)

2. Teliti solusi optimumnya. Apabila variabel basis yang diharapkan berbentuk bilangan bulat, maka pekerjaan telah selesai. Solusi itu adalah solusi optimum. Tetapi bila solusinya bukan bilangan bulat, maka lakukan langkah selanjutnya.

3. Nilai solusi yang tidak bulat yang layak dicabangkan ke dalam sub-sub masalah, dengan tujuan untuk

(6)

menghilangkan solusi yang tidak memenuhi persyaratan bilangan bulat. Pencabangan ini dilakukan dengan kendala-kendala mutually exclusive yang perlu untuk memenuhi persyaratan bulat. 4. Untuk setiap sub masalah, nilai

solusi optimum kontinu (tak bulat) fungsi tujuan dijadikan sebagai batas atas. Solusi bulat terbaik menjadi batas bawah (pada awalnya ini adalah solusi kontinu yang dibulatkan kebawah). Sub-sub masalah yang mempunyai batas atas kurang dari batas bawah yang ada tidak diikut sertakan dalam analisis selanjutnya. Suatu solusi bulat, layak adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk semua sub masalah yang dicari. Jika solusi demikian ada, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik

dipilih untuk dicabangkan, kemudian kembali ke langkah 3. Dalam produksi tempe dengan menggunakan metode grafik mendapatkan solusi dengan variabel berbentuk bukan bilangan bulat sehingga dapat menggunakan metode Branch and Bound.

Masalah Produksi Tempe Bulat dan Tempe Kotak

Max Z = 180 𝑥₁ + 300 𝑥₂

s.t 216 𝑥₁ + 328 𝑥₂ ≤ 100.000 0,06𝑥1 + 0,24 𝑥2 ≤ 50

𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0

Dengan menggunakan metode simpleks biasa atau metode grafik didapatkan hasil

𝑥1 = 236, 6

𝑥₂ = 149, 2 𝑍 = 87.348

Dari data di atas variabel 𝑥₁ dan 𝑥₂ tidak bulat maka dapat dilakukan pencabangan perhatikan grafik dibawah

(7)

Masalah Diatas dapat dicabangkan menjadi beberapa masalah

Bagian 1 𝑥₁ ≤ 235 𝑥₂ ≤ 148 𝑥₁, 𝑥₂ ≥0

Gambar 2.Bagian 1

Pada bagian 1 dapat menghasilkan batas bawah ( 235, 148 ) dengan max Z = 180(235) + 148(148) = 42.300 + 44.700 = 86.700 jadi keuntungan maksimal sebesar Rp. 86.700,- Bagian 2 𝑥1 ≥ 238 𝑥₂ ≥ 0 216 𝑥₁ + 328 𝑥₂ ≤ 100.000

Gambar 3.Grafik bagian 2

Pada bagian 2 dapat menghasilkan batas atas dengan (238, 148) dengan max Z = 180(238) + 148(148) = 87.240 jadi keuntungan maksimal sebesar Rp. 87.240,- Bagian 3 𝑥₁ ≥ 0 𝑥2 ≥ 150 0,06𝑥1 + 0,24 𝑥2 ≤ 50

Gambar 4.Grafik bagian 3

Pada bagian 3 menghasilkan batas atas (233,150) dengan max Z = 180(233) + 300(150) = 86.940 jadi keuntungan maksimal sebesar Rp. 86.940,- dan (0,200) yang memberikan max Z = 180(0) + 300(200) = 60.000 jadi keuntungan maksimal sebesar Rp. 60.000,-

Jadi diperoleh dari bagian1,2 dan 3 diperoleh solusi optimal dengan menggunakan metode bilangan bulat diatas pada titik(238, 148) dengan keuntungan maksimal sebesar Rp. 87.240,-

Tabel 4. Pembagian daerah batasan Bagian 1 Bagian 2 Bagian 3

𝑥1 ≤ 235 𝑥₂ ≤ 148 𝑥₁, 𝑥₂ ≥0 𝑥1 ≥ 238 𝑥₂ ≥ 0 216 𝑥₁ + 328 𝑥₂ ≤ 100.000 𝑥1 ≥ 0 𝑥₂ ≥ 150 0,06 𝑥₁ + 0,24 𝑥₂ ≤ 50

(8)

Dalam buku Riset Operasi, Hamdy A Taha, hal 329 edisi ke lima, kita sekarang dapat meringkaskan langkah-langkah algoritma B&B. Dengan asumsi masalah maksimasasi, definisikan z sebagai batas bawah dari pemecahan ILP integer yang optimum. Pada awalnya, tetapkan z = −∞ dan i=0.

Langkah 1 : Ukur/ Batasi. Pilih LPi sebagai bagian masalah berikutnya untuk diteliti.Pecahkan LPi dan coba ukur bagian masalah itu dengan menggunakan kondisi yang sesuai.

a. Jika LPi terukur (pemecahan inferior, tidak layak atau integer), perbarui batas bawah z jika pemecahan ILP yang lebih baik ditemui; jika tidak, pilih bagian masalah baru i dan ulangi langkah 1. Jika semua bagian masalah telah diteliti, hentikan ; ILP optimum berkaitan dengan batas bawah z terakhir, jika ada. Jika tidak. b. Jika LPI tidak terukur,

lanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan percabangan LPi. Langkah 2 : percabangan. Pilih salah satu variabel xj yang nilai optimumnya

𝑥_𝑗∗dalam pemecahan LPi tidak

memenuhi batasan integer. Singkirkan bidang [𝑥_𝑗∗]< xj< [𝑥𝑗∗] + 1 (dimana [A]

mendefinisikan integer terbesar ≤ A) dengan membuat dua bagian masalah LP yang berkaitan dengan dua batasan yang tidak dapat dipenuhi secara bersamaan ini

xj≤ [𝑥𝑗∗] dan xj≥ [𝑥𝑗∗] + 1

kembali ke langkah 1

karena pemecahan LP optimum pada produksi tempe bulat dan tempe kotak di perusahaan Bapak Wawan tidak memenuhi persyaratan integer (z = 87.348, x1 = 236,3 ,x2 = 149,2).

Pertama kita memilih salah satu variabel yang nilainya saat ini dalam pemecahan LP0 optimum melanggar persyaratan integer tersebut. Dengan memilih x1 = 236,6 secara sembarang,

kita mengamati bahwa bidang ( 236 < x1< 237) dimana x1 disebut sebagai

variabel percabangan, yang intinya adalah setara dengan mengganti ruang LPO semula dengan dua ruang LP, LP1 dan LP2 yang didefinisikan sebagai berikut :

Ruang LP1 = ruang LP0 + (x1≤

236)

Ruang LP2 = ruang LP0 + (x1≥ 237)

(9)

Gambar 5. Ruang LP1 dan LP2 Kita memutuskan untuk meneliti LP2

terlebih dahulu x1 = 237 , x2 = 148,8, z

= 87.300 karena x2 = 148,8 bukan

integer, LP2 harus diteliti lebih lanjut dengan membuat LP3 dan LP4 dengan membuat cabang masing masing x2≥

148 dan x2≥ 149 ini berarti bahwa .

Ruang LP3 = ruang LP0 + (x1≥ 237) + (x2≥ 149)

Ruang LP4 = ruang LP0 + (x1≥ 237) + (x2≤ 148)

Pemilihan LP3, kita menemukan bahwa masalah ini tidak memiliki pemecahan yang tidak layak. Selanjutnya kita memilih LP4 untuk diteliti. Pemecahan diketahui x1 =

238,22 , x2 = 148 , z = 87279,6, karena

x1 = 238,22 bukan integer kita

membuat dua bagian masalah LP5 dan

LP6 dari LP4 dengan membuat batasan x1 ≥ 239 dan x1≤ 238 ini

berarti bahwa Ruang LP5 = ruang LP0 + (x1≥ 237) + (x2≤ 148) + (x1 ≥ 239) Ruang LP6 = ruang LP0 + (x1≥ 237) + (x2≤ 148) + (x1≤ 238)

Pemilihan LP5, kita menemukan bahwa masalah ini tidak memiliki pemecahan yang tidak layak. Kita memilih LP6 yang memilik solusi optimum (x1 = 238, x2 = 148, z =

87.240 memenuhi persyaratan integer. Karena tidak ada lagi bagian masalah yang perlu diteliti, batas bawah terakhir mengkaitkan pemecahan optimum dengan LP6.

(10)

Gambar 6.Pencabangan

2. Pembahasan

Dari perhitungan diatas ternyata terdapat perbedaan program bilangan bulat antara metode pembulatan secara sembarang dengan menggunakan model Branch and Bound pada produksi tempe di Perusahaan Bapak Wawan yang menghasilkan keuntungan maksimal. Diperoleh dengan pembulatan sembarang menghasilkan keuntungan maksimal dengan memproduksi tempe bulat sebanyak 237 buah dan tempe kotak sebanyak 149 buah dengan pendapatan sebesar Rp. 87.360,-/ Hari tetapi solusi

tersebut solusi yang tidak layak karena melebihi kapasitas ketersediaan barang, tetapi dengan menggunakan metode Branch and Bound menghasilkan keuntungan maksimal dengan tempe bulat sebanyak 238 buah dan memproduksi tempe kotak sebanyak 148 buah dengan keuntungan maksimal sebesar Rp. 87.240,-/hari.

SIMPULAN DAN SARAN

Terdapat perbedaan program bilangan bulat antara metode pembulatan secara sembarang dengan menggunakan model Branch and Bound pada produksi tempe di

(11)

Perusahaan Bapak Wawan yang menghasilkan keuntungan maksimal. Diperoleh dengan pembulatan sembarang menghasilkan keuntungan maksimal dengan memproduksi tempe bulat sebanyak 237 buah dan tempe kotak sebanyak 149 buah dengan pendapatan sebesar Rp. 87.360,-/ Hari tetapi solusi tersebut solusi yang tidak layak karena melebihi kapasitas ketersediaan barang, tetapi dengan menggunakan metode Branch and Bound menghasilkan keuntungan maksimal dengan tempe bulat sebanyak 238 buah dan memproduksi tempe kotak sebanyak 148 buah dengan keuntungan maksimal sebesar Rp. 87.240,-/hari.

DAFTAR PUSTAKA

Winston. (2000).BAB VI Program Linear Bilangan Bulat. Diakses tanggal 3 September

2017. Dari

http://masdwijanto.files.wordpr ess.com/2011/03/bab-vi-program-linear

(12)